MODUL MATEMATIKA EKONOMI MODUL MATEMATIKA EKONOMI

OLEH

I. HIMPUNAN II. BILANGAN III. FUNGSI

IV. FUNGSI LINIER

V. FUNGSI KUADRAT

VI. PENERAPAN FUNGSI DALAM BISNIS DAN

EKONOMI

VII. MATRIK DAN DETERMINAN

VIII. PENGGUNAAN MATRIK & DETERMINAN

 Himpunan (set) adalah kumpulan

objek-objek yang berbeda.

 Objek di dalam himpunan disebut elemen,



Enumerasi



Simbol-simbol Baku



Notasi Pembentuk Himpunan



Himpunan Kosong



Himpunan Bagian (

Subset

)



Himpunan yang Sama



Himpunan yang Ekivalen



Himpunan Saling Lepas



Irisan (

intersection

)



Gabungan (

union

)



Komplemen (

complement

)



Selisih (

difference

)



Beda Setangkup (

Symmetric

Difference

)

1

. Hukum identitas

-

A

ᴗ

Ø = A

-

A

ᴖ

U = A

2.

Hukum

null

/dominasi:

-

A

ᴖ

Ø

= Ø

-

A

ᴗU = U 

3.

Hukum komplemen:

- A

ᴗ

A

= U

- A

ᴖ

A

= Ø

4.

Hukum idempoten:

-

A

ᴗ

A

=

A

-

A

ᴖ

A

=

A

 

5.

Hukum involusi:

- (A)=

A

6. Hukum penyerapan (absorpsi): - Aᴗ (Aᴖ B) = A

-Aᴖ (Aᴗ B) = A 7. Hukum komutatif:

- Aᴗ B = Bᴗ A - A ᴖB = B ᴖA 8. Hukum asosiatif:

- Aᴗ (B ᴗC) = (Aᴗ B) ᴗ C - Aᴖ (Bᴖ C) = (Aᴖ B) ᴖ C  9. Hukum distributif:

- Aᴗ (Bᴖ C) = (A ᴗB) ᴖ (Aᴗ C) - Aᴖ (Bᴗ C) = (Aᴖ B) ᴗ (A ᴖC) 10 Hukum De Morgan:

- A ᴖ B = A ᴗ B - A ᴗ B = A ᴖ B 11 Hukum 0/1

- Ø = U

 Prinsip dualitas: dua konsep yang berbeda

dapat dipertukarkan namun tetap memberikan jawaban yang benar

Prinsip Dualitas pada Himpunan

Misalkan

S

adalah suatu kesamaan (

identity

) yang

melibatkan himpunan dan operasi-operasi seperti , , dan

komplemen. Jika

S

* diperoleh dari

S

dengan mengganti



,



,



U, U



, sedangkan komplemen dibiarkan

Untuk dua himpunan A dan B: 

A  B = A + B – A  B

  A  B = A +B – 2A  B

 Partisi dari sebuah himpunan A adalah

sekumpulan himpunan bagian tidak kosong A1, A2, … dari A sedemikian sehingga:

a. A1  A2  … = A, dan

• Himpunan yang elemennya boleh berulang

(tidak harus berbeda) disebut himpunan ganda (multiset).

• Contohnya, {1, 1, 1, 2, 2, 3}, {2, 2, 2}, {2,

3, 4}, {}.

• Multiplisitas dari suatu elemen pada

himpunan ganda adalah jumlah kemunculan elemen tersebut pada himpunan ganda.

 Himpunan (set) merupakan contoh khusus

dari suatu multiset, yang dalam hal ini

multiplisitas dari setiap elemennya adalah 0 atau 1.

  

 Kardinalitas dari suatu multiset didefinisikan

• P Q adalah suatu multiset yang multiplisitas

elemennya sama dengan multiplisitas maksimum elemen tersebut pada himpunan P dan Q.

Contoh: P = { a, a, a, c, d, d } dan Q ={ a, a, b,

c, c },

P Q = { a, a, a, b, c, c, d, d }

•  P Q adalah suatu multiset yang multiplisitas

elemennya sama dengan multiplisitas minimum elemen tersebut pada himpunan P dan Q.

Contoh: P = { a, a, a, c, d, d } dan Q = { a, a, b,

c, c }

• P – Q adalah suatu multiset yang multiplisitas

elemennya sama dengan:

multiplisitas elemen tersebut pada P dikurangi multiplisitasnya pada Q, jika selisihnya positif 0, jika selisihnya nol atau negatif.

