Fuat. Buku Ajar GMKM (Seri Kongruensi Segitiga)

Fuat. Buku Ajar GMKM (Seri Kongruensi Segitiga). 2014 PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA STKIP PGRI PASURUAN.

menurut struktur logis (yang disebut sistem aksioma). Sedangkan dalam sistem aksioma tersebut, yang terpenting adalah suatu urutan pernyataan logis dari sebelumnya dan mengarah dari pernyataan yang diketahui benar ke pernyataan yang harus dibuktikan. Itulah yang menjadikan tujuan utama dalam pembelajaran geometri, yaitu membangun kemampuan membuktikan. Kemampuan membuktikan sendiri terdiri dari dua hal, yaitu dapat mengkonstruksi bukti dan dapat memvalidasi bukti. Mengkonstruksi bukti meliputi kemampuan dalam menggunakan metode pembuktian dan sistem aksioma serta model bukti yang digunakan untuk menunjukkan kebenaran suatu pernyataan (biasanya adalah suatu teorema). Sedangkan memvalidasi bukti merupakan kemampuan untuk mengkritisi bukti yang berhubungan dengan jenis-jenis pembuktian yang sering muncul. Hal itu selaras dengan kurikulum di Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI Pasuruan. Tetapi sangatlah sulit untuk memenuhi tujuan tersebut, ketambahan lagi di Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI Pasuruan menggolongkan Geometri tersebut dalam MKK Wajib dimana terdistribusi di semester I. Karena kondisi di sekolah hampir bertentangan pembelajarannya dengan tujuan dari Geometri tersebut. Kesulitan juga akan semakin lengkap jika dilihat dari langkanya buku-buku Geometri yang beredar di Indonesia, apalagi buku Geometri yang sesuai dengan tujuan tersebut (yaitu membangun kemampuan membuktikan) hampir tidak pernah dijumpai di Indonesia, sehingga bahan referensi mahasiswa juga sulit untuk dicari.. KATA PENGANTAR. Geometri dibangun menurut penalaran deduktif, dan tersusun.

Berdasar hal tersebut itulah penyusun berusaha untuk menyajikan buku ini sesuai dengan tujuan utama dari Geometri, yaitu membangun kemampuan membuktikan. Untuk itulah buku ini disebut buku GMKM (Geometri yang Membangun Kemampuan Membuktikan). Dimana buku ini adalah hasil dari tesis yang sedang dilakukan oleh penyusun. Yang masih terbatas pada materi kongruensi segitiga. Pada buku ajar GMKM ini tersaji beberapa gambar dengan tujuan agar dapat mencuri perhatian pembaca sekalian. Begitu banyaknya gambar yang disajikan pada buku ini sehingga tidak penyusun tulis sumber satu persatu dari gambar itu, dengan maksud hanya untuk memenuhi unsur keindahan dari sajian buku saja. Banyak gambar penyusun dapatkan dengan menggunakan mesin pencari Google, mulai dari cover buku ajar ini sampai dengan isinya kami susun sedemikian rupa, sedangkan aplikasi penyusun dalam membuat buku ajar ini hanya dengan menggunakan Microsoft Word. Dapat penyusun uraikan sumber selain dari Google dan Ms. Word adalah dari berbagai sumber yang telah disebutkan penyusun dalam daftar pustaka buku ajar ini. Penyusun berterima kasih sebesar-besarnya kepada Prof. Toto Nusantara, M.Si. dan Dr. I Nengah Parta, M.Si yang telah membantu penyusun selama proses penyusunan buku ajar GMKM ini. Serta Dr. Hery Susanto, M.Pd. yang telah memvalidasi buku ajar GMKM ini. Dengan segala keterbatasannya, penyusun tetap berharap buku ajar GMKM ini dapat bermanfaat. Lebih dari itu, buku ajar GMKM ini diharapkan dapat digunakan sebagai bahan diskusi, sehingga lebih melengkapi modul ini berikutnya. Kritik dan saran dapat disampaikan ke boozfuat@gmail.com. Penyusun,.

i. Daftar Isi .................................................................................................. iii. Tata Cara Penggunaan Buku Ajar GMKM ............................................... iv. Daftar Simbol ........................................................................................... viii. Kompetensi ............................................................................................. ix. 1. Definisi dan Sifat Kongruensi Segitiga ......................................... 2. 2. Kekongruenan Segitiga ................................................................ 10. 3. Teorema Segitiga Sama Kaki dan Segitiga Sama Sisi ................... 20. 4. Jarak, Proyeksi, Bisektor Tegaklurus, dan Ketunggalan .............. 26. 5. Hubungan antar Sudut pada Segitiga ......................................... 35. 6. Ketidaksamaan pada Segitiga ..................................................... 42. Daftar Soal Pendalaman dan Pengayaan ................................................ 48. Daftar Pustaka ......................................................................................... 55. Glosarium ................................................................................................ 57. Indeks ...................................................................................................... 59. DAFTAR ISI. Kata Pengantar ........................................................................................

TATA CARA PENGGUNAAN. Buku ajar GMKM ini dapat membangun kemampuan membuktikan maka pembaca harus mengikuti tugas-tugas yang terdapat pada buku ini, yaitu 1.. mengkonstruk definisi berdasar informasi yang telah diberikan,. 2.. memahami aksioma,. 3.. memvalidasi bukti (terkait tentang keruntutan bukti sesuai dengan prinsip logika, keefektifan bukti, kebenaran pernyataan dan alasan bukti, serta membuat atau melengkapi langkah mengembangkan kerangka bukti atau menulis bukti), dan. 4.. mengkonstruk bukti.. Hal tersebut terlihat dalam bagian-bagian dari buku ajar GMKM ini adalah sebagai berikut:. Awal bab, berisi keterkaitan materi bab dalam kehidupan nyata. Tugas mahasiswa dalam membangun kemampuan membuktikan.

Memahami aksioma. Informasi atau penjelasan lebih lanjut. Mengembangkan kerangka bukti.

Menulis bukti, dengan model bukti paragraf. Selain itu ada model bukti dua kolom dan bukti alir. Melukis obyek geometri menggunakan penggaris dan jangka (RisKa). Latihan Bab, terdapat di akhir Bab.

Penutup dari buku ini, daftar soal pendalaman dan pengayaan.

DAFTAR SIMBOL. ⃖ ⃗. ∙. Titik A. ⃗. Garis AB. ∠. .∠. Tegak lurus. ≅. Segitiga ABC. →. Kongruen. Jika …, maka…. >. …jika dan hanya jika…. Lebih dari atau sama dengan. ∆. Bisektor Segmen AB. ↔. ≥. Ukuran sudut A. .. Bisektor Sudut A. ⏊. ∠. Sudut A. Ukuran Segmen AB. Segmen AB. Sinar AB. <. Lebih dari. ≤. Kurang dari atau sama dengan. Kurang dari. =. Sama dengan. ≠. Tidak sama dengan.

Kompetensi. Kongruensi Segitiga Standar Kompetensi: Memahami konsep-konsep geometri serta dapat mengkonstruk dan memvalidasi bukti terkait konsep-konsep geometri tersebut. Kompetensi Dasar: Setelah mengikuti bab ini mahasiswa dapat mengkonstruk dan memvalidasi bukti terkait materi pokok, pengembangan dan pengayaan kongruensi segitiga. Indikator: Setelah diberikan pembelajaran mengenai kongruensi segitiga, mahasiswa dapat:. 1.. Mengkonstruksi bukti terkait materi pokok, pengembangan dan pengayaan kongruensi segitiga.. 2.. Memvalidasi bukti terkait materi pokok, pengembangan dan pengayaan kongruensi segitiga.. Buku Ajar GMKM_. 1.

Definisi & Sifat Kongruensi Segitiga. Apa ini??? Masjid Faisal terletak di sebelah paling utara Islamabad, ibukota Pakistan. Namanya diambil dari nama pendirinya, Raja Faisal Bin Abdul Aziz dan ditetapkan sebagai Masjid Nasional Pakistan. Tidak seperti masjid di Asia pada umumnya, Masjid Faisal tidak memiliki kubah maupun arca. Bentuknya yang tidak biasa, terinspirasi dari tenda yang didirikan salah satu suku Arab, Bedouin. Terdapat empat pintu masuk dengan bentuk segitiga besar yang keempatnya kongruen.. Pada definisi korespondensi satu-satu dua poligon di bab sebelumnya, setiap dua poligon dapat dikaitkan atau dipasangkan satu-satu secara berurutan diantara sudut-sudut dan sisi-sisi dari dua poligon tersebut. Apabila ditinjau dengan kongruensi segmen dan kongruensi sudut pada masing-masing sudut dan sisi yang telah dikorespondensikan tersebut, maka anda dapat mempelajari tentang definisi kongruensi segitiga.. Bentuk segitiga disini berbeda dengan jenis segitiga, berikut jenisnya sama tapi bentuknya berbeda. Perhatikan beberapa bentuk bangun di atas. Kemudian korespondensikan satu-satu ∆. dengan segitiga yang lain pada gambar. tersebut, dan kemudian cari kekongruenan dari masing-masing korespondingnya. Jika ∆. dikorespondensikan satu-satu dengan ∆. , maka ada. tiga kemungkinan korespondensi sudutnya dan sisinya. Tiga kemungkinan korespondensi sudut dan sisinya diuraikan sebagai berikut: Kemungkinan korespondensi sudut ∠ ↔ ∠ , ∠ ↔ ∠ dan ∠ ↔ ∠ ∠ ↔ ∠ , ∠ ↔ ∠ dan ∠ ↔ ∠ ∠ ↔ ∠ , ∠ ↔ ∠ dan ∠ ↔ ∠. 2 _Buku Ajar GMKM. Kemungkinan korespondensi sisi ↔ , ↔ dan ↔ ↔ , ↔ dan ↔ ↔ , ↔ dan ↔.

Jika masing-masing kemungkinan koresponding tersebut kita gunakan definisi kongruensi sudut dan kongruensi segmen, maka dari semua kemungkinan koresponding tersebut baik korespondensi sudut dan sisinya, ada beberapa yang tidak kongruen. Apabila yang dikorespondensikan satu-satu adalah ∆. dan ∆. , maka ada tiga kemungkinan korespondensi sudutnya dan. sisinya. Tiga kemungkinan korespondensi sudut dan sisinya diuraikan sebagai berikut: Kemungkinan korespondensi sudut ∠ ↔ ∠ , ∠ ↔ ∠ dan ∠ ↔ ∠ ∠ ↔ ∠ , ∠ ↔ ∠ dan ∠ ↔ ∠ ∠ ↔ ∠ , ∠ ↔ ∠ dan ∠ ↔ ∠. Kemungkinan korespondensi sisi ↔ , ↔ dan ↔ ↔ , ↔ dan ↔ ↔ , ↔ dan ↔. Dari ketiga kemungkinan korespondensi sudut tersebut hanya koresponding ∠ ↔ ∠ , ∠ ↔ ∠ dan ∠ ↔ ∠ yang semuanya kongruen. Sedangkan. semua kemungkinan koresponding sisi tersebut tidak ada yang kongruen. Dan jika pada ∆. dan ∆. dikorespondensikan satu-satu, maka juga ada tiga. kemungkinan korespondensi pada masing-masing sudut dan sisinya. Dari semua kemungkinan koresponding sudut dan sisinya, menurut anda bagaimana kongruensi pada masing-masing korespondingnya tersebut? Kondisi yang seperti inilah yang disebut kongruensi segitiga.. Konstruk Definisi Kongruensi Segitiga berdasar informasi di samping!. Berdasarkan uraian terakhir tentang definisi kongruensi segitiga tersebut, terdapat hubungan antara korespondensi segmen garis dan korespondensi sudut. Pada korespondensi segmen garis dan korespondensi sudut, terdapat sifat-sifat pada masing-masing korespondensi tersebut. Sifat tersebut antara lain refleksif, simetri dan transitif. Untuk itu pembahasan berikut akan membahas ketiga sifat tersebut berlaku pada kongruensi segitiga atau tidak. Yaitu sebagai berikut: Teorema 5.1.1 (Teorema Refleksif Segitiga): Setiap segitiga kongruen dengan segitiga itu sendiri [8]. Mengembangkan Kerangka Bukti Mengidentifikasi hipotesis dan konklusi Hipotesis. : segitiga dengan segitiga itu sendiri. Konklusi. : segitiga kongruen dengan segitiga itu sendiri Buku Ajar GMKM_. 3.

