Vol. 3, No. 1, May 2006, 27–40
Keterbatasan Operator Riesz di Ruang Morrey
Gani Gunawan
∗, Hendra Gunawan
Departemen MatematikaFMIPA ITB
Abstrak
Dengan menggunakan transformasi Fourier, didefinisikan operator (−∆)−
α
2,0 < α < n, yang dikenal sebagai operator Riesz atau operator integral fraksional Iα , yaitu Iα := (−∆)
−α2,0 < α < n. Dalam makalah
ini akan diperlihatkan bahwa aksi dari operator tersebut bersifat terbatas dari ruangLp(
Rn) ke ruang
Lq(
Rn) jika dan hanya jika dengan 1 p
−1 q =
α n
dengan 1 < p < q < ∞. Selanjutnya diperlihatkan juga bahwa operator
tersebut terbatas di ruang perumumannya, khususnya di ruang Morrey.
Kata Kunci: Operator Riesz, ruang Lebesgue, ruang Morrey
1. Pendahuluan
Diasumsikanf ∈ S, denganS adalah himpunan fungsi yang terdiferensialkan tak hingga kali diRn. Transformasi Fourier dari fungsif dinotasikan denganf∧, dan didefinisikan oleh
f∧(ξ) := Z
Rn
f(x)e−2πiξxdx, ∀ξ∈Rn
∗Jur. Mat. UNISBA, Mhs S2 Jur. Mat. ITB
Jika ∆f menotasikan Laplacian dari f yang didefinisikan oleh ∆f := n X
j=1 ∂2f ∂x2,
maka untuk suatuξ∈Rn, berlaku (−∆f)∧(ξ) = 4π2|ξ|2f∧(ξ), lihat ([5], halaman 308). Oleh karena itu melalui persamaan ini didefinisikan untuk 0 < α < n, ((−∆)−α
2f)∧(ξ) = (2π|ξ|)−αf∧(ξ), untuk setiap ξ∈Rn.
Karena (−∆)−α
2f = ((−∆)−α2f)∧∨ = ((2π|ξ|)−αf∧)∨ dimana (−∆)−α2f)∧∨
adalah invers transformasi Fourier dari ((−∆)−α
2f)∧, maka untuk suatux∈Rn,
¡
(2π|ξ|)−αf∧¢∨
(x) = Γ( n−α
2 ) 2απn
2Γ(α 2)
Z
Rn
f(y)
|x−y|n−αdy
Uraian dari invers transformasi tersebut dapat dilihat pada ([5], halaman 367) atau ([7], halaman 123). Menurut Stein (lihat [2], halaman 117), dituliskan bahwa
Iαf := (−∆)−α2f,0< α < n
Jadi
Iαf(x) := 1 Γ(α)
Z
Rn
f(y)
|x−y|n−αdy (1)
dengan
Γ(α) = π
n 22αΓ(α
2) Γ((n−α2 ))
Iαpada Persamaan 1 selanjutnya dinamakan sebagaioperator Riesz atauoperator integral fraksional.
Dalam makalah ini akan dilihat bagaimana aksi dari operator tersebut jika dikenakan di ruangLp=Lp(Rn) dan ruang perumumannya, khususnya di ruang Morrey. Adapun notasiLp =Lp(Rn), 1 ≤p <∞ disebut juga ruang Lebesgue, yaitu himpunan kelas-kelas ekuivalen fungsi sedemikian sehinggakfkLp(Rn)<∞,
atau dapat ditulis Lp(Rn) := {f : kfk
Lp(Rn) < ∞} dengan kfkLp(Rn) = kfkp adalah norm dari f dan didefinisikan oleh kfkp := (RRn|f(x)|
pdx)1/p , untuk
setiapx∈Rn. Sedangkan norm darif untukp=∞ didefinisikan olehkfk∞:= esssup{|f(x)| :x∈ Rn} denganesssup{|f(x)|: x∈Rn} merupakan batas atas terkecil esensial dari|f|.
dapat ditunjukan bahwa operator maksimal juga terbatas di ruang perumuman-nya, khususnya di ruang Morrey. Berdasar pada fakta ini, akhirnya diperoleh hasil bahwa operatorIαjuga terbatas di ruang perumumannya, yakni terbatas di ruang Morrey.
