Solusi OSK Ulang Matematika SMA 2017 (Full)

(1)

OSN M A TEM A TIK A SM A 2017

SELEK SI U LA N G TIN G K A T K A BU PA TEN /

K OTA

31 M A R ET 2017

By: Syukri Lukm an, ST

SM A D r. W ahidin Sudirohusodo M edan

1. Pada bidang terdapat empat garis yang berbeda. Titik potong terbanyak yang mungkin dihasilkan oleh keempat garis tersebut ada sebanyak ….

Pem bahasan:

Titik potong terbanyak terjadi jika setiap dua garis berpotongan di titik yang berbeda. Sama saja dengan mencari banyaknya cara memilih 2 garis dari 4 garis, yaitu 4

2

6

C



.

2. Bilangan prima terkecil p sehingga dapat ditemukan bilangan prima q yang memenuhi 2

10 131 q  p

adalah …

Pem bahasan:

Mudah dilihat karena koefisien p adalah 10, bisa kita pakai modulo 10 :

2

10 131mod10 q  p

2

1mod10

q q



 

Jadi untuk qbilangan prima, maka q



11,19, 29,31,...

Untuk q=11, maka : 2

11

10

131

121 10

131

10

tidak memenuhi

p p p









  

Untuk q=19, maka : 2

19

10

131

361 10

131

10

230

23

memenuhi

p p p p











 

(2)

Syukri Lukman, ST SMA Dr. Wahidin Sudirohusodo Medan (http://syukrimath.blogspot.com)

3. Pada segitiga ABC sama kaki dengan puncak A, AD adalah garis tinggi dengan D pada sisi BC. Titik E adalah titik pada AC sehingga DE garis tinggi segitiga ADC. Jika AD = 2 dan

BC = 2, maka nilai dari AE : EC adalah ….

Pem bahasan:

Perhatikan



ADE

dan



CDE

sebangun

, maka :

2

1

2

AE DE x t AD DC

x t



 

1 2

1

2

EC DE y t CD AD

y t



 

1 2

2

4

AE x t EC

 

y t



4. Misalkan a b

, , dan

c adalah bilangan satu angka yang berbeda. Nilai maksimum dari jumlah akar persamaan

(

x a x b



)(

  

) (

x b x c

)(

 

)

0

adalah ….

Pembahasan :

2 2

2

( )( ) ( )( ) 0

( ) ( ) 0

2 ( 2 ) ( ) 0 x a x b x b x c

x a b x ab x b c x bc x a b c x ab bc

     

       

     

Maka, jumlah akar-akar persamaan =

2

a

 

b c

Karena a b

, , dan

cadalah bilangan satu angka yang berbeda, dapat ditulis

0



a b c

, ,



9

. Supaya jumlah akar-akar persamaan maksimum, haruslah nilai b yang tertinggi, didapat :

7,

9,

8

a



b



c



Jadi , nilai maksimum dari jumlah akar persamaan adalah 1 2

7 2 9 8

33

16

2

    

.

5. Suatu bilangan asli mempunyai 2017 pembagi positif yang salah satu diantaranya adalah 7.

Bilangan yang dimaksud adalah …

Pem bahasan :

Misal bilangan tersebut adalah a



7

x

Bilangan 2017 adalah prima, maka dapat disimpulkan bahwa :

(

x

 

1)

2017

 

x

2016

Jadi, bilangan yang dimaksud hanyalah 2016

(3)

6. Setiap kotak pada papan catur berukuran n n akan diwarnai dengan tiga warna. Pewarnaan

dilakukan dengan syarat bahwa setiap kotak berukuran 1 3 atau 3 1 mempunyai 3 warna

yang berbeda. Banyaknya cara pewarnaan yang berbeda adalah …

Pem bahasan :

Asumsikan n3 , maka dapat dicari pemilihan warna :

Pada Baris 1 Kolom 1 = 3 1

3

C



Pada Baris 1 Kolom 2 = 2 1

2

C



Pada Baris 2 Kolom 1 = 2

1

2

C



Sedangkan untuk baris dan kolom berikutnya akan selalu mengikuti pola tersebut. Sehingga banyak cara pewarnaan adalah 3 2 2 12   .

7. Titik-titik A dan B terletak pada lingkaran yang berpusat di O, dan 0

60

AOB





. Lingkaran kedua menyinggung didalam lingkaran pertama dan menyinggung OA dan OB. Perbandingan luas antara lingkaran kecil ( lingkaran kedua ) dengan lingkaran besar ( lingkaran pertama )

adalah ….