Menyusun rencana Saya akan membuktikan segitiga kongruen dengan segitiga itu sendiri. Ditunjukkan semua sisi dan sudut segitiga tersebut reflektif. Hal ini benar dengan menggunakan teorema refleksif segmen garis dan sudut. Menulis Bukti Memilih model bukti. Bukti alir. Menulis langkah-langkah bukti, Diketahui Buktikan. :∆. Bukti. :. :∆. Definisi segitiga. Teorema ∠ ≅ ∠ Refleksif Sudut. ≅∆. Poligon yang mempunyai 3 sisi. Teorema ∠ ≅∠ Refleksif Sudut Definisi Kongruensi ∆ Segitiga. Baca bukti di samping & Tulis kembali dengan model bukti dua kolom!. Teorema Refleksif Segmen. ≅. Definisi segitiga. Teorema Refleksif Segmen. ≅∆ ≅. Poligon yang mempunyai 3 sisi. Diketahui. ∆. Teorema ∠ ≅∠ Refleksif Sudut (Terbukti). Teorema Refleksif Segmen. ∆. ≅. Diketahui. Teorema 5.1.2 (Teorema Simetri Segitiga): Jika segitiga pertama kongruen dengan segitiga kedua, maka segitiga kedua kongruen dengan segitiga pertama. Mengembangkan Kerangka Bukti Mengidentifikasi hipotesis dan konklusi 4 _Buku Ajar GMKM.

Hipotesis. : segitiga pertama kongruen segitiga kedua. Konklusi. : segitiga kedua kongruen segitiga pertama. Menyusun rencana Saya akan membuktikan segitiga kedua kongruen segitiga pertama. Ditunjukkan semua sisi segitiga kedua dan segitiga pertama serta sudutnya simetri. Hal ini benar dengan menggunakan, definisi kongruensi segitiga, teorema simetri segmen garis dan sudut. Menulis Bukti Memilih model bukti. Bukti dua kolom. Menulis langkah-langkah bukti, Diketahui Buktikan. :∆. Bukti. :. No. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17.. ∆ ∆. ∠ ∠ ∠ ∠ ∠ ∠ ∆. :∆. ≅. ≅∆. ≅∆ ≅ ≅ ≅ ≅ ≅ ≅ ≅ ≅∠ ≅∠ ≅∠ ≅∠ ≅∠ ≅∠ ≅∆. ≅∆. ≅∆. Pernyataan. Alasan. Diketahui Definisi kongruensi segitiga Teorema refleksif segitiga Teorema refleksif segmen garis Teorema transitif segmen, no 2 & 4 Teorema simetri segmen garis Definisi kongruensi segitiga Teorema simetri segmen garis Definisi kongruensi segitiga Teorema simetri segitiga Definisi kongruensi segitiga Teorema simetri segmen garis Definisi kongruensi segitiga Teorema refleksif segmen garis Definisi kongruensi segitiga Teorema simetri segmen garis Definisi kongruensi segitiga (Terbukti). Validasi bukti di samping, dengan mengecek runtutan serta kebenaran pernyataan dan alasan yang disajikan & Tulis kembali dengan model bukti paragraf!. Teorema 5.1.3 (Teorema Transitif Segitiga): Jika segitiga pertama kongruen segitiga kedua dan segitiga kedua kongruen dengan segitiga ketiga, maka segitiga pertama kongruen dengan segitiga ketiga.. Buku Ajar GMKM_. 5.

Mengembangkan Kerangka Bukti Mengidentifikasi hipotesis dan konklusi Hipotesis. : segitiga pertama kongruen segitiga kedua dan segitiga kedua kongruen segitiga ketiga. Konklusi. : segitiga pertama kongruen dengan segitiga ketiga. Menyusun rencana Saya akan membuktikan segitiga pertama kongruen segitiga ketiga. Ditunjukkan semua sisi dan sudutnya transitif. Hal ini benar dengan menggunakan teorema transitif segmen garis dan sudut. Menulis Bukti Memilih model bukti. Bukti model paragraf. Menulis langkah-langkah bukti, Diketahui TRANSITIF. Buktikan. :∆. Bukti. :. :∆. Diketahui ∆ didapat. , dengan menggunakan definisi kongruensi segitiga ≅. ,. , ∠ ≅ ∠ , ∠ ≅ ∠ , dan ∠ ≅ ∠ .. ≅. ≅∆. segitiga. Perhatikan. ≅. ≅. ≅. 6 _Buku Ajar GMKM. ,. ≅∆. Selain itu diketahui juga bahwa ∆ ,∠. Baca bukti di samping & Tulis kembali dengan model bukti alir!. ≅∆. ≅∆. ≅. dan ∆. ≅∆. dan ∠. ,. ≅. ,. ≅. ,. ≅ ∠ , ∠ ≅ ∠ , dan ∠ ≅ ∠ dikarenakan definisi kongruensi dan ,. ≅. ≅. ≅. dan. ,. dan. ≅. ≅. ≅. , serta. , maka dengan teorema transitif segmen garis diperoleh. , dan. ≅. . Sedangkan jika dari pernyataan ∠ ≅ ∠. ≅ ∠ , ∠ ≅ ∠ dan ∠ ≅ ∠ , serta ∠ ≅ ∠ dan ∠ ≅ ∠. menggunakan teorema transitif sudut, maka ∠ ≅ ∠ , ∠ ≅ ∠ , dan ∠ ≅ ∠ . Telah didapat bahwa. ≅. ,. ≅. ,. ≅. ,∠ ≅ ∠ ,∠ ≅ ∠ ,. dan ∠ ≅ ∠ , hal ini memenuhi definisi kongruensi segitiga, maka dapat diperoleh bahwa ∆. ≅∆. . (Terbukti)..

1.. Susunan bola biliar membentuk segitiga seperti terlihat pada gambar di samping, dengan ∆ jika. ≅∆. = 2 + 7 serta. =. Penyelesaian: ∆. ≅∆. ∆. ∆. ≅∆. ∆. ≅∆. ∆. ≅∆. ,∆. ≅∆. ∆. ∆. ≅. =. =. 2 +7=. =. +5. =. +5. . Dan. D. E. .. C B. F A. ≅∆. ≅∆. ≅. 2 +7=. ≅∆. + 5, maka tentukan. ≅∆. =2 +7. ,∆. Contoh!. =. +5. − + (2 + 7) + (−7) = − + ( + 5) + (−7) (− + 2 ) + 7 + (−7) = (− + ) + 5 + (−7). = 2(−2) + 7. (− + 2 ) + 0 = 0 + 5 + (−7). = −4 + 7. − + 2 = 5 + (−7). =3. = −2. =3. Validasi bukti di samping, dengan memberikan alasan pada setiap pernyataan yang telah disajikan di samping!. Buku Ajar GMKM_. 7.

Latihan Bab 1 1. Salin dua segitiga kongruen di samping. Kemudian beri label pada titik sudutnya sehingga ∆. . Identifikasi setiap pasang sudut dan. ≅∆. sisi korespondingnya!. Untuk soal no. 2-7, Pada gambar di bawah ini, ∆. ≅∆. titik berikut! 2. 3.. ∠ =⋯. 4. ∆ 5. 6.. 270. ≅⋯. ∠ =⋯. 7. ∆ Ingat bahwa validasi itu adalah 1) membaca, 2) melengkapi jika ditemukan kekeliruan (baik dari segi keruntutatnnya atau kebenarannya), dan 3) membandingkan keefektifan bukti a dengan bukti b. V. C. =⋯. . Lengkapi titik-. T 3. 1230. A. ≅⋯. B. ≅⋯. U. Untuk soal no. 8, berikut sudah disajikan langkah menulis buktinya, tentukan langkah mengembangkan kerangka bukti a dan b serta Validasi bukti a dan b, 8. Jika ∆. ≅∆. adalah siku-siku.. ,∆. ≅∆. , dan ∠ = 90 , maka ∆. Bukti a. No 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12.. 8 _Buku Ajar GMKM. ∆ ∠ ∠ ∠ ∠ ∠ ∆ ∠ ∠ ∠ ∠ ∆. Pernyataan ≅∆ ≅∠ = ∠ = ∠ = 90 = 90 ≅∆ ≅∠ = ∠ = ∠ = 90 siku-siku. Alasan Teorema simetri segitiga Definisi kongruensi segitiga Definisi kongruensi segitiga Sifat simetri bilangan real Diketahui Teorema refleksif sudut Diketahui Definisi kongruensi segitiga Definisi kongruensi segmen Sifat simetri bilangan real Sifat transitif bilangan real, no 10 & 6 Definisi segitiga siku-siku (Terbukti).

Bukti b. Diketahui ∆. ≅∆. diperoleh bahwa ∆. dan ∆. ≅∆. ≅∆. . Dari dua pernyataan tersebut dapat. , teorema transitif segitiga. Diketahui pula bahwa. ∠ = 90 , dan ∠ siku-siku dengan definisi sudut siku-siku. Karena ∠ siku-siku,. maka dapat diperoleh bahwa ∠ Dapat disimpulkan bahwa ∆. siku-siku dikarenakan definisi kongruensi segitiga.. siku-siku, dengan definisi segitiga siku-siku. (Terbukti).. Untuk soal no. 9, Konstruk bukti permasalahan 8 dengan pembuktian yang berbeda. Untuk soal no. 10 & 11, Konstruk bukti 10. Jika ∆. , maka buktikan bahwa. ≅∆. 11. Perhatikan gambar di bawah ini! Jika tengah ∆. , ≅∆. ≅ !. ,. ⊥. adalah titik tengah di titik ,. dan. adalah titik. ⃗ bisektor ∠ , serta ∠ ≅ ∠ . Buktikan bahwa. Buku Ajar GMKM_. 9.

Kekongruenan Segitiga Apa ini??? Fixed Gear bicycle atau Fixed Wheel bicycle, kemudian di kenal di USA dengan istilah Fixie. Sebuah alat transportasi sepeda tanpa menggunakan Free Wheel. Sproket (gear belakang) tanpa free wheel langsung menancap pada fixed Hub. Ketika roda belakang berputar maka pedal akan berputar searah dengan putaran roda belakang.. Pada subbab sebelumnya, untuk menyatakan dua segitiga itu kongruen maka terlebih dahulu nyatakan bahwa semua sisi dan sudut yang berkorespondensi antara dua segitiga tersebut adalah kongruen, berarti harus mencari enam bagian dari segitiga pertama kongruen dengan enam bagian segitiga kedua. Berdasar hal tersebut maka begitu banyaknya langkah untuk membuktikan dua segitiga itu kongruen.. Dua titik sudut dari titik pangkal dari sisi disebut titik sudut berturutan. Contoh, dan adalah titik sudut berturutan.. Jika. Semua sisinya kongruen. &. Semua sudutnya Maka kongruen. Dua segitiga tersebut kongruen. Aksioma-aksioma berikut menyederhanakan langkah untuk membuktikan dua segitiga kongruen, dalam hal ini berarti bahwa dengan menggunakan aksioma ini tidak perlu mencari semua sisi dan sudutnya kongruen atau tidak perlu lagi mencari enam pasang bagian kongruen. Tetapi hanya perlu mencari tiga pasang bagian yang berkorespondensi adalah kongruen. Aksioma-aksioma itu adalah sebagai berikut:. 10 _Buku Ajar GMKM.

