SUDUT SUDUT ARAH DAN COSINUS COSINUS ARAH

GEOMETRI ANALITIK

RUANG

Matematika 2

Geometri analitik ruang

 _{Jarak dari pusat sumbu O ketitik P (x, y, z)}

ialah :

 _OP2 = ( x2 + y2 + z2 )

 _{Jika OP = r maka :}

SUDUT SUDUT ARAH DAN

COSINUS COSINUS ARAH

Jika masing-masing sudut antara OP dgn sumbu-sumbu positif maka :

 x = r cos _ cos _{}x/r  y = r cos _{}atau cos _{}y/r  _z_r cos _{}cos

z/r

BILANGAN ARAH GARIS

 _{cos cos cos a : b : c, maka a,b,c disebut}

bilangan arah garis

 _{Jika diketahui a,b,c maka}

cos = a / + (a2 + b2 + c2 )1/2

cos = b / + (a2 + b2 + c2 )1/2

cos = c / + (a2 + b2 + c2 )1/2

JARAK DARI DUA TITIK

 _{Jarak dari dua titik P1(x1,y1,z1) dan P2}

(x2,y2,z2) adalah :

d = [(x2-x1)2 + (y2-y1)2 + (z2-z1)2]1/2

 _{Bilangan arah dari garis P1P2 adalah}

(x2-x1), (y2-y1) dan (z2-z1)

 _{Cosinus arah dari garis P1P2 adalah}

cos x2-x1)/d,

cos y2-y1)/d,

TITIK

 _{Jika P(x,y,z) membagi garis P1P2 dengan}

perbandingan P1P/PP2 = m/n = q maka :

X = (x1 + qx2) / (1+q) Y= (y1 + qy2) / (1+q) Z = (z1 + qz2) / (1+q)

 _{Koordinat titik tengah T dari grs P1P2}

SUDUT ANTARA DUA GARIS

 _{Didefinisikan sebagai sudut antara dua garis}

berpotongan, dan masing masing // dgn satu dari garis yang diketahui.

 Jika OP1 dan OP2 garis melalui O dan // dua garis

yg diketahui,  sudut antara grs itu maka : Cos = (x1x2 + y1y2 + z1z2) /r1r2

 _{Dimana :}

r1 2 = ( x12 + y12 + z12 )

Karena X1 = r cos  

Jika dua garis tegak lurus maka

_{Jika q sudut antara dua garis dgn bilangan arah a1,}

b1, c1, dan a2,b2,c2 maka :

cos a1a2 + b1b2 + c1c2

[(a12_{+ b1}2 _+c12_ _xa22_{+ b2}2 _+c22₎  _

Jika dua grs //, maka :

a1/a2 = b1/b2=c1/c2

 

Jika dua garis tegak lurus maka

BIDANG DATAR

 _{Bentuk Umum}

Ax + By + Cz + D = 0

Dimana A, B, C tidak semuanya nol

 Persamaan Bidang datar melalui titik (xo, yo, zo)

adalah :

GARIS TEGAK LURUS PADA BIDANG

DATAR

 _{Syarat supaya garis g dgn blgn arah a, b,c tegak}

lurus pada bdg Ax + By + Cz + D = 0 ialah a/A = b/B = c/C

 _{Persamaan bidang datar melalui P1 (x1,y1,z1)}

tegak lurus pada garis dgn bilangan arah a,b,c

adalah :

DUA BIDANG SEJAJAR DAN

TEGAK LURUS

 _{Dua Bidang A1x + B1y + C1z + D1 = 0 dan} adalah A2x + B2y + C2z + D2 = 0

- // jika A1/A2 = B1/B2 = C1/C2

- Tegak lurus jika A1.A2 + B1.B2 + C1.C2 =0

 _{Jarak dari titik P1(x1,y1,z1) ke bidang} Ax+By+Cx+D =0 adalah :

Persamaan bidang datar melalui tiga titik (a,0,0), (0,b,0), dan (0,0,c) adalah ;

x/a + y/b + z/c = 1

Sudut lancip antara dua bidang datar A1x+

B1y+C1z+D = 0 dan A2x + B2y+C2z+D = 0 adalah :

cos A1A2 + B1B2 + C1C2

TITIK POTONG TIGA BIDANG DATAR

 _{a1x+b1y+c1z = d1; a2x+b2y+c2z = d2 a3x+b3y+c3z =}

•Berkas bdg dr dua bid. A1x+ B1y+C1z+D1 = 0 dan A2x + B2y+C2z+D2 = 0 adalah :