2. Keterbatasan Operator
I
αdi Ruang Lebesgue
Pertama-tama akan kita lihat aksi dari operator Iα ini di ruang Lp(Rn) yang mempunyai sifat bahwa operator tersebut terbatas dariLp(Rn) keLq(Rn) hanya jika 1
p− 1 q =
α
n. Untuk melihat sifat ini kita pandang suatu operator dilasiτδyang didefinisikan untuk δ > 0 oleh τδf(x) := f(δx). Maka dapat dinyatakan suatu lemma berikut,
Lemma 2.1
(a) kτδfkp=δ−n/pkfkp (b) τδ−1Iαf =δ−αIατδ−1f
Bukti: (a).
kτδfkp = µZ
ℜn
(τδf(x))pdx ¶1/p
= µZ
ℜn
(f(δx))pdx ¶1/p
= µZ
ℜn
(f(x′))pδ−ndx′ ¶1/p
= δ−n/p µZ
ℜn
(f(x′)pdx′ ¶1/p
(b).
Akibat dari Lemma 2.1 tersebut diperoleh syarat perlu keterbatasan fungsi mak-simal di ruangLp(Rn) yang dinyatakan dalam proposisi berikut.
Proposisi 2.2 Jika ketaksamaan
kIαfkq ≤Akfkp, 0< α < n (2)
dipenuhi untuk setiapf dan untuk suatu konstantaA, maka 1
p−
Karena Ketaksamaan 2 dipenuhi, maka diperoleh untuk suatu konstanta A (dalam hal iniAdapat diasumsikan sebagai konstanta terkecil yang memenuhi 2)
Ini mungkin hanya jika n p −
n
q −α= 0.
Diamati lebih lanjut, syarat cukup untuk proposisi tersebut juga dapat dipenuhi. Namun untuk kasusp= 1, (makaq= n
n−α) dan q= 8, (makap= n α) gagal untuk dapat dipenuhi, lihat ([2], halaman 119). Oleh karena itu, setelah melalui pengamatan ini dapat diformulasikan teorema positifnya, yang disebut teo-remaHardy-Littlewood-Sobolev. Persisnya kita mempunyai suatu teorema berikut.
Teorema 2.3 (Hardy-Littlewood-Sobolev) Jika 1
p = 1 q −
α
n dan 1 < p < q <∞
dengan0< α < n, maka
kf∗| · |α−nkLq(Rn)≤Ap,qkfkLq(Rn)
Sebelum membuktikan Teorema 2.3 tersebut, pertama-tama perhatikan bebe-rapa definisi, sifat dan fakta yang ada sebagai konsep yang mendasarinya. Se-belumnya, didefinisikanfungsi maksimal Hardy-Littlewood,
M f(x) := sup 0<R<∞
1 µ(B(x, R))
Z
B(x,R)
|f(y)|dy, ∀x∈Rn
dengan f ∈ L1
loc(Rn), yaitu fungsi terintegralkan secara lokal di Rn, dan µ(B(x, R)) adalah ukuran LebesgueB(x, R) diRn. Dalam hal iniB(R) =B(x, R) adalah bola buka diRn yang berpusat di titikx∈Rn dengan radiusR >0, yaitu B(x, R) :={y∈Rn:|x−y|< R}, untuk setiap x∈Rn danR >0. Selanjutnya teoremaHardy-Littlewood berikut, yang menyatakan bahwa operator maksimal M tersebut terbatas di ruangLp(Rn), lihat [8].
Teorema 2.4 (Hardy-Littlewood) Jika 1 < p <∞ dan f ∈Lp, maka M f ∈Lp
dankM fkp≤Cp,nkfkp.
Definisi 2.5 Fungsif diRndisebut fungsi radial jika nilaif(x)hanya bergantung pada|x|untuk x∈Rn.
Lemma 2.6 Misalkan ψ fungsi non negatif di Rn. Jika ψ fungsi radial yang turun, maka
sup{|f∗ψt(x)|:t >0} ≤M f(x) Z
Rn
ψ dy
Bukti:
Lihat ([3], halaman 57)
Lemma 2.7 Jikaf fungsi radial, maka
Z
Lihat ([5], halaman 407).