Aksioma 5.2.1 (Aksioma S-Sd-S): Dua segitiga dikatakan kongruen jika dua sisi dan sudut apit dari dua sisi tersebut dari segitiga pertama kongruen dengan bagian-bagian korespondingnya pada segitiga kedua [19]. Pada aksioma di atas, dua ∆ sebagai ∆. dan ∆. A. C. disebut kongruen, dinotasikan. P. , jika ada korespondensi satu-satu antara dua segitiga. ≅∆. R. tersebut (misal korespondingnya adalah ∆. ↔∆. B. ), dan memenuhi. Q. salah satu dari tiga kondisi kekongruenan berikut ini: a.. ≅. b. 2.. ≅. ,∠ ≅ ∠ ,. ≅. ,∠ ≅ ∠ ,. c.. ≅. ≅. ,∠ ≅ ∠ ,. Tiang listrik pada gambar di samping, diketahui bahwa ,. ≅. ,∠. , serta ∠. ≅∠. ≅. dan ∠. , ∠. masing-masing adalah 1000, 300, dan 650. Tentukan ∠. ≅ ,. dan ∠. Penyelesaian:. Contoh!. ≅ !. Menulis Bukti Memilih model bukti. Bukti dua kolom. Menulis langkah-langkah bukti, Diketahui. :. ∠. Buktikan. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16.. ,. ≅. ,. = 100 , ∠. : Tentukan ∠. Bukti No 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.. ≅. :. dan ∠. Pernyataan ∠ ∆ ∠ ∠. ≅ ≅. ≅∠. ≅∆ ≅∠ ≅∠. ≅ = −. =. −. ≅ = − = − ( )+ − = ( )+ − )= + (− + (− ) + +0= +0 =. ≅. +. ,∠. ≅∠. = 30 dan ∠. , = 65. Alasan Diketahui Diketahui Diketahui Aksioma S-Sd-S (No 1, 2, & 3) Definisi kongruensi segitiga, no 4 Definisi sudut Definisi kongruensi segitiga, no 4 Definisi kongruensi segmen garis Definisi pengurangan ukuran dua segmen garis Diketahui Definisi kongruensi segmen garis Substitusi no 11 ke 9 Aksioma penambahan operasi penjumlahan Sifat assosiatif penjumlahan bilangan real Unsur invers penjumlahan bilangan real Unsur identitas penjumlahan bilangan real. Ketika sudah menulis pernyataan bahwa ∆ ≅∆ , kemudian nyatakan bagian yang kongruen, tetapi yang akan dibutuhkan dalam langkah selanjutnya.. Buku Ajar GMKM_. 11.

17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34.. Definisi kongruensi segmen garis Aksioma S-Sd-S (No 1, 6, & 17) Definisi kongruensi segitiga, no 18 Definisi kongruensi segitiga, no 18 Definisi sudut Definisi kongruensi sudut Diketahui Definisi sudut Sifat transitif bilangan real, no 22 & 24 Aksioma S-Sd-S (No 10, 21, & 19) Definisi kongruensi segitiga, no 26 Definisi kongruensi sudut Sifat simetri bilangan real Gambar Definisi suplemen Diketahui Subtitusi no 32 ke 31 Sifat penambahan operasi penjumlahan Sifat assosiatif penjumlahan bilangan real Unsur invers penjumlahan bilangan real Unsur identitas penjumlahan bilangan real Penjumlahan bilangan real Sifat transitif bilangan real, no 29 dan 38 (Terbukti). ≅∆. ≅ ∠ ≅∠ ∠ ≅∠ ∠ = ∠ ∠ = 65 ∠ = 65 ∠ = 65 ∆ ≅∆ ∠ ≅∠ ∠ = ∠ ∠ = ∠ ∠ dan ∠ bersuplemen ∠ + ∠ = 180 ∠ = 100 100 + ∠ = 180 )= −100 + (100 + ∠ −100 + 180 (−100 + 100 ) + ∠ = −100 + 180 0 + ∠ = −100 + 180. 35. 36.. Baca bukti di samping & Tulis Langkah Mengembangkan Kerangka Buktinya!. ≅. ∆. 37.. ∠. 38. 39.. ∠ ∠. = −100 + 180. = 80 = 80. Lukis Segitiga R P. Q. Lukis Segmen. Gunakan sebagai pusat untuk membuat busur dengan panjang sama dengan. Lukis Sudut. Gunakan. sebagai pusat untuk membuat sudut dengan ukuran sama dengan ∠ (Lihat lukis sudut). Lukis Segmen ke-2.. Gunakan sebagai pusat untuk membuat busur dengan panjang sama dengan. Aksioma 5.2.2 (Aksioma Sd-S-Sd): Dua segitiga dikatakan kongruen jika dua sudut dan sisi yang memuat sudut tersebut pada segitiga pertama kongruen dengan bagian-bagian korespondingnya pada segitiga kedua [18]. B. A C. Q. P R. Pada aksioma Sd-S-Sd hampir sama dengan aksioma S-Sd-S, yaitu dua ∆ dan ∆. disebut kongruen, dinotasikan sebagai ∆. , jika ada. ≅∆. korespondensi satu-satu antara dua segitiga tersebut (misal korespondingnya adalah ∆ a.. ↔∆. ∠ ≅∠ ,. b. ∠ ≅ ∠ ,. 12 _Buku Ajar GMKM. ), dan memenuhi salah satu dari kondisi berikut ini: ≅. ≅. ,∠ ≅ ∠. ,∠ ≅ ∠. c.. ∠ ≅∠ ,. ≅. ,∠ ≅ ∠.

3.. Menara pengintai pada gambar di samping diketahui bahwa ∠QPS ≅. Contoh!. ∠PQR dan ∠1 ≅ ∠2. Buktikan bahwa ∆PQT adalah segitiga sama kaki. Menulis Bukti. Memilih model bukti. Bukti paragraf misalnya. Menulis langkah-langkah bukti. Buktikan. :∠. Bukti. :. Diketahui. adalah segitiga sama kaki. :∆. Diketahui ∠. dan ∠1 ≅ ∠2. ≅∠. dan ∠1 ≅ ∠2, serta dengan menggunakan teorema. ≅∠. refleksif segmen didapat bahwa ∠ ∆. ,. ≅. . Kemudian pernyataan ∠. dan ∠1 ≅ ∠2 memenuhi aksioma Sd-S-Sd, maka ∆. ≅. . Dari pernyataan ∠. diperoleh ∠. = ∠. ∠1 = ∠. dan ∠1 = ∠2 melalui definisi kongruensi sudut.. + ∠1 = ∠. = ∠. + ∠2. Subtitusi ∠1 = ∠2 ke ∠. + ∠2, diperoleh ∠. ∠2) + (− ∠2) = ( ∠. ≅. dan ∠1 ≅ ∠2 yang diketahui tersebut,. ≅∠. Dengan definisi penjumlahan ukuran dua sudut, maka ∠ menjadi ∠. ≅. + ∠2 = ∠. +. + ∠2. ( ∠. +. + ∠2) + (− ∠2), aksioma penambahan operasi. penjumlahan. Dengan sifat assosiatif penjumlahan, maka pernyataan tersebut menjadi ∠ ∠. +. ∠2 + (− ∠2) = ∠. +. ∠2 + (− ∠2) . ∠. =. , berturut-turut karena unsur invers penjumlahan bilangan real dan. unsur identitas penjumlahan bilangan real. Dikarenakan definisi kongruensi sudut, maka didapat ∠ bahwa ∆. ≅∆. ≅∠. . Perhatikan bahwa sebelumnya didapat. , menurut definisi kongruensi segitiga maka. dan ∠3 ≅ ∠4. Dikarenakan ∠. ≅∠. memenuhi aksioma Sd-S-Sd sehingga ∆. ,. ≅∆. ≅. dan ∠3 ≅ ∠4,. . Kemudian. ≅. ≅. , ,. karena definisi kongruensi segitiga. Kemudian dengan definisi segitiga sama kaki, diperoleh bahwa ∆. Tulis kembali dengan model Bukti dua kolom!. adalah segitiga sama kaki. (Terbukti).. Lukis Segitiga X V. Lukis Segmen.. Gunakan sebagai pusat untuk membuat busur dengan panjang sama dengan. Lukis Sudut.. Gunakan sebagai pusat untuk membuat sudut dengan ukuran sama dengan ∠. Lukis Sudut ke-2.. Lukis Titik Potong.. Gunakan sebagai Perpanjang sinar dari pusat untuk ∠ dan ∠ sehingga membuat sudut berpotongan, di titik dengan ukuran sama dengan ∠. Buku Ajar GMKM_. 13. W.

Aksioma 5.2.3 (Aksioma S-S-S): Jika ketiga sisi pada sebuah segitiga adalah CR. A. P. kongruen terhadap sisi-sisi yang berkorespondensi pada segitiga yang kedua, maka dua segitiga tersebut kongruen [8]. Tidak seperti pada aksioma sebelumnya yang terdapat tiga kondisi untuk. Q. B. memenuhi aksioma tersebut, tetapi dua ∆ dinotasikan sebagai ∆. dan ∆. disebut kongruen,. , jika ada korespondensi satu-satu antara. ≅∆. dua segitiga tersebut (misal korespondensinya adalah ∆ memenuhi kondisi berikut Contoh!. 4.. ≅. V. ≅. ,. ≅. .. Rumah anjing pada gambar di samping diketahui bahwa ∆ adalah segitiga sama kaki,. U. ,. , serta ∠. ≅. ,∠. adalah sudut siku-siku. Buktikan bahwa ∆. dan ∆. dan ∠. ,∠. .. ≅∆. Menulis Bukti Memilih model bukti. Bukti alir.. ), dan. ↔∆. Menulis langkah-langkah bukti dan ∆. ∆ ≅. adalah segitiga sama kaki. ∆. ≅∆. ∠. ≅∠. = 90. ∠. = 90. 90 = ∠ ∠. ≅∠ ∆. ∠. = ∠. ≅∆. ≅. ≅. ∠. ≅∠. ∠. ≅∠. =. +. =. =. Validasi bukti di samping, dengan memberikan alasan pada setiap pernyataan yang telah disajikan di samping serta anak panah sebagai urutan bukti! 14 _Buku Ajar GMKM. siku-siku. ,∠ ∠. ≅. ≅. ∠. +. =. + (. + +. ∆. ≅∆. ≅. + ) + (−. )=(. + (−. ) = =. + +. ) + (− + (− +0=. ) ) +0.

