GEOMETRI EUCLID D I S U S U N OLEH :

GEOMETRI EUCLID

D

I

S

U

S

U

N

OLEH :

SARI MEILANI

(11321435)

TITIS SETYO BAKTI

(11321436)

DEWI AYU FATMAWATI

(11321439)

INKA SEPIANA ROHMAH (11321460)

KELAS II B MATEMATIKA

UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH PONOROGO

TAHUN AJARAN 2011/2012

GEOMETRI EUCLID

Geometri berasal dari Yunani, Geo dan Metri berarti tanah dan pengukuran.Geo, cabang matematika yang mempelajari titikl, garis, bidang, dan benda-benda ruang tentang sifat dan ukurannya serta hubungannya.

Pengertian Pangkal

Euclides dari Aleksandria, kira-kira 300 tahun sebelum Masehi. Dalam bukunya pertama dimulai dengan 23 definisi, 5 Postulat, 5 Aksioma, dan 45 Dalil.

Definisi – definisi

1. Titik ialah yang tidak mempunyai bagian 2. Garis ialah panjang tanpa lebar

3. Ujung-ujung suatu garis yang terletak rata dengan titik-titik padanya 4. Sauatu garis lurus ialah garis yang terletak rata titik-titik padanya 5. Suatu bidsng adalah hanya mempunyai panjang dan lebar

6. Ujung-ujung suatu bidang adalah garis

7. Suatu bidang datar ialah suatu bidang yang terletak rata dengan garis-garis padanya 8. Suatu sudut datar ialah inklinasi ( kemiringan ) sesamanya dari 2 garis dalam 1

bidang datar yang bertemu dan tidak terletak pada suatu garis lurus

Definisi

Postulat / Aksioma

9. Jika garis-garis yang memuat sudut itu lurus, maka sudut itu disebut sudut garis lurus

10. Jika suatu garis lurus berdiri pada suatu garis lurus dan membuat sudut yang bersisilah sama, masing-masing sudut ini disebut siku-siku dan garis yang berdiri pada garis lainnya tadi disebut tegak lurus pada garis yang lain

11. Suatu sudut tumpul ialah sudut yang lebih besar dan dari suatu sudut siku-siku 12. Sudut lancip ialah sudut yang lebih kecil dari suatu sudut siku-siku

13. Sudut batas ialah ujungnya ( akhirnya ) sesuatu

14. Suatu bangun adalah sesuatu yang termuat dalam suatu batas atau beberap batas 15. Suatu lingkaran ialah suatu bangundatar yang termuat dalam 1 garis sedemikian,

hingga semua garis lurus yang melalui suatu titik dalam bangun itu dan mengenai garis tadi sama panjang

16. Titik itu disebut titik lingkaran

17. Suatu garis tengah lingkaran ialah sebarang garis lurus yang melalui titik pusat dan pada kedua arahnya berakhir pada keliling lingkaran dan garis itu membagi 2 sama lingkaran itu

18. Suatu setengah lingkaran adalah bangun yang termuat dalam suatu garis tengah dan keliling lingkaran yang terbagi oleh garis tengah itu, titik pusat setengah lingkaran sama dengan titik pusat lingkaran

19. Bangun-bangun garis lurus ialah bangun-bangun yang termuat dalam (dibatasi oleh) garis-garis lurus. Bangun-bangun Inlateral ialah yang dibatasi oleh tiga, Quadrilateral dibatasi oleh 4 dan Multilateral dibatasi oleh lebih dari 4 garis

20. Dari bangun-bangun Trilateral (sisi tiga) suatu segitiga sama sisi ialah yang mempunyai 3 sisi sama, suatu segitiga sama kaki ialah yang hanya 2 sisinya sama dan suatu segitiga miring ialah semua sisinya tidak sam

21. Dan titik itu disebut titik pusat lingkaran

22. Selanjutnya dari bangun segitiga , suatu segitiga siku-siku yang mempunyai suatu sudut siku-siku, segitiga tumpul yang mempunyai sudut tumpul, segitiga lancip ketiga sudutnya lancip

23. Bangun-bangun sisi 4 yaitu suatu bujur sangkar yang sama sisi dan bersudut siku. Suatu 4 persegi panjang yang bersudut siku tetapi tidak bersudut siku-siku. Suatu jajargenjang yang sisinya dan sudutnya yang berhadapan sam. Tetapi tidak sama sisi dan tidak bersudut siku-siku, sisi empat yang lain dariini semua disebut trapesium.

24. Garis-garis lurus pararel ( sejajar ) ialah garis lurus yang terletak dalam suatu bidang datar dan jika diperpanjang tak terbatas pada ke-2 arahnya tidak akan bertemu pada arah yang manapun

Postulat – postulat

Hendaknya berikut dipostulatkan :

1. Menarik garis lurus dari sebarang tititk ke sebarang titik yang lain

2. Memperpanjang suatu ruas garis secara kontinu menjadi garis lurus

3. Melukis lingkaran dengan sebarang titik pusat dan sebarang jarak

4. Bahwa semua sudut siku – siku adalah sama.

5. Bahwa, jika suatu garis lurus memotong 2 garis lurus dan membuat sudut-sudut dalam sepihak kurang dari 2 sudut siku-siku maka garis itu jika diperpanjang tak terbatas. Akan bertemu dipihak tempat kedua sudut dalam sepihak kurang dari 2 sudut siku-siku

Aksioma – aksioma

1) Benda-benda yang sama dengan suatu benda yang sama, satu sama lainnya juga sama.

Jika A = C B = C

2) Jika suatu yang sama ditambah dengan suatu yang sama, jumlahnya sama.

A = B A + C = B + C

3) Jika suatu yang sama sikurangi dengan suatu yang sama maka sisanya sama.

A = B A - C = B - C

4) Benda-benda yang berhimpit satu sama lain, suatu sama lainnya sama.

AB = CD Berimpit sama panjang dan semua unsurnya 5) Seluruhnya lebih besar bagiannya.

∠AOB < ∠AOC

∠AOC

∠BOC

6) Suatu gambar geometri dapat dipindah tanpa mengubah bentuk dan besarnya.

