BAB III. PROGRAM LINEAR
Salah satu pokok bahasan dalam mata pelajaran matematika kelas III IPA semester gasal, menurut Kurikulum 2004 (KBK) SMA / MA, memuat :
Kompetensi dasar :
Siswa menggunakan dan menghargai matematika sebagai suatu alat peme- cahan masalah.
Indikator, siswa dapat :
- Menggambar garis berbentuk x = a, y = b dan ax + by = c
- Membaca / menuliskan gambar garis berbentuk x = a, y = b, ax + by = c - Menggambar daerah yang memenuhi pertidak-samaan x < =a, y < = b,
ax + by <= c ax + by <= c
- Membaca / menuliskan bentuk pertidaksamaan x < = a, y <= b, ax + by <= c dari gambar daerah penyelesaian
- Mengenal bentuk obyektif ax + by
- Menentukan nilai optimum bentuk obyektif dengan menghitung titik-titik pojok dari daerah penyelesaian
- Mengenal pengertian garis selidik berbentuk ax + by = k
- Menentukan nilai optimum bentuk obyektif dengan menggunakan garis selidik ax + by = k
- Memahami pengertian program linear dan model matematika - Mengubah soal cerita menjadi model matematika
- Menyelesaikan soal program linear
Pedagang Buah
Beberapa jenis apel
BAB III. PROGRAM LINEAR
Salah satu pokok bahasan dalam mata pelajaran matematika kelas III IPA semester gasal, menurut Kurikulum 2004 (KBK) SMA / MA, memuat :
Kompetensi dasar :
Siswa menggunakan dan menghargai matematika sebagai suatu alat peme- cahan masalah.
Indikator, siswa dapat :
- Menggambar garis berbentuk x = a, y = b dan ax + by = c
- Membaca / menuliskan gambar garis berbentuk x = a, y = b, ax + by = c - Menggambar daerah yang memenuhi pertidak-samaan x < =a, y < = b,
ax + by <= c ax + by <= c
- Membaca / menuliskan bentuk pertidaksamaan x < = a, y <= b, ax + by <= c dari gambar daerah penyelesaian
- Mengenal bentuk obyektif ax + by
- Menentukan nilai optimum bentuk obyektif dengan menghitung titik-titik pojok dari daerah penyelesaian
- Mengenal pengertian garis selidik berbentuk ax + by = k
- Menentukan nilai optimum bentuk obyektif dengan menggunakan garis selidik ax + by = k
- Memahami pengertian program linear dan model matematika - Mengubah soal cerita menjadi model matematika
- Menyelesaikan soal program linear
1. a. Menggambar garis berbentuk x = a, y = b dan ax + by = c
i. Gambar garis x = 2
2
X Y
o . .
ii. Gambar garis y = - 3
-3
iii. Gambar garis 2x + 3y = 6
2
1.b Menyebutkan / menuliskan persamaan dari garis yang berbentuk x = a, y = b dan ax + by = c dari diagram Cartesius
i.
- 1
iii.
5
3 X
Y
ii. . ..
. iv.
. . . . .
.
.
2. a. Menggambar daerah yang memenuhi pertidak-samaan x <= a, y > b dan ax + by <= c
i. Gambarlah daerah x <= 3
XY
. . .
3
ii. Gambarlah daerah y > 2
2
ii. Gambarlah daerah y > 2
iii. Gambarlah daerah yang memenuhi 3x + 2y <= 6
3
iv. Gambar daerah penyelesaian yang memenuhi sistem pertidak- samaan x + y < = 5, 2x + 3y <= 12, x >= 0 dan y >= 0 dalam satu diagram Cartesius
5
4 5
4
D.P.
5 6
5 6
o
D.P.
Coba gambar daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan :
x + 2y >= 8. 3x + 2y <= 12, x >= 0, y >= 0 juga dalam satu
Diagram Cartesius !
b. Tulislah sistem persamaan yang memenuhi gambar berikut ini !
i.
3
iii.
6 3
3
o
D.P.
3 5
3 6
ii. .
. ..
o
iv.
o
46
2
-2
Contoh : Nilai maksimum bentuk obyektif 2x + y dari daerah penyelesaian . sistem pertidak-samaan x <= 4, y <= 3, x >= 0, y >= 0 :
Bentuk obyektif 2 x + y
Titik (1,0) 2.1 + 0 = 2 Ttitik (2,0) 2.2 + 0 = 4 Titik (3,0) 2.3 + 0 = 6 Titik (4,0) 2.4 + 0 = 8 Titik ((),1) 2.0 + 1 = 1 Titik (1,1) 2.1 + 1 = 3 Titik (2,1) 2.2 + 1 = 5 Titik (3,1) 2.3 + 1 = 7
