Bab 4
SOLUSI PENGAMBILAN
KEPUTUSAN
Pada bab ini akan dibahas mengenai masalah pengambilan keputusan Markov pada pengelolaan mata kuliah MA1122 Kalkulus I dengan pendekatan program linier, solusi dari masalah tersebut, analisis sensitifitas program linier pada masalah ini, dan perbandingan antara pendekatan program linier dan pendekatan iterasi kebijakan dalam menyelesaikan masalah pengambilan keputusan Markov ini.
4.1
Masalah Pengambilan Keputusan Markov
den-gan Pendekatan Program Linier
Dari pembahasan pada bab 2, masalah program linier untuk pengambilan keputusan Markov pada pengelolaan mata kuliah MA1122 Kalkulus I adalah meminimumkan biaya rata-rata jangka panjang per satuan waktu terhadap sifat-sifat dari distribusi peluang stasioner.
Untuk model pengelolaan mata kuliah MA1122 Kalkulus I kita miliki ruang keadaan
I ={1,2,3}. Fungsi objektif untuk masalah program liniernya adalah g(R), yaitu biaya rata-rata dalam satu semester akibat pengambilan suatu tindakan.
meter yang diperlukan dalam masalah program linier ini adalah biaya yang harus dikeluarkan akibat pengambilan suatu tindakan dan peluang transisi maisng-masing tindakan apabila diterapkan pada suatu keadaan. Untuk biaya, dapat dilihat pada tabel 3.4 di halaman 30. Untuk peluang transisi masing-masing tindakan di setiap keadaan, kita merujuk pada hasil tugas akhir Vonny Subadera [6].
P(1) = 0.232 0.459 0.309 0.211 0.457 0.332 0.180 0.452 0.368 . (4.1.1)
P(1) menyatakan peluang transisi keadaan apabila tindakan 1 diterapkan.
P(2) = 0.226 0.472 0.302 0.199 0.469 0.332 0.169 0.463 0.368 . (4.1.2)
P(2) menyatakan peluang transisi keadaan apabila tindakan 2 diterapkan.
P(3) = 0.250 0.470 0.280 0.230 0.467 0.303 0.195 0.463 0.342 . (4.1.3)
P(3) menyatakan peluang transisi keadaan apabila tindakan 3 diterapkan.
Misalkan ekspektasi biaya yang diperlukan bila tindakanRj diterapkan saat keadaan
j(j ∈ I) dinyatakan oleh cj(Rj) dan peluang transisi dari keadaan k ke keadaan j
akibat tindakan Rk diterapkan pada saat keadaan k dinyatakan oleh pkj(Rk) maka
min g(R) = 3 X j=1 cj(Rj)πj(R) terhadap πj(R) = 3 X k=1 pkj(Rk)πk(R) X j∈I πj(R) = 1.
Jadi, target dari masalah linier program linier ini adalah R = {R1, R2, R3}
(kebi-jakan stasioner untuk tiap keadaan), g(R) (biaya rata-rata dalam satu semester), danπj(R) (proporsi sistem (sesudah jangka panjang) dalam keadaanj bila kebijakan
R diterapkan).
4.2
Hasil
Dengan menggunakan algoritma program linier pada bab 2 di halaman 19 untuk menyelesaikan masalah program linier di atas, diperoleh hasil sebagai berikut.
Tabel 4.1: Hasil Program Linier
Kebijakan Stasioner (R) R1 = 2 atau 3
R2 = 3 R3 = 1 Biaya Rata-rata (g(R)) Rp 18.412.000,00 Peluang Stasioner π1(R2) = 0.1992339191 π1(R3) = 0.0139419999 π2(R3) = 0.4633538221 π3(R1) = 0.3234702588
Dari tabel di atas dapat disimpulkan :
1. Apabila sistem berada dalam keadaan 1 (persentase banyaknya mahasiswa yang memperoleh nilai tidak memuaskan pada UTS I mata kuliah MA1122
Kalkulus I lebih dari 10%) maka sebaiknya pengelola mata kuliah MA1122 Kalkulus I mengambil kebijakan berupa penerapan tindakan 2 atau tindakan 3 (dapat dilihat pada tabel 3.1 di halaman 27).