Buku yang dipindah dari 1 tempat ke tempat yang lain tetap sama berbentuk buku

Membagi 2 sudut sama sebar

8) Setiap sudut mempunyai titik pertengahan.

A B AM = BM

9) Setiap segmen garis dapat diperpanjang sehingga sama dengan luas garis yang diketahui.

10) Semua sudut siku-siku adalah sama atau semua sudut lurus adalah sama.

TEOREMA – TEOREMA

TEOREMA 1

 Diketahui : garis L dan M berpotongan di O.

 Buktikan : <1 = <3 <2 = <4  Bukti :

1. Definisi 9 ( Jika garis – garis yang memuat sudut itu lurus maka sudut itu disebut sudut garis lurus )

2. <1 + <2 <3 + <4

<1 + <2 + <2 + <3 sehingga <1 = <3 3. Satu sama lain juga sama TERBUKTI

o 4 3 2 1 L M

 Diketahui : garis AB

 Buktikan : segitiga ABC sama sisi  Bukti :

1. Postulat 3 ( Melukis lingkaran dengan sembarang titik pusat dan sembarang jarak )

2. Melalui titik A ke B dapat dibuat sebuah lingkaran yang berpusat dititik A. 3. Melalui titik B ke A dibuat sebuah lingkaran yang berpusat dititik B.

4. Definisi 15 ( segitiga yang ketiga sisinya sama maka disebut segitiga sama sisi )

A B

C

A B

TEOREMA 3

 Diketahui : ∆ ABC dan ∆ DEF

 Buktikan :

 Bukti : Dengan cara kontradiksi , andai

a. Misal

b. Aksioma 4 ( benda – benda yang berhimpit satu sama lain, satu sama lain sama ) c. Aksioma 6 ( suatu gambar geometri dapat dipindah tanpa mengubah bentuk dan

besarnya )

d. ∆ ABC dipindah berhimpit dengan ∆ DEF e. Titik C terletak diperpanjang garis EF

i.

f. Akibatnya < BCA ≠ < EDF → <A > <D

g. Ada kontradiksi antara <A dan <D karena <A = <D h. Ada kontradiksi dengan kata lain

i. Aksioma 4 ( benda – benda yang berimpit satu sama lain, satu sama lain sama ) j. Aksioma 6 ( suatu gambar geometri dapat dipindah tanpa mengubah bentuk dan

besarnya)

k. ∆ ABC dipindah berhimpit dengan ∆ DEF l. Titik C terletak pada garis EF

AC = DF , AB = DE , A = D

BC = BF

BC  EF  BC > EF , BC < EF BC > EF BC > EF a D b F E c

Dua buah segitiga mempunyai 2 sisi dan sudut apitnya yang sama,sisi ketiganya adalah sama

 Diketahui : ∆ ABC = ∆ DEF  Buktikan :  Bukti : 1. Aksioma 4

Benda – benda yang berhimpit satu sama lain, satu sama lain sama

2. Aksioma 6

Suatu gambar geometri dapat dipindah tanpa mengubah bentuk dan besarnya

3. ∆ ABC dipindahkan berhimpit ∆ DEF 4. Akibatnya,

 Titik B terletak pada perpanjangan garis DE.

 <C > <F Kontradiksi dengan pernyataan <C = <F.

> SALAH

Misal <

 Titik B terletak digaris

 Akibatnya F > C

 Ada kontradiksi antara F dan C karena F = C

Jadi dapat disimpulkan bahwa AB = DE. < SALAH

Pengandaian salah , maka =

TERBUKTI A = D , C = F , AC = DF Buktikan AB = DE dan BC = EF Misal AB > DE   C B A   F E D C F A D F B E

Dua buah segitiga mempunyai dua sudut dan satu sisi apitnya yang sama maka sisi yang lainnya adalah sama

B E

TEOREMA 5

 Diketahui : Suatu garis lurus AB dan satu titik pada garis tersebut  Buktikan : Ada satu garis yang tegak lurus

 Bukti :

a. membuat satu garis lurus AB

b. Letakkan satu titik pada garis tersebut

c. Menarik garis lurus dari sebarang titik ke sebarang titik lain ( Postulat 1 ) d. Definisi 10

m

A B

Melalui suatu titik pada suatu garis pada tepat satu garis yang tegak lurus pada garis tersebut

 Diketahui : Suatu garis lurus PQ dan suatu titik diluar garis tersebut  Ditanya : Buktikan ada satu garis yang tegak lurus

 Bukti :

a. Membuat satu gurus lurus PQ

b. Letakkan satu titik diluar garis tersebut

c. Menarik garis lurus dari sebarang titik kesebarang titik lain d. Definisi 10

m

P _Q

Melalui suatu titik diluar garis pada tepat satu garis yang tegak lurus pada garis tersebut

TEOREMA 7

 Diketahui : Garis AB yang diperpanjang hingga titik D ( Aksioma 9 )  Ditanya : Buktikan

 Bukti :

a. Menarik garis lurus dari titik B hingga titik C ( Postulat 1 )

b. Setiap segmen garis mempunyai titik pertengahan. Titik E dipertengahan garis BC sehingga BE = CE ( Aksioma 8 )

c. Tarik garis A ke E ( Postulat 1 )

d. Memperpanjang garis AE sampai titik F sehingga AE = EF ( Aksioma 9 ) e. Tarik garis dari C ke F ( Postulat 1 )

f. Tarik garis dari B ke F ( Postulat ) g. Perhatikan ∆BEF dan ∆ACE

BEF dan AEC kongruen h. CAE = EFB dan ACE = EBF

i. CBD ACE karena seluruhnya lebih besar dari baginya (Aksioma 5)

TERBUKTI CBD > BAC CBD > ACB E C A B F D

Sebuah sudut diluar segitiga lebih besar dari salah satu sudut dalam yang tidak bersisisan dengan luar tersebut

 Diketahui :  Ditanya : Buktikan ! i. P1 = Q1 ii. P3 = Q1 P2 = Q2 P4 = Q2 P3 = Q3 P4 = Q4  Bukti : Penjelasan pertama :

a. Misal Q4 > P4 , maka K dan L akan membentuk sebuah segitiga, padahal K dan L

sejajar ( Kontradiksi )

b. P1 + P4 = Q1 + Q4 = sudut garis lurus

P4 = Q2 ( i.a )

P1 + Q4 – Q4 = Q1 + Q4 – Q4 ( Aksioma 3 )

c. Penjelasan selanjutnya sama.