Lemma 2.8 Misalkan φ(y) = |y|−kχ
B(R)(y), y ∈ Rn dan y 6= 0. Maka untuk
setiapR >0 dan0< k < n,
(i). φ adalah fungsi turun secara radial
(ii). φ terintegralkan
Bukti:
(i). Ambil y1, y2 dengan 0<|y1|<|y2| ≤ R, maka|y1|−k >|y2|−k. Karena χB(R)(y) = 1 untuk setiap y ∈ B(R), sehingga diperoleh χB(R)(y1) = χB(R)(y2) = 1. Jadi φ(y1) = |y1|−kχB(R)(y1)≥ |y2|−kχB(R)(y2) =φ(y2). Ini berartiφ(y) adalah fungsi turun secara radial untuk setiapy∈Rn.
Lemma 2.9 Misalkan ψ(y) =|y|−kχC
Selanjutnya kita lihat pembuktian Teorema 2.3 sebagai berikut, UntukR >0 dapat dituliskan bahwa
(f∗| · |α−n)(x) =
Perhatikan suku pertama Persamaan 5, dapat ditulis menjadi
turun yang terintegralkan. Akibatnya menurut Lemma 2.6, jikaφt =t−nφ(x/t),
untuk suatu bilangan realC1.
Suku kedua dari Persamaan 5 dapat dituliskan menjadi
Z
Oleh karena itu dapat ditulis
¯
Misalkanu=−y, maka dapat ditulis
Z
f(x−y)|y|α−nχCB(R)(y)dy= Z
f(u+x)|u|α−nχCB(R)(u)du.
Jadi menurut ketaksamaan Holder diperoleh
Akibatnya diperolehn−kp′ <0. Sehingga menurut Lemma 2.9, dapat dikatakan bahwaψ∈Lp′
. Oleh karenanya dapat dipandang untuk suatu bilangan realC2
kψkp′ =C2R−n/q (8)
Dengan demikian Ketaksamaan 7 menjadi
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ Z
|y|≥R
f(x−y)|y|α−ndy ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
≤C2R−n/qkfkp (9)
untuk suatu bilangan realC2. Dari Persamaan 5, 6 dan 9 diperoleh
¯
¯(f∗| · |α−n)(x) ¯
¯≤C1RαM f(x) +C2kfkpR−n/q≤A[RαM f(x) +kfkpR−n/q]
dimanaA= max{C1, C2}.
Selanjutnya pilih R sehingga RαM f(x) = kfkpR−n/q atau R−n/p = M f(x) kfkp .
Jadi jika dipilihR−n/p= M f(x) kfkp , maka
¯
¯(f∗| · |α−n)(x) ¯
¯≤A[M f(x)]p/qkfk1p−p/q
Sehingga diperoleh
kf∗| · kα−nkq = ( Z
|(f∗| · |α−n)(x)|qdx)1/q
≤ [ Z
(A[M f(x)]p/qkfk1p−p/q)qdx]1/q
≤ Akfk1−p/q
p [
Z
(M f(x))p]1/q
≤ Akfk1p−p/qkM fkp/qp
≤ Akfk1p−p/qkfkp/qp =Ckfkp
untuk suatu konstantaC yang tergantung padap, q. Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa
kf∗| · kα−nk
Lq(Rn)≤Ap,qkfkLq(Rn)
3. Keterbatasan Operator I di Ruang Morrey
pada saat mempelajari perilaku operator Schrodinger dan teori potensial. Tujuan utama kita dalam pembahasan pada bagian ini, akan menunjukan bahwa operator Iα juga terbatas di ruang Morrey Lp,λ(Rn) ke Lq,λ(Rn) asalkan 1p −1q = n−λα dan 0 ≤ λ < n−αp. Adapun ruang Morrey itu sendiri didefinisikan sebagai himpunan semua fungsif yang terintegralkan secara lokal padaRn, yaitu seperti yang dinyatakan dalam definisi berikut,
Definisi 3.1 Untuk 1 ≤p <∞ dan0 ≤λ≤n, ruang Morrey Lp,λ(Rn)
didefin-isikan oleh
Lp,λ(Rn) :={f ∈Lploc(Rn) :kfkLp,λ(Rn)<+∞}
dengan
kfkLp,λ(Rn) := sup
B=B(x,R) µ 1
Rλ Z
B
|f(x)|pdx ¶1/p
Dalam hal ini notasiB=B(x, R) merupakan bola buka berdimensindengan pusatx∈ Rn dan berjari-jari R > 0, yaituB(x, R) := {y ∈ ℜn :|x−y| < R}. Untuk setiap bolaB=B(x, R) berdimensi n ini dipunyai suatu fakta bahwa
|B| ≤CRn (10)
dimananadalah suatu bilangan dimensi yang tetap danCadalah konstanta yang tidak bergantung pada x dan R, dengan |B| menyatakan ukuran Lebesgue dari B, lihat ([5], halaman 3). Dari fakta 10 tersebut dapat dinyatakan suatu lemma berikut.