Pem bahasan :

Misalkan :

R = jari-jari Lingkaran besar r = jari-jari Lingkaran kecil

0

sin

sin 30

1

2

3

CD COD

OC r R r r

R r R r r R r











 



Maka perbandingan lingkaran kecil : lingkaran besar = 1 : 9

8. Misalkan P adalah polinom berderajat 3 dengan P(0)=k , P(1)=2k , dan P(-1)=3k . Nilai P(2) + P(-2) adalah …

Pem bahasan :

Misalkan : 2 2

( )

P x ax bx  cx d

(0)

P

 

d k

(1)

2

(4)

a

  

b c k…(1)

( 1)

3

P

      

a b c k k …(2)

Jumlahkan persamaan (1) dan (2), didapat :

2 3 3 2 b k b k



( 2)

8

4

2

(2)

8

4

2

P a b c d P a b c d

     

   

Jumlahkan, didapat :

( 2) (2) 8 2 3

8( ) 2 2 14

P P b d

k k k

   

 



9. Jika 2 2016

2016

2

m





, maka digit satuan dari

(

1)

2

2 m

m

 

adalah ….

Pem bahasan :

Mencari digit satuan sama halnya dengan mencari sisa pembagian oleh 10. 2 2 2016 2

2 4 2

2 2

2

(

1)

(2016

2

1) (mod10)

(

1)

(6 2

1) (mod10)

(

1)

(6 6 1) (mod10)

(

1)

9(mod10)

k

m m m m







 



  





2 2016

2016 2

0(mod 4) 4

2 2 2

m m

k



   

Akibatnya ₂2 ₂4 _6(mod10) m

k

 

Maka

(

_m

   

1)

2

m2

9 6(mod10)



5(mod10)

10. Banyaknya permutasi ( ,a a1 2,...,a8) dari (1, 2,...,8) yang memenuhi

1

2

...

8

a

     

a a

adalah ….

(5)

Secara jelas diperoleh bahwa untuk ai i benar, dengan i



1, 2,...,8

Lemma : Nilai yang memenuhi ai



i adalah pembagi positif i terbesar yang lebih kecil dari i .

Banyaknya pembagi positif yang lebih kecil dari 8 ada 3 bilangan, yaitu 1, 2 dan 4. Maka banyak permutasi yang memenuhi ada 1+3 = 4.

Dapat dituliskan :

 Untuk a_i

  

i

0

( ,

a a₁ ₂

,...,

a₈

)



(1, 2,3,...,8)

 Untuk ai

  

i

1

( ,

a a1 2

,...,

a8

)



(2,1, 4,3,..., 7,8)

 Untuk a_i

  

i

2

( ,

a a₁ ₂

,...,

a₈

)



(3, 4,1, 2, 7,8,5, 6)

 Untuk a_i

  

i

4

( ,

a a₁ ₂

,...,

a₈

)



(5, 6, 7,8,1, 2,3, 4)

11. Diberikan segitiga tumpul ABC di titik B. Misalkan D dan E berturut-turut pertengahan segmen AB dan AC. Misalkan pula bahwa F titik pada segmen BC sehingga 0

90

BFE





, dan G titik pada segmen DE sehingga 0

90

BGE





. Jika titik-titik A, G dan F terletak pada

satu garis lurus, maka nilai dari BF/CF adalah …

Pem bahasan :

2 2 BF x x CF  y y

Karena y = 2x, maka :

1 2 2 BF x x CF  y x

12. Jika

( , )

a b adalah solusi dari persamaan: 2 2

min{xy xy, }maks{ ,x y }

Maka selisih nilai terbesar dan terkecil dari ab adalah ….

Pem bahasan : a = x+y = x2 b = xy = y2

Jelas maks (a, b) = (2, 2) dan min (a , b) = (0,0)

(6)

13. Ani, Budi dan Cokro bermain tenis meja. Ketika dua orang bermain, satu orang sisanya menonton. Pada suatu permainan, ada pemenang dan ada yang kalah. Yang menang pada permainan tersebut akan melawan yang menonton pada pertandingan berikutnya, sedangkan yang kalah akan menjadi penonton pada pertandingan berikutnya. Diketahui bahwa Ani dan Budi telah bermain sebanyak 20 dan 17 kali. Jumlah permainan yang dimainkan Cokro

minimal sebanyak …

Pembahasan :

Supaya C bermain minimal, maka C menang haruslah minimal juga. Misal ilustrasi permainan :

A lawan B  B kalah A lawan C  C kalah A lawan B _ A kalah B lawan C  C kalah

dst…

n = banyak permainan

Jelas banyak C bermain =

2

n m

  

