PERTEMUAN 3
PENYELESAIAN PERSOALAN PROGRAM LINIER
Setelah dapat membuat Model Matematika (merumuskan) persoalan Program Linier, maka untuk menentukan penyelesaian Persoalan Program Linier dapat menggunakan 2 metode, yaitu: Metode Grafik dan Metode Simpleks.
1. Metode Grafik
Penyelesaian masalah program Linier dengan menggunakan metode grafis pada umumnya mengikuti langkah-langkah sebagai berikut :
1. Merumuskan masalah asli menjadi model matematika yang sesuai dengan syarat-syarat yang diperlukan dalam model Program Linier, yaitu mempunyai fungsi tujuan, fungsi kendala, syarat ikatan non-negatif.
2. Kendala-kendala yang ada digambar hingga dapat diperoleh daerah penyelesaian (Daerah yang Memenuhi Kendala (DMK)/Wilayah Kelayakan)/Daerah Fisibel yang titik-titik sudutnya diketahui dengan jelas.
3. Nilai fungsi sasaran (fungsi tujuan) dihitung di setiap titik sudut daerah penyelasaian (DMK).
4. Dipilih nilai yang sesuai dengan fungsi tujuan (kalau memaksimumkan berarti yang nilainya terbesar dan sebaliknya).
5. Jawaban soal asli sudah diperoleh.
Catatan : Metode Grafik hanya dapat digunakan dalam pemecahan masalah program linier yang ber “dimensi” : 2 x n atau m x 2, karena keterbatasan kemampuan suatu grafik dalam “menyampaikan” sesuatu (sebenarnya grafik 3 dimensi dapat digambarkan, tetapi sangat tidak praktis).
Contoh Soal :
“PT. Rakyat Bersatu” menghasilkan 2 macam produk. Baik produk I maupun produk II setiap unit laku Rp. 3000,-. Kedua produk tersebut dalam proses pembuatannya perlu 3 mesin. Produk I perlu 2 jam mesin A, 2 jam mesin B, dan 4 jam mesin C. Produk II perlu 1 jam mesin A, 3 jam mesin B, dan 3 jam mesin C. Tersedia 3 mesin A yang mampu beroperasi 10 jam per mesin per hari,
tersedia 6 mesin B yang mampu beroperasi 10 jam per mesin per hari, dan tersedia 9 mesin C yang mampu beroperasi 8 jam per mesin per hari. Berikan saran kepada pimpinan “PT. Rakyat Bersatu” sehingga dapat diperoleh hasil penjualan yang maksimum ! Dan berapa unit produk I dan produk II harus diproduksi ?
Jawab :
*) Merumuskan permasalahan Program Linier ke dalam model Matematika :
Misalkan : Akan diproduksi produk I sejumlah X1 unit dan produk II akan diproduksi sejumlah X2
unit.
Maka Fungsi tujuannya adalah :
Mamaksimumkan : Z = 3000 X1 + 3000 X2
MA MB MC Harga jual per unit
Produk I 2 jam 2 jam 4 jam Rp. 3000,-
Produk II 1 jam 3 jam 3 jam Rp. 3000,-
Jumlah Mesin 3 buah 6 buah 9 buah
Lama Operasi 10 jam/mesin 10 jam/mesin 8
jam/mesin Memaksimumkan Total waktu Operasi 30 jam 60 jam 72 jam
Keterangan :
Lama operasi adalah dalam jam/hari/mesin.
Total waktu operasi adalah sama dengan jumlah mesin x lama operasi (dalam jam/hari/tipe mesin).
Syarat Ikatan (fungsi Kendala):
2X1 + X2 ≤ 30 ...i) 2X1 + 3X2 ≤ 60 ...ii) 4X1 + 3X2 ≤ 72 ...iii)
dan X1 ≥ 0; X2 ≥ 0 (Syarat Non Negatif).
*) Menggambar fungsi-fungsi kendala sehingga diperoleh daerah penyelesaian (Daerah yang Memenuhi Kendala/Wilayah kelayakan). Titik potong-titik potong dari ketidaksamaan fungsi kendalanya adalah :
a). Untuk persamaan 2X1 + X2 = 30 ….. (i), titik potong dengan sumbu-X1 jika X2 = 0 : 2X1 + 0 = 30 diperoleh X1 = 15 maka titik potong dengan sumbu-X1 adalah (15,0).
