KALKULUS FISIKA DALAM. Drs. Abdul Hamid, M.Si

(1)

(2)

KALKULUS

DALAM

FISIKA

Drs. Abdul Hamid, M.Si

(3)

Hak Cipta Dilindungi Undang-Undang

Dilarang keras memperbanyak, memfotocopy sebagian atau seluruh isi buku ini, serta memperjual-belikannya Tanpa mendapat izin tertulis dari Penerbit.

Diterbitkan oleh Syiah Kuala University Press Darussalam –Banda Aceh, 23111

Judul Buku Penulis

: Kalkulus Dalam Fisika : Drs. Abdul Hamid, M.Si Editor

Desain cover Penerbit Email Cetakan

: Drs. Abdul Hamid, M.Si : Hery Wahyudi

: Syiah Kuala University Press Telp (0651) 801222 : upt.percetakan@unsyiah.ac.id

: Pertama, 2019 ISBN : 978-623-7086-30-7

(4)

KATA PENGANTAR

Dengan memanjatkan puji syukur kehadirat Allah SWT yang telah melimpahkan rahmat, taufik, dan hidayahNya kepada penulis sehingga buku Kalkulus Dalam Fisika ini dapat diselesaikan dengan baik. Pembahasan materi dalam buku ini diawali dengan memaparkan landasan teori tentang konsep-konsep dasar kalkulus, contoh soal dan dilanjutkan dengan penerapannya dalam fisika untuk setiap materi pokoknya. Penerapan konsep fisika dalam buku ini diawali dengan penjelasan ringkas tentang konsep fisika dan disertai dengan interpretasi fisis sehingga konsep fisisnya lebih bermakna.

Buku ini antara lain berisikan materi pokok tentang Bilangan, Pertidaksamaan, dan Nilai Mutlak, Limit dan Kekontinuan Fungsi, Diferensial dan penerapannya, Turunan Fungsi Transenden, Integral Tak Tentu dan Integral Tertentu serta Penerapannya dalam fisika.

Materi pokok diferensial dan integral serta terapannya dalam buku ini dimaksudkan sebagai landasan saat mempelajari materi fisika lanjutan.

Mudah-mudahan buku yang sederhana ini dapat memberikan sedikit manfaat bagi penulis dan para pembaca. Harapan penulis semoga kehadiran buku ini juga mampu memberi sedikit wawasan, cara pandang dalam menelaah pemanfaatan kalkulus dalam fisika.

Banda Aceh, April 2019 Penulis,

Abdul Hamid

(5)

DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR ... i

DAFTAR ISI ... ii

Bab 1Bilangan, Pertidaksamaan,dan Nilai Mutlak ... 1

1.1 Sistem Bilangan Riel ... 1

1.2 Interval Berhingga ... 4

1.3 Interval Tak Berhingga ... 6

1.4 Pertidaksamaan ... 8

1.5 Nilai Mutlak ... 13

1.6 Pertidaksamaan dalam Nilai Mutlak ... 18

1.7 Fungsi Suatu Variabel ... 21

1.8 Latihan Bab 1 ... 27

Bab 2Limit dan Kekontinuan Fungsi... 30

2.1 Limit Fungsi... 30

2.1.1 Pendekatan Limit Secara Numerik ... 33

2.1.2 Pendekatan Limit Secara grafik ... 34

2.2 Limit Kanan dan Limit Kiri ... 36

2.3 Sifat Limit Fungsi ... 41

2.4 Limit Tak Hingga ... 44

2.5 Kekontinuan Fungsi ... 48

Bab 3D i f e r e n s i a l ... 60

3.1 Turunan ... 60

3.2 Interpretasi Geometris dari Turunan ... 65

3.3 Rumus-rumus Diferensiasi... 67

3.4 Penerapan Turunan Dalam Fisika ... 71

3.4.1 Gerak Lurus ... 71

3.4.2 Gerak Di Bawah Pengaruh Gravitasi ... 74

3.5 Turunan Fungsi Trigonometri ... 77

3.5.1 Ukuran Sudut ... 78

3.5.2 Fungsi-fungsi Trigonometri ... 80

3.5.3 Penerapan Fungsi Trigonometri dalam Fisika... 84

3.6 Turunan Fungsi Invers ... 89

3.7 Aturan Rantai ... 91

3.8 Turunan Implisit ... 96

(6)