 

 

, dengan m adalah jumlah C menang. K asus 1 : C tidak pernah m enang

Maka banyak permainan :

n =

1

20 17

2

n



 

 





 

 







2n = 37+

2

n

 

 

2

37

2

n n

   

 

 

2

Untuk

2

4

37

2

4

37

3

37

(

)

3

k

n k k

k k k

k kontradiksi

 





 

 

 

  





 

2

1

Untuk

2

1

2(2

1) 37

2

4

35

3

35

(

)

3

k

n k k

k k k

k kontradiksi







 









 





  





 

(7)

n =

1

20 17

1

2

n



 



 









 

 











2n = 38+

2

n

 

 

2

38

2

n n

   

 

 

2

Untuk

2

4

38

2

4

38

3

38

(

)

3

k

n k k

k k k

k kontradiksi

 





 

 

 

  





 

2

1

Untuk

2

1

2(2

1) 38

2

4

36

3

36

12(

)

3

k

n k k

k k k

k memenuhi







 









 





  





 



Maka n

  

2

k

1 2(12) 1 25

 

Sehingga banyak C bermain =

25

1 12 1 13

2

n m

 

 

 

   

 

 

Jadi, jumlah permainan yang dimainkan Cokro minimal sebanyak 13 .

14. Untuk sembarang bilangan real x , notasi

 

 

x menyatakan bilangan bulat terbesar yang tidak

lebih dari x . Bilangan rasional negatif a dan b dikatakan couple jika memenuhi

2 2

1 100

ab   a b 

   

   

Bilangan bulat terkecil N yang memenuhi 2 2

a b N

  

 

untuk setiap couple a dan badalah ….

Solusi :

Karena a dan b bilangan rasional negative, maka ada dua kasus yang memenuhi, yaitu :

K asus 1 : 2

36 6

ab   ab

 

 

(8)

2

1 64 1 8

8 1 7

7 6

36 ( ) 49

a b a b

a b a b a b

       

   

   

            

   

2 2 2

(

)

2

(49) 2(6)

37

a b a b ab





 











 









M aka dapat ditulis :

2 2

22_a b _37 Untuk kasus ini, N = 37

Terjadi ketika a+b = -7 dan ab = 6 Maka a = -1 dan b = -6

K asus 2 : 2

64 8

ab   ab

 

 

Maka 8 ab 9

2

1 36 1 6

6 1 5

5 4

16 ( ) 25

a b a b

a b a b a b

       

   

   

            

   

2 2 2

(

)

2

(25) 2(8)

9

a b a b ab





 











 









M aka dapat ditulis :

2 2

2 a b  9

 _  _

Untuk kasus ini, N = 9

Terjadi ketika a+b = -5 dan ab = 8

2 2 2

(

)

2

(36) 2(7)

22

a b a b ab





 











 









2 2 2

(

)

2

(16) 2(9)

2

a b a b ab





 











 







(9)

2 2

8

( 5

)

8

5

8

0

5

8

0

ab a a

a a a a



  

   

  

Cek Diskriminan D = 25-32 = -7 ( Tidak memenuhi ) Maka bilangan bulat terkecil N yang memenuhi adalah 37

15. Pada suatu limas segitiga ABCD, semua sisinya bentuknya sama, yaitu segitiga sama sisi dengan panjang sisi 3 satuan. Misalkan X adalah titik tengah BC dan Y adalah titik pada rusuk AD sehingga AY = 2 YD. Seekor semut berjalan di permukaan limas ABCD dari X ke

Y. Jarak terdekat yang bisa ditempuh sang semut adalah ….

Solusi :

Buat jaring-jaring limas , seperti gambar berikut :

BF = XE = 3 XB = 3/2 YE = ½

0

60

XEY





Dengan aturan cosinus didapat :

 

2 2 2 0

2

2 1 1 1

2 2 2

1 2

2

.

.cos 60

3

2(3)( )( )

31

4

31

XY XE YE XE YE

XY







 





(10)

16. Misalkan a b

, , dan

c adalah bilangan real sehingga

2 2 2

2,

12

a b c dan a b c

  



   



Selisih antara nilai maksimum dan minimum yang mungkin untuk c adalah …

Pem bahasan :

2 2 a b c a b c

  

  

2 2 2

12

a b c a b c

  

  

Dengan Cauchy Schwarz : 2

2 2

2

10 3

(

)

(

)

2

(2

)

12

2

24 2

4 4

3

4

20

0

(

2)(3

10)

0

2

a b a b

c c

c c c c c

c c c







 



  

  







  

