RANGKUMAN TRIGONOMETRI

(1)

BAB II TRIGONOMETRI

A. PERBANDINGAN TRIGONOMETRI

A.1 Perbandingan trigonometri pada segitiga siku-siku

1. Panjang sisi-sisi suatu segitiga

Panjang sisi dihadapan sudut α _{dinamakan a}

Panjang sisi dihadapan sudut

β

dinamakan b Panjang sisi dihadapan sudut γ dinamakan c

Panjang sisi-sisi sebuah segitiga siku-siku mempunyai hubungan

c2_{= a}2_{+ b}2

2. Besar sudut pada segitiga

Jumlah ketiga sudut dalam segitiga adalah

α

+

β

+

γ

=

180

0 3. Perbandingan pada sisi-sisi segitiga

a. sin

β

=

depan

miring

₌

b c

b. cos

β

=

samping

miring

=

a

c

c. tan

β

=

depan

samping

=

b

a

d. cotg

β

=

samping

depan

=

a

b

e. sec

β

=

miring

samping

=

c

a

f. csc

β

=

miring

depan

=

c

b

A

α

c

b

β

γ

C

(2)

Dari perbandingan diatas diperoleh hubungan rumus :

Cotg

β

=

1

tan

β

Sec

β

=

1

cos

β

Csc

β

=

1

sin

β

Contoh :

Diketahui segitiga siku-siku ABC, siku-siku di C, panjang a = 4, b = 3.

a. Tentukan panjang sisi c

b. Tentukan nilai perbandingan trigonometri sudut α

Jawab :

c

=

√

a

2

+

b

2

=

√

4

2

+

3

2

=

√

25

=

5

sin

α

=

a

c

=

4

5

cos

α

=

b

c

=

3

5

tan

α

=

a

b

=

4

3

A.2 Perbandingan trigonometri untuk sudut khusus (00, 300, 450, 600, 900)

B

c 4

α 3

A C

300

450

√

3

2

√

2

1

600

450

(3)

Berdasarkan gambar diatas dapat ditentukan nilai perbandingan trigonometri sudut-sudut khusus tersebut dalam tabel berikut ( lengkapi nilai-nilai yang lainnya)

00 ₃₀0 ₄₅0 ₆₀0 ₉₀0

Sin 0 1

2

Cos 1 1

2√3

Tan 0 1

3√3

Csc t.t 2

Sec 1 2

3√3

Cotg t.t

√

3

Contoh : π=1800

Tentukan nilai dari :

1. Sin 00_{+ Csc 45}0_{= 0 +}

√

2

=

√

2

2.

sec π

6+cotg

π

3

tan π 3

=

2 3

√

3+

1 3

√

3

√

3 =

√

3

√

3

= 1

A.3 Nilai perbandingan trigonometri di berbagai kuadran

1. Dikuadran I

Titik A(x,Y) dikuadran I Absis positif

Ordinat positif Sin α=y

r =

+

+ =positif

Cos α=x

r =

+

+=positif

Tanα=y

x =

+

+=positif

r A(x,y)

(4)

2. Dikuadran II

Titik A(-x,y) dikuadran II Absis negatif

Ordinat positif Sin α=y

r =

+

+=positif

Cos α=−x

r =

−

+ =negatif

Tanα=y −x=

+

−=negatif

Diskusikan dengan teman anda, untuk tanda-tanda perbandingan trigonometri dikuadran yang lain yang ditulis dalam tabel berikut.

I II III IV

Sin + + -

-Cos + - - +

Tan + - +

-Csc + + -

-Sec + - - +

Cotg + - +

-Contoh :

Diketahui Sin α ₌

3

5, α _{dikuadran II (sudut tumpul).}

Tentukan nilai

Sec α ,Csc α ,Cotg α

Jawab : Sin α=

3

5 _{, y = 3, r = 5, x =}

√

5

2

−

3

2

=

√

25

−

9

=

√

16

=

4

Karena dikuadran II, nilai x = -4

Sehingga : Sec α ₌

5

−4 _{, Csc} α= 5

3 _{, Cotg} α=

−4 3

A(-x,y)

r y

-x

Kuadran II Sin & Csc +

Kuadran I Semua +

Kuadran IV Cos & Csc + Kuadran III

(5)

TUGAS I

1. Tentukan nilai-nilai perbandingan trigonometri sudut α _pada

tiap gambar berikut :

a. b.