(A1x+ B1y+C1z+D1) + (A2x+ B2y+C2z+D2)= 0 dimana parameter

Garis dalam ruang ditentukan sebagai garis potong dua bidang

(A1x+ B1y+C1z+D1) = 0

(A2x+ B2y+C2z+D2) = 0 dengan bilangan arah

B1 C1 C1 A1 A1 B1

PERSAMAAN GRS LURUS DLM

RUANG

 Jk sudut arah garis g adalah _{}; dan jk

P1(x1,y1,z1) titik pada garis g, maka grs g merupakan tempat kedudukan P(x,y,z) yg bergerak sdh :

x-x1 = t cosy-y1 = t cosz-z1 = t cos

 _{Jika a,b,c adalah bilangan arah garis g maka}

persamaan garis ini dapat ditulis sbb :

BENTUK SIMETRIK PERSAMAAN

GARIS LURUS

 _{Persamaan garis lurus melalui P1(x1,y1,z1) dgn}

sudut – sudut arah adalah ; x – x1 = y – y1 = z –z1

cos cos cos 

 _{Jika bilangan arah garis adalah a,b,c maka} persamaan simerik berbentuk :

x – x1 = y – y1 = z –z1

Jika garis g tegak lurus pada salah satu sumbu koordinat, pers garis itu berbentuk satu diantara :

x = x1 , y – y1 = z – z1 (tgk lrs sb x)

b c

y = y1 , x – x1 = z – z1 (tgk lrs sb y) a c

PERSAMAAN GARIS LURUS

MELALUI DUA TITIK

 _{Pers garis lurus melalui dua titik P1(x1,y1,z1) dan}

P2(x2,y2,z2) adalah :

x –x1 = y1 – y2 = z – z1

b b b

 _{Arah – arah relatif garis dan bidang datar}

Garis g dgn bilangan arah a, b, c dan bidang datar V : Ax + By + Cz + D = 0 maka :

BOLA

 _{Persamaan x}2+ y2 + z2 = R2 adalah bola yg

berpusat di O (0,0,0) dgn jari jari R.

 Persamaan (x-a)2 + (y-b)2 + (z-c)2 = R2 adalah

bola yg berpusat di (a,b,c) dgn jari jari R.

 _{Persamaan x}2+ y2+ z2+2Ax+2By+2Cz+D= R2

adalah pers bola dgn titik pusat M (-A, -B, -C) Jari – jari R = ( A2+ B2 +C2 – D )1/2

 _{Jika R = 0 bola menjadi “bola titik”}

 _{Jika A}2+ B2 +C2 – D > 0 adalah “ bola sejati ”

 _{Jika A}2+ B2 +C2 – D < 0 adalah “ bola khayal “

PERSAMAAN BIDANG SINGGUNG

DAN BIDANG KUTUB



Jika Pers bola

_x2+ y2+

z2+2Ax+2By+2Cz+D= 0 atau B_I = 0 , Maka :

1. Pers bidang singgung dititik P(x1,y1,z1) yg terletak pada bola BI = 0 adalah

x1x+y1y+z1z+A(x+x1)+B(y+y1)+C(z+z1)+ D =0

2. Pers bidang kutub dari titik sebarang P(x1,y1,z1) terhadap bola BI = 0 adalah

 _{Untuk persamaan bola x}2+ y2 + z2 = R2 maka persamaan

bidang singgung / kutub adalah : x1x + y1y + z1z = R2

-

Untuk persamaan bola :

(x-a)2 + (y-b)2 + (z-c)2 = R2 maka persamaan bidang singgung /

kutub adalah :