B. Nilai optimum dari fungsi sasaran (bentuk linear)
1. Dengan cara menghitung setiap titik dalam daerah penyelesaian.
)
Titik (3,1) 2.3 + 1 = 7 Titik (4,1) 2.4 + 1 = 9 Titik (0,2) 2.0 + 2 = 2 Titik (1,2) 2.1 + 2 = 4 Titik (2,2) 2.2 + 2 = 6 Titik (3,2) 2.3 + 2 = 8 Titik (4,2) 2.4 + 2 = 10 Titik (0,3) 2.0 + 3 = 3 Titik (1,3) 2.1 + 3 = 5 Titik (2,3) 2.2 + 3 = 7 Titik (3,3) 2.3 + 3 = 9 Titik (4,3) 2.4 + 3 = 11
Jadi nilai maksimum benyuk obyektif 2x + y dari daerah penyelesaian adalah
11
yang didapat dari titik (4,3).
o o o o o (0,2) (2,2) (3,2) (4,2) (4,3) o o o o o (0,1) (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) o o o o o (0,3) (2,3) (3,3) (4,3) (4,3)
o o o o o (1,0) (2,0) (3,0) (4,0)
2. Dengan hanya memilih titik-titik pojok
Contoh :
i ). Tentukan nilai optimum dari dari betook linear x + 3y daridaerah penyelesaian sistem pertidak-samaan :
2x + y < = 6, x + y < = 4, x >= 0, y >= 0 Penyelesaian :
6
4 C
Titik B merupakan titik potong garis 2x + y = 6 dan garis x + y = 4, didapat titik B(2,2)
Koordinat titik-titikm pojok dimasukkan ke bentuk linear 2 x + 3 y
4
3 4 4
O
B
2 x + 3 y Titk O(0,0) 2.0 + 3.0 = 0 Titik A(3,0) 2.3 + 3.0 = 6 Titik B(2,2) 2.2 + 3.2 = 10 Titik C(0,4) 2.0 + 4.2 = 8
Nilai optimum adalah nilai :
Minimum = 0 diperoleh dari titik O(0,0) Maksimum = 10 diperoleh dari titik B(2,2) ii ). Coba untuk bentuk obyektif 4x + 3y dari daerah penyelesaian sistem
pertidak-samaan : 3x + 2y <= 12, x + y <= 5, x <= 0, y <= 0
O 3
4
A
2. Menggunakan garis selidik
Daerah penyelesaian pada gambar samping :
Menentukan optimum dari betook obyektif P(x) = 2x + y
(1,4)
Digambar garis-garis sejajar 2x + y = k, dengan k = 1, 2, 3, …,n Untuk k = 0, garis 2x + y = 0, melalui titik O(0,0)
Garis yang paling kiri, 2x + y = 2 yang masih melalui titik dalam daerah penyelesaian, memberikan nilai minimum P(1,0) = 2
Garis yang paling kanan, 2x Y = 14 yang masih melalui titik dalam daerah penyelesaian, memberikan nlai maksimum P(7,0) = 14
o (1,0) (7,0)
(5,2) Cobalah, P(x,y) = 3x + 2y
O (6,0)
(3,6)
(0,3)
Pertemuan ke 4 :
- Siswa dapat mengubah keterangan dalam kalimat sehari-hari menjadi model matematika.
- Siswa dapat menggambar daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan linear dalam satu diagram Cartesius.
- Siswa dapat menentukan nilai optimum dari bentuk obyektif P(X,Y) = aX + bY dari daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan linear tersebut tadi.
- Siswa dapat menjawab permasalahan dari soal-soal program linear.
Pertemuan ke 5 : Pertemuan ke 5 :
-Siswa berlatih menyelesaikan soal-soal yang telah dibahas pada pertemuan- pertemuan sebelumnya.
Dengan metode tanya jawab dibahas cara mengubah keterangan dalam kalimat sehari-hari menjadi model matematika.
Contoh:
Untuk membuat suatu jenis roti diperlukan tepung 200 gram dan mertega 25 gram.
Jenis roti yang lain diperlukan tepung 100 gram dan mentega 50 gram. Misalkan kita C. Model matematika :
Contoh :
Jenis roti yang lain diperlukan tepung 100 gram dan mentega 50 gram. Misalkan kita ingin membuat roti sebanyak mungkin, tetapi kita hanya mempunyai tepung 4 kg dan mentega 1,2 kg, sedangkan bahan-bahan lain cukup. Direncanakan setiap roti jenis I dijual R. 250,- dan roti jenis II Rp. 200,- sebuah.
Untuk menyelesaikan soal itu dengan matematika, mula-mula kita terjemahkan soal tadi ke dalam bahasa matematika. Hal ini disebut membuat model matematika
.
Model Matematika.