Maka selisih c terbesar dengan c terkecil = 10 16 3

  

( 2)

3

17. Misalkan n x y

, , , dan

z adalah bilangan-bilangan asli yang memenuhi persamaan 2 3

x y z

n



n



n

Nilai terbesar yang mungkin dari x2017 adalah …

Pem bahasan:

Karena x, y, dan z bilangan asli, jelas n tidak memenuhi untuk n ganjil . Misalkan n2k , maka persamaan menjadi :





2 3

2 2 3

(2 )

1

(2 )

x y z

y x y z

k k k

k k  k





 

Dari paritasnya, jelas 2

(2 )

x y

k  harus ganjil, dan yang memenuhi hanya

(2 )

x 2y

1

k 



.

Maka : 2 2 0

(2 )

1

(2 )

2

x y x y

k k x y



(11)

2 3 3 1 3

3

1 2017

3

2018

agar z bulat,maka maksimum 3

2013

x y z x x z x z

n n n n n n n n x z

z





 



  





Sehingga x = 3z-1 = 2013 – 1 = 2012

Jadi, nilai terbesar yang mungkin dari x adalah 2012.

18. Misalkan k suatu bilangan real sehingga   1 k 1 . Garis y

 

x k memotong kurva

2

1

y x di A dan B. Jika C menyatakan titik (1,0), maka luas terbesar yang mungkin

dimiliki oleh segitiga ABC adalah ….

Pem bahasan :

Tentukan titik potong kedua kurva :

1 2 2 2

1

0

y y x k x x x k



  

   

1 2

5 4

x

 

x



k

Cari tinggi segitiga ABC menggunakan jarak titik ke garis didapat :

(

1)

2

k t





Cari alas segitiga ABC menggunakan jarak 2 titik didapat :



 



1 1 2 2

1 2 1 2

y x k y x k

y y x x



 







(12)

2 2

1 2 1 2 2

1 2

( ) ( ) 2( )

2(5 4 )

a x x y y a x x

a k

   

 

Maka Luas segitiga ABC ddidapat :





1 2 1 2

(

1)

2(5 4 )

2

L a t

k L k























Agar luas segitiga maksimum  L’ = 0 Didapat k = ½

Sehingga Luas maksimum = 3 4

3

19. Suatu barisan bilangan

 

an _n ₁ 

 memenuhi a1 1 dan 1 2

...

1

n n

a a a a

n n



  







Misalkan a2017 dinyatakan dalam bentuk 2

_



_dimana



_{bilangan asli ganjil. Nilai dari}

 



adalah ….

Pem bahasan :

Persamaan dapat ditulis : 1 1

1

n i i n a n n a  

 





… (1)

Substitusikan n = n+1, menjadi :

1 1 1 1

2

...(2)

2

n i i n n i n i a n n a n a a n    























Tambahkan persamaan (1) dengan 1, didapat : 1 1 1 1 1

1

2

1

2

...(3)

1

n i i n n i n i n n i i n a n n a a a n n a a n n a     

  





 



















(13)

1

2

1

2

1

n

n n

n a

n n

n a

n

a a

n

























 









Untuk n = 2016, didapat :

2017 2016

2017 1

2016 2017

2018

2

2017

2018

2017

3

2

... 2

2017

2016

2

2018

2

1009 2

a a

a



















 



 





 







 



 



 



















Jadi, nilai dari

 



adalah 2016 + 1009 = 3025.

20. Kotak-kotak pada papan berukuran m m akan diwarnai dengan warna biru atau merah.

Suatu kuartet adalah kumpulan empat kotak yang berada pada perpotongan dua kolom dan dua baris pada papan. Bilangan asli terbesar m sehingga terdapat pewarnaan papan dimana

tidak ada kuartet dengan keempat kotak berwarna sama adalah …

Pem bahasan :

Untuk m = 4, dapat digambarkan sebagai berikut :

B M B M

B B M M

M M B B

M B B M

Untuk m = 5, tidak memenuhi dan dapat digambarkan sebagai berikut :

B M B M B

B B M M M

M M B B M

M B B M B

Jadi, bilangan asli terbesar m sehingga terdapat pewarnaan papan dimana tidak ada kuartet

dengan keempat kotak berwarna sama adalah 4.

Demikian pembahasan OSN Matematika SMA Ulang tingkat Kabupaten/ Kota tahun 2017. Kritik dan saran dapat dilayangkan ke http://syukrimath.blogspot.com email : sukri.go@gmail.com atau HP : 0852 610 87342 ( Syukri Lukman, ST )

M = Merah

B = Biru

M = Merah