Xn = 1 Mahasiswa dengan Mahasiswa dengan
Nilai UTS I Kalkulus I < 50 Nilai UTS I Kalkulus I≥ 50 (Tidak Memuaskan)
Tindakan 1. PR/Tugas 1. Tutorial di Kelas
2 2. Tugas Tambahan 2. PR/Tugas
3. Tutorial di MAC (9shift/minggu) 3. Tutorial di MAC
4. MACby Appointment(2shift/minggu)
5. Tutorial di Study Hall (8 shift/sem.)
Tindakan 1. Tutorial di Kelas 1. Tutorial di Kelas
3 2. PR/Tugas 2. PR/Tugas
3. Tutorial di MAC (9shift/minggu)
4. MACby Appointment(1shift/minggu)
5. Tutorial di Study Hall (8 shift/sem.)
2. Apabila sistem berada dalam keadaan 2 (persentase banyaknya mahasiswa yang memperoleh nilai tidak memuaskan pada UTS I mata kuliah MA1122 Kalkulus I antara 5% - 10%) maka sebaiknya pengelola mata kuliah MA1122 Kalkulus I mengambil kebijakan berupa penerapan tindakan 3 (dapat dilihat pada tabel 3.2 di halaman 28).
Xn = 2 Mahasiswa dengan Mahasiswa dengan
Nilai UTS I Kalkulus I < 50 Nilai UTS I Kalkulus I≥ 50 (Tidak Memuaskan)
Tindakan 1. PR/Tugas 1. Tutorial di Kelas
3 2. Tutorial di MAC (8shift/minggu) 2. PR/Tugas
3. Tutorial di Study Hall (6 shift/sem.)
4. MACby Appointment(1shift/minggu)
3. Apabila sistem berada dalam keadaan 3 (persentase banyaknya mahasiswa yang memperoleh nilai tidak memuaskan pada UTS I mata kuliah MA1122 Kalkulus I kurang dari 5%) maka sebaiknya pengelola mata kuliah MA1122 Kalkulus I mengambil kebijakan berupa penerapan tindakan 2 atau tindakan 1 (dapat dilihat pada tabel 3.3 di halaman 29).
Xn = 3 Mahasiswa dengan Mahasiswa dengan
Nilai UTS I Kalkulus I < 50 Nilai UTS I Kalkulus I ≥50 (Tidak Memuaskan)
Tindakan 1. PR/Tugas 1. PR/Tugas
1 2. Tugas Tambahan 2. Tugas Tambahan
3. Tutorial di MAC (9shift/minggu)
4. Tutorial di Study Hall (5 shift/sem.)
4. Biaya rata-rata yang harus dikeluarkan untuk 1 semester pengelolaan mata kuliah MA1122 Kalkulus I sebesar Rp 18.412.000,00.
5. Proporsi sistem (sesudah jangka panjang) dalam keadaan 1 bila tindakan 2 di-terapkan dinyatakan denganπ1(R2) dan proporsi sistem (sesudah jangka
pan-jang) dalam keadaan 1 bila tindakan 3 diterapkan dinyatakan dengan π1(R3).
Proporsi sistem (sesudah jangka panjang) dalam keadaan 2 bila tindakan 3 di-terapkan dinyatakan denganπ2(R3) dan proporsi sistem (sesudah jangka
4.3
Analisis Sensitivitas
Masalah program linier pada halaman 33 diselesaikan dengan metode simpleks. Metode ini memungkinkan dilakukannya analisis sensitivitas. Analisis sensitivitas dilakukan untuk mengetahui seberapa sensitif solusi optimal untuk berubah apabila terdapat perubahan nilai input pada masalah program linier yang akan diselesaikan. Untuk lebih jelasnya, masalah program linier tersebut dituliskan menjadi :
min cTπ
terhadap Aπ = b
π≥0.
denganAmerupakan matriks berukuran 4×9 danbmerupakan vektor kolom beruku-ran 4×1. Masalah di atas dapat dituliskan dalam bentuk tableaudi bawah ini.