Lukis Segitiga C. Lukis Segmen.. Lukis Segmen ke-2.. Gunakan sebagai pusat untuk membuat busur dengan panjang sama dengan . Diperoleh. Gunakan sebagai pusat untuk membuat busur dengan panjang sama dengan. Lukis Segmen ke-3.. Gunakan sebagai pusat untuk membuat busur dengan panjang sama dengan . Diperoleh. A. Hubungkan Semua Titik. Buat segmen. B. yang menghubungkan tiap titik yang telah diperoleh sebelumnya. Selain ketiga aksioma di atas yang berfungsi untuk menyederhanakan langkah dalam menentukan kongruensi dua segitiga, berikut ada beberapa teorema turunan dari ketiga aksioma di atas yang fungsinya sama dengan ketiga aksioma di atas. Teorema tersebut adalah sebagai berikut, Teorema 5.2.1 (Teorema K-K): Dua segitiga siku-siku kongruen, jika kedua kaki siku-siku pada segitiga pertama kongruen dengan kedua kaki siku-siku dari segitiga yang kedua [5]. Menulis Bukti Memilih model bukti. Bukti dua kolom.. D. C. E. Menulis langkah-langkah bukti, Diketahui Bukti. :. No. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11.. :∆. ≅. dan ∆. dan. Pernyataan ∠ ∠ ∠ ∠ ∆ 90 ∠ ∠ ∆. ≅ siku-siku = 90 siku-siku = 90 dan ∆ = ∠ = ∠ ≅∠ ≅ ≅∆. siku-siku. siku-siku ≅. A. B. F. Alasan. Diketahui Definisi ukuran sudut siku-siku Definisi segitiga siku-siku Definisi ukuran sudut siku-siku Definisi segitiga siku-siku Diketahui Sifat simetri bilangan real Sifat transitif bilangan real, no 3 & 7 Definisi kongruensi sudut Diketahui Aksioma S-Sd-S, (No. 1, 9 & 10). (Terbukti). Tulis langkah Mengembangkan Kerangka Bukti dan Validasi bukti di samping!. Buku Ajar GMKM_. 15.

F *. Teorema 5.2.2 (Teorema M-K): Dua segitiga siku-siku kongruen, jika sisi miring dan satu kaki siku-siku segitiga pertama kongruen dengan sisi miring dan satu kaki siku-siku dari segitiga yang kedua [30].. E. D P 4 2. A. X *. 3. Mengembangkan Kerangka Bukti Mengidentifikasi hipotesis dan konklusi. C. Hipotesis :. sisi miring dan satu kaki siku-siku segitiga pertama kongruen dengan sisi miring dan satu kaki siku-siku dari. 1. segitiga yang kedua. B. Konklusi. :. Dua segitiga siku-siku kongruen. Menyusun rencana Saya akan membuktikan dua segitiga siku-siku kongruen. Dibuat segitiga pada segitiga kedua yg kongruen segitiga pertama, lalu dicari segitiga yang dibuat tadi kongruen segitiga kedua.. Menggunakan teorema transitif segitiga. Menulis Bukti Memilih model bukti. Bukti paragraf. Menulis langkah-langkah bukti, Diketahui Aksioma konstruksi sudut sampai dengan memperpanjang sehingga kongruen dengan segitiga sebelumnya, merupakan proses melukis ∆ pada dengan cara aksioma S-Sd-S. Buktikan Bukti. :∆. siku-siku di ≅. :∆ :. ,. ≅∆. ≅. Dengan aksioma konstruksi sudut, diperpanjang sehingga ∠. ≅. ≅ ∠ serta diketahui. dan ∆. pada. siku-siku di .. ≅ ∠ . Kemudian ⃖ ⃗. ada ∠. , karena aksioma garis. Dari , didapat bahwa ∆. ≅. ≅∆. dikarenakan aksioma S-Sd-S. Definisi kongruensi segitiga dari ∆ diperoleh. segmen garis. ≅. . Diketahui bahwa. ≅. . Dari. transitif segmen garis diperoleh. ≅. ≅. dan ≅. dan. ≅. ≅∆. , dan dengan teorema simetri. ≅. . Lihat ∆. dikenakan teorema , dengan teorema. segitiga sama kaki (Lihat teorema 5.3.1, pada subbab setelah ini) maka. 16 _Buku Ajar GMKM.

diperoleh ∠4 ≅ ∠3. Kemudian diketahui bahwa ∆. siku-siku di. dan ∆. siku-siku di , karena definisi segitiga siku-siku diperoleh ∠ siku-siku dan ∠. siku-siku dan dengan definisi sudut siku-siku diperoleh bahwa ∠ = 90 dan ∠ = 90 . Kembali pada ∆. , dengan definisi kongruensi segitiga. ≅∆. didapat ∠ ≅ ∠ berarti dengan definisi kongruensi segmen garis bahwa. ∠ = ∠ . Karena ∠ = ∠ dan ∠ = 90 , maka ∠ = 90 dengan. aksioma transitif bilangan real dan 90 = ∠ dengan aksioma simetri bilangan real. ∠ = 90 dan 90 = ∠ didapat ∠ = ∠ , dikarenakan aksioma. transitif bilangan real. Serta ∠ = ∠ dengan menggunakan aksioma simetri bilangan real, dan definisi penjumlahan ukuran dua segmen didapat ∠4 +. S-Sd-S, Sd-S-Sd, S-S-S, KK, M-K dan Sd-Sd-S menggunakan bagian yang berkorespondensi untuk membuktikan dua segitiga kongruen. Sedangkan definisi kongruensi segitiga untuk membuktikan kongruensi bagian yang berkorespondensi. ∠2 = ∠3 + ∠1. Lihat kembali bahwa ∠4 ≅ ∠3, dengan definisi kongruensi. sudut maka ∠4 = ∠3. Disubtitusi ∠4 = ∠3 ke ∠4 + ∠2 = ∠3 + ∠1, maka menjadi ∠3 + ∠2 = ∠3 + ∠1. (− ∠3) + ( ∠3 + ∠2) =. (− ∠3) + ( ∠3 + ∠1) karena aksioma penambahan operasi penjumlahan, serta (− ∠3) + ∠3 + ∠2 = (− ∠3) + ∠3 + ∠1 karena aksioma assosiatif penjumlahan bilangan real. Kemudian dengan berturut-turut. menggunakan unsur invers penjumlahan bilangan real dan unsur identitas penjumlahan bilangan real maka didapat ∠2 = ∠1. Dengan definisi. kongruensi sudut ∠2 ≅ ∠1, dan dengan convers teorema segitiga sama kaki (Lihat teorema 5.3.2, pada subbab setelah ini). . Dari. ≅. ∠ = ∠ dengan definisi kongruensi sudut ∠ ≅ ∠ , serta. diperoleh bahwa ∆ simetri segitiga ∆ bahwa ∆. ≅∆. ≅. , dan dapat. ≅. karena aksioma S-Sd-S. Dengan teorema. ≅∆. , dan ∆. ≅∆. ≅∆. maka dapat disimpulkan. dikarenakan teorema transitif segitiga. (Terbukti). Konstruk pembuktian yang beda dengan bukti di samping!. Tidak seperti dua teorema di atas yang dikhususkan hanya untuk segitiga siku-siku, teorema berikut (seperti tiga aksioma sebelumnya) dapat digunakan pada semua jenis segitiga, yaitu sebagai berikut: Teorema 5.2.3 (Teorema Sd-Sd-S): Jika dua sudut dan sisi yang tidak terletak di antara dua sudut dari segitiga pertama adalah kongruen ke koresponding dua sudut dan sisi yang tidak terletak di antara dua sudut segitiga yang lain, maka segitiga tersebut kongruen [31]. B. A C. E. D F. Kesulitan apa yang dihadapi ketika mengKonstruk pembuktian teorema di samping!. Buku Ajar GMKM_. 17.

Latihan Bab 2 1.. Salin dua segitiga kongruen di samping. Kemudian beri label pada titik sudutnya sehingga ∆. ≅∆. . Identifikasi tiga pasang. korespondingnya sehingga memenuhi aksioma dan pernyataan pada bab 2 di atas!. Untuk soal no. 2 -4, Pada gambar di bawah ini, tentukan koresponding ketiga yang kongruen sehingga akan membuktikan bahwa dua segitiga di bawah adalah kongruen! Dan tentukan menggunakan aksioma atau teorema apa? 2.. 3.. 4.. Untuk soal no. 5, berikut sudah disajikan langkah menulis buktinya, tentukan langkah mengembangkan kerangka bukti a dan b serta Validasi bukti a dan b, 5.. Diketahui ∆ dan. 18 _Buku Ajar GMKM. ≅. siku-siku di , ∆. . Buktikan bahwa ∆. siku-siku di , ∠ ≅∆. !. ≅∠. ,.

Bukti a. ∆. siku-siku di. Diketahui. ∆. siku-siku di. ∠. siku-siku. Definisi segitiga. ∠. siku-siku. ∠. = 90. Definisi sudut siku-siku. ∠. = ∠. Teorema transitif sudut. ∠. ≅∠. ∠. ≅∠. ∠. = 90. Diketahui. Definisi segitiga. Definisi sudut siku-siku. Ingat bahwa validasi itu adalah 1) membaca, 2) melengkapi jika ditemukan kekeliruan (baik dari segi keruntutatnnya atau kebenarannya), dan 3) membandingkan keefektifan bukti a dengan bukti b. Definisi kongruensi sudut. Diketahui. ∆. ≅∆. Teorema Sd-Sd-S. (Terbukti) Diketahui. ≅. Bukti b.. No 1. 2. 3. 4. 5. 6.. ∆ ∆ ∠ ∆. Pernyataan siku-siku di siku-siku di ≅ ≅. Alasan Diketahui Diketahui Diketahui Teorema refleksif segitiga Diketahui Teorema K-K (Terbukti). ≅∠ ≅∆. Untuk soal no. 6-8, Konstruk bukti berikut! 6.. Jika pada gambar di samping diketahui bahwa ∠1 ≅ ∠2 dan ∠3 ≅ ∠4,. 7.. maka buktikan ∆. 8.. Dari soal no 6 di atas, buktikan. ≅∆. 12. !. Dari soal no 6 di atas, buktikan ∆. ≅∆. !. adalah bisektor tegaklurus. ! 34. Buku Ajar GMKM_. 19.

Teorema Segitiga Sama Kaki dan Segitiga Sama Sisi. Apa ini??? The Three Pagodas adalah suatu rangkaian menara pagoda yang diatur letaknya sehingga jika tiga menara tersebut sebagai titik sudutnya maka akan membentuk segitiga sama sisi, dekat kota Dali, propinsi Yunnan, Cina, berasal dari zaman Kerajaan Nanzhao dan Kerajaan Dali. Pada sub bab berikut akan dibahas tentang beberapa teorema yang berlaku pada segitiga sama kaki dan segitiga sama sisi. Tetapi untuk memulai membahas hal tersebut diperlukan definisi interior segitiga dan aksioma Pasch yang akan diuraikan sebagai berikut. P A. Himpunan titik sedemikian sehingga jika suatu sinar yang. C S. R. Q. berpangkal di titik sudut dan melalui sebarang titik dari himpunan tersebut B maka sinar-sinar itu berada diantara kaki-kaki sudut disebut sebagai interior sudut. Jika interior ∠ dan ∠ diinterpretasikan seperti pada gambar di. samping, dimana salah satu sinar (kaki sudutnya) dari masing-masing sudut tersebut segaris tapi bukan dua sinar yang berlawanan serta sinar yang lain dari dua sinar tersebut berpotongan. Maka dari dua sudut tersebut terbentuk sebuah segitiga. Apabila diletakkan titik , ,. dan. seperti pada gambar di. samping, maka keempat titik tersebut berbeda ditinjau dari ∠ dan ∠ . Perbedaan keempat titik tersebut diuraikan pada tabel berikut: Titik. Konstruk Definisi Interior Segitiga!. Ditinjau dari ∠ Eksterior Interior … …. Dilihat dari tabel di atas, titik. Ditinjau dari ∠ Interior Eksterior … …. salah satu contoh titik dari himpunan titik yang. terletak di interior segitiga tersebut. Sedangkan titik contoh titik di eksterior segitiga, dan titik segitiga.. 20 _Buku Ajar GMKM. dan. merupakan. merupakan contoh titik pada.