3.9 Turunan Lebih Tinggi ... 100

3.10 Laju-laju yang Berhubungan... 109

3.11 Diferensial dan Aproksimasi Linier ... 116

3.12 Latihan Bab 3 ... 125

Bab 4Penerapan Diferensiasi ... 129

4.1 Garis Singgung dan Garis Normal ... 129

4.2 Sudut Perpotongan ... 133

4.3 Nilai Maksimum dan Minimum ... 135

4.4 Fungsi Naik dan Turun ... 142

4.5 Uji Harga Maksimum dan Minimum ... 146

4.5.1 Uji Turunan Pertama ... 147

4.5.2 Uji Turunan Kedua... 149

4.5.3 Kecekungan dan Titik Belok ... 151

4.6 Penerapan Maksimum dan Minimum ... 153

4.7 Anti Turunan dan Penerapannya ... 161

Bab 5Turunan Fungsi Transenden ... 173

5.1 Turunan Fungsi Invers Trigonometri ... 173

5.2 Turunan Fungsi Eksponensial ... 178

5.3 Turunan Fungsi Logaritma ... 179

5.4 Turunan Fungsi Eksponensial dan Logaritma ... 182

5.5 Turunan Fungsi Hiperbolik ... 186

5.6 Turunan Fungsi Invers Hiperbolik ... 189

Bab 6Integral Tak Tentu dan Integral Parsial ... 198

6.1 Integral Tak Tentu ... 198

6.2 Rumus-rumus Integrasi Dasar... 200

6.3 Integral dengan Aturan Substitusi ... 203

6.4 Integral Parsial ... 206

(7)

Bab 7Integral Trigonometri dan Pecahan ... 213

7.1 Integral Trigonometri ... 213

7.2 Integral Fungsi Trigonometri ... 216

7.3 Integral Substitusi Trigonometri ... 221

7.4 Fungsi Polinomial dan Rasional ... 226

7.5 Macam-macam Substitusi ... 233

Bab 8Penerapan Integral Tak Tentu ... 241

8.1 Kemiringan Kurva ... 241

8.2 Penerapan Integral Tak Tentu dalam Fisika ... 243

8.2.1 Mekanika... 243

8.2.2 Peluruhan Eksponensial ... 246

8.2.3 Hukum Pendinginan Newton ... 249

Bab 9Integral Tertentu dan Penerapannya ... 254

9.1 Integral Tertentu dan Luas Kurva ... 254

9.2 Teorema Dasar Kalkulus ... 264

9.2.1 Teorema Dasar Kalkulus, bagian 1 ... 265

9.2.2 Teorema Dasar Kalkulus, bagian 2 ... 266

9.3 Perubahan Variabel dalam Integral Tertentu ... 268

9.4 Luas di antara Kurva ... 270

9.5 Volume ... 276

9.5.1 Metode Cakram ... 276

9.5.2 Metode Cincin ... 278

9.5.3 Metode Kulit Tabung ... 280

9.6 Titik Berat ... 282

9.6.1 Momen luasan bidang ... 282

9.6.2 Momen volume benda ... 284

9.6.3 Teorema Pappus ... 287

9.7 Tekanan Pada Zat Cair ... 288

9.8 Kerja atau Usaha ... 291

DAFTAR PUSTAKA ... 303

Daftar Indeks ... 304

(8)

Bab 1

Bilangan, Pertidaksamaan,dan Nilai Mutlak

1.1 Sistem Bilangan Riel

Kalkulus didasarkan pada sistem bilangan riel. Sistem bilangan riel adalah himpunan bilangan riel yang terdiri dari bilangan-bilangan rasional (bilangan bulat positif dan negatif, nol, dan pecahan biasa dalam bentuk a/b, dengan a dan b adalah bilangan bulat) dan bilangan- bilangan irrasional (desimal yang tak berakhir seperti

...

