Riset Operasi Kuliah 3 Perumusan Persoalan dan Pembuatan Model

Perumusan Persoalan

dan Pembuatan Model

Pentingnya Perumusan Persoalan

 Memodelkan situasi atau permasalahan

merupakan bagian utama sebelum dapat diselesaikan dengan metoda-metoda yang ada pada riset operasi.

 Model Riset Operasi didefinisikan sebagai

suatu representasi ideal dan sederhana dari sistem yang sebenarnya.

 Sistem disini adalah :

◦ Sistem yang ada pada saat ini.

 Sistem Yang Ada Sekarang :

Tujuan pembentukan model untuk menganalisa tingkah laku sistem agar dapat diperbaiki

kinerjanya

 Sistem Yang Akan Dijalankan :

Tujuan pembentukan model untuk

Tahapan Dalam Pemodelan

Pendefinisian Permasalahan

Formulasi Model Matematis

Penurunan Solusi dari Model

Pengujian Model

Pendefinisian

Permasalahan

Untuk memudahkan dalam penyelesaian masalah adalah mendifinisikan

permasalahan dengan benar dan tepat, meliputi :

 _{Menentukan obyektif yang sesuai}  _{Batasan-batasan yang relevan}

 _{Hubungan antara area yang dipelajari}

dengan area organisasi

Formulasi Model Matematis

Tipe dari model Riset Operasi adalah :

Model Simbolis atau Matematis

karena:



_{Variabel yang relevan dengan}

permasalahan sifatnya “quantifyable’



_{Merupakan model yang dapat dianalisis}

Formulasi Model

Matematis

Model matematis terdiri dari 3 elemen dasar, yaitu :

1. Variabel Keputusan dan Parameter :

Variabel keputusan adalah sesuatu yang ditetapkan dari solusi model.

Parameter merepresentasikan variabel-variabel yang terkendali

2. Batasan :

Memberikan batasan pada variabel

keputusan yang menghasilkan nilai yang layak.

Formulasi Model Matematis –

cont’d

3. Fungsi Obyektif :

 _{Didifinisikan sebagai ukuran dari}

keefektifan sistem sebagai fungsi

matematik dari varil-variabel keputusan.

 _{Berperan sebagai indikator untuk mencapai}

solusi yang optimal.

 _{Solusi yang optimal diperoleh ketika nilai}

yang berhubungan dengan variabel

keputusan menghasilkan nilai terbaik dari fungsi obyektif yang sesuai dengan

Bentuk Matematis dari Riset Operasi : Optimasi x0 = f ( x1, …., xn)

Batasan :

g (x1, …., xn)  bi, i = 1,2,…,m xj  0, j = 1,2,…,n

Keterangan :

f : fungsi obyektif

bi : batasan yang diketahui xj  0 : batasan non negatif.

Penurunan Solusi dari

Model



Tahapan ini merupakan

penyederhanaan dari model

matematika untuk mempermudah

penelusuran secara analitis



Penyederhanaan yang umum :



_{Mengkonversikan variabel diskrit}

menjadi kontinu



_{Membuat linier dari fungsi yang}

non-linier

Pengujian Model

 Tahapan ini merupakan validasi dari model

yang telah dibuat.

 Suatu model dinyatakan valid bila

◦ Merepresentasikan sistem secara tepat dan benar

◦ Memberikan prediksi yang andal akan kinerja sistem

◦ Dalam kondisi masukan (input) serupa dapat

menghasilkan kembali kinerja masa lalu dari sistem  Metode yang umum untuk pengujian validitas

Ada dua tujuan yang akan dicapai yaitu O₁ dan O₂ dengan dua alternatif tindakan yaitu A₁ dan A₂ dan telah ditentukan nilai efisiensi bagi setiap tujuan seperti dalam tabel

berikut:

Contoh

O₁ O₂

A₁ 0,8 0,4

Tindakan mana yang harus diambil?

Apabila O₁ lebih penting daripada O₂ maka harus memilih tindakan A₁, dan apabila O₂ lebih penting maka harus memilih tindakan O₁

Bagaimana membuat kriteria pemilihan secara eksplisit?

Misalnya kepentingan relatif O₁ adalah 0,3 dan O₂ adalah 0,7. Efisiensi untuk setiap tindakan dapat digambarkan dengan tabel berikut:

Jumlah efisiensi untuk setiap tindakan dapat

disebut efektivitas relatif yang dapat dipergunakan untuk dasar pemilihan tindakan.