Selain definisi interior segitiga di atas. agar dapat menguraikan teorema segitiga sama kaki, maka dibutuhkan aksioma Pasch. Aksioma ini membahas suatu garis pada segitiga, secara jelas sebagai berikut: Aksioma 5.3.1 (Aksioma Pasch): Suatu garis berinteraksi dengan memotong salah satu sisi segitiga dan masuk pada daerah interiornya, pasti berinteraksi dengan memotong sisi yang lain dari segitiga tersebut [19]. ⃡. Perhatikan gambar di samping bawah ini, yang memenuhi aksioma Pasch tersebut adalah seperti pada ⃡ dan ⃡. Sedangkan ⃡ dan ⃡ tidak memenuhi. aksioma Pasch dikarenakan pada ⃡ memotong salah sisi segitiga tetapi tidak. ⃡. masuk pada daerah interior segitiganya dan pada ⃡ tidak memotong salah. satu sisi segitiga. Jadi suatu garis dapat menggunakan aksioma Pasch apabila. ⃡. memotong salah satu sisi segitiga dan masuk pada interior segitiganya. Dari definisi interior segitiga dan aksioma Pasch di atas, dapat digunakan dalam membuktikan teorema berikut, Teorema 5.3.1 (Teorema Segitiga Sama Kaki): Jika dua sisi suatu segitiga adalah kongruen, maka sudut dihadapan ke dua sisi tersebut kongruen [18]. Mengembangkan Kerangka Bukti Mengidentifikasi hipotesis dan konklusi Hipotesis :. dua sisi segitiga kongruen. Konklusi. sudut dihadapan ke dua sisi tersebut kongruen. :. Menyusun rencana Saya akan membuktikan sudut dihadapan ke dua sisi tersebut kongruen. Ditunjukkan pada segitiga tersebut menjadi dua segitiga yang kongruen. Membuat garis dengan aksioma bisektor sudut dan aksioma Pasch. C. Menulis Bukti Memilih model bukti. Bukti alir. Menulis langkah-langkah bukti,. ≅. Diketahui. :. Buktikan. :∠ ≅∠. X A Buku Ajar GMKM_. D 21. ⃡. B.

Bukti. : ⃗ memotong. ⃗ bisektor ∠. Aksioma bisektor sudut. Baca bukti di samping & Tulis kembali dengan model Bukti paragraf!. ∠. = ∠. ∠. ≅∠. ≅. di titik D. Teorema refleksif Segmen. Aksioma Pasch ∠. ≅∠. ∆ ≅∆ Aksioma S-Sd-S. Definisi sudut. Definisi bisektor sudut. ∠ ≅∠. ≅. Definisi kongruensi sudut. Diketahui. Definisi kongruensi segitiga (Terbukti). Bentuk suatu teorema adalah berupa implikasi, sedangkan → . Convers dari teorema merupakan bentuk → .. ∠ ≅∠ Teorema simetri sudut. Teorema 5.3.2 (Convers Teorema Segitiga Sama Kaki): Jika dua sudut suatu segitiga adalah kongruen, maka sisi-sisi dihadapan kedua sudut tersebut kongruen [16]. Menulis Bukti Memilih model bukti. Bukti dua kolom.. C. Menulis langkah-langkah bukti, Diketahui Buktikan. : ∠ ≅∠. Bukti. :. No. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.. Tentukan langkah Pengembangan Buktinya!. :. ≅. Pernyataan. ∠ ≅∠ ⃗ bisektor ∠ ⃗ memotong ∠ = ∠ ∠ ≅∠ ≅ ∆ ≅∆ ≅ ≅. di. X A. D. B. Alasan. Diketahui Aksioma bisektor sudut Aksioma Pasch Definisi bisektor sudut Definisi kongruensi sudut Teorema refleksif segmen Teorema Sd-Sd-S, (No 1, 5 & 6) Definisi kongruensi segitiga Teorema simetri segmen garis (Terbukti). Teorema berikut merupakan akibat dari teorema segitiga sama kaki dan convers teorema segitiga sama kaki. Suatu teorema yang diakibatkan dari teorema lain biasanya disebut sebagai “Corolarry”. Teorema tersebut adalah,. 22 _Buku Ajar GMKM.

Teorema 5.3.3 (Teorema Segitiga Sama Sisi): Jika suatu segitiga adalah sama sisi, maka segitiga tersebut sama sudut [20]. Mengembangkan Kerangka Bukti Mengidentifikasi hipotesis dan konklusi Hipotesis :. segitiga sama sisi. Konklusi. segitiga sama sudut. :. Menyusun rencana Akan dibuktikan segitiga sama sudut. Ditunjukkan sudut dihadapan sisi yang kongruen adalah kongruen. Menggunakan teorema segitiga sama kaki. Menulis Bukti C. Memilih model bukti. Bukti paragraf. Menulis langkah-langkah bukti, Diketahui Buktikan. :∆. Bukti. :. sama sisi. :∆. A. sama sudut. Menurut definisi segitiga sama sisi, bahwa. ≅. . Kemudian dengan. teorema segitiga sama kaki didapat ∠ ≅ ∠ . Definisi segitiga sama sisi juga dapat diperoleh. ≅. , serta dengan teorema segitiga sama kaki didapat. juga bahwa ∠ ≅ ∠ . Dari ∠ ≅ ∠ dan ∠ ≅ ∠ , digunakan teorema. transitif sudut dapat diperoleh ∠ ≅ ∠ dan dapat disimpulkan bahwa ∠ ≅ ∠ ≅ ∠ . Dengan definisi segitiga sama sudut dapat dinyatakan bahwa ∆ sama sudut. (Terbukti).. B. Validasi bukti di samping, dengan mengecek runtutan serta kebenaran pernyataan dan alasan yang disajikan!. Buku Ajar GMKM_. 23.

Teorema 5.3.4 (Teorema Segitiga Sama Sudut): Jika sebuah segitiga adalah sama sudut, maka segitiga tersebut sama sisi [28]. Menulis Bukti Memilih model bukti. Bukti alir. Menulis langkah-langkah bukti, Diketahui Buktikan. :∆. Bukti. :. :∆. sama sudut sama sisi. sama sudut. ∆. ∠ ≅∠ ≅∠ ∠ ≅∠. Validasi bukti di samping, dengan memberikan alasan pada setiap pernyataan yang telah disajikan di samping serta anak panahnya!. 24 _Buku Ajar GMKM. ∠ ≅∠. ≅. ≅. ≅. ∆. ≅. sama sisi.

Latihan Bab 3. Untuk soal no. 1 -4, Perhatikan gambar di bawah! Isilah titik-titik berikut dan berikan alasan menggunakan teorema apa!. 1.. Jika. 2.. Jika. 3.. Jika ∠ ≅ ∠. 4.. , maka ⋯ ≅ ⋯. ≅. ≅. Jika ∠. , maka ⋯ ≅ ⋯. ≅∠. , maka ⋯ ≅ ⋯. , maka ⋯ ≅ ⋯. Untuk soal no. 5 -10, pada masing-masing pernyataan katakan kondisinya dengan kadang, selalu, atau tak pernah benar. Dukung jawaban anda dengan sketsa gambar! 5.. Segitiga sama sisi adalah segitiga sama kaki. 6.. Sudut puncak dari segitiga sama kaki kongruen dengan sudut kakinya. 7.. Segitiga sama kaki adalah segitiga siku-siku. 8.. Segitiga sama sisi dan segitiga tumpul kongruen. 9.. Sudut kaki segitiga sama kaki adalah sudut tumpul. 10. Segitiga sama kaki adalah segitiga lancip. Untuk soal no. 11 berikut sudah disajikan langkah menulis buktinya, tentukan langkah mengembangkan kerangka bukti a dan b serta Validasi bukti a dan b, 11. Jika ∆. Bukti a. No. 1. 2. 3. 4. 5. 6.. , maka ∆. ≅∆. Pernyataan ∆ ≅∆ ∆ ≅∆ ∠ ≅∠ ≅ = ∆ sama kaki. sama kaki Alasan. Diketahui Teorema simetri segitiga Definisi kongruensi segitiga Convers teorema segitiga sama kaki Definisi kongruensi segmen Definisi segitiga sama kaki (Terbukti) Buku Ajar GMKM_. 25.

Bukti b. Ingat bahwa validasi itu adalah 1) membaca, 2) melengkapi jika ditemukan kekeliruan (baik dari segi keruntutatnnya atau kebenarannya), dan 3) membandingkan keefektifan bukti a dengan bukti b. ∆. Diketahui. ≅∆. Definisi kongruensi segitiga. ≅. Definisi kongruensi segitiga. ≅. Definisi kongruensi segitiga. ≅. ∆. sama kaki. Definisi segitiga sama kaki. Untuk soal no. 12. Konstruk bukti no 11 di atas dengan pembuktian yang beda Untuk soal no. 13 - 14 Konstruk buktinya 13. Jika pada ∆ 14. Jika ∆. miring. 26 _Buku Ajar GMKM. ,. titik tengah. dan. ⊥. , maka ∆. adalah segitiga siku-siku sama kaki dan. , maka ∆. ≅∆. sama kaki. titik tengah sisi.

Jarak, Proyeksi, Bisektor, dan Tegaklurus. Apa ini??? Bercermin merupakan penggambaran nyata tentang proyeksi. Pada geometri disini yang dimaksud adalah proyeksi ortogonal. Sedangkan jenis lain dari proyeksi adalah proyeksi sentral, contohnya adalah seperti pada LCD, OHP, dll.. Seperti halnya pada subbab teorema segitiga sama kaki dan sama sisi, subbab ini juga termasuk penerapan dari kongruensi segitiga. Artinya dengan menggunakan kongruensi segitiga dapat membuktikan beberapa teorema yang terkait tentang proyeksi, bisektor tegaklurus dan ketunggalan. Tetapi sebelum mempelajari tentang teorema-teorema tersebut terlebih dahulu akan didefinisikan jarak dan proyeksi. C. G P R. F. Q. B. D. A. E. Dari dua obyek geometri tersebut (. dan. ) dapat dibuat. segmen garis yang menghubungkan dua obyek geometri tersebut. Sedangkan segmen garis hubung tersebut terdapat banyak kemungkinan segmen garis yang berbeda, misalnya. ,. ,. ,. ,. , dan lain sebagainya. Dari. beberapa segmen garis hubung tersebut, obyek. dan. disebut sebagai jarak antara. Konstruk Definisi jarak antara dua obyek!. .. Sedangkan definisi dari proyeksi tergambarkan seperti gambar di atas. Gambar di atas ada. dimana letaknya di luar ⃡. Proyeksi. pada ⃡ pada gambar di atas adalah Sedangkan pada ⃡.. ,. ,. , serta. .. bukan proyeksi. ⃖⃗ Buku Ajar GMKM_. Konstruk Definisi proyeksi titik di luar garis!. 27.

Berikut disajikan teorema pertama dalam subbab ini, yaitu teorema proyeksi. Secara lengkap teorema tersebut adalah sebagai berikut: Teorema 5.4.1 (Teorema Proyeksi): Jika dua titik dan proyeksinya berjarak sama terhadap garis yang sama, maka kedua titik tersebut berjarak sama terhadap titik-titik proyeksi yang satu terhadap yang lain [3]. Mengembangkan Kerangka Bukti Mengidentifikasi hipotesis dan konklusi Hipotesis :. dua titik dan proyeksinya berjarak sama terhadap garis yang sama. Konklusi. :. kedua titik tersebut berjarak sama terhadap titik-titik proyeksi yang satu terhadap yang lain. Menyusun rencana Saya akan membuktikan …. Tunjukkan …. Lengkapi langkah Mengembangkan Kerangka Bukti di samping!. Dengan menggunakan …. Menulis Bukti Memilih model bukti. Bukti dua kolom misalkan dipakai pada pembuktian teorema ini. Menulis langkah-langkah bukti ′. Diketahui ′. ⃖⃗. 28 _Buku Ajar GMKM. :. ′ proyeksi. ′ proyeksi. Buktikan. :. di ⃡. di ⃡. dan ′ serta dan. dan ′ berjarak sama. serta ′ dan ′ berjarak sama.