2. Jika p sudut lancip, tentukan nilai perbandingan trigonometri sudut p yang lain, jika salah satu nilai perbandingan trigonometri sudut diketahui.

a. Cos p = 0,8 b. Cotg p = 2 3. Tentukan nilai dari :

a. Sin600_{cotg 60}0_{+ sec 45}0_{cos 45}0 b. Tan 300_{+ cos 30}0

c. 2 sin 600_{cos 45}0

4. Dani ingin menentukan tinggi pohon, pada jarak 10 m dari pohondengan sudut pandang 600_{, seperti gambar berikut.} Tentukan tinggi pohon tersebut. ( tinggi dani 155 cm)

A.4 Rumus perbandingan trigonometri untuk sudut-sudut di semua kuadran

a. Rumus di kuadran I

Sin

(

90

−

α

)=

cos

α

Cos

(

90

−

α

)=

sin

α

Tan

(

90

−

α

)=

Cotg α

b. Rumus di kuadran II

2

√

5

2 12

600 _{Tinggi pohon}

10 m

(6)

Sin

(

90

+

α

)=

Cos α

Cos

(

90

+

α

)=−

Sin α

Tan

(

90

+

α

)=−

Cotg α

_atau

Sin

(

180

−

α

)=

Sinα

Cos

(

180

−

α

)=−

Cos α

Tan

(

180

−

α

)=−

Tanα

c. Rumus di kuadran III

Sin

(

270

−

α

)=−

Cos α

Cos

(

270

−

α

)=−

Sin α

Tan

(

270

−

α

)=

Cotg α

_atau

Sin

(

180

+

α

)=−

Sinα

Cos

(

180

+

α

)=−

Cos α

Tan

(

180

+

α

)=

Tanα

d. Rumus di kuadran IV

Sin

(

270

+

α

)=−

Cos α

Cos

(

270

+

α

)=

Sin α

Tan

(

270

+

α

)=−

Cotg α

_atau

Sin

(

360

−

α

)=−

Sin α

Cos

(

360

−

α

)=

Cos α

Tan

(

360

−

α

)=−

Tanα

e Rumus sudut negatif

Sin

(−

α

)=−

Sinα

Cos

(−

α

)=

Cos α

Tan

(−

α

)=−

Tan α

f.Rumus sudut lebih dari 3600

Sin

(

k

. 360

+

α

)=

Sinα

Cos

(

k

. 360

+

α

)=

Cos α

Tan

(

k

. 360

+

α

)=

Tanα

Contoh :

Ubah ke sudut lancip, dan tentukan nilainya : a. Sin 1200_{= Sin (90}0_{+ 30}0₎

= Sin 300

=

1 2

√

3

Atau

Sin 1200_{= Sin (180}0_{– 60}0₎ = Sin 600

=

1 2

√

3

b. Cos 2250_{= Cos (270}0_{– 45}0₎ = -Sin 450

= −

1 2

√

2

Atau

(7)

= −

1 2

√

2

c. Sin 7500_{= Sin (2.360}0_{+ 30}0₎ = Sin 300

=

1 2

d. Sin (-2250_{) = - Sin 225}0

= - Sin(1800_{+ 45}0₎ = - (-sin 450₎

=

1 2

√

2

TUGAS II

1. Ubahlah ke sudut lancip, kemudian tentukan nilainya : a. Cos 3300

b. Tan (-1200₎ c. Sin 4500 2. Tentukan nilai dari :

a. Sin 3000_{+ Cos 545}0 b. Cos 3900_{+ Sec 570}0 c. Cotg 7500_{+ Tan (-60}0₎ 3. Sederhanakan

a.

cos(270−p)

Sin(360−p)

b.

cos(90+p)

Sin(180−p)

c.

cos 1200.Tan2250.Cosec2400 Cos2100.Sec3000 4. Buktikan bahwa

a.

Sin(270+p).Sin(180−p)

Cos(90−p).Cos(180−p)=1

b.

Cos(180+p).Sec(360−p)

Cotg(180−p).Cotg(90−p)=−1

B. PERSAMAAN TRIGONOMETRI

1. Sin x = Sin p

X1 = p + k.360 atau x1 = p + k.2 π

X2 = (180 – p) + k.360 x2 = ( π _{- p) + k.2} π

2. Cos x = Cos p

X1 = p + k.360 atau x1 = p + k.2 π

X2 = -p + k.360 atau x2 = -p + k.2 π

(8)

X1 = p + k.180 atau x1 = p + k. π

Contoh : Tentukan himpunan penyelesaian : a. Sin x = Sin 200_; 0_≤x_≤3600

x1 = 20 + k.360 , untuk k = 0 x1 = 20 k = 1 x2 = 20 + 360

= 380 (tidak memenuhi) X2 = (180 – 20) + k.360, untuk k = 0 x2 = 160

Jadi HP = {20, 160}

b. 2 Cos x =

√

3

; 0≤x≤3600

Cos x =

1 2√3

Cos x = Cos 30

X1 = 30 + k.360 , untuk k = 0 x1 = 30

X2 = -30 + k.360 , untuk k = 0 x2 = - 30 (tidak memenuhi)