Penjelasan kedua :

a. P3 + P4 = Q1 + Q4 = sudut garis lurus

b. P3 + Q4 = Q1 + Q4 ( ii. A )

c. P3 + Q4 – Q4 = Q1 – Q4 ( Aksioma 3 )

P3 = Q1

d. Penjelasan selanjutnya sama.

TERBUKTI Q₄ Q₂ P₂ P₃ P₁ P₄ Q₃ Q₁ m L K

Dua buah garis sejajar dipotong oleh garis transversal maka : 1. Sudut – sudut yang sehadap besarnya sama

Definisi

 Suatu bentuk geometri dikatakan kongruen dengan bentuk lain bila ada korespondensi dan korespondensi tersebut mempunyai ukuran yang sama.  Korespondensi antara dua segitiga merupakan kongruensi jika sudut-sudut yang

berkorespondensi dan sisi-sisi yang berkorespondensi kongruen.

Postulat Kesejajaran Euclid

Jika dua garis dipotong oleh suatu transversal sedemikian hingga jumlah sudut dalam sepihak dari transversal tersebut kurang dari 180, maka dua grais terseut akan berpotongan pada pihak dari transversal yang jumlah sudutnya kurang dari 180.

 Diketahui : Dua garis K dan L yang dipotong oleh suatu transversal garis M

 Ditanya : Buktikan K ⫽ L

 Bukti : Dungun cara kontradiksi

Misal K tidak ⫽ L , maka K dan L akan berpotongan dititik C

a. Titik P, Q , dan C membentuk suatu segitiga PQC

b. Sudut diluar segitiga lebih besar dari sudut didalam segitiga yang tidak bersisian dengan sudut luar tersebut , P1 > Q1 dan Q4 > P4

c. Sudut bertolak belakang sama besar ( Teorema 1 ) P1 = P2 , P1 = P3

Q1 = Q3 , Q4 = Q2

Dari pemisalan garis tersebut dapat dilihat bahwa : P3 > Q1

P4 < Q2

Terbukti kontradiksi

Karena K L adalah salah , maka TERBUKTI bahwa K ⫽ L.

2 2 3 1 4 3 1 4 P K Q L 2 2 3 1 4 3 1 4 P Q C K L

Jika dua garis dipotong oleh suatu transversal sedemikian hingga sudut – sudut dalam bersebrangan sama, maka dua garis itu adalah sejajar.

TEOREMA 9

 Diketahui :

 Garis p dan garis q garis l, dan

 Berpotongan dititik m dan n  Buktikan : p ⫽ q

 Bukti :

Andai p q, maka akan berpotongan dititik s

 p q dititik m maka m1 = 90  q dititik n maka n1 = 90

m1 = n1 (fakta)

 lihat 𝛥 msn

n1 m1 (Teorema 7)

 KONTRADIKSI dengan yang diketahui, sehingga pengandaian salah Maka, p ⫽ q TERBUKTI

 Diketahui :  Segitiga ABC  Buktikan :  A B 180  B C 180  A C 180  Bukti :

 Garis diperpanjang sedemikian hingga (Aksioma 9)

 Menarik garis lurus dari titik B ke titik O sehingga

 ⫽ (Postulat 1)  B1 B2 B3 180 (sudut lurus) ∠B2 ∠C (Teorema 7.1) ∠B3 ∠A (Teorema 7.1)  B1 B2 B3 180 B2 B3 180 B1 B2 B3 180 C A 180 TERBUKTI

 Melalui titik C dapat dibuat garis yang sejajar

(Postulat 1)  C1 C2 C3 180 (sudut lurus) ∠C1 ∠A (Teorema 7.1) ∠C3 ∠B (Teorema 7.1)  C1 C2 C3 180 C1 C3 180 C2 C1 C3 180 A B 180 TERBUKTI

 diperpanjang sedemikian hingga

(Aksioma 9)

 Menarik garis lurus dari titik B ke titik O sehingga ⫽ (Postulat 1)

 A1 A2 A3 180 (sudut lurus)

∠A2 ∠C (Teorema 7.1)

∠A3 ∠A (Teorema 7.1)

 A1 A2 A3 180

A2 A3 180 A1

A2 A3 180

C B 180 TERBUKTI

TEOREMA 11

 Diketahui :

 Segitiga ABC

 Buktikan : A B C 180  Bukti :

 Menarik garis lurus dari titik C ketitik yang lain sehingga ⫽ (Postulat 1)

 Karena ⫽ maka teorema sudut bersebrangan dapat diterapkan sehingga diperoleh C1 BAC, C2 ACB, C3 BC

 Jadi, C1 C2 C3 180 TERBUKTI

 Diketahui :  Segitiga ABC  A B  Buktikan : =  Bukti :  Bukti :

1. Setiap sudut mempunyai garis bagi melalui C ditarik garis bagi sehingga memotong dititik D

2. Lihat 𝛥AD2C2 dan 𝛥BD1C1  C1 C2 (Aksioma 7 )  (Aksioma 4)  A C2 D2 180  B C1 D1 180  A C2 D2 B C1 D1 D2 1 (Aksioma 2)  Karena : C1 C2 D2 1

Sehingga 𝛥AD2C2 𝛥BD1C1 (sudut, sisi, sudut)

Maka, = TERBUKTI

TEOREMA 13

 Diketahui :  Segitiga ABC  =  Buktikan : A B  Bukti :  Bukti :

1. Tarik garis bagi dan titik C sehingga memotong garis dititik D (Aksioma 7) 2. Lihat 𝛥AD1C1 dan 𝛥BD2C2

 C2 C1 (Aksioma 7 )  (Aksioma 4)  Karena : C2 C1

Sehingga AD1C1 𝛥BD2C2 (sisi, sudut, sisi)

Maka, A B TERBUKTI

 Diketahui :

 Sebuah segitiga

 Tiga sudut dalam suatu segitiga sama

A B C

 Buktikan : ketiga sisinya sama

= =

 Bukti :