πB πN
B N b
cT
B cTN 0
dan dengan operasi baris elementer (OBE) diperoleh :
πB πN
I B−1N B−1b
0 cT
N −cTBB−1N −cTBB−1b
Sousi basisπB akan merupakan solusi optimal jika vektorreduced costcTN−cTBB−1N
semua elemennya lebih besar atau sama dengan nol.
Dari pembahasan pada subbab hasil di halaman 33, solusi optimal yang diperoleh adalahπB={π1(R2), π1(R3), π2(R3), π3(R1)}. Jika terdapat perubahan biaya maka
solusi optmal tidak akan berubah apabila sesudah perubahan ini semua elemen dari vektor reduced cost masih bernilai lebih besar atau sama dengan nol. Di sini, yang berubah hanya biaya rata-ratanya saja.
non basisN, kita dapat melihat apakah solusi optimalnya berubah atau tidak dengan melihat ke tableaudi atas.
Contoh 4.1. Misalkan terdapat perubahan pada biaya penanganan MAC by appo-intment menjadi Rp 30.000,00/jam.
cN lama cN baru cB lama cB baru
Rp 24.030.000,00 Rp 24.030.000,00 Rp 22.390.000,00 Rp 22.630.000,00 Rp 22.380.000,00 Rp 22.500.000,00 Rp 23.020.000,00 Rp 23.140.000,00 Rp 21.420.000,00 Rp 21.420.000,00 Rp 21.060.000,00 Rp 21.180.000,00 Rp 12.620.000,00 Rp 12.620.000,00 Rp 11.970.000,00 Rp 11.970.000,00 Rp 11.700.000,00 Rp 11.700.000,00
Perubahan ini mengakibatkan vektor reduced costnya menjadi :
cT
N −cTBB−1N = (1491992,2784972,901115,23409729,523775).
Semua elemen dari vektorreduced cost yang baru masih lebih besar atau sama den-gan dari nol. Ini berarti solusi optimalnya masih tetapπB ={π1(R2), π1(R3), π2(R3),
π3(R1)}dan biaya rata-rata yang harus dikeluarkan menjadi Rp 18.517.000,00.
Un-tuk mendapatkan hasil-hasil ini, perhitungannya dapat dilihat pada lampiran.
4.4
Perbandingan Antara Program Linier dan
Ite-rasi Kebijakan
Dalam masalah pengambilan keputusan Markov pada pengelolaan mata kuliah MA 1122 Kalkulus I dilakukan dua pendekatan, yaitu pendekatan program linier dan pendekatan iterasi kebijakan (dilakukan oleh Vonny Subadera [6]). Berikut ini per-bandingan antara pendekatan program linier dan pendekatan iterasi kebijakan dalam menyelesaikan masalah pengambilan keputusan Markov.
• Pada pendekatan prgram linier, hasil yang diperoleh antara lain kebijakan stasioner, biaya rata-rata yang harus dikeluarkan, dan peluang stasioner. Pada
pendekatan iterasi kebijakan, hasil yang diperoleh hanya kebijakan stasioner dan biaya rata-rata saja.
• Pada pendekatan iterasi kebijakan, solusi cepat konvergen. Pada pendekatan program linier dengan metode simpleks, sulit menemukan solusi apabila vari-abel keputusannya cukup banyak (memerlukan waktu yang cukup lama untuk menemukan solusi optimalnya).
• Pada pendekatan program linier dapat dilakukan analisis sensitivitas terhadap perubahan nilai input (dalam hal ini, paeameter biaya dan peluang transisi).