K = 1 x2 = 330 HP = {30, 330}

TUGAS III

1. Selesaikan persamaan berikut untuk 0≤x≤3600

a. Cos x = Cos 50 b. Sin x – ½ = 0

c. 3 tan 2x +

√

3

= 0 d. 2 cos x.sin x = sin x

2. Tentukan himpunan penyelesaian untuk 0≤x≤2π a. 2 sin x = - 2

b. 2 tan 3x + 2 = 0 c. 2 cos ½ x = 1

C. IDENTITAS TRIGONOMETRI

Identitas trigonometri adalah persamaan trigonometri yang berlaku untuk semua nilai pengganti variabelnya. Beberapa rumus dasar :

1. Sin2_{x + Cos}2_{x = 1} Sin2_{x = 1 – Cos}2_x Cos2_{x = 1 – Sin}2_x 2. 1 + tan2_{x = sec}2_x

(9)

Tan2_{x = sec}2_{x – 1} 3. 1 + cotg2_{x = cosec}2_x

1 = cosec2_{x – cotg}2_x Cotg2_{x = cosec}2_{x – 1}

Contoh :

1. Buktikan bahwa 5 tan2_{x + 4 = 5 sec}2_{x – 1} Jawab :

5 tan2_{x + 4 = 5 (sec}2_{x – 1) + 4} = 5 sec2_{x – 5 + 4}

= 5 sec2_{x – 1 (terbukti)} 2. Buktikan bahwa 3 cos2_{x + 3 sin}2_{x = 3}

Jawab :

3 cos2_{x + 3 sin}2_{x = 3 (cos}2_{x + sin}2_x) = 3 . 1

= 3 (terbukti)

D. RUMUS SINUS DAN COSINUS

1. Aturan Sinus

Perhatikan segitiga ABC berikut.

Berdasarkan segitiga ABC diatas, berlaku aturan sinus sebagai berikut:

a SinA=

b SinB=

c SinC

Contoh :

1. Pada segitiga ABC, b = 1,

∠

B

=

30

0

,

∠

C

=

53

,

1

0 . Hitunglah c.

Jawab : b SinB=

c

SinC ⇔ c=

bSinC SinB C

b a

B

(10)

=

12Sin53,1

Sin30

=

12.0,8

0,5

=

9,6

0,5

=

19

,

2

2. Pada segitiga ABC diketahui sisi b = 65, sisi c = 46.

∠

B

=

68

,

2

_{. Hitunglah} ∠C

b SinB=

c

SinC ⇔ _{Sin C =}

cSinB b =

46Sin68,2 65

=

46x0,928 65

=

42,710 65

=

0,657

∠C _{= 41,1}

2. Aturan Cosinus

Perhatikan segitiga ABC berikut ini :

Berdasarkan segitiga tersebut berlaku :

a2_{= b}2_{+ c}2_{– 2bc cos} _α b2_{= a}2_{+ c}2_{– 2ac cos} _α c2_{= a}2_{+ b}2_{– 2ab cos} _α Contoh :

1. Diketahui segitiga ABC, AB = 8 cm, AC = 5 cm, ∠A = 600_.

Hitung panjang BC Jawab :

C γ

β

α

(11)

a2_{= b}2_{+ c}2_{– 2bc cos A} = 52_{+ 8}2_{– 2.5.8. cos 60} = 25 + 64 – 80. ½

= 89 – 40 = 49 a = 7 cm

E. LUAS SEGITIGA

1.Luas segitiga dengan besar dua sisi dan satu sudut apit diketahui

L = ½ b.c. sin A L = ½ a.b. sin C L = ½ a.c. sin B

2. Luas segitiga dengan dua sudut dan satu sisi yang terletak diantara kedua sudut yang diketahui.

L=a 2

.sinB. sinC

2sinA

L=b 2

. sinA.sinC

2 sinB

L=c 2

.sinA.sinB

2sinC

3. Luas segitiga dengan ketiga sisinya diketahui C

b a

B A

(12)

L

=

√

s

.

(

s

−

a

)

.

(

s

−

b

)

.

(

s

−

c

)

s = ½ . Keliling Segitiga = ½ (a + b + c)

Contoh :

1. Hitunglah luas segitiga, dengan a = 5 cm, b = 8 cm. Sudut C = 450

Jawab :

L = ½ a.b.sin C = ½ 5.8.sin 450 = 20. ½

√

2

= 10

√

2

2. Diketahui segitiga ABC dengan c = 5 cm,

∠

A

=

65

,

∠

B

=

60

. Tentukan luasnya.

Jawab :

∠C=180−65−60=55 L=c

2

.sinA.sinB

2sinC

L=5 2

.sin 65. sin 60 2sin 55

L

=

25.0,425.0,87

0,82

L

=

11

,

27

3. Hitung luas segitiga ABC, jika diketahui a = 3 cm, b = 4 cm, c = 5 cm.

Jawab :

s = ½ (a + b + c) = ½ (3 + 4 + 5) = 6

L

=

√

s

.

(

s

−

a

)

.

(

s

−

b

)

.

(

s

−

c

)

L

=

√

6.

(

6

−

3

)

.

(

6

−

4

)

.

(

6

−

5

)

L

=

√

6.3.2.1

(13)