1. Tarik garis bagi dari titik C ke titik D (Aksioma 7)

Sehingga C2 C1

Maka membentuk 2𝛥 yaitu 𝛥ACD dan 𝛥DCB

2. A B ( Diketahui ) C1 C2 (Aksioma 7) (Aksioma 4) 3. A C1 D1 180 (T.11 ) B C2 D2 180 A C1 D1 B C2 D2 180 180 D1 D2 Jika C1 C2 , , D1 D2

Sehingga 𝛥ACD 𝛥DCB (sisi, sudut, sisi)

Maka = TERBUKTI

Bukti selanjutnya

1. Tarik garis dari titik B ke titik D (Aksioma 7) Sehingga B1 B2

Terbentuk 2 𝛥 yaitu ABD dan 𝛥DBC

2. A C ( Diketahui ) (Aksioma 4) B1 B2 (Aksioma 7) 3. A B2 D2 180 (T.11 ) B B1 D1 180 A B2 D2 C B1 D1 180 180 D2 D1 Jika B1 B2 , , D1 D2

Sehingga 𝛥ABD 𝛥CBD (sisi, sudut, sisi)

Maka = = TERBUKTI

TEOREMA 14.1

 Diketahui :

 Tiga buah segi-n yaitu

a. Segi empat jumlah ukuran sudut 360 b. Segi lima jumlah ukuran sudut 540 c. Segi enam jumlah ukuran sudut 720

 Buktikan : Jumlah ukuran sudut suatu segi-n adalah (n-2) 180  Bukti

a. Segi empat jumlah ukuran sudut 360

 Menarik garis dari titik A ke C (Postulat 1)

 Dari gambar diatas diketahui bahwa segi empat merupakan gabungan dari 2 segitiga

 Berdasarkan teorema 10 maka jumlah sudut segi empat adalah 2 180 360 TERBUKTI

b. Segi lima jumlah ukuran sudut 540

 Menarik suatu garis dari titik A ke titik C dan dari titik E ke titik C

 Dari gambar diatas diketahui bahwa segi lima merupakan gabungan dari tiga segi tiga

 Berdasarkan teorema 10, maka jumlah sudut segi lima adalah 3 180 540

c. Segi enam jumlah ukuran sudut 720

 Menarik garis lurus dari titik B ke titik F dan titik C ketitik E (Posulat 1)

 Dari gambar diatas diketahui bahwa segi enam merupakan gabungan dari empat segitiga

 Berdasarkan Teorema 10, maka jumlah sudut segi enam adalah

4 180 720 TERBUKTI

Dari pola diatas dapat diambil kesimpulan bahwa jumlah ukuran suatu segi-n adalah (n-2) 180 TERBUKTI

SEGI EMPAT



Trapesium Adalah Segi Empat Dengan Sepasang Sisi Yang Berhadapan Sejajar (Minimal Sepasang)



Jajar Genjang Adalah segi empat dengan kedua pasang sisi yang

berhadapan sejajar



Persegi panjang adalah jajar genjang dengan ke empat sudutnya

siku-siku



Belah Ketupat Adalah Jajar Genjang Dengan Ke Empat Sisinya

Kongkruen



Bujur Sangkar Adalah Persegi Panjang Dengan Ke Empat Sisinya

Kongkruen

TEOREMA 15

 Diketahui :

 Sebuah Jajar Genjang ABCD

⫽ dan ⫽

 dan Adalah Diagonal Jajar Genjang  Ditanyakan :  Buktikan : 1) 2)  Bukti : 1) Perhatikan (Berimpit)

(Sudut-Sudut Dalam bersebrangan)

(Sudut-Sudut Dalam bersebrangan)

(Sudut, Sisi, Sudut) 2) Perhatikan

(Sudut-Sudut Dalam bersebrangan)

(Sudut-Sudut Dalam bersebrangan) (Sudut, Sisi, Sudut)

 Diketahui :

 Sebuah Jajar Genjang ABCD  Ditanyakan :

 Buktikan : 1)

2)

 Bukti :

1) Tarik garis lurus dari titik A ke titik C (Postulat 1)

2) AC adalah diagonal jajar genjang

3) Berdasarkan Teorema 15

( Berimpit)

4) Karena semua yang berkrokuensi sama maka = dan =

TEOREMA 17

 Diketahui :

 Sebuah Jajar Genjang ABCD  Ditanyakan :

 Buktikan : 1) 2)  Bukti :

1) Menarik garis lurus dari titik B ke titik d (Postulat 1)

2) BD adalah diagonal jajar genjang

3) Berdasarkan Teorema 15

4) Karena semua berkrongkuensi sama maka 5)

6)

 Diketahui :

 Garis a ⫽garis b

 Titik C dan D di garis a

 Titik P dan Q di garis b  Ditanyakan :

 Buktikan Jarak

 Bukti :

1. jarak garis a ke b maka tegak lurus terhadap garis b 2. jarak garis a ke b maka tegak lurus terhadap garis b

3. (Teorema 9 Dua garis yang tegak lurus pada suatu garis adalah sejajar)

4. CDQP adalah jajar genjang (Definisi Jajar Genjang)

Jika dua garis sejajar maka tiap dua titik pada satugaris berjarak sama terhadap garis lain

TEOREMA 19

 Diketahui :

JAJAR GENJANG ABCD

dan adalah diagonal jajar genjang

 Ditanyakan :  Buktikan Jarak  Bukti :  ⫽

(Sudut, Sudut , Sudut)Karena semua yang berkongruensi sama. Maka,

Diagonal-diagonal jajar genjang saling membagi 2 sama panjang

Komplemen = 90

Suplemen = 180

 Diketahui :

Suatu Jajar Genjang ABCD  Ditanyakan : Buktika A B 180 B C 180 C 180 A D 180  Bukti :

 Perpanjang garis sampai E (Postulat 2)

 Perpanjangan garis sampai F (Postulat 2)

 Karena ⫽ , maka ⫽

 A2 B1 (Sudut dalam bersebrangan)

 A1 B1 A1 A2 180 (Sudut Pelurus)  A1 C (Teorema 17)  B1 C B1 A1 180 (Sudut Pelurus)  1 (Teorema 17)  C D C B1 180 (Sudut Pelurus)  A1 A1 B1  C D C B1 180 (Sudut Pelurus)