414 , 1

2  dan 3,14159... yang tidak merupakan hasil bagi bilangan-bilangan bulat).

Misalkan a, b dan c adalah bilangan riel, maka berlaku (1) Jika a b maka acbc dan ac bc

(2) Jika acbcmaka a b (3) Jika ab ac, a0maka b c (4) ^a



^b^^c



^^ab^^ac

(5) ^

 

^^{a }^a dan untuk a0, maka

 

^a^¹ ^¹ ^^a

(6) a.0 a0. 0; ^a

 

^^b ^^^a

 

^b ^^^ab;

  

^^a ^^b ^^ab

(7) Jika ab0 maka a0 atau b0 (8)  adbc,b0,d0

d c b a

Selain bilangan nol, positif dan negatif terdapat juga bentuk akar, yaitu bilangan yang berbentuk ⁿ *, n1,2,3,... yang hasilnya bukan bilangan rasional. Bilangan berbentuk akar didefinisikan sebagai berikut.

(9)

Bab 2

Limit dan Kekontinuan Fungsi

2.1 Limit Fungsi

Bila kita mempunyai suatu fungsi yang variabel bebasnya menuju suatu titik tertentu di sumbu x, (artinya jarak antara variabel bebas dan titik tertentu tersebut semakin lama semakin mengecil tetapi tidak harus sama dengan nol), apakah variabel terikatnya juga menuju suatu nilai tertentu di sumbu y. Atau, bagaimana perilaku variabel terikat jika variabel bebasnya membesar sampai tak hingga?

Apakah artinya bahwa suatu fungsi f mempunyai limit Lketika xmendekati satu titik c?. Suatu fungsi f mempunyai limit Lketika x mendekati satu nilai tertentu c, ditulis dengan notasi

 

x L

cf

x 

lim , mempunyai pengertian sebagai berikut: untuk setiap x yang cukup dekat dengan c, tetapi x c, nilai f

 

x dapat dibuat sedekat mungkin dengan L atau dengan kata lain jika sebuah fungsi yang terdefinisi pada suatu selang terbuka yang memuat c, kecuali di c sendiri. Maka kita katakan bahwa limit f

 

x untuk x mendekati c adalah L , dan ditulis

 

x L

cf

x 

lim

Jika untuk setiap bilangan  0 terdapat  0 sedemikian sehingga f

 

x  L bila 0 xc  . Perhatikan gambar berikut.

(10)

Bab 3

D i f e r e n s i a l

3.1 Turunan

Misalkan f

 

x didefinisikan di sebarang titik x₀ di dalam

 

a,b .Turunan fungsi y  f

 

x terhadap x x₀ didefinisikan sebagai

   

x x f x x f x

y

x

x 





 











0 0

0

0 lim

lim

(1) asalkan limitnya ada. Limit ini disebut sebagai laju perubahan dari y terhadap x pada x x₀.