Data dari soal tadi dapat disingkat sebagai berikut :
Roti
Tepung (gram)
Mentega (gram)
Harga setiap biji roti
Jenis I 200 25 Rp. 250,-
Jenis II 100 50 Rp. 200,-
Persediaan 4000 1200
Andaikan banyaknya roti jenis pertama x biji dan roti jenis kedua y biji, maka banyaknya tepung yang dipergunakan (200 x + 100 y) gram. Tepung yang tersedia 4.000 gram, terdapatlah hubungan :
200 x + 100 y <= 4000
Diperlukan mentega (25 x + 50 y) gram, sedangkan tersedia mentega 1.200 gram, berlaku hubu
ngan : 25 x + 50 y <= 1200
Karena x dan y bilangan bulat yang tidak mungkin negatif, x >= 0 ; y >= 0
{y = 56, } 3 x = 32
3
Karena roti yang dibuat akan dijual, tidak mungkin banyak- nya roti bilangan pecahan. Untuk menentukan nilai maksi- mum, dipilih nilai x = 18 dan nilai y = 10.
Bentuk obyekftif 250 x + 200 y
Untuk titik (24,0) 250.24 + 200 . 0 = 6.000 titik (10,18) 250.10 + 200 . 18 = 6.500.
titik (0,16) 250 . 0 + 100 . 16 = 1.600
penghasilan := 6500
Dipilih (10,18)
Dengan cara membuat roti jenis I 10 biji
24 40
Pertemuan ke 5 :
Siswa berlatih menyelesaikan soal-soal yang telah dibahas pada pertemuan- pertemuan sebelumnya.
Dengan cara membuat roti jenis I 10 biji dan roti jenis II 18 biji.
20 48
Latihan :
1. Pada sebuah toko, seorang karyawati menyediakan jasa membungkus kado. Sebuah kado jenis A membutuhan 2 lembar kertas pembungkus dan 2 meter pita, sebuah kado jenis B membutuhkan 2 lembar kertas pembungkus dan 1 meter pita. Tersedia kertas pembungkus 40 lembar dan pita 30 meter. Jika upah untuk membungkus kado jenis A Rp. 2.500,-/buah dan kado jenis B Rp. 2.000,-/buah, maka upah maksimum yang dapat diterima karyawati tersebut adalah ….
a. Rp.40.000,- b. Rp. 45.000,- c. Rp. 50.000,- c. Rp. 55.000,- d. Rp. 60.000,-
Contoh kado :
Ulangan harian
1. Gambarlah daerah penyelesaian sistem pertidak-samaan : 0
, 0 ,
16 2
,
12 + ≤ ≥ ≥
≤
+ y x y x y
x
Tentukan nilai maksimum bentuk obyektif 5x + 2y dari daerah penyelesaian itu !
2. Rini membuat dua macam kue. Kue jenis pertama memerlukan 20 gram tepung dan 30 gram gula pasir. Kue jenis kedua memerlukan 30 gram tepung dan 40 gram gula 30 gram gula pasir. Kue jenis kedua memerlukan 30 gram tepung dan 40 gram gula pasir. Persediaan tepung 6 kg dan gula pasir 9 kg. Jika sebuah kue jenis pertama akan dijual seharga Rp. 5.000,- dan kue jenis kedua Rp. 6.000,- maka berapa buah masing-masing kue harus dibuat agar memperoleh penjualan maksimum ?
ULANGAN HARIAN
Pokok Bahasan : Program Linear Kelas : III IPA Waktu : 20 menit
--- 1. Gambarlah daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan : x >= 0, y >= 0, 2x + 3y <= 12, 2x + y <= 8
2. Tulislah sistem pertidaksamaan dari daerah yang diarsir pada gambar di sebelah kiri berikut ini :
3 6
3. Tentukan nilai maksimum bentuk obyektif P(x,y) = 2x + 3y dari daerah penyelesaian soal nomor 2.
4. Tentukan nilai minimum dari daerah penyelesaian yang memenuhi sistem pertidsamaan : 2 <= x <= 5, y >= 1, 2x + y >= 12, x + y <= 8
5. Di dalam suatu ujian ada dua pilihan kelompok soal. Kelompok I terdiri atas 30 soal yang masing-masing dapat diselesaikan dalam 4 menit. Kelompok II terdiri atas 50 soal, masing-masing dapat diselesaikan dalam waktu 2 menit. Setiap jawaban yang benar dari kelompok I memperoleh nilai 5, sedangkan setiap jawaban yang benar dari kelompok II memperoleh nilai 3.
a. Kalau waktu yang disediakan untuk ujian itu 21/2 jam,maka berapa soal dari masing-masing kelompok untuk memaksimumkan jumlah nilai yang mungkin diperoleh ?
b. Berapa maksimum jumlah nilai yang mungkin diperoleh peserta ujian ?
-3 O 3