TEOREMA 21

 Diketahui :

 Persegi panjang ABCD

 dan , diagonal persegi panjang ABCD  Buktikan : =

 Bukti :

= ( Berimpit ) = ( Teorema 16 )

∠A = ∠B ( Definisi Persegi panjang ) 𝛥ABD 𝛥ABC ( sisi, sudut, sisi ) Semua yang berkongruensi sama, maka = TERBUKTI

 Diketahui :

 Segiempat ABCD

 ⫽ dan ⫽  Buktikan : ABCD Jajar genjang  Bukti :

1. Tarik garis dari titik A ke titik C ( Postulat 1 ) 2. (Berimpit)

∠A2 ∠C3 (Bersebrangan dalam)

∠A1 ∠C4 (Bersebrangan dalam)

𝛥ABC 𝛥ACD (sudut, sisi, sudut )Semua yang berkongruensi sama, maka ABCD Jajar Genjang (Teorema 15) TERBUKTI

Jika kedua pasang sisi yang berhadapan dari suatu segi empat sejajar, maka segi empat itu adalah jajar genjang

TEOREMA 23

 Diketahui :

 Belah ketupat ABCD

 = =

 dan , diagonal belah ketupat  Buktikan :  Bukti : O1 O2 (Tolak Belakang) O2 O4 (Tolak Belakang) O1 O2 180 (Garis Lurus) O1 O1 180 (Garis Lurus) 2 O1 180 O1 , O2 O1 O2 (Teorema 13) O3 O4 (Teorema 13) O3 O4 180 (Berpelurus) O3 O3 180 (Berpelurus) 2 O3 180 O3 , O4 O1 O2 O3 O4

maka (Definisi 10) TERBUKTI

 Diketahui :

 Belah ketupat ABCD

 dan diagonal belah ketupat ABCD

  Buktikan : ∠ACB = ∠ACD  Bukti :

Perhatikan 𝛥ACB dan 𝛥ACD (Berimpit) (Diketahui) (Diketahui)

𝛥ACB 𝛥ACD (sisi, sudut, sisi)

“Dua segitiga yang kongruen mempunyai sudut-sudut yang bersesuaian sama besar “ 𝛥ABC 𝛥ACD TERBUKTI

TEOREMA 25

 Diketahui :

 Segi empat ABCD

 ⫽ ,  Buktikan : ABCD Jajar genjang  Bukti :

 Tarik garis dari titik A ke titik C, sehingga terbentuk diagonal ABCD ∠A1 ∠C4 (Bersebrangan dalam)

∠A2 ∠C3 (Bersebrangan dalam)

(Berimpit)

𝛥ABC 𝛥ACD ( sudut, sisi, sudut )

Sehingga ABCD Jajar genjang (Teorema 15) TERBUKTI

Jika dua sisi dan suatu segi empat sejajar dan konguen, maka segi empat tersebut jajaran genjang

 Diketahui :  𝛥ABC  (D titik tengah )  (E titik tengah )  Buktikan : 1. ⫽ 2.  Bukti :

1. Perpanjangan garis sampai titik F sehingga

2. Tarik garis dari titik B ke tititk F a. E1 E2 (bertolak belakang)

b. (diketahui) c. (dari 1)

𝛥DEC 𝛥FEB (sisi, sudut, sisi) d. F3 D4 (akibat kongruensi) e. ⫽ (akibat kongruensi) f. (akibat kongruensi) g. (diketahui) h. (dari f dan g) i. ⫽ (dari e dan h)

j. ABFD jajar genjang (dari h dan I, Teorema 25) k. ⫽ (dari j)

l. ⫽ ( bagian dari dan k)...(1)TERBUKTI m. (diketahui)

n. (dari j)

o. (dari m dan n)………...(2)TERBUKTI

Jika suatu segmen ditarik dari titik tengah dua sisi segitiga maka segmen tersebut sejajar dengan sisi yang ke tiga dan panjangnya setengah dari sisi yang ke tiga

TEOREMA 27  Diketahui :  Trapesium ABCD    Buktikan : 1. ⫽ ⫽ 2. + )  Bukti :

1. Tarik garis dari titik D ke titik G melalui titik A 2. Perpanjangan garis sampai titik G

Perhatikan 𝛥GFB dan 𝛥DFC a. F1 D2 (Teorema 1)

b. (diketahui)

c. B3 4 (Bersebrangan dalam)

d. 𝛥GFB (sudut, sisi, sudut)

Perhatikan 𝛥ADG e. (akibat d) Teorema 26 f. ⫽ (Diketahui) g. ⫽ (Teorema 26) h. ⫽ ( bagian dari )

i. ⫽ ( atau dari definisi trapesium) j. + ) (Teorema 26)

k. (dari d)

l. + ) (dari j dan k) TERBUKTI

Median suatu trapezium sejajar dengan sisi-sisi yang sejajar dan panjangnya setengah dari jumlah sisi-sisi yang sejajar

 Diketahui: 1. 𝛥ABC 2. 3. ⫽  Buktikan :  Bukti :

1. Tarik garis titik E ke titik F dan G sehingga ⫽ 2. Tarik garis titik C ke titik F sehingga ⫽

a. ⫽ ( ⫽ ) b. ⫽ (diketahui)

c. DEFC jajargenjang (a dan b) d. ⫽ ( ⫽ )

e. ⫽ ( ⫽ )

f. AGED jajargenjang (d dan e) g. (Teorema 16 e) h. (Teorema 16 ) i. (Diketahui) j. (g,h, dan i) k. E1 E2 (Bertolak belakang) l. F3 B4 (Bersebrangan dalam)

m. 𝛥CEF (sudut, sisi, sudut) n. (Akibat m) TERBUKTI

Jika suatu garis sejajar terhadap suatu sisi segitiga dan membagi dua sama panjang sisi ke dua, maka membagi dua juga sisi yang ke tiga

TEOREMA 29  Diketahui :  Trapesium ABCD  ⫽ ⫽  ⫽  Buktikan :  Bukti :