Bukti No 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30.. : Pernyataan ʹ proyeksi di ⃡ ′ ⊥⃡ ∠ ʹ ʹ siku-siku ʹ proyeksi di ⃡ ʹ ⊥⃡ ∠ ʹ ʹ siku-siku ∠ ′ ′≅∠ ′ ′. ′, ′, ′, dan ′ ′ dan ∆ ′ ′ siku-siku dan ′ serta dan ′ berjarak sama ′= ′ ′≅ ′ ′ ′≅ ′ ′ ∆ ′ ′≅∆ ′ ′ ′≅ ′ ∠ ′ ′≅∠ ′ ′ ∠ ′ ′≅∠ ′ ′ ∠ ′ ′≅∠ ′ ′ ∠ ′ ≅∠ ′ ′ dan ′ berpotongan di ∠ ′ ≅∠ ′ ∠ ′ ≅∠ ′ ∆ ′ ≅∆ ′ ≅ ′ ≅ ′ ∠ ≅∠ ′ ′ ∆ ≅∆ ′ ′ ≅ ′ ′ = ′ ′ dan serta ʹ dan ʹ berjarak sama ∆. ′,. Alasan Diketahui Definisi proyeksi Definisi tegaklurus Diketahui Definisi proyeksi Definisi tegaklurus Teorema kongruensi sudut sikusiku Aksioma titik-garis Definisi segitiga siku-siku Diketahui Definisi jarak Definisi kongruensi segmen garis Teorema refleksif segmen garis Teorema K-K, no 12 & 13 Definisi kongruensi segitiga, no 14 Definisi kongruensi segitiga, no 14 Definisi kongruensi segitiga, no 14 Teorema simetri sudut Teorema sudut berkomplemen Teorema perpotongan dua garis Definisi sudut Definisi sudut Aksioma Sd-S-Sd, no 21, 12, & 22 Definisi kongruensi segitiga, no 23 Definisi kongruensi segitiga, no 23 Teorema sudut bertolak belakang Aksioma S-Sd-S, no 24, 26, & 25 Definisi kongruensi segitiga, no 27 Definisi kongruensi segmen Definisi jarak (Terbukti). Tulis kembali dengan model Bukti alir!. Tiga teorema berikut berkaitan dengan bisektor segmen garis, bisektor sudut dan tegaklurus. Teorema berikut adalah sebagai berikut: Teorema 5.4.2 (Teorema Dua Titik Berjarak Sama): Jika dua titik masingmasing berjarak sama dari titik ujung-titik ujung suatu segmen garis, maka perpotongan garis persekutuannya merupakan bisektor tegaklurus segmen garis tadi [7]. Menulis Bukti Memilih model bukti. Bukti paragraf. Menulis langkah-langkah bukti, Buku Ajar GMKM_. 29.

Diketahui. Untuk membuktikan bisector tegaklurus, maka buktikan bahwa garis tersebut merupakan bisektor segmen dan tegaklurus segmen tersebut. :. ke. dan. ke. berjarak sama. ke. dan. ke. berjarak sama. : ⃖ ⃗ bisektor tegaklurus. Buktikan Bukti. :. Diketahui bahwa. ke. dan. ke. berjarak sama serta. berjarak sama. Menurut definisi jarak berarti bahwa. ke. dan. . Berdasar. garis. ≅. Dan ∠. dan. ≅. ,∠. .. ≅∠. .. ≅∆. dikarenakan definisi kongruensi segitiga. Sedangkan. ≅∠. didapatkan ∆ ∠. ≅. , maka dengan aksioma S-S-S diperoleh bahwa ∆. hal ini maka dengan definisi sudut ∠ ≅∠. dan. =. serta teorema refleksif segmen. ≅. menurut teorema perpotongan dua garis, ∠. juga. dan. =. , dan berdasar definisi kongruensi segmen garis didapat ≅. ke. dan. berpotongan di . Dari , dapat dituliskan bahwa. ≅∠. , karena teorema refleksif segmen garis. Dari. ≅. dan. dapat dikenakan aksioma S-Sd-S, sehingga. ≅. . Dari ∆. ≅∆. ≅. didapat bahwa. ≅∆. ≅. dan. , dikarenakan definisi kongruensi segitiga. Kemudian dengan. ≅∠. definisi segmen garis dari. ≅. , diperoleh bahwa. =. . Jika. berturut-turut menggunakan definisi titik tengah dan definisi bisektor segmen garis, maka dapat disimpulkan bahwa. bisektor. dikarenakan aksioma garis. Dari ∠ bahwa ∠. dan ∠. ⊥. bisektor. ,. dan pada gambar terlihat. ≅∠. bersisihan, maka dengan menggunakan teorema. ketegaklurusan diperoleh bahwa. Tulis kembali dengan model Bukti dua kolom!. . Dan. ⊥. . Sudah diperoleh bahwa. . Dan dengan aksioma garis, maka. bisektor. disimpulkan bahwa ⃖ ⃗ bisektor tegaklurus. dan. . (Terbukti).. ⊥. , maka dapat. Teorema 5.4.3 (Teorema Bisektor Tegaklurus): Jika suatu titik terletak pada bisektor tegaklurus segmen garis, maka titik tersebut berjarak sama dari titik ujung-titik ujung segmen garis [20]. Menulis Bukti Memilih model bukti. Bukti alir. Menulis langkah-langkah bukti, Diketahui Buktikan. 30 _Buku Ajar GMKM. : ⃖ ⃗ bisektor tegaklurus :. terletak pada ⃖ ⃗ ke. dan. ke. berjarak sama.

Bukti. : ⃖ ⃗⊥ diketahui. ∠ siku-siku Definisi tegaklurus. … Teorema berpotongan siku-siku. terletak pada ⃖ ⃗. diketahui. ∠ …. siku-siku. ∠ siku-siku Definisi sudut. dan Aksioma titik-garis. ∆ dan ∆ siku-siku Definisi segitiga siku-siku. ⃖ ⃗ bis. diketahui. … Definisi bisector segmen. = Definisi titik tengah. … Teorema refleksif segmen garis. ≅ Definisi kongruensi segmen garis. ∆ …. = Definisi kongruensi segmen garis. ke dan ke Definisi jarak. ≅∆. Validasi bukti di samping, dengan melengkapi pernyataan dan alasannya serta memberikan anak panah sebagai urutan buktinya!. ≅ Definisi kongruensi segitiga. berjarak sama (Terbukti). Buku Ajar GMKM_. 31.

Teorema ini dengan rencana pengembangannya dapat disebut dengan “Teorema Garis Bagi pada Segitiga Sama Kaki: Garis bagi yang melalui titik sudut dua sisi kongruen pada segitiga sama kaki dapat disebut garis berat dan garis tinggi”. Teorema 5.4.4 (Convers Teorema Bisektor Tegaklurus): Jika sebuah titik berjarak sama terhadap titik ujung-titik ujung sebuah segmen garis, maka titik tersebut terletak pada bisektor tegaklurus segmen garis tersebut [21]. Mengembangkan Kerangka Bukti Mengidentifikasi hipotesis dan konklusi Hipotesis :. sebuah titik berjarak sama terhadap titik ujung-titik ujung sebuah segmen garis. Konklusi. :. titik tersebut terletak pada bisektor tegaklurus segmen garis. Menyusun rencana Saya akan membuktikan …. Tunjukkan …. Lengkapi langkah mengembangkan kerangka bukti di samping!. Dengan menggunakan …. Menulis Bukti C. Memilih model bukti. Bukti dua kolom. Menulis langkah-langkah bukti. X A. D. B. Diketahui. :. Buktikan. : ⃖ ⃗ bisektor tegaklurus. Bukti No. 1.. Validasi serta lanjutkan pembuktian di samping, sehingga menjadi bukti dua kolom yang benar!. 32 _Buku Ajar GMKM. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.. dan. serta. dan. berjarak sama. :. Pernyataan. dan serta dan sama = … ⃗ bisektor ∠ … ∠ = ∠ ∠ = ∠ ∠ ≅∠ ⋮. berjarak. Diketahui. Alasan. … Definisi kongruensi segmen garis … Aksioma Pasch … … … ⋮ (Terbukti).

Latihan Bab 4. Untuk soal no. 1 - 3, Perhatikan gambar di bawah ini! Isilah titik-titik berikut dan menggunakan teorema apa? 1.. Jika. adalah bisektor tegaklurus. , maka. berjarak sama dari … dan. … 2.. Jika. dan. serta dan. 3.. Jika. berjarak sama dari. berjarak sama, maka dan , maka. ⋯. berada pada …. Untuk soal no. 4 - 5, Pada masing-masing pernyataan katakan kondisinya dengan kadang, selalu, atau tak pernah benar dan dukung jawaban anda dengan sketsa gambarnya! 4.. Garis tinggi segitiga sama sisi adalah garis bisektor tegaklurus terhadap sisinya. 5.. Sinar bisektor tegaklurus terhadap sisi alas segitiga adalah sinar bisektor sudut puncaknya. Untuk soal no. 6 - 7, Konstruk buktinya! 6.. Diantara nomor 4 dan 5 di atas, jawaban yang kondisinya selalu benar.. 7.. Titik potong antar bisektor tegaklurus dari segitiga berjarak sama dari titik sudut segitiga tersebut. Buku Ajar GMKM_. 33.

Hubungan antar Sudut pada Segitiga Apa ini??? Kapal berukuran 58,5 meter dan lebar 9,5 meter dari kelas Barquentine ini dibangun di H.C. Stulchen & Sohn Hamburg, Jerman Barat, pertama diluncurkan pada tanggal 24 Januari 1953, dan pada bulan Juli nya dilayarkan ke Indonesia oleh taruna AL dan kadet ALRI. Setelah itu KRI Dewaruci yang berpangkalan di Surabaya, ditugaskan sebagai kapal latih yang melayari kepulauan Indonesia dan juga ke luar negeri.. Pada buku geometri yang lain pembuktian teorema ini dilakukan dengan menggunakan cara kesejajaran (dua garis yang sejajar). Teorema 5.5.1 (Teorema Jumlah Ukuran Sudut Segitiga): Jumlah ukuran sudut-sudut suatu segitiga sama dengan 1800 [17]. Mengembangkan Kerangka Bukti Mengidentifikasi hipotesis dan konklusi Hipotesis :. ukuran sudut-sudut segitiga. Konklusi. jumlahnya sama dengan 1800. :. Menyusun rencana Akan dibuktikan jumlah ukuran sudut-sudutnya sama dengan 1800. Dapat ditunjukkan bahwa dapat dilukis dua sudut pada sudut yang lain sehingga ketiganya besuplemen. Hal ini benar dengan menggunakan melukis cara aksioma S-Sd-S dan definisi suplemen. Tulis langkah Menulis Buktinya!. Bukti teorema 5.5.1 (Teorema jumlah ukuran sudut segitiga) di atas, secara sederhana dapat diilustrasikan dengan gambar di samping ini. Yaitu memotong setiap sudutnya dan menggabungkannya sehingga ketiga sudutnya bersuplemen. Sehingga untuk dapat menjelaskan kebenaran dari teorema jumlah ukuran sudut segitiga pada siswa tingkat dasar dapat lebih mudah. 34 _Buku Ajar GMKM.