Bab 5
Kesimpulan
Tugas Akhir ini membahas proses pemilihan kebijakan yang harus diambil oleh pengelola mata kuliah MA1122 Kalkulus I dalam membantu proses belajar maha-siswa di luar tatap muka dengan dosen, sehingga biaya rata-rata yang harus dikelu-arkan minimum. Kebijakan yang dimaksud adalah suatu komposisi penanganan (tindakan) yang harus diambil berdasarkan kondisi pencapaian prestasi mahasiswa di kuliah ini. Model penentuan kebijakan ini diturunkan berdasarkan teori pengam-bilan keputusan Markov dan diselesaikan dengan pendekatan program linier. Kebi-jakan stasioner yang dihasilkan antara lain :
1. Apabila keadaan dari persentase banyaknya mahasiswa yang memperoleh nilai tidak memuaskan pada UTS I mata kuliah MA1122 Kalkulus I lebih dari 10%, maka sebaiknya pengelola mata kuliah MA1122 Kalkulus I mengambil kebijakan berupa penerapan tindakan berikut.
Mahasiswa dengan Mahasiswa dengan
Nilai UTS I Kalkulus I <50 Nilai UTS I Kalkulus I ≥50 (Tidak Memuaskan)
1. PR/Tugas 1. Tutorial di Kelas
2. Tugas Tambahan 2. PR/Tugas
3. Tutorial di MAC (9shift/minggu) 3. Tutorial di MAC
4. MACby Appointment (2shift/minggu)
5. Tutorial di Study Hall (8shift/sem.)
1. Tutorial di Kelas 1. Tutorial di Kelas
2. PR/Tugas 2. PR/Tugas
3. Tutorial di MAC (9shift/minggu)
4. MACby Appointment (1shift/minggu)
5. Tutorial di Study Hall (8shift/sem.)
2. Apabila keadaan dari persentase banyaknya mahasiswa yang memperoleh nilai tidak memuaskan pada UTS I mata kuliah MA1122 Kalkulus I antara 5%-10%, maka sebaiknya pengelola mata kuliah MA1122 Kalkulus I mengambil kebijakan berupa penerapan tindakan berikut.
Mahasiswa dengan Mahasiswa dengan
Nilai UTS I Kalkulus I <50 Nilai UTS I Kalkulus I ≥50 (Tidak Memuaskan)
1. PR/Tugas 1. Tutorial di Kelas
2. Tutorial di MAC (8shift/minggu) 2. PR/Tugas
3. Tutorial di Study Hall (6shift/sem.)
4. MACby Appointment (1shift/minggu)
3. Apabila keadaan dari persentase banyaknya mahasiswa yang memperoleh nilai tidak memuaskan pada UTS I mata kuliah MA1122 Kalkulus I kurang dari 5%, maka sebaiknya pengelola mata kuliah MA1122 Kalkulus I mengambil kebijakan berupa penerapan tindakan berikut.
Mahasiswa dengan Mahasiswa dengan
Nilai UTS I Kalkulus I <50 Nilai UTS I Kalkulus I ≥50 (Tidak Memuaskan)
1. PR/Tugas 1. PR/Tugas
2. Tugas Tambahan 2. Tugas Tambahan
3. Tutorial di MAC (9shift/minggu)
4. Tutorial di Study Hall (5shift/sem.)
Biaya rata-rata yang harus dikeluarkan untuk satu semster perkuliahan dari pener-apan kebijakan stasioner ini adalah sebesarRp 18.412.000,00. Nominal biaya ini relatif lebih kecil dibandingkan dengan biaya yang dikeluarkan bila hanya diterap-kan kebijaditerap-kan yang biasa (hanya PR/tugas, tutorial di kelas, dan tutorial di MAC (Mathematics Aid Center 9shift/minggu), yaitu sebesar Rp 22.260.000,00). Kebi-jakan stasioner ini juga dapat diterapkan pada pengelolaan mata kuliah MA1222 Kalkulus II.
Dalam pendekatan program linier ini juga dapat dilakukan analisis sensitivitas un-tuk mengetahui seberapa sensitif solusi optimal unun-tuk berubah apabila terdapat pe-rubahan nilai input (dalam hal ini, input berupa biaya dan peluang transisi untuk masing-masing penanganan). Akan tetapi, program linier ini akan memunculkan masalah apabila variabel keputusannya cukup banyak. Jika hal ini terjadi, maka diperlukan suatu teknik khusus untuk menyelesaikan program liniernya, seperti co-lumn generation techniqueatau metode dekomposisi untuk masalah program linier.