Dalam mencari turunan, indeks 0 biasanya dihilangkan dan turunan y  f

 

x terhadap x diperoleh dari

   

x x f x x f x

y

x

x 





 









lim0 lim0

(2) Jika y  f

 

x , maka perubahan y pada kurva f adalah sebesar y f



xx

  

 f x . Bila f 

 

x ada, maka

     

dx dy x y x

x f x x x f

f

x

x 



 







 

 lim0 lim0

(3) Jika kita menggunakan notasi konvensional,y  f

 

x , untuk menunjukkan bahwa variabel bebasnya adalah x dan variabel terikatnya adalah y , maka notasi alternatif yang umum untuk turunan adalah sebagai berikut:

 

dy df d f

 

x Df

 

x D f

 

x y

x

f      

(11)

Bab 4

Penerapan Diferensiasi

4.1 Garis Singgung dan Garis Normal

Jika fungsi ^f

 

^x mempunyai turunan terbatas f 

 

x0 di x = x0,

maka kurva y = f(x) mempunyai garis singgung di P0 (x0, y0) yang tangen arahnya adalah mtan  f

 

x0

Jika kemiringan m = 0, maka kurva tersebut mempunyai garis singgung horizontal dengan persamaan y = y0 di _P₀, seperti di A, C dan E pada gambar 1. Untuk keadaan lain, persamaan garis singgung adalah:



0



0 m x x

y

y  

Jika f

 

x adalah kontinu di x x₀ tetapi 

 



 f x

x

xlim₀ ,

kurva mempunyai garis singgung vertikal dengan persamaan x  x₀ seperti di B dan D pada gambar 1.

Gambar 1

(12)

173

Bab 5

Turunan Fungsi Transenden

5.1 Turunan Fungsi Invers Trigonometri

Jika xsiny, maka fungsi inversnya ditulis menjadi x

arc

y sin . Daerah atau ranah definisi untuk arc sin adalah x 1

1 

 x , jangkauan arc sin x adalah himpunan bilangan-bilangan riel, atau jangkaun yang didefinisikan oleh siny. Ranah definisi dan jangkauan fungsi invers trigonometrik yang lain dapat dibentuk dengan cara yang sama. Fungsi invers trigonometri berharga banyak.

Supaya ada kejelasan dalam memisahkan grafik menjadi busur berharga tunggal, maka di bawah ini didefinisikan busur tersebut menjadi cabang utama untuk tiap fungsi. Dalam grafik-grafik berikut ini, cabang utama ditunjuk oleh garis yang ditebalkan.

Gambar 1

(13)

Bab 6

Integral Tak Tentu dan Integral Parsial

6.1 Integral Tak Tentu

Misalkan dari suatu fungsi f

 

x yang diketahui kita diminta untuk mencari suatu fungsi y sedemikian rupa sehingga dalam rentang nilai x tertentu, misalnya axb, dipenuhi persamaan

 

x dx f

dy  (1)

Persamaan seperti (1) ini, yang menyatakan turunan fungsi sebagai fungsi x (dalam beberapa hal ia mungkin juga merupakan fungsi x dan y) disebut persamaan diferensial. Sebagai contoh

2 4 3 ²  

 x x

dx dy

0 4

5 ² ²

2

2   x y 

dx xydy dx

y d

Suatu fungsi y F

 

x dikatakan sebagai solusi dari persamaan diferensial (1) jika dalam rentang axb ia dapat diturunkan dan dapat memenuhi

 

f

 

x dx

x

dF  (2)

Perhatikan bahwa jika F(x) memenuhi (2) maka F

 

x C dengan C adalah suatu nilai tetapan sembarang, juga akan memenuhi (2) sebab

       

0





 

dx x dF dx dC dx

x dF dx

C x F

d (3)

(14)

Bab 7

Integral Trigonometri dan Pecahan

7.1 Integral Trigonometri

Berikut ini diberikan beberapa bentuk hubungan dasar trigonometri yang dapat digunakan untuk menentukan integral trigonometri dalam bab ini.