Teorema jumlah ukuran sudut segitiga tersebut sebagai dasar dalam menentukan kebenaran beberapa teorema berikut ini. Teorema 5.5.2 (Teorema Kongruensi Sudut Segitiga): Jika dua sudut pada suatu segitiga adalah kongruen terhadap dua sudut segitiga yang kedua, maka sudut yang ketiganya kongruen [14].. C A. B. Menulis Bukti. R P. Memilih model bukti. Bukti alir. Menulis langkah-langkah bukti, Diketahui Buktikan Bukti. :∆. dan ∆. ∠ ≅∠ ;∠ ≅∠. : ∠ ≅∠ :. ∆ diketahui. ∠ + ∠ + ∠ = 180 Teorema jumlah ukuran sudut segitiga. ∆ diketahui. ∠ + ∠ + ∠ = 180 Teorema jumlah ukuran sudut segitiga. … Aksioma simetri bilangan real. ∠ + ∠ + ∠ = ∠ + ∠ + ∠ … ∠ ≅∠ diketahui. ∠ ≅∠ diketahui. ∠ = ∠ Definisi kongruensi sudut. ∠ = ∠ Definisi kongruensi sudut ∠ + ∠ + ∠ = ∠ + ∠ + ∠ Subtitusi. … Aksioma penambahan operasi penjumlahan (Terbukti). ∠ ≅∠ Definisi kongruensi sudut. …. ∠ = ∠. 0+ ∠ =0+ ∠ Unsur invers. Validasi bukti di samping, dengan melengkapi pernyataan dan alasannya serta memberikan anak panah sebagai urutan buktinya!. Buku Ajar GMKM_. 35. Q.

D. Wiper atau pembersih kaca mobil di samping sering kita lihat. Dari C. wiper tersebut dapat anda bayangkan pergerakannya pada saat membersihkan air pada kaca mobil tersebut. Dari pergerakan wiper tersebut A. B. dapat terlihat bahwa ada hubungan antara ∠. dengan ∠. dan ∠. .. Hubungan antara sudut eksterior dengan dua sudut interior yang tidak bersisihan. Hubungan tersebut dinyatakan oleh teorema berikut,. Teorema 5.5.3 (Teorema Ukuran Sudut Eksterior Segitiga): Ukuran sudut eksterior suatu segitiga adalah sama dengan jumlah ukuran sudut interiornya yang tidak bersisihan [16]. Mengembangkan Kerangka Bukti Mengidentifikasi hipotesis dan konklusi Hipotesis :. ukuran sudut eksterior suatu segitiga. Konklusi. ukuran sudut tersebut sama dengan jumlah ukuran sudut. :. interiornya yang tidak bersisihan Menyusun rencana Saya akan membuktikan ukuran sudut eksterior sama dengan jumlah ukuran sudut interiornya yang tidak bersisihan. Akan ditunjukkan sudut eksterior dengan sudut interior yg bersisihan bersuplemen, kemudian ditransitif dng jumlah ukuran sudut segitiga. Dengan menggunakan definisi bersuplemen, teorema jumlah ukuran sudut segitiga dan aksioma transitif. Menulis Bukti Memilih model bukti. Bukti dua kolom. Menulis langkah-langkah bukti, Diketahui Buktikan Bukti No 1. 2.. 36 _Buku Ajar GMKM. :∆. ∠4 sudut eksterior. : ∠4 = ∠1 + ∠2 :. Pernyataan ∆ ∠4 sudut eksterior. Diketahui Diketahui. Alasan.

3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13.. ∠1 + ∠2 + ∠3 = 180. 180 = ∠1 + ∠2 + ∠3 ∠3 bersuplemen dengan ∠4 ∠3 + ∠4 = 180 ∠3 + ∠4 = ∠1 + ∠2 + ∠3 ( ∠3 + ∠4) − ∠3 = ( ∠1 + ∠2 + ∠3) − ∠3 ( ∠4 + ∠3) − ∠3 = ( ∠1 + ∠2 + ∠3) − ∠3 ∠4 + ( ∠3 − ∠3) = ( ∠1 + ∠2) + ( ∠3 − ∠3) ∠4 + 0 = ( ∠1 + ∠2) + ( ∠3 − ∠3) ∠4 + 0 = ( ∠1 + ∠2) + 0 ∠4 = ∠1 + ∠2. Teorema jumlah ukuran sudut segitiga Aksioma simetri bilangan real Gambar Definisi sudut-sudut bersuplemen Subtitusi no 4 ke no 6 Aksioma penambahan operasi pengurangan Aksioma komutatif bilangan real Aksioma assosiatif bilangan real. Unsur invers penjumlahan bilangan real Unsur invers penjumlahan bilangan real Unsur identitas penjumlahan bilangan real (Terbukti). Validasi bukti di samping & Konstruk bukti yang lebih sederhana!. Bukti teorema 5.5.3 (Teorema ukuran sudut eksterior segitiga) tersebut secara sederhana dapat diilustrasikan pada gambar di samping. Ilustrasi pada gambar tersebut dengan memotong sudut yang tidak bersisihan dengan sudut eksterior yang akan dicari tersebut, kemudian meletakkan potongan dua sudut tersebut ke sudut eksteriornya. Dapat terlihat bahwa ukuran sudut eksterior adalah sama dengan jumlah dua ukuran sudut interior segitiga yang tidak bersisihan dengan sudut eksterior tersebut. Teorema berikut ini membahas lebih lanjut tentang ciri khas dari segitiga siku-siku dan segitiga sama sisi. Teorema tersebut adalah sebagai berikut, Teorema 5.5. 4 (Teorema Sudut Lancip Segitiga Siku-siku): Sudut-sudut lancip pada segitiga siku-siku adalah berkomplemen [31]. Menulis Bukti Memilih model bukti. Bukti paragraf. Menulis langkah-langkah bukti, Diketahui Buktikan. :∆. Bukti. :. siku-siku di. : ∠ berkomplemen dengan ∠. Diketahui ∠ siku-siku, dengan definisi sudut siku-siku berarti ∠ = 90 . Diketahui juga bahwa ∆. , berarti ∠ + ∠ + ∠ = 180 karena. teorema jumlah ukuran sudut segitiga. Pernyataan ∠ = 90 disubtitusi. Buku Ajar GMKM_. 37.

pada ∠ + ∠ + ∠ = 180 , maka ∠ + 90 + ∠ = 180 dan. dengan aksioma komutatif ∠ + ∠ + 90 = 180 . Aksioma penambahan operasi penjumlahan, dapat diperoleh ( ∠ + ∠ + 90 ) + (−90 ) = 180 + (−90 ). Digunakan aksioma assosiatif, ( ∠ + ∠ ) + 90 +. Tulis langkah Mengembangkan Kerangka Buktinya & Konstruk bukti yang lebih efektif!. (−90 ) = 180 + (−90 ). Kemudian jika berturut-turut unsur invers, unsur. identitas penjumlahan bilangan real serta penjumlahan bilangan real maka akan diperoleh bahwa ∠ + ∠ = 90 . Hal ini berarti bahwa ∠ berkomplemen dengan ∠ , dikarenakan definisi sudut berkomplemen. (Terbukti).. Teorema 5.5.5 (Teorema Ukuran Sudut Segitiga Sama Sisi): Ukuran sudut segitiga sama sisi adalah 600 [8]. Menulis Bukti Memilih model bukti. Bukti alir.. C. Menulis langkah-langkah bukti, Diketahui. A. B. Buktikan. :∆. Bukti. :. sama sisi. : ∠ = ∠ = ∠ = 60 ∆. ∠ + ∠ + ∠ = 180 ∠ = ∠. sama sisi diketahui. Teorema jumlah ukuran sudut segitiga ∠ ≅ ∠ ≅ ∠ ∠ = ∠ = ∠. ∠ = ∠. Definisi kongruensi sudut. ∠ + ∠ + ∠ = 180. Definisi segitiga sama sisi. Substitusi. 3 ∠ = 180 Penjumlahan biangan real 3 ∠ 180 Aksioma penambahan operasi pembagian = 3 3 1× ∠ =. Validasi bukti di samping!. ∠ =. 180 3. ∠ = 60. 38 _Buku Ajar GMKM. 180 3. Unsur invers perkalian bilangan real. Unsur identitas perkalian bilangan real. Pembagian bilangan real. ∠ = ∠ = ∠ = 60 (Terbukti).

Latihan Bab 5. Untuk soal no. 1 -6, Perhatikan gambar di bawah! Isilah titik-titik berikut dan menggunakan teorema apa anda! 1. 2. 3. 4. 5. 6.. ∠1 = ⋯ ∠2 = ⋯ ∠3 = ⋯ ∠4 = ⋯ ∠5 = ⋯ ∠6 = ⋯. 40. 1 20. 2 4 3. 6. 5. Untuk soal no. 7 - 11, Lengkapi pernyataan berikut menggunakan selalu, kadang, atau tak pernah! 7.. Segitiga sama kaki adalah … segitiga sama sisi. 8.. Segitiga tumpul adalah … segitiga sama kaki. 9.. Suatu sudut interior dari segitiga dan satu dari sudut yang bersisihan dengan sudut eksterior adalah … bersuplemen. 10. Sudut lancip dari segitiga siku-siku adalah … berkomplemen 11. Segitiga … memiliki sudut siku-siku dan sudut tumpul. Untuk soal no. 12 berikut sudah disajikan langkah menulis buktinya, tentukan langkah mengembangkan kerangka bukti a dan b serta Validasi bukti a dan b, 12. Jika ukuran sudut lancip pada segitiga siku-siku adalah 4 kali ukuran sudut lancip yang lain, maka ukuran sudut lancip terkecil adalah 18 0 Bukti a. No 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.. Pernyataan ∆ siku-siku di ∠ =4 ∠ … …. ∠ + 4 ∠ = 90 5 ∠ = 90 5 ∠ 90 = 5 5. Alasan … … Teorema sudut lancip segitiga siku-siku Definisi dua sudut berkomplemen Substitusi no.2 ke no.4 … … Buku Ajar GMKM_. 39.

Ingat bahwa validasi itu adalah 1) membaca, 2) melengkapi jika ditemukan kekeliruan (baik dari segi keruntutatnnya atau kebenarannya), dan 3) membandingkan keefektifan bukti a dengan bukti b. 8. 9. 10.. 1× ∠ = … …. …. 90 5. … …. (Terbukti). Bukti b. Diketahui ∆. siku-siku di , dan ∠ = 90 karena definisi sudut siku-siku.. Diketahui pula bahwa ∠ = 4 ∠ . Dengan teorema ukuran sudut eksterior segitiga,. didapat ∠ + ∠ + ∠ = 180 . Dari ∠ = 90 dan ∠ = 4 ∠ disubtitusi ke ∠ + ∠ + ∠ = 180 , diperoleh 4 ∠ + 90 + ∠ = 180 .. (4 ∠ + ∠ ) + 90 = 180 dikarenakan aksioma simetri bilangan real. Dengan penjumlahan bilangan real diperoleh 5 ∠ + 90 = 180 . Secara berturut-turut. aksioma penambahan operasi pengurangan, aksioma assosiatif bilangan real, unsur invers dan unsur identitas penjumlahan maka diperoleh bahwa 5 ∠ = 90 .. Kemudian dikenakan aksioma penambahan operasi pembagian, unsur invers perkalian, unsur identitas serta pembagian bilangan real dapat disimpulkan ∠ = 18 . (Terbukti).. Untuk soal no. 13 & 14 berikut konstruksi buktinya! 13. Perhatikan gambar di bawah!. Jika ∠ ≅ ∠ , ∠ ≅ ∠ dan ∠ 37,5 . Maka ∠. = 142,5. 14. Tentukan ∠ dari gambar di bawah ini! (6 − 5). (11 + 1). 40 _Buku Ajar GMKM. =.