(x1–a)(x-a) + (y1-b)(y-b) + (z1-c)(z-c) = R2

- _{Kuasa titik P(x1,y1,z1) terhadap bola :}

x2+ y2+ z2+2Ax+2By+2Cz+D= 0 adalah k = x12+ y12+ z12+2Ax1+2By1+2Cz1+D

Bidang kuasa dr dua bola B_I = 0 dan B_II = 0

B_I : x2+ y2+ z2+2A1x+2B1y+2C1z+D1= 0

B_II: x2+ y2+ z2+2A2x+2B2y+2C2z+D2= 0

Persaman bidang kuasa dari dua bola B_I dan B_II adalah

B_I - B_II = 0 atau

2(A1-A2)x + 2(B1-B2)y + 2(C1-C2)z +D1-D2 = 0

Persamaan bidang kuasa ini adalah merupakan tempat

kedudukan titik – titik yang kuasanya sama terhadap bola B_I

Garis kuasa dan titik kuasa

1. Jk 3 bola : BI = 0, BII = 0, dan BIII = 0 tidak melalui

satu titik. Maka : BI = BII = BIII adalah persamaan garis

kuasa tiga bola itu

2. Jika 4 bola : BI = 0, BII = 0, BIII = 0 dan BIV = 0 tidak

melalui 2 titik yang sama maka

BI = BII = BIII =BIV adalah persamaan titik kuasa dari 4

TABUNG DAN KERUCUT

 _{Bidang Tabung adalah bidang yang dilukiskan oleh}

garis-garis lurus yang arahnya sama sejajar (yg disbt garis lukis) dan selalu memotong sebuah garis lengkung tertentu (yg disbt garis lengkung arah

 _{Bidang kerucut adalah bidang yg dilukiskan oleh garis}

BIDANG PUTARAN

 _{Bdg putaran adalah bdg yg terjadi jk sebuah grs}

(lengkung/lrs) berputar sekeliling sebuah grs lrs sbg sumbu.

 _{Grs lengkung datar : y = 0, f(x,z) = 0; diputar}

sekeliling sb z, maka pers bid putaran yang terjadi adalah ; f( x2+ y2 , z) = 0

 _{Grs lengkung datar : y = 0, f(x,z) = 0; diputar}

1. Jk grs lurus : x/a + z/b = 1, y = 0 diputar sekeliling sb z, maka terjadi :

( x2+ y2 )/a + z/b = 1 ATAU

(x2+ y2)/ a2 = (b-z)2/ b2 : ialah kerucut

2. Jk lingkaran x2+ y2 = a2 , y = 0 diputar sekeliling

sb z, maka x2+ y2 + z2 = a2 adalah bola

3. Jk parabola : x2 = 2pz, y = 0 diputar sekeliling

sb z, mk terjadi x2+ y2 = 2pz adalah parabolaida

6. Jk hiperbola :

x

2

/a

2

- z

2

/b

2

= -1, y = 0

diputar

sekeliling sb z maka terjadi

(

x

2

+ y

2

)/

a

2

-

z

2

/b

2

= -1

atau

- (x

2

/a

2

) - y

2

/a

2

+ z

2

/b

2

= 1

ialah

sebuah

hiperbola putaran daun dua.

7. Jk grs lurus x = a, y = 0 diputar sekeliling sb z, mk terjadi :

(x2+ y2)1/2 = a atau x2+ y2 = a2

BIDANG DERAJAT DUA

1. Elipsoida

x2/a2 + y2/b2 + z2/c2 = 1

Perpotonganya dgn bid koordinat berupa ellips. Pers bid singgung dititik P(x1,y1,z1) adalah

x1x/a2 + y1y/b2 + z1z/c2 = 1

2. Parabola Eliptik

-Perpotongan dgn bid z = k > 0

x2/a2 + y2/b2 = (2pk/a2) z2 berupa ellips

- _{Perpotongan dgn bid y = 0 berupa parabola}

- Perpotongan dgn bid x= 0 berupa parabola

- _{Persamaan bidang singgung dititik} T(x1,Y1,z1) adalah :

3.

Hiperbola daun satu

x2/a2 + y2/b2 - z2/c2 = 1

- Perpotongan dgn bid koordinat : Dengan bid z = 0 berupa ellips

Dengan bid x = 0 berupa hiperbola Dengan bid y = 0 berupa hiperbola

- Persamaan bidang singgung dititik P(x1,Y1,z1) adalah :

4. Hiperbola daun dua x2/a2 - y2/b2 - z2/c2 = 1

- Perpotongan dgn bid koordinat :

Dengan bid z = 0 berupa hiperbola

- Persamaan bidang singgung dititik P(x1,Y1,z1) adalah :

5. Parabolaida hiperbolik

- Persamaan bidang singgung dititik P(x1,y1,z1)

adalah :

SELAMAT BELAJAR