Lemma 3.2 Untuk setiapα >0, maka berlakuR B(x,R)
1
|x−y|n−αdy ≤CRα untuk
suatu konstanta realC.
Bukti:
Jika n ≤ α , maka jelas bahwa menurut fakta (*), R B(x,R)
1
|x−y|n−αdy = |B| ≤
CRα. Sekarang jikan < α, maka
Z
B(x,R) 1
|x−y|n−αdy ≤ ∞ X
j=0
Z
2−j−1R≤|x−y|<2−jR
1
|x−y|n−αdy
≤
∞ X
j=0
1
(2−j−1R)n−α|B(x,2 −jR)|
≤
∞ X
j=0
(2(j+1)(n−α)
Rn−α C(2
−jR)n
= C
∞ X
j=0
Selanjutnya sebelum diperlihatkan suatu fakta yang menyatakan bahwa oper-atorIαjuga terbatas di ruang Morrey, yakni dariLp,λ(Rn), keLq,λ(Rn), terlebih dahulu disajikan suatu ketaksamaan Fefferman-Stein yang buktinya dapat dilihat di ([3], halaman 53).
Teorema 3.3 (Fefferman-Stein) Misalkan ω adalah fungsi tak negatif dan f
adalah fungsi terintegralkan secara lokal diRn. Maka terdapatCp>0sedemikian sehingga
Z
Rn
|M f(x)|pω(x)dx≤Cp Z
Rn
|f(x)|pM ω(x) dx
Dengan menggunakan ketaksamaan Fefferman-Stein ini diperoleh suatu fak-ta bahwa operator maksimal juga terbafak-tas di ruang Morrey. Seperti dinyafak-takan dalam teorema berikut,
Teorema 3.4 (Chiarenza-Frasca) Misal 1 < p < ∞ dan 0 ≤ λ < n. Maka
kM fkLp,λ ≤CkfkLp,λ, untuk suatu konstanta C yang tidak bergantung pada f.
Bukti:
Menurut ketaksamaan yang dinyatakan dalam Teorema 3.3, maka
Z
Rn
|M f(x)|pχ(x)dx≤C Z
Rn
|f(x)|p(M χ(x))dx (11)
untuk suatu fungsif danχyang tak negatif. Ambilf ∈Lp,λ, danχadalah fungsi karakteristik pada bola BR =B(x0, R). Maka menurut Ketaksamaan 11 di atas diperoleh
Z
BR
|M f(x)|p dx≤CkfkpLp,λ (
(2R)λ+ ∞ X
k=1 1 (2k−1R)n(2
k+1R)λ )
⊆CkfkpLp,λR
λ
Jadi didapat
1 Rλp
µZ
BR
|M f(x)|p
¶1p
≤CkfkpLp,λ
untuk suatu konstanta C ¥.
Berdasarkan pada fakta keterbatasan fungsi maksimal M f di ruang Morrey, maka dapat dibuktikan suatu pernyataan teorema berikut, bahwa operator integral fraksionalIα juga terbatas di ruang Morrey.