Contoh: P = { a, a, a, b, b, c, d, d, e } dan Q

= { a, a, b, b, b, c,

c, d, d, f } maka P – Q = { a, e }

•  P + Q, yang didefinisikan sebagai jumlah (sum)

dua buah himpunan ganda, adalah suatu multiset

yang multiplisitas elemennya sama dengan

 Pernyataan himpunan adalah argumen yang

menggunakan notasi himpunan.

 Pernyataan dapat berupa: ◦ Kesamaan (identity)

 Contoh: Buktikan “A  (B  C) = (A  B)  (A  C)”

◦ Implikasi

 Pembuktian dengan menggunakan

diagram Venn

 Pembuktikan dengan menggunakan

tabel keanggotaan

 Pembuktian dengan menggunakan

aljabar himpunan.

 Pembuktian dengan menggunakan

BIL.PECAHAN

BIL.BULAT NEGATIF

1. Bilangan Bulat 2. Bilangan Asli 3. Bilangan Cacah 4. Bilangan Prima

 Bilangan bulat adalah hasil bagi antara dua

bilangan yang hasilnya bulat termasuk nol.

 Jika himpunan bilangan bulat dilambangkan

B maka:

 Bilangan Asli adalah bilangan-bilangan bulat

positif.

 Jika himpunan bilangan asli dilambangkan

A, maka:

 Bilangan cacah adalah bilangan asli dan nol

(0)

 Jika himpunan bilangan cacah

dilambangkan C, maka:

 Bilangan prima adalah bilangan asli yang

besarnya tidak sama dengan 1, dan hanya habis dibagi dirinya sendiri dan juga hanya habis dibagi oleh 1.

 Jika himpunan bilangan prima

 Bilangan rasional adalah bilanga yang dapat

dinyatakan sebagai dengan a dan b bilangan bulat dan b ≠ 0.

 Jika himpunan bilangan rasional

dilambangkan dengan Q, maka:

Q = {x│x = a dan b bulat dan b≠0} Contoh:

Q= {2,3,4,5,6}

 Bilangan irrasional adalah bilangan yang

tidak dapat dituliskan sebagai dengan a dan b bilangan bulat b ≠ 0.

 Jika himpunan bilangan irrasional

 Bilangan komplek adalah sebuah bilangan

yang berbentuk a + b, dengan a dan b bilangan-bilangan real dan “I” adalah

lambang dari suatu bilangan yang bersifat bahwa, kuadratnya sama dengan -1, jadi i² =-1.

 Jika himpunan bilangan komplek

dilambangkan dengan K, maka:

1. PENGERTIA FUNGSI

2. UNSUR-UNSUR FUNGSI 3. JENIS-JENIS FUNGSI

 Fungsi dari himpunan A ke himpunan B

adalah suatu relasi khusus yang

mengaitkan atau memasangkan setiap anggota A dengan satu dan hanya satu anggota B.

 Fungsi dari himpunan A ke B dapat

dinyatakan sebagai berikut:

 Artinya:

Jika x ϵ A dan y ϵ B dan a dikaitkan dengan b maka f(a)=b dengan:

1. A disebut daerah asal (domain)

2. B disebut daerak kawan (kodomain)

3. b desebut bayangan dari a

4. Himpunan semua bayangan dari setiap x ϵ A

a. Cara Daftar Lajur

 Fungsi ditujukan dengan cara daftar lajur.

Lajur pertama mengandung yang

elemen-elemen pertama pasangan urut dan lajur kedua mengandung elemen kedua pasangan urut.

Perhatikan di sini, pada daftar lajur tersebut tidak terdapat pasangan urut yang anggota

pertamanya sama. Anggota kedua pada

himpunan pasangan urut bisa terjadi sama.

a. y = x² - 2x b. f(x) = x² - 2x

c. f(x,y) ialah fungsi yang pasangan urutnya

(x, x² - 2x)

d. {(x,y) │ y = x² - 2x}

Cara penulisan dengan lambang yang

sering dipakai adalah cara a atau b, karena lebih singkat bila dibandingkan dengan

P

a. Perubahan/Variabel

b. Parameter & Koefisien



Adalah suatu besarnya yang nilainya bisa

berubah-ubah.