Sedangkan titik potong dengan sumbu-X2 jika X1 = 0 :
0 + X2 = 30 diperoleh X2 = 30 maka titik potong dengan sumbu-X2 adalah (0,30).
b). Untuk persamaan 2X1 + 3X2 = 60 ....(ii), titik potong dengan sumbu-X1 jika X2 = 0 : 2X1 + 0 = 60 diperoleh X1 = 30 maka titik potong dengan sumbu-X1 adalah (30,0).
Sedangkan titik potong dengan sumbu-X2 jika X1 = 0 :
0 + 3X2 = 60 diperoleh X2 = 20 maka titik potong dengan sumbu-X2 adalah (0,20).
c). Untuk persamaaan 4X1 + 3X2 = 72 ....(iii), titik potong dengan sumbu-X1 jika X2 = 0 : 4X1 + 0 = 72 diperoleh X1 = 18 maka titik potong dengan sumbu-X1 adalah (18,0).
Sedangkan titik potong dengan sumbu-X2 jika X1 = 0 :
0 + 3X2 = 72 diperoleh X2 = 24 maka titik potong dengan sumbu-X2 adalah (0,24).
Sehingga jika digambarkan pada Koordinat Cartesius adalah :
Daerah Fisibel (Wilayah Kelayakan / Daerah yang Memenuhi Kendala (DMK)) adalah daerah yang merupakan irisan dari daerah yang memenuhi kendala :
1). 2X1 + X2 ≤ 30, 2). 2X1 + 3X2 ≤ 60 , 3). 4X1 + 3X2 ≤ 72, 4). X1 ≥ 0;
5). X2 ≥ 0
Jadi daerah yang memenuhi ke-5 daerah tersebut terletak di dalam daerah yang dibatasi oleh titik- titik O(0,0), A(15,0), D(0,20), titik B yaitu titik potong antara garis 2X1 + X2 = 30 dan garis 4X1 + 3X2 = 72 , dan titik C adalah titik potong antara garis 2X1 + 3X2 = 60 dan garis 4X1 + 3X2 = 72. . Adapun cara menghitung titik B dan C tersebut dengan menggunakan metode Eliminasi dan Substitusi, sebagai berikut:
*) Titik B perpotongan antara garis 2X1 + X2 = 30 dan garis 4X1 + 3X2 = 72, dengan mengeliminasi X1, dapat dihitung :
4X1 + 2X2 = 60 ...i) 4X1 + 3X2 = 72 …...iii) __________________ - − X2 = − 12 → X2 = 12
Untuk X2 = 12 disubstitusikan ke persamaan 2X1 + X2 = 30 sehingga : 2X1 + 12 = 30 → X1 = 9 maka titik B adalah (9,12)
*) Titik C perpotongan antara garis 2X1 + 3X2 = 60 dan garis 4X1 + 3X2 = 72, dengan mengeliminasi X2, dapat dihitung :
2X1 + 3X2 = 60 ...i) 4X1 + 3X2 = 72 ...iii) ____________________ - − 2X1 = − 12 → X1 = 6
Untuk X1 = 6 disubstitusikan ke persamaan 2X1 + 3X2 = 60 sehingga : 12 + 3X2 = 60 → X2 = 16 maka titik C adalah (6,16)
Daerah penyelesaian (Daerah yang Memenuhi Kendala/Wilayah Kelayakan) adalah daerah OABCD yang titik-titik sudutnya adalah : O(0,0), A(15,0), B(9,12), C(6,16), dan D(0,20).
*) Penyelesaian dari soal diatas adalah menghitung nilai fungsi sasaran (Z = 3000 X1 + 3000 X2) di setiap titik sudut-titik sudut Daerah yang Memenuhi Kendala, sehingga:
di titik O (0,0) → Z (0,0) = 3000. (0) + 3000.(0) = 0,
di titik A (15,0)→ Z (15,0) = 3000.(15) + 3000.(0) = 45.000,00 di titik B (9,12) → Z (9,12) = 3000.(9) + 3000.(12) = 63.000,00 di titik C (6,16)→ Z(6,16) = 3000.(6) + 3000.(16) = 66.000,00 di titik D (0,20)→ Z(0,20) = 3000.(0) + 3000.(20) = 60.000,00
*) Fungsi Tujuan adalah mencari nilai maksimumnya sehingga nilai yang sesuai adalah terletak pada titik C(6,16) yaitu dengan nilai fungsi tujuannya Rp. 66.000,00
*) Sehingga agar diperoleh laba yang maksimum maka Pimpinan ”PT. Rakyat Bersatu” harus memproduksi Produk I sebanyak 6 unit dan Produk II sebanyak 16 unit, sehingga mendapat laba maksimum sebesar Rp.66.000,00.