Dengan demikian untuk mencapai tujuan O2, maka tindakan yang dipilih adalah A2

O1 O2

A1 0,3 x 0,8 = 0,24 0,7 x 0,4 = 0,28

Ada tiga tahapan yaitu:

 Pertama, meneliti daftar objektif untuk

menentukan kalau ada pencapaian objektif yang hanya merupakan perantara saja atau seagai alat untuk menjadi objektif

sesungguhnya

 Kedua, meneliti setiap objektif serta

menghubungkannya dengan aternatif tindakan untuk menentukan apakah

pencapaian suatu objektif berhubungan

langsung dengan pemilihan alternatif tindakan

 Ketiga, menggabungkan objektif dari

berbagai pihak yang memang sama,

misalnya pemilik perusahaan dan karyawan memang sama-sama tertarik untuk

mempertahankan stable employment,

Perlu kiranya dilakukan penelitian terhadap daftar alternatif pengambilan tindakan,

karena sangat dimungkinkan ada yang dapat dihilangkan dari daftar apabila memang tidak diperlukan. Misalnya rencana penempatan

pabrik di suatu tempat dimana pajak

tanahnya sangat tinggi dan tidak dapat ditawar lagi, maka keputusan untuk

mendirikan pabrik di tempat tersebut

diurungkan saja, dicoret dari daftar alternatif pengambilan tindakan

Ukuran efektivitas mencakup dua

komponen:



Pentingnya objektif yang akan

dicapai



Efisiensi pengambilan tindakan

Langkah yang diperlukan untuk membentuk ukuran efektivitas secara kuantitatif:

1. Buat ukuran efisiensi relatif terhadap setiap objektif

2. Apabila ternyata ukuran efisiensi dari

langkah pertama berbeda, maka harus dicari suatu cara untuk mengubahnya menjadi

ukuran efisiensi yang seragam atau baku 3. Untuk setiap tindakan dan setiap objektif

tentukan probabilitas untuk mencapai setiap tingkatan kemungkinan efisiensi. Hal ini

4. Untuk setiap pengambilan tindakan,

jumlahkan fungsi efisiensi agar diperoleh suatu efisiensi gabungan relatif terhadap seluruh objektif. Hasilnya merupakan

fungsi efektivitas untuk setiap

pengambilan tindakan relatif terhadap seluruh himpunan objektif

5. Nyatakan objektif dari proses keputusan sebagai usaha untuk mengoptimalkan output, seperti memaksimumkan

Bentuk return function untuk setiap

pengambilan tindakan. Return function dinyatakan dalam rata-rata atau nilai

harapan hasil atau output, misalnya rata-rata keuntungan atau kerugian, dimana X = suatu output dengan probabilitas p(x) = P (X=x),

dan E(X) = rata-rata harapan (X)

Apabila semua objektif sudah dinyatakan secara

kuantitatif, misalnya meningkatkan keuntungan netto

atau share pasar, maka prosedur berikut dapat digunakan untuk menimbang objektif:

1. Tentukan satuan (unit) atas dasar mana setiap objektif

dapat didefinisikan, misalnya: (a) tingkatkan

kemampuan neto dengan x juta, (b) tingkatkan share pasar menjadi y%, (c) turunkan rata-rata waktu

pelayanan menjadi hari (jam) atau satuan waktu lainnya

2. Pilih objektif yang paling penting dan satu objektif

lainnya

3. Ulangi langkah (2), bandingkan satuan (unit) yang

dipergunakan pada setiap objektif lainnya dengan

Model dalam Riset Operasi

 Model adalah abstraksi atau penyederhanaan

realitas dari suatu sistem yang kompleks

 Model menunjukkan hubungan-hubungan

(langsung atau tidak langsung) dari aksi dan reaksi dalam pengertian sebab dan akibat

 Model harus mencerminkan semua aspek realitas

yang sedang diteliti

 Model adalah suatu fungsi tujuan dengan

Alasan pembentukan

model



_{Menemukan variabel-variabel yang}

penting atau menonjol dalam suatu

permasalahan



_{Mengetahui hubungan antar}

Iconic (physical) Model



_{Penyajian fisik yang tampak seperti}

aslinya dari suatu sistem nyata dengan

skala yang berbeda



_{Model ini mudah untuk mengamati,}

membangun dan menjelaskan tetapi

sulit untuk memanipulasi dan tidak

dapat digunakan untuk tujuan

peramalan



_{Biasanya menunjukkan peristiwa statik}

Analogue Model



Lebih abstrak dari model iconic, karena

tidak kelihatan sama antara model

dengan sistem nyata



_{Lebih mudah untuk memanipulasi dan}

dapat menunjukkan situasi dinamis



_{Umumnya lebih berguna dari pada}

model iconic karena kapasitasnya yang

besar untuk menunjukkan ciri-ciri

sistem nyata yang dipelajari

Mathematical (Symbolic)