1. Tarik garis titik C ke titik G sehingga ⫽ 2. Tarik garis titik F ke titik H sehingga ⫽

a. ⫽ ( ⫽ b. ⫽ (Diketahui)

c. EGCD Jajar genjang (a dan b) d. ⫽ Diketahui

e. ⫽ ( ⫽ )

f. AHFE Jajar genjang (d dan e) g. (Teorema 16 dari c) h. (Teorema 16 dari f) i. (Diketahui) j. C1 F2 (Sehadap) k. G3 H4 (Sehadap) l. (Akibat c) m. (Akibat f) n. ( )

o. 𝛥GFC (sudut, sisi, sudut) p. (Akibat o) TERBUKTI

Jika suatu garis sejajar terhadap sisi yang sejajar, pada suatu trapezium dan membagi sama panjang. Salah satu sisi yang tidak sejajar maka akan membagi

 Diketahui :

 ⫽ ⫽

  Buktikan :  Bukti :

1. Tarik garis titik D ke titik G sehingga ⫽ 2. Tarik garis titik E ke titik H sehingga ⫽

a. ⫽ ( bagian dari , ⫽ ) b. ⫽ (Akibat 1)

c. ABGD Jajar genjang (dari a dan b) d. ⫽ ( bagian dari , ⫽ ) e. ⫽ (dari 2)

f. BCHE Jajar genjang (dari d dan e) g. D1 E3 (Sehadap)

h. G2 H4 (Sehadap)

i. (dari b dan e, ) j. 𝛥GED (sudut, sisi, sudut) k. (akibat j) TERBUKTI

Ada tiga garis sejajar dipotong sebuah garis transversal, sedemikian hingga membuat perbandingan yang sama maka ada garis transversal lain yang

TEOREMA 31  Diketahui :  𝛥 ABC     A D  Buktikan : 1. A B , A D

2. Sudut yang kecil menghadap sisi yang pendek  Bukti :

1. Tarik garis dari titik C ke garis sehingga 2. 𝛥 ADC sama kaki

Maka , A D (Teorema 13)

D1 B (Teorema 7)

A B

3. , menghadap A

A B, maka menghadap B TERBUKTI

Jika dua sisi suatu segitiga tidak kongruen, maka sudut-sudut dihadapan sisi itu tidak kongruen, dan sudut yang lebih kecil berhadap dengan sisi yang lebih

KESEBANGUNAN

DEFINISI :

Dua poligon dikatakan sebangun jika hanya jika sudut-sudut yang berkorespondens dari dua segitiga itu kongruen dan sisi-sisi yang berkorespondens merupakan proposional. Dua segitiga dikatakan sebangun jika sudut-sudut yang berkorespondens kongruen. Proposional adalah jika ada dua atau lebih perbandingan bernilai sama.

Ilustrasi: Bukti : 1. (Siku-siku) 2. (Berimpit) 3. Karena , maka Perbandingan : ̅̅̅̅ _̅̅̅̅ ̅̅̅̅ _{̅̅̅̅ ̅̅̅̅} ̅̅̅̅

TEOREMA 32

Teorema ini mempunyai dua pembuktian :  PEMBUKTIAN PERTAMA

Jika maka , B 0 dan D 0 ---Kalikan BD

TERBUKTI!!

 PEMBUKTIAN KEDUA

Jika maka , B 0 dan D 0 ---Dibagi BD TERBUKTI!! 𝑨 𝑩 𝑪

 Diketahui : l ⫽ m ⫽ n

 Ditanya : Buktikan 1. ̅̅̅̅ : ̅̅̅̅ = ̅̅̅̅ : ̅̅̅̅ 2. ̅̅̅̅ : ̅̅̅̅̅ = ̅̅̅̅ : ̅̅̅̅  Bukti :

1. Tarik garis sejajar ̅̅̅̅ dari titik B Lihat !

ABCC’ adalah jajar genjang CC’EE’ adalah jajar genjang 2. Lihat ∆ dan ∆

Maka (Berimpit)-(Aksioma 4) (Sehadap)

(Sehadap) Sehingga ∆ dan ∆ sebangun

TERBUKTI!!

Tiga buah garis sejajar dipotong oleh dua garis transversal, maka garis pembagi transversal dengan perbandingan proposional.

TEOREMA 34

 Diketahui : - Ada ∆

- Garis l memotong bagian dalam ∆ dititik D dan E - ̅̅̅̅ ̅̅̅̅  Ditanya : Buktikan ̅̅̅̅ _̅̅̅̅ ̅̅̅̅ _̅̅̅̅ !  Bukti : Lihat ∆ dan ∆ (Berimpit)-(Aksioma 4) (Sehadap)-(Teorema 7.1) (Sehadap)-(Teorema 7.1) Sehingga ∆ ∆ , maka ̅̅̅̅ _̅̅̅̅ ̅̅̅̅ _̅̅̅̅ TERBUKTI!!

Jika suatu garis memotong bagian dalam (interior) suatu segitiga dg sejajar pada salah satu sisi maka garis tersebut membagi dari sisi yg lain secara proposional.

 Diketahui : - Ada ∆

- Garis l memotong bagian dalam ∆ dititik D dan E - ̅̅̅̅ ̅̅̅̅

 Ditanya : Buktikan ̅̅̅̅ _{̅̅̅̅ ̅̅̅̅} ̅̅̅̅ !  Bukti :

1. Tarik garis dari titik E sejajar ̅̅̅̅

(Sehadap)-(Teorema 7.1) (Sehadap) Maka Sehingga ∆ ∆ , maka ̅̅̅̅ _̅̅̅̅ ̅̅̅̅_̅̅̅̅ 2. Lihat AFDE ̅̅̅̅⫽ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅⫽ ̅̅̅̅

Maka AFDE adalah jajar genjang

Sehingga ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ (Teorema 16) , ̅̅̅̅ _̅̅̅̅ ̅̅̅̅ _̅̅̅̅

TERBUKTI!!