Ketidaksamaan pada Segitiga. Apa ini??? Stadion Nasional Beijing, secara resmi Stadion Nasional, juga dikenal sebagai Sarang Burung adalah stadion di Beijing, Cina. Stadion ini dirancang untuk digunakan di seluruh Olimpiade Musim Panas 2008 dan Paralimpiade. Terletak di Olympic Green, stadion biaya US $ 423 juta. Desain diberikan kepada pengajuan dari Swiss arsitektur perusahaan Herzog & de Meuron.. Lukislah segitiga tumpul sebarang serta beri nama pada segitiga tersebut! Kemudian dari segitiga tersebut tentukan sudut terbesar dan sisi terpanjangnya, kemudian tentukan pula sudut terkecil dan sisi terpendek dari segitiga tersebut!. C A B. Sudut terbesar .... Sisi terpanjang .... Sudut terkecil .... Sisi terpendek .... Dari kegiatan tersebut dapat diketahui bahwa pada suatu segitiga sebarang terdapat hubungan antara sudut terbesar atau terkecilnya dengan sisi terpanjang atau terpendeknya. Hubungan tersebut disajikan pada dua teorema berikut, Teorema 5.6.1 (Teorema Dua Sisi Segitiga Tidak Kongruen): Jika dua sisi segitiga tidak kongruen, maka sudut dihadapan sisi yang lebih panjang adalah sudut yang lebih besar [11].. Hati-hati pada penulisan tanda kurang dari dengan sudut, ∠ ≠<. Mengembangkan Kerangka Bukti Mengidentifikasi hipotesis dan konklusi Hipotesis :. dua sisi segitiga tidak kongruen Buku Ajar GMKM_. 41.

Konklusi. :. sudut dihadapan sisi yang lebih panjang adalah sudut yang lebih besar. Menyusun rencana. Saya akan membuktikan. Akan ditunjukkan. Lengkapi Mengembangkan Kerangka Buktinya!. Dengan menggunakan. Menulis Bukti Memilih model bukti. Bukti dua kolom. Menulis langkah-langkah bukti, Diketahui 2. 3. 1. 4. Buktikan. :∆. Bukti. :. No 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.. Validasi bukti di samping!. 42 _Buku Ajar GMKM. 8. 9. 10. 11. 12. 13.. dengan. : ∠1 > ∠2 Pernyataan. > ⃗ diperpanjang ke ≅ ⃖ ⃗ ∠1 = ∠3 + ∠. sehingga. ∠1 > ∠ ∆ ∠ + ∠2 + ∠1 = 180 ∠ ≅∠ ∠ = ∠1 > ∠ = ∠ > ∠1 >. ∠ ∠ ∠2 + ∠3 ∠2 ∠2. >. Diketahui Aksioma garis. Alasan. Aksioma titik garis Teorema ukuran sudut eksterior segitiga Dari no. 4 diketahui Teorema jumlah ukuran sudut pada segitiga Teorema segitiga sama kaki Definisi kongruensi sudut Subtitusi no. 7 ke 5 Definisi penjumlahan ukuran dua sudut Dari no. 9 Dari no. 8 dan 10 (Terbukti).

Teorema 5.6.2 (Teorema Dua Sudut Segitiga Tidak Kongruen): Jika dua sudut suatu segitiga tidak kongruen, maka sisi-sisi dihadapan dari sudut-sudut tersebut tidak kongruen dan sisi dihadapan sudut yang lebih besar adalah lebih panjang [2]. Menulis Bukti Memilih model bukti. Bukti paragraf. Menulis langkah-langkah bukti, Diketahui Buktikan. :∆. Bukti. :. :. dengan ∠1 > ∠2. >. ⃗ diperpanjang ke. Diketahui ∠1 > ∠2.. sehingga. ≅. 2. dikarenakan. 1. aksioma garis dan ⃖ ⃗ karena aksioma garis-titik. Dengan menggunakan definisi kongruensi segmen, maka. =. simetri bilangan real. Dikarenakan. serta. ≅. =. karena aksioma. maka ∠ ≅ ∠ teorema segitiga. sama kaki. Kemudian dengan definisi penjumlahan ukuran dua segmen diperoleh bahwa disimpulkan bahwa. =. >. +. , dari pernyataan tersebut dapat . (Terbukti).. Validasi bukti di samping dan Tulis kembali dengan model Bukti alir!. Jika disajikan 3 segmen garis, maka dengan menggunakan aksioma S-S-S dapat dilukis suatu segitiga. Tetapi tidak semua 3 segmen garis yang disajikan tersebut dapat dilukis menjadi suatu segitiga. Misal disajikan 3 ukuran segmen garis sebagai berikut: (a) 5 cm, 4 cm, dan 2 cm, (b) 5 cm, 2 cm, dan 2 cm, (c) 5 cm, 3 cm, dan 2 cm. Dengan aksioma S-S-S dilukis sebagai berikut,. (a). (b). (c). Lukisan tersebut dimulai dari sisi terpanjang dan diikuti dua segmen garis berikutnya sampai bertemu pada satu titik, dari gambar terlihat bahwa dua segmen garis yang lain tidak cukup panjang untuk membentuk suatu segitiga. Hal tersebut yang menjadi dasar teorema berikut,. Buku Ajar GMKM_. 43.

Teorema 5.6.3 (Teorema Jumlah Dua Sisi Segitiga): Untuk sebarang segitiga, jumlah panjang sebarang dua sisinya adalah lebih besar daripada panjang sisi yang ketiga [1]. Menulis Bukti Memilih model bukti. Bukti alir. Menulis langkah-langkah bukti, Diketahui Buktikan. :∆. Bukti. :. Perpanjang. ⃗ sehingga. =. :. +. > ≅. ⃖ ⃗. ∆. +. sama kaki. ∠. ≅∠. ∠. = ∠. ∠. = ∠. ∠. ∠. Tulis langkah Mengembangkan Kerangka Bukti & Validasi bukti di samping! 44 _Buku Ajar GMKM. > ∠. >. +. >. = ∠. ∠. + ∠. > ∠.

Pada gambar berikut ditunjukkan sebuah pintu yang terbuka, terlihat bahwa terbentuk beberapa segitiga dengan dua sisi yang kongruen. Dan juga terlihat pula bahwa. yang berubah-ubah sesuai dengan ∠ ,. dan sebaliknya.. Teorema 5.6.4 (Teorema Ketaksamaan Sudut Apit): Jika dua sisi suatu segitiga masing-masing kongruen terhadap dua sisi suatu segitiga yang lain dan sudut apit dari segitiga pertama lebih besar dari sudut apit segitiga kedua, maka sisi dihadapan sudut apit segitiga pertama lebih panjang daripada sisi dihadapan sudut apit segitiga kedua [28]. Mengembangkan Kerangka Bukti Mengidentifikasi hipotesis dan konklusi Hipotesis : Konklusi. :. ∆. ∠. Menyusun rencana. dan ∆. dengan. ≅. ;. ≅. ; ∠ >. >. Saya akan membuktikan. >. Akan dilukis ∆ pada ∆ dengan ambil maka tunjukkan ∆ ≅∆ , ambil pada dan ⃗ bisektor ∠ dan tunjukkan ∆ ≅∆ .. Dengan menggunakan Aksioma S-S-S dan S-Sd-S, serta teorema jumlah dua sisi segitiga.. Konstruk bukti di samping!. Buku Ajar GMKM_. 45.

Teorema 5.6.5 (Teorema Ukuran Sudut Dihadapan Sisi): Jika terdapat dua segitiga dengan hanya dua pasang sisi-sisinya yang berkorespondensi Konstruk bukti Teorema ini!. kongruen, maka ukuran sudut dihadapan sisi yang tidak kongruen yang lebih panjang, memiliki ukuran yang lebih besar [24]. Untuk membuktikan teorema tersebut gunakan suatu kontradiksi, maka kontradiksi dari ukuran sudut dihadapan sisi yang tidak kongruen yang lebih panjang, memiliki ukuran yang lebih besar adalah ukurannya tidak lebih besar. Berarti ada 2 kasus nantinya dalam mengkonstruk bukti kontradiksinya, yaitu untuk yang sama dengan dan lebih kecil.. Latihan Bab 6. Untuk soal no. 1 - 6, Daftar sisinya dan sudutnya berurutan dari terkecil ke terbesar! 1.. 4.. 62. 67. 2.. 28 51. 5. 32. 112. 25. 13. 127. 29. 36. 3.. 6.. 10 6. 33. 9. Untuk soal no. 7 - 9, Lengkapi pernyataan berikut menggunakan selalu, kadang,. 2. 3. atau tidak pernah 1. 7.. Ukuran sudut eksterior segitiga … lebih besar dari sudut interior yang tidak bersisihan. 8.. Sisi miring segitiga siku-siku … lebih kecil dari sisi yang lain. 46 _Buku Ajar GMKM.

9.. Ukuran sudut lancip yang satu dengan yang lain pada suatu segitiga adalah … sama. Untuk soal no. 10, berikut sudah disajikan langkah menulis buktinya, tentukan langkah mengembangkan kerangka bukti a dan b serta Validasi bukti a dan b, 10. Ukuran sudut eksterior segitiga lebih besar dari ukuran sudut interior yang tidak bersisihan Bukti a. Diketahui ∠1 adalah sudut eksterior serta ∠2 dan ∠3 adalah sudut interior yang tidak. bersisihan dengan ∠1. ∠1 + ∠2 + ∠3 = 180 dikarenakan teorema jumlah ukuran sudut segitiga. Dengan menggunakan teorema sudut lancip segitiga siku-siku, dapat. diperoleh ∠1 = ∠2 + ∠3. Dari pernyataan ∠1 = ∠2 + ∠3, dapat disimpulkan bahwa ∠1 > ∠2 dan ∠1 > ∠3. (Terbukti).. Bukti b. No 1. 2. 3.. Pernyataan ∠1 = ∠2 + ∠3 ∠1 > ∠2 ∠1 > ∠3. Alasan Teorema ukuran sudut eksterior segitiga Dari no.1 Dari no.1 (Terbukti). Untuk soal no. 11 & 12, Konstruksi bukti 11. Jika 12. Pada ∆ Maka. adalah median dari ∆. dan. >. , maka ∠. tumpul. , bisektor ∠ berpotongan dengan bisektor ∠ pada titik .. lebih besar. atau. Buku Ajar GMKM_. 47.

Daftar Soal Pendalaman & Pengayaan Untuk soal no. 1-4, Tentukan apakah benar atau salah masing-masing pernyataan berikut, jika ∆ABC ≅ ∆DEF 1. 2. 3. 4.. ∠. ≅. ≅. ≅∠. Dan dua sisi ∆. kongruen dengan sisi ∆. maka ∆. ≅∆. Untuk soal no. 5-8, Dalam membuktikan dua segitiga sebarang itu kongruen dapat menggunakan Aksioma S-Sd-S, Aksioma Sd-S-Sd, Aksioma S-S-S, dan Teorema Sd-Sd-S. Tentukan dari empat cara tersebut mana yang dapat digunakan dalam membuktikan ∆ABC ≅ ∆PQR, jika diketahui sbb: 5.. ≅. 6.. ≅. ,∠. ,∠. ≅∠. ≅∠. , dan ∠. ≅∠. , dan ∠ ≅ ∠. 7.. Dan dua segitiga tersebut segitiga sama kaki dengan salah satu kakinya. 8.. Dan dua segitiga tersebut segitiga sama kaki dengan salah satu kakinya ∠ ≅. 9.. ≅. ∠. Dengan perintah yang sama seperti di atas, bagaimana membuktikan ∆. ∆. jika diketahui sbb,. a. ∠ ≅ ∠ ,. ≅. dan ∠. ≅∠. b. ∠ ≅ ∠ ,. ≅. dan. adalah titik tengah. dan. d. ∠ ≅ ∠ ,. ≅. dan. ⃗ bisektor ∠. c. ∠ ≅ ∠ ,. ≅. ≅. Untuk soal no. 10-12, Tentukan nilai x, jika diketahui kondisi sbb, 11.. 10.. 12.. 2 −2 45. 48 _Buku Ajar GMKM. ≅. (3 − 2). 3 60.