i
OPTIMASI TANAMAN PANGAN DI KOTA MAGELANG DENGAN PEMROGRAMAN KUADRATIK DAN
METODE FUNGSI PENALTI EKSTERIOR
SKRIPSI
Diajukan kepada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Yogyakarta
untuk Memenuhi Sebagian Persyaratan guna Memperoleh Gelar Sarjana Sains
Oleh : Sativa Nurin Insani NIM. 13305141006
PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA
v MOTTO
“Kepuasan terbesar dalam hidup adalah berhasil melakukan sesuatu yang orang lain kira Anda tak mampu melakukannya”
-Walter Bagehot-
“Syukuri apa yang ada, hidup adalah anugerah. Tetap menjalani hidup dan lakukan yang terbaik”
-Rian Ekky Pradipta- “MAN SHABARA ZHAFIRA. Siapa yang bersabar pasti beruntung”
“If you fall a thousand times, stand up millions of times because you do not know how close you are to success”
vi
PERSEMBAHAN
Karya ini saya persembahkan untuk ayah dan ibu saya, Bambang Isiantono dan Endang Pudji Hastuti Kalau bukan karena mereka, saya tidak akan bisa mencapai titik ini.
Novera Rahmi Annisa, Dialah motivasi saya untuk terus berusaha menjadi contoh yang baik.
Ani Budiati, Sigit Edhi Nugroho, Dwi Agus Nurswantoro, Akbar Farid, Bahagia bisa mengenal dan menyebut kalian “SAHABAT”.
Hanif Sri Yulianto Terima kasih sudah menjadi alasanku untuk tersenyum dan membuat hidupku jadi nano-nano.
Orang-orang yang pernah datang dan pergi di kehidupanku Terima kasih sudah membuatku mengerti rasanya disakiti dan menyakiti.
vii
OPTIMASI TANAMAN PANGAN DI KOTA MAGELANG DENGAN PEMROGRAMAN KUADRATIK DAN
METODE FUNGSI PENALTI EKSTERIOR
Oleh :
Sativa Nurin Insani NIM. 13305141006
ABSTRAK
Optimasi merupakan suatu cara untuk menemukan hasil yang terbaik, yaitu dengan meminimumkan atau memaksimalkan suatu fungsi tujuan dengan tetap memperhatikan batasan yang ada. Selain bidang industri, transportasi, dan perencanaan keuangan, optimasi juga dapat diterapkan dalam bidang pertanian. Salah satu contohnya yaitu optimasi rata-rata produksi tanaman pangan. Tujuan dari penelitian ini adalah membentuk model matematika untuk mengoptimalkan rata-rata produksi tanaman pangan di kota Magelang serta menyelesaikan model dengan pemrograman kuadratik dan metode fungsi penalti eksterior (metode
penalty).
Model matematika dalam penelitian ini merupakan model nonlinear yang dibentuk menggunakan metode kuadrat terkecil. Fungsi tujuan dari model tersebut adalah memaksimalkan rata-rata produksi tanaman pangan di kota Magelang yang dalam penelitian ini dipilih tiga jenis, yaitu padi, ketela pohon, dan jagung. Pemrograman kuadratik menyelesaikan masalah nonlinear dengan mengubahnya menjadi masalah linear menggunakan syarat Kuhn Tucker, selanjutnya masalah linear tersebut diselesaikan menggunakan simpleks metode wolfe. Sedangkan metode fungsi penalti eksterior (metode penalty) menyelesaikan masalah nonlinear berkendala menjadi masalah nonlinear tak berkendala. Solusi diperoleh berdasarkan syarat perlu dan cukup keoptimalan masalah tak berkendala.
Berdasarkan perhitungan, diperoleh hasil optimal yang sama baik dari pemrograman kuadratik maupun metode fungsi penalti eksterior untuk rata-rata produksi tanaman pangan padi, ketela pohon, dan jagung di kota Magelang, yaitu 387,0586 kwintal dengan luas panen padi 520,75 hektar, luas panen ketela pohon 33,6426 hektar, dan luas panen jagung 8,4817 hektar.
Kata kunci : Optimasi, Tanaman Pangan, Metode Kuadrat terkecil, Pemrograman Kuadratik, Metode Fungsi Penalti Eksterior
viii
KATA PENGANTAR
Puji syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT, yang telah melimpahkan segala rahmat, karunia dan hidayah-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi yang berjudul “Optimasi Tanaman Pangan di Kota Magelang Dengan Pemrograman Kuadratik dan Metode Fungsi Penalti Eksterior”. Skripsi ini disusun untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar Sarjana Sains Program Studi Matematika di Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Yogyakarta.
Penyusunan skripsi ini dapat berhasil dengan baik dan lancar berkat bantuan dari berbagai pihak. Oleh karena itu dalam kesempatan ini penulis mengucapkan terima kasih kepada :
1. Bapak Dr. Hartono selaku Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam atas izin yang diberikan untuk melakukan penelitian.
2. Bapak Dr. Ali Mahmudi selaku Ketua Jurusan Pendidikan Matematika atas izin kepada penulis untuk menyusun skripsi dan memberikan kelancaran pelayanan dalam urusan akademik.
3. Bapak Dr.Agus Maman Abadi selaku Ketua Prodi Matematika dan Penasehat Akademik yang telah memberikan motivasi dan kelancaran pelayanan dalam urusan akademik.
4. Ibu Eminugroho Ratna Sari, M.Sc. selaku dosen pembimbing yang telah meluangkan waktunya untuk memberikan bimbingan, motivasi, bantuan dan arahan dengan sabar dalam penyusunan skripsi ini.
5. Bapak Ibu dosen Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY yang telah mengajarkan ilmunya selama perkuliahan.