Jika suatu garis memotong bagian dalam (interior) suatu segitiga dengan sejajar pada suatu sisi maka sisi-sisi lain dipotong garis tersebut menurut suatu

TEOREMA 36

 Diketahui : - Ada ∆ - ̅̅̅̅ ̅̅̅̅

- ̅̅̅̅ adalah garis bagi

 Ditanya :Buktikan ̅̅̅̅ _̅̅̅̅ ̅̅̅̅ _̅̅̅̅ !  Bukti : Lihat ̅̅̅̅ = ̅̅̅̅ (Aksioma 4) ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ (Diketahui) (Diketahui)

Sehingga (sisi, sudut, sisi), maka ̅̅̅̅ _̅̅̅̅ ̅̅̅̅ _̅̅̅̅

TERBUKTI!!

Garis bagi suatu segitiga membagi sisi dihadapannya menjadi segmen-segmen secara proposional dengan perbandingan sisi-sisi yang mengapit sudut (segitiga harus sama kaki).

 Diketahui : - ∆ dan ∆DEF - - -

 Ditanya : Buktikan ∆ABC ∆DEF !  Bukti :

1. (Diketahui) 2. Buat x pada ̅̅̅̅, sehingga ̅̅̅̅ = ̅̅̅̅

3. Buat y pada ̅̅̅̅, sehingga ̅̅̅̅= ̅̅̅̅

4. Tarik garis dari titik x ke titik y (Postulat 1) 5. (Sisi, Sudut, Sisi) 6. =

7. = 8. =

9. ̅̅̅̅ ⫽ ̅̅̅̅ (Teorema 8) 10. ̅̅̅̅ _̅̅̅̅ = ̅̅̅̅ _̅̅̅̅ (Teorema 28) 11. Karena ̅̅̅̅ = ̅̅̅̅ dan ̅̅̅̅= ̅̅̅̅, maka

̅̅̅̅ ̅̅̅̅ = ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ 12. = (Diketahui) 13. Buat s pada ̅̅̅̅, sehingga ̅̅̅̅ = ̅̅̅̅

14. Buat t pada ̅̅̅̅, sehingga ̅̅̅̅ = ̅̅̅̅

15. Tarik garis dari titik s ke titik t (Postulat 1) 16. (Sisi, Sudut, Sisi) 17. =

18. = 19. = 20. ̅̅̅̅ // ̅̅̅̅

21. ̅̅̅̅ _̅̅̅̅ = ̅̅̅̅ _̅̅̅̅ (Teorema 28) 22. Karena ̅̅̅̅ = ̅̅̅̅ dan ̅̅̅̅ = ̅̅̅̅, maka

̅̅̅̅ ̅̅̅̅ = ̅̅̅̅ ̅̅̅̅

Karena _̅̅̅̅ ̅̅̅̅ = ̅̅̅̅ _̅̅̅̅ = ̅̅̅̅ _̅̅̅̅ , maka ∆ABC ∆DEF

Jika sudut-sudut suatu segitiga kongruen dengan sudut-sudut segitiga lain, maka dua segitiga tersebut sebangun.

TEOREMA 38

 Diketahui : - ∆ dan ∆DEF - -

 Ditanya : Buktikan ∆ABC ∆DEF !  Bukti : 1. Pada ∆ (Teorema 10) 2. Pada ∆DEF (Teorema 10)

Karena dan , maka

Berdasarkan Teorema 37 (Sudut, Sudut, Sudut) , maka ∆ABC ∆DEF

Jika dua sudut suatu segitiga kongruen dengan dua sudut segitiga lain, maka kedua segitiga tersebut sebangun.

 Diketahui : - ∆ dan ∆XYZ

- (Siku-Siku) -

 Ditanya : Buktikan ∆ABC ∆XYZ !  Bukti : 1. Pada ∆ (Teorema 10) 2. Pada ∆ (Teorema 10)

Karena dan , maka

Berdasarkan Teorema 37 (Sudut, Sudut, Sudut) , maka ∆ABC ∆XYZ

Jika dua segitiga siku-siku mempunyai sudut lancip yang kongruen sudut lancip segitiga siku-siku yang kedua, maka kedua segitiga siku-siku tersebut sebangun.

TEOREMA 40

 Diketahui : - ∆ - ̅̅̅̅ ⫽ ̅̅̅̅

 Ditanya : Buktikan ∆ABC ∆XYC !  Bukti :

1. Putar ∆ABC Sebesar ,

sehingga ̅̅̅̅ ⫽ ̅̅̅̅ (Aksioma 6)

2. (Bertolak Belakang) 3. (Sudut dlm bersebrangan) 4. (Sudut dlm bersebrangan)

Berdasarkan Teorema 37 (Sudut, Sudut, Sudut) , maka ∆ABC ∆XYC

Jika suatu garis sejajar dengan salah satu sisi dari suatu segitiga dan menentukan segitiga kedua, maka segitiga kedua sebangun dengan segitiga awal.

 Diketahui : - ∆ dan ∆DEF - - ̅̅̅̅ _̅̅̅̅ ̅̅̅̅ _̅̅̅̅

 Ditanya : Buktikan ∆ABC ∆DEF !  Bukti :

1. Memindah ∆DEF ke ∆ABC (Aksioma 6)

2. Karena ̅̅̅̅ _̅̅̅̅ ̅̅̅̅ _̅̅̅̅ , maka berdasarkan Teorema 30 3. ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ (Sehadap) 4. (Berimpit) 5. (Sehadap)

Karena ketiga sudut ∆ABC dan ∆DEF kongruen yang berdasarkan teorema 37 , maka ∆ABC ∆DEF

Jika satu sudut dari suatu segitiga kongruen dengan satu sudut dari segitiga lain, dan sisi sisi yang mengapit kedua sudut tersebut proporsional, maka kedua

TEOREMA 42

 Diketahui : - ∆ dan ∆DEF - ̅̅̅̅ _{̅̅̅̅ ̅̅̅̅} ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ _̅̅̅̅

 Ditanya : Buktikan ∆ABC ∆DEF !  Bukti :

1. Mencari sisi–sisi yang berkorespondensi dari perbandingan yang proporsional

̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ (Diketahui)

2. Karena ̅̅̅̅ _{̅̅̅̅ ̅̅̅̅} ̅̅̅̅ , maka berdasarkan teorema 30 ̅̅̅̅ ̅̅̅̅

 (Sehadap)  (Sehadap)  (Teorema 10)  (Teorema 10)

 Karena dan , maka

Karena sisi-sisinya memiliki perbandingan yang proposional dan ketiga sudutnya sama, maka ∆ABC ∆DEF

Jika sisi-sisi yang berkorespondensi dari dua segitiga proporsional, maka kedua segitiga kongruen.