Berdasarkan sifatnya di dalam suatu

fungsi terdapat dua macam variabel

- variabel bebas (

independent variable

)

adalah variabel yang nilainnya tidak

bergabung dari nilai variabel lainnya

atau

variabel yang nilainya boleh

ditentukan sembarang.

- variabel terikat (

dependent variable)

adalah variabel yang nilainya

 Parameter adalah suatu konstanta

tertentu yang nilainya belum ditetapkan, yang terkait langsung pada suatu variabel dalam sebuah fungsi. Parameter ini

umumnya dilambangkan dengan huruf

awal abjad Yunani atau Arab,misalnya:α, β, ϒ atau a, b dan c.

 Koefisien adalah bilangan (berupa

a.

Dilihat dari operasinya

- Fungsi aljabar

- Fungsi transenden

b.

Dilihat dari hubungan antar variabel

- Fungsi eksplisit

- fungsi implisit

c.

Dilihat dari jumlah variabel bebas

 CONTOH GRAFIK

Grafik fungsi f(x)= 2x-3

0

f(x)

 Fungsi linier adalah fungsi yang paling

sederhana karena hanya mempunyai satu variabel bebas dan berpangkat satu pada variabel bebas tersebut, sehingga sering disebut sebagai fungsi berderajad satu. Bentuk umum persamaan linier adalah:

 Kemiringan (slope) dari fungsi linier adalah

 Sebuah persamaan linier dapat dibentuk

melalui beberapa macam cara, antara lain:

◦ (1) metode dua titik dan

 Apabila diketahui dua titik A dan B dengan

koordinat masing-masing (x1, y1) dan (x2,

y2), maka rumus persamaan liniernya adalah:

 Dari sebuah titik A (x1, y1) dan suatu kemiringan

(m)dapat dibentuk sebuah persamaan linier

dengan rumus sebagai berikut:

 Berimpit, dua buah garis akan berimpit apabila

persamaan garis yang satu merupakan kelipatan dari (proporsional terhadap) persamaan garis yang lain.

 Sejajar, dua buah garis akan sejajar apabila

kemiringan garis yang satu sama dengan

kemiringan garis yang lain (m1 = m2).

 Berpotongan, dua buah garis akan berpotongan

apabila kemiringan garis yang satu tidak sama dengan kemiringan garis yang lain (m1≠m2).

 Tegak lurus, dua garis akan saling tegak lurus

apabila kemiringan garis yang satu merupaka

 Fungsi kuadrat ialah pemetaan dari

himpunan bilangan nyata R ke dirinya sendiri yang dinyatakan dengan:

f(x) = y = ax2 + bx + c

 Bentuk grafik fungsi kuadrat adalah

parabola

 Coba gambarkan 6 Sketsa Grafik fungsi

 Untuk melukis grafik fungsi y = ax2 + bx + c diperlukan

sebagai berikut:

1. Menentukan titik potong dengan sumbu x

Hal ini didapat apabila y = f(x) = 0 jadi ax2 + bx + c = 0

 Apabila akar-akarnya x₁ dan x₂ maka titik potong dengan

sumbu x ialah (x1, 0) dan (x2, 0).

 Ada tidaknya akar-akar tergantung dari diskriminan

persamaan itu.

 Jika D > 0, grafik memotong sumbu x di dua buah titik

(x1, 0) dan (x2, 0).

 Jika D = 0, grafik menyinggung di sebuah titik pada

sumbu x di (x1, 0)

2. Menentukan titik potong dengan

sumbu y

Hal ini didapat apabila x = 0, jadi y = c,

maka titik potong dengan sumbu y adalah

(0,c)

3. Menentukan Sumbu Simetri



Grafik dari fungsi kuadrat y = ax

2

+ bx + c

mempunyai simetri yang persamaannya

x =

a

b

2

4. Menentukan Koordinat titik balik / titik puncak.

 Fungsi y = ax2 + bx + c dapat diberi bentuk

y = a (x + )2 +

 Parabola mempunyai titik balik minimum dengan

koordinat

( , )

• Fungsi permintaan, fungsi penawaran dan

keseimbangan pasar

• Keseimbangan Pasar Dua Macam Produk • Pengaruh Pajak dan Subsidi Terhadap

Keseimbangan Pasar.