(1) sin² xcos² x 1

(2) 1tg²xsec² x

(3) 1cot²xcsc²x (4) sin²x₂¹



1cos 2x



(5) cos²x₂¹



1cos2x



(6) sin xcosx¹₂sin2x

(7) ^sin ^x^cos^y^ 2



^sin



^x^^y



^^sin



^x^ ^y

 

1

(8) ^sin ^x ^sin ^y^2



^cos



^x^^y



^^cos



^x^ ^y

 

1

(9) cos^xcos^y¹₂



cos



^x^y



cos



^x^y

 

(10) 1cos x 2sin² ₂¹x

(11) ¹^^sin^x ^¹^^cos



₂¹^ ^^x



(15)

Bab 8

Penerapan Integral Tak Tentu

8.1 Kemiringan Kurva

Jika persamaan ^{y } ^f

 

^x suatu kurva diketahui, maka kemiringan m di tiap titik P(x,y) pada kurva tersebut dinyatakan dengan m f

 

x . Sebaliknya, bila kemiringan suatu kurva di titik P(x,y) padanya dinyatakan dengan ^m^^dy^/^dx^ ^f^

 

^x ^{, maka}

kumpulan kurva, y f



xC



dapat ditemukan melalui integrasi.

Untuk mengambil salah satu kurva tertentu dari kumpulan itu, perlu ditetapkan atau ditentukan suatu nilai C. Hal ini dapat dilakukan dengan menyatakan bahwa kurva melalui suatu titik tertentu.

Contoh 1

Tentukanlah persamaan kumpulan kurva-kurva yang kemiringannya ditiap titik adalah sama dengan negatif dua kali absis titik itu. Tentukan pula kurva kumpulan tersebut yang lewat titik (1, 1).

Penyelesaian Diketahui bahwa

dx x

dy 2 , maka dy2xdx, dy 2dx dan yx²C ini adalah persamaan dari kumpulan parabola

Misalkan x1, y1 dalam persamaan kumpulan, 1 1 C atau

2 C

Persamaan kurva kumpulan yang lewat titik (1, 1) adalah y x ²2

(16)

Bab 9

Integral Tertentu dan Penerapannya

9.1 Integral Tertentu dan Luas Kurva

Integral tertentu merupakan integral yang batas-batas integrasinya jelas. Konsep dasar integral tertentu dapat diterapkan pada berbagai masalah, misalnya luas bidang yang dipandang sebagai suatu limit.

Kita dapat menghitung luas bidang yang dibatasi oleh suatu kurva

 

x f

y  , sumbu-x, garis x a, dan b

x  , yaitu luas pada gambar 1.a.

Misalkan luas bidang ini adalah A yang dapat dibagi dalam n segmen, kita hitung luas setiap segmen dan kemudian dijumlahkan untuk memperoleh A , seperti pada gambar 1.b, misalkan jumlah luas segmen ini adalah A_bawah(jumlah luas segmen bawah) dan untuk penjumlahan luas segmen di atas kurva, maka kita menghitung luas segmen seperti pada gambar 1.c, hasilnya adalah

Aatas(jumlah luas segmen atas).

1.(a)

1.(b)

(17)

303

DAFTAR PUSTAKA

Ayres, F. dan Ault, J. C. 1990. Diferensial dan Integral Kalkulus.

Jakarta: Erlangga

Ayres, F. dan Mandelson, E. 2006. Kalkulus (Schaum’s Series).

Jakarta: Erlangga

Baisuni, H. 1986. Kalkulus. Jakarta: Universitas Indonesia Press Kastroud, K.A.,(Erwin Sucipto). 1991. Matematika Untuk Teknik.

Jakarta: Erlangga

Mursita, D. 2006. Matematika Dasar Untuk Perguruan Tinggi.

Bandung: Rekayasa Sains

Purcell, E. dan Varberg, D. 1987. Kalkulus dan Geometri Analitik Jilid 1. Jakarta: Erlangga

Soemartojo, N. 1983. Kalkulus. Jakarta: Erlangga Spiegel, M. 1990. Kalkulus Lanjutan. Erlangga: Jakarta

Steward, J. 2006. Calculus Concept & Contexts. Metrix International Version, 3^rd Edition. Belmont: Thomson Learning Academic Resource Centre

(18)