 Diketahui : - ∆ dan ∆DEC Kongruen proposional - - - - _̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ _̅̅̅̅ ̅̅̅̅ _̅̅̅̅  Ditanya : Buktikan !  Bukti : 1. Keliling = ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ 2. Keliling = ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ 3. _̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ _̅̅̅̅ ̅̅̅̅_̅̅̅̅ TERBUKTI!!

Garis tinggi suatu segitiga adalah ruas garis yang ditarik dari titik sudut suatu segitiga dan tegak lurus terhadap sisi dihadapannya.

TEOREMA 45

 Diketahui : - ∆ dan ∆MNO kongruen proposional -

- - - _̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅ _̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅ _̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅

- ̅̅̅̅̅ adalah garis tinggi ∆ - ̅̅̅̅ adalah garis tinggi ∆MNO - (Siku-siku)  Ditanya : Buktikan ̅̅̅̅ _{̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅}̅̅̅̅ ̅̅̅̅ _{̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅} ̅̅̅̅ !  Bukti :

1. Pindahkan ∆MNO ke ∆ , sehingga garis ̅̅̅̅̅ berimpit dengan garis ̅̅̅̅ 2. Perhatikan ∆ACD dan ∆MOP !

(Diketahui) (Diketahui)

3. Berdasarkan Teorema 38, maka ∆ACD ∆MOP, sehingga ̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ 4. Karena _̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅ _̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅ _̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅ , maka ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ TERBUKTI!!

Garis berat suatu segitiga adalah ruas garis yang ditarik dari titik sudut suatu segitiga ke pertengahan sisi dihadapannya.

TEOREMA 46

 Diketahui : - ∆ dan ∆MNO kongruen proposional -

- - - _̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅ _̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅ _̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅

- ̅̅̅̅̅ adalah garis berat ∆ - ̅̅̅̅ adalah garis berat ∆MNO - ̅̅̅̅ ̅̅̅̅

- ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅

 Ditanya : Buktikan ̅̅̅̅ _{̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅}̅̅̅̅ ̅̅̅̅_{̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅} ̅̅̅̅ !  Bukti :

1. Karena _̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅ _̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅ _̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅ , maka _⁄ ⁄ _̅̅̅̅̅̅̅̅̅ _̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅ _̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅

2. Karena ̅̅̅̅ = ̅̅̅̅ dan ̅̅̅̅̅ = ̅̅̅̅̅ , maka _̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅ _̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅ _̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅ 3. Perhatikan ∆

 Pindahkan dan ∆ , sehingga (Diketahui) ̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ (Dari 2)

Berdasarkan Teorema 41, maka

∆ , sehingga _̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅ _̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ _̅̅̅̅

4. Karena _̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅ _̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅ _̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅ , maka _̅̅̅̅̅̅̅̅ _̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅ _̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅ _̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅

Garis berat dua segitiga kongruen proposional dengan pasangan sisi yang berkorespondens.

TEOREMA 47

 Diketahui : - Suatu ∆

- adalah sudut siku-siku

- ̅̅̅̅ adalah garis dari garis tinggi ke sisi miring  Ditanya : Buktikan, a. ∆

b. ∆  Bukti :

1. Karena ∆ adalah segitiga siku-siku, maka garis ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ , sehingga (Siku-siku)

2. Perhatikan ∆

(Siku-siku)

(Berimpit)

Berdasarkan Teorema 38, maka ∆ 3. Perhatikan ∆

(Siku-siku)

(Berimpit)

Berdasarkan Teorema 38, maka ∆

Garis tinggi ke sisi miring suatu segitiga menjadikan dua segitiga yang sebangun dengan segitiga asal.

TEOREMA PHYTHAGORAS

Pada sebarang segitiga siku-siku, kuadrat sisi miring sama dengan jumlah kuadrat sisi-sisi lainnya.

PEMBUKTIAN PERTAMA :

 Diketahui : 4 buah segitiga siku-siku yang sama  Ditanya : Buktikan !

 Bukti :

1. Susun 4 segitiga siku-siku seperti bujur sangkar berikut

2. LUAS Persegi dengan sisi c + 4 LUAS segitiga siku-siku = LUAS bujur sangkar dg sisi (a+b) TERBUKTI!!

PEMBUKTIAN KEDUA :

 Diketahui : - Suatu ∆MNO siku-siku di M - ̅̅̅̅̅

- ̅̅̅̅̅ - ̅̅̅̅

 Ditanya : Buktikan !  Bukti :

1. Perpanjang garis ̅̅̅̅̅ menjadi ̅̅̅̅̅ (Postulat 2) sehingga ̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅

2. Tarik garis dari titik P ke titik Q (Postulat 1),

̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅, ̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅

3. Tarik garis dari titik Q ke titik O dan titik Q ke titik N (Postulat 1)

4. MNQP adalah Trapesium ( ̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅) 5. adalah segitiga siku-siku

(Sudut Pelurus) 6. LUAS trapezium MNQP = ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ = = ---(1) 7. LUAS trapezium MNQP = LUAS 3 Segitiga

= LUAS ∆MNO + LUAS ∆OPQ + LUAS ∆NOQ = + +

=

= ---(2) 8. Dari persamaan (1) dan persamaan (2) diperoleh

₌

 Diketahui : - Sebuah ∆ siku-siku di A - ̅̅̅̅ - ̅̅̅̅ - ̅̅̅̅ - ̅̅̅̅ - ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ - ̅̅̅̅ - (Siku-siku)  Ditanya : Buktikan !  Bukti : 1. Perhatikan ∆  (Siku-siku)  (Berimpit)  (Teorema 10)  (Teorema 10) Karena , maka

Dari analisis di atas, maka ∆ 2. Perhatikan ∆  (Diketahui)  (Berimpit)  (Teorema 10)  (Teorema 10)

Karena Karena , maka

Dari analisis di atas, maka ∆ 3. Karena ∆ , maka

_---(1)

4. Karena ∆ , maka

_---(2)

5. Karena c = + , maka berdasar persamaan (1) dan(2) diperoleh

c +