• Fungsi biaya, fungsi pendapatan dan analisis

Pulang Pokok (BEP=Break Even Point)

• Fungsi Konsumsi dan Tabungan

 menunjukkan hubungan antara jumlah

produk yang diminta oleh konsumen dengan harga produk.

 dalam teori ekonomi dijelaskan bahwa jika

 Fungsi penawaran menunjukkan hubungan

antara jumlah produk yang ditawarkan oleh produsen untuk dijual dengan harga produk.

 Di dalam teori ekonomi dijelaskan bahwa

jika harga naik maka jumlah barang yang ditawarkan bertambah, demikian juga

 Pasar suatu macam barang dikatakan

berada dalam keseimbangan (equilibrium) apabila jumlah barang yang diminta di

pasar tersebut sama dengan jumlah barang yang ditawarkan.

 Secara matematik dan grafik ditunjukan

 Diketahui fungsi permintaan dan fungsi

penawaran dari dua macam produk yang mempunyai hubungan substitusi sebagai berikut dibawah ini, carilah harga dan

 Adanya pajak yang dikenakan pemerintah

atas penjualan suatu barang akan

menyebabkan produsen menaikkan harga jual barang tersebut sebesar tarif pajak per unit (t), sehingga fungsi penawaran akan

1. Matriks Baris 2. Matriks kolom 3. Matriks Nol 4. Matriks Bujur

Sangkar

5. Matriks Diagonal 6. Matriks Satuan (I) 7. Matriks Skalar

8. Matriks Segitiga Atas 9. Matriks Segitiga

Bawah

10. Matriks Simetris

11. Matriks Simetri Skew 1. aij = -aji, dan

diagonalnya nol

12. Matriks Tridiagonal 13. Matriks Transpose 14. Matriks Ortogonal

1. Matriks bujur sangkar yg memenuhi [A][A]T



Determinants are useful in eigenvalue

problems and differential equations.



Can be found only for square matrices.



Simple example: 2

nd

order determinant

 The determinant of a 3_X3 matrix is found as

follows:

 The terms on the RHS can be evaluated as

shown for a 2nd order determinant.

 Bila semua unsur dari suatu baris/kolom = nol,

determinan = nol.

 Harga determinan tidak berubah bila semua

unsur baris diubah menjadi unsur kolom dan semua kolom menjadi baris.

 Pertukaran tempat antara baris dengan baris

atau antara kolom dengan kolom akan mengubah tanda determinan

 Bila unsur-unsur baris/kolom dikalikan suatu

faktor, maka determinan harus dikalikan juga.

 Bila suatu matriks ada dua baris/ dua kolom yg

identik maka determinannya = nol

 Tanpa mengubah harga determinan semua unsur

sebarang baris/kolom dapat dikalikan dgn sebuah faktor dan menambahkan atau mengurangkan

 Cramer’s: If the determinant of a system of

n equations with n unknowns is nonzero, that system has precisely one solution.

33

 Jika det matriks ≠ 0, maka rank r = orde

matriks (n).

 Jika det matriks = 0, maka harus dilihat

minor dari matrik tsb. Jika matriks

bujursangkar di dalam determinan ≠ 0, maka rank =2.

 Matriks bujur sangkar orde n dengan rank =

n (det A≠0) disebut matiks non-singular.



The rank of a matrix is simply the number

of independent row vectors in that matrix.



The transpose of a matrix has the same

rank as the original matrix.



To find the rank of a matrix by hand, use

Gauss elimination and the linearly

 Menggunakan Eliminasi Gauss Invers Matrik A

PENERAPAN

 Metode Cramer

 Metode Gauss Seidel

 Menggunakan Invers Matriks ◦ Ax=b. maka x=A-1b

 Menentukan invers suatu matrik

 Mencari penyelesaian suatu sistem

persamaan linear yang simultan

 Determinan Matriks berordo 2x2

 Determinan Matriks berordo 3x3

1. MATEMATIKA TERAPAN UNTUK BISNIS &

EKONOMI (DUMAIRY/BPFE YOGYAKARTA)

2. MATEMATIKA UNTUK PERGURUAN TINGGI

(YUSUF YAHYA,D.SURYADI H, AGUS S./GHALIA)

3. MATEMATIKA EKONOMI (NATA

WIRAWAN/KERARAS EMAS)

4. MATEMATIKA EKONOMI (WAHYU WIDAYAT/BPFE

YOGYAKARTA)

5. MATEMATIKA DASAR (DANANG

MURSITA/REKAYASA SAINS)