6. Teman teman Matematika B 2013 yang selalu menemani dan memberi semangat serta bantuan demi kelancaran penyusunan skripsi ini.
7. Semua pihak yang telah membantu baik secara langsung maupun tidak langsung sehingga skripsi ini dapat diselesaikan.
x DAFTAR ISI HALAMAN JUDUL ... i PERSETUJUAN ... ii PENGESAHAN ... iii PERNYATAAN ... iv MOTTO ... v PERSEMBAHAN ... vi ABSTRAK ... vii
KATA PENGANTAR ... viii
DAFTAR ISI ... x
DAFTAR TABEL ... xii
DAFTAR GAMBAR ... xiii
DAFTAR LAMPIRAN ... xiv
DAFTAR SIMBOL ... xv BAB I PENDAHULUAN ... 1 A. LATAR BELAKANG ... 1 B. RUMUSAN MASALAH ... 5 C. TUJUAN PENELITIAN ... 6 D. MANFAAT PENELITIAN ... 6
BAB II KAJIAN PUSTAKA ... 8
A. Optimasi ... 8
B. Fungsi ... 8
1. Fungsi Konveks dan Konkaf ... 10
2. Fungsi Kontinu ... 11
C. Turunan ... 11
D. Matriks Hessian ... 13
E. Matriks Definit Positif dan Definit Negatif ... 14
F. Titik Kritis ... 15
xi
H. Metode Simpleks ... 21
I. Teorema Dualitas ... 24
J. Pemrograman Nonlinear ... 31
K. Persyaratan Karush Kuhn Tucker ... 34
L. Pemrograman Kuadratik ... 36
M. Metode Fungsi Penalti ... 39
BAB III PEMBAHASAN ... 44
A. Pembentukan Fungsi Tujuan dengan Metode Kuadrat Terkecil ... 44
B. Penyelesaian Masalah Nonlinear ... 47
1. Pemrograman Kuadratik dengan Metode Wolfe ... 47
2. Metode Fungsi Penalti Eksterior (Metode Penalty) ... 53
C. Penerapan Model Nonlinear pada Rata-Rata Produksi Tanaman Pangan di Kota Magelang ... 55
1. Pembentukan Model ... 56
2. Penyelesaian dengan Pemrograman Kuadratik Metode Wolfe ... 66
3. Penyelesaian dengan Metode Fungsi Penalti Eksterior (Metode Penalty) 71 4. Analisa Hasil Penyelesaian dengan Pemrograman Kuadratik dan Metode Penalty ... 75 BAB IV PENUTUP ... 77 A. Kesimpulan ... 77 B. Saran ... 79 DAFTAR PUSTAKA ... 81 LAMPIRAN ... 84
xii
DAFTAR TABEL
Tabel 2. 1 Bentuk tabel simpleks ... 23
Tabel 2. 2 Contoh tabel dualitas ... 29
Tabel 3. 1 Tabel simpleks dengan metode wolfe ... 51
Tabel 3. 2 Iterasi pertama metode wolfe ... 52
Tabel 3. 3 Tabel optimum metode wolfe ... 52
Tabel 3. 4 Data Luas Tanam, Luas Panen, dan Rata-rata Produksi Padi, Ketela Pohon dan Jagung tahun 1994-2014 ... 57
Tabel 3. 5 Hasil Perhitungan Selisih Nilai 𝑓𝑥 dan Errornya ... 64
Tabel 3. 6 Tabel Nilai Conditional Number Padi, Ketela Pohon, dan Jagung ... 65
Tabel 3. 7 Penyelesaian optimal untuk rata-rata produksi padi, ketela pohon dan jagung ... 75
xiii
DAFTAR GAMBAR
Gambar 2. 1 Ilustrasi Fungsi dan Bukan Fungsi ... 9
Gambar 2. 2 Ilustrasi konveks dan konkaf ... 10
Gambar 3. 1 Bagan Langkah Penyelesian Pemrograman Kuadratik Metode Wolfe ... 53
Gambar 3. 2 Bagan Langkah Penyelesaian Metode Penalty ... 54
Gambar 3. 3 Alur Pembentukan Model dan Penyelesaian Model Non Linear ... 55
Gambar 3. 4 Tampilan Output MKTX pada Command Window ... 60
Gambar 3. 5 Tampilan Output MKTY pada Command Window ... 61
Gambar 3. 6 Tampilan Output MKTZ pada Command Window... 62
xiv
DAFTAR LAMPIRAN
Lampiran 1 Input Data dan Script untuk Membentuk Fungsi Tujuan ... 84
Lampiran 2 Iterasi Simpleks Metode Wolfe pada Pemrograman Kuadratik ... 87
Lampiran 3 Script dan Output untuk Mencari Conditional Number... 88
xv
DAFTAR SIMBOL
𝛽𝑗 : parameter fungsi tujuan
𝜀 : sisa (galat)
𝑆 : jumlah kuadrat sisa
𝜆𝑖 : pengali pada kondisi Kuhn Tucker untuk kendala ke-i 𝑠𝑖 : variabel slack untuk kondisi Kuhn Tucker ke-i
𝑠𝑖′ : variabel slack untuk kondisi Kuhn Tucker kendala ke-i 𝑎𝑖 : variabel buatan untuk kondisi Kuhn Tucker ke-i
𝑤 : fungsi tujuan linear pada pemrograman kuadratik 𝑔𝑚(𝑥) : fungsi kendala pertidaksamaan ke-m
𝛼(𝑥) : fungsi penalti
𝑧 : fungsi tambahan/ fungsi masalah tak berkendala pada metode penalty
𝜇𝑘 : parameter penalti