Model



Sifatnya paling abstrak



Menggunakan seperangkat simbol

matematis untuk menunjukkan

komponen-komponen (dan hubungan

antar mereka) dari sistem nyata

Model Deterministik



Dibentuk dalam situasi penuh kepastian

(certainty)



Memerlukan

penyederhanaan-penyederhanaan dari realitas karena

kepastian jarang terjadi



Keuntungannya: dapat dimanipulasi dan



Dalam kondisi ketidakpastian

(uncertainty)



_{Lebih sulit di analisis, meskipun}

representasi ketidakpastian dalam model

dapat menghasilkan suatu penyajian

sistem nyata yang lebih realistis

1. Melinierkan hubungan yang tidak linier 2. Mengurangi banyaknya variabel atau

kendala

3. Merubah sifat variabel, misalnya dari

diskrit menjadi kontinyu

4. Mengganti tujuan ganda menjadi tujuan

tunggal

5. Mengeluarkan unsur dinamik (membuat

model menjadi statik)

6. Mengasumsikan variabel random menjadi

suatu nilai

 Merupakan kasus bilangan bulat, dimana xi

= (0,1) untuk semua i

 Secara umum, jika ada n variabel, maka

ada 2n kemungkinan penyelesaian

 Penyelesaian program 0-1 yang lebih efisien

dilakukan dengan metode enumerasi implisit

Dasar metode ini adalah mengenumerasi sebagian kecil dari semua kemungkinan

penyelesaian (yang kalau dicoba semuanya berjumlah 2n buah). Penyelesaian yang tidak fisibel atau akan menghasilkan nilai yang

tidak lebih optimal dari nilai penyelesaian yang sudah didapat sebelumnya dapat

diabaikan

Variabel yang

sudah ditetapkan nilainya (0 atau 1) disebut

variabel tetap (fixed variable). Variabel yang belum

ditetapkan

nilainya disebut variabel bebas (free variable)

A

B C

Algoritma enumerasi implisit untuk menyelesaikan program 0-1 adalah:

1. Langkah Maju (Forward Step)

Ujilah apakah suatu titik iterasi perlu

dicabangkan. Jika perlu, cabangkan titik tersebut ke kiri dengan memberi nilai = 1 pada suatu

variabel bebas. Lakukan terus hingga sampai pada suatu titik yang tidak perlu dicabangkan lagi

2. Langkah Balik (Backtracking)

Carilah titik terdekat di atasnya yang hanya

memiliki sebuah cabang kiri. Apabila semua titik diatasnya sudah memiliki 2 cabang, hentikan

Untuk kemudahan proses, program 0-1 dapat dinyatakan dalam bentuk standar sebagai

berikut:

Minimumkan

dengan kendala:

...

Apabila semua bi > 0, maka penyelesaian optimalnya adalah x1= x2 = ... = xn = 0

Penyelesaian ini akan optimal karena cj > 0

Perubahan soal ke bentuk standar program 0-1 dilakukan dengan cara:

1. Jika soal memaksimumkan, jadikan ke soal

meminimumkan dengan mengalikan fungsi cj di sasaran dengan (-1)

2. Jika ada kendala pertidaksamaan >, ubah ke bentuk

pertidaksamaan < dengan mengalikan kedua ruasnya dengan (-1)

3. Jika ada kendala bentuk persamaan, ubahlah menjadi 2

buah kendala yang masing-masing berupa pertidaksamaan < dan >

4. Jika ada c_k < 0, gantilah x_k dengan (1-x_k), baik pada

Untuk mengurangi jumlah titik iterasi maka pada setiap titik dilakukan proses uji

penyelesaian nol (zero completion test) dan uji infisibilitas (infeasibility test). Kedua uji ini akan digunakan untuk menentukan apakah titik tersebut perlu dicabangkan atau tidak. Jika perlu, lakukan pencabangan kiri dengan mengambil x_i = 1. Jika tidak perlu

Penyelesaian nol adalah pemberian nilai nol pada semua variabel bebas c_j > 0 sehingga pemberian nilai nol pada semua variabel

bebas tersebut akan menyebabkan nilai fungsinya menjadi minimum

Beri nilai 0 pada semua variabel bebas

Hitung nilai fungsi z

z > z_u

titik-k memenuhi semua kendala

lakukan uji infisibilitas tidak

tidak

ya

ya

Hentikan proses pada titik-k, lakukan backtracking untuk

memproses titik diatasnya

z menjadi batas atas baru