Teorema 3.5 (Chiarenza-Frasca) Jika 1
q = 1 p−
α
n−λ, 0< α < n, 1< p < n α
dan0≤λ < n−αp. Maka terdapat Cp,q>0 sedemikian sehingga
Bukti:
Misalkanf ∈Lp,λ, danf 6= 0, maka untukx∈Rn danr >0 tuliskan Iαf(x) := I1(x) +I2(x), dengan
I1(x) := Z
|x−y|<R
f(y)
|x−y|n−α dy, dan I2(x) := Z
|x−y|≥R
f(y)
|x−y|n−α dy
UntukI1(x) diperoleh
|I1(x)| ≤ Z
|x−y|<R
|f(y)|
|x−y|n−α dy≤C −1 X
k=−∞
(2kR)αM f(x)dy≤CRαM f(x)
Sementara itu, untukI2(x) diperoleh
|I2(x)| ≤ Z
|x−y|≥R
|f(y)|
|x−y|n−α dy≤CR α−n
p+λpkfk
p,λ≤CRα+
λ−n p kfk
Lp,λ
Sehingga untuk setiapx∈Rn danR >0 diperoleh
|Iαf(x)| ≤C³RαM f(x) +Rα+λ−pnkfk
Lp,λ ´
(12)
Selanjutnya dengan memilihR0=
µM f(x)
kfkLp,λ ¶n−pλ
>0 dan
mensubstitusikan-nya ke dalam Ketaksamaan 12, sehingga didapat
|Iαf(x)| ≤C(M f(x))n−nλ−−λpαkfk pα n−λ
Lp,λ≤C(M f(x))
p q kfk
q−p q
Lp,λ
Dengan menggunakan fakta bahwa fungsi maksimal terbatas di Lp,λ, maka diperoleh ketaksamaan
kIαfkLq,λ≤CkfkLp,λ
untuk suatu konstantaC yang hanya tergantung padapdanq. ¥
4. Kesimpulan
Melalui operator dilasi yang dikenakan terhadap operator integral fraksional, dan dengan adanya fakta keterbatasan fungsi maksimal di ruang Lp(Rn), diperoleh fakta bahwa untuk 0< α < n, operator integral fraksionalIα yang didefinisikan sebagai
Iαf(x) := 1 Γ(α)
Z
Rn
f(y)
|x−y|n−α dy
merupakan operator terbatas dari Lp(Rn) ke Lq(Rn) dengan 1 p −
1 q =
α n dan 1< p < q <∞. Persisnya kita mempunyai ketaksamaan
kIαfk ≤Cp,qkfkp
jika dan hanya jika 1 p−
1 q =
α
n dan 1< p < q <∞.
Selanjutnya di ruang perumumannya, khususnya di ruang MorreyLp,λ,(Rn), dengan menggunakanketaksamaan Fefferman-Stein diperoleh fakta bahwa opera-tor maksimal juga terbatas di ruang perumumannya. Akibatnya dengan meman-faatkan fakta ini diperoleh hasil bahwa operator integral fraksional Iα juga ter-batas di ruang perumumannya, yaituIαterbatas dari ruangLp,λ(Rn) keLq,λ(Rn) dengan 1p−1q =n−αα dan 0≤λ < n−αp.
Ucapan Terima Kasih.
Kedua penulis berterima kasih kepada LPPM-ITB untuk dana Riset ITB Tahun 2006 No. 0004/K01.03.2/PL2.1.5/I/2006.
Pustaka
[1] E. Nakai, Recent topics of fractional integrals, Departemen of Mathematics, Osaka Kyoiku University Kashiwara, Osaka 582-8582, Japan.
[2] E.M. Stein, Singular integrals and differentiability properties of functions, Princenton University Press, Princenton, N.J, 1970.
[3] E.M. Stein, Harmonic Analysis: real variable methods, orthogonality, and oscillatory integrals, Princenton University Press, Princenton, New Jersey, 1993.
[5] G.B. Folland, Fourier analysis and its applications, Wadsworth & Brooks/Cole, Pacific Grove, CA, 1992.
[6] J.G. Cuerva and A.E. Gatto, Boundedness properties of fractional integral operators associated to non doubling measures, Mathematics Subject Classi-fication, DePaul University, Spain, 1991.
[7] M. Loss and H. Elliot, Analysis, Graduate student in mathematics, volume 4, 2001.