Soal-soal Latihan
1. Sebuah indrusti kecil memproduksi dua jenis barang A dan B dengan memakai dua jenis mesin M1 dan M2. Untuk membuat barang A, mesin M1 beroperasi selama 2 menit dan mesin M2 beroperasi selama 4 menit. Untuk membuat barang B, mesin M1 beroperasi selama 2 menit dan mesin M2 beroperasi selama 4 menit. Mesin M1 da M2 masing-masing beroperasi tidak lebih 8 jam tiap hari. Keuntungan bersih untuk setiap barang A adalah Rp. 250, 00 dan untuk barang B adalah Rp.500,00. Berapakah jumlah barang A dan B harus diproduksi agar keuntungannya yang sebesar-besarnya dan besarnya keuntungan tersebut !
2. Sebuah industri memiliki sumber daya berupa mesin, tenaga kerja dan bahan baku masing- masing adalah sebagai berikut :
bahan baku sebanyak 200 unit dan tenaga kerja yang dapat dikaryakan selama 180 jam, mesin dapat beroperasi selama 108 jam. dengan menggunakan sumber daya diatas industri tersebut akan memproduksi produk I dan produk II, dengan ketentuan sebagai berikut :
Sumber daya yang dibutuhkan Keuntungan Produk
Bahan Baku Tenaga Kerja Mesin Bersih
A 5 3 2 8
B 4 6 3 20
Tujuan sang industriawan adalah memaksimumkan keuntungan bersih perusahaannya.
Selesaikan permasalahan Program Linier diatas agar tujuan sang industriawan tercapai !
3. Sebuah pabrik baku akan memproduksi buku jenis polos dan buku jenis bergaris. Dalam satu hari pabrik itu paling banyak memproduksi 1000 buku. Dari bagian penjualan diperoleh keterangan bahwa tiap hari terjual tidak lebih dari 800 buku polos dan 600 buku bergaris.
Keuntungan tiap buku jenis polos adalah Rp.100,00 dan bergaris adalah Rp.150,00.
Berapakah keuntungan bersih sebesar-besarnya yang dapat diperoleh tiap hari ? Berapa banyak buku polos dan bergaris yang harus diproduksi tiap hari !
4. Selesaikan Persoalan Program linier Berikut ini::
Memaksimumkan Z = 5000 X + 4000 Y Fungsi Kendala:
a). 10 X + 15 Y ≤ 150 d). X − 3 Y ≤ 0
b). 20 X + 10 Y ≤ 160 e). X + Y 6
c). 30 X + 10 Y 135 dan X 0, Y 0
5. Selesaikan Persoalan Program linier Berikut ini::
Meminimumkan Z = 20 X + 30 Y Fungsi Kendala:
a). 2 X + Y 10 d). X − 8 Y ≤ 0
b). X + 2 Y ≤ 14 e). X ≤ 8
c). X + 4 Y 12 dan X 0, Y 0
Persiapan Metode Simpleks
Untuk menyelesaikan Persoalan Program Linier dengan menggunakan Metode Simpleks, sebelumnya perlu memperhatikan beberapa hal sebagai berikut:
1. Mengubah semua kendala ke dalam bentuk persamaan dengan menambahkan (mengurangkan) variable slack (S), sehingga dari fungsi kendala yang ada akan menghasilkan system persamaan linier yang dapat dinyatakan ke dalam bentuk : AX = B (dimana A = [aij], X
= [xj], B = [bi] adalah matriks).
Contoh : Fungsi Kendala:
a). 4X1 + 3X2 ≤ 240 diubah menjadi persamaan menjadi : 4X1 + 3X2 + s1 = 240 b). 2X1 + X2 ≤ 100 diubah menjadi persamaan menjadi : 2X1 + X2 + s2 = 100
Kedua kendala di atas jika dinyatakan ke dalam bentuk perkalian matriks AX = B menjadi:
1 0 1 2
0 1 3
4
2 1 2 1
s s X X
=
100 240
2. Menambahkan semua variable slack (S) yang ada ke dalam fungsi tujuan dengan koefisien nol (0).
Contoh :
Memaksimumkan Z = 7X1 + 5X2 + 0s1 + 0s2
Apabila fungsi tujuan tersebut dinyatakan ke dalam bentuk perkalian matriks : Z = CX adalah sebagai berikut:
↓ A = [aij]
↓
X = [xj] ↓ B = [bi]
Z = [7 5 0 0]
2 1 2 1
s s X X
3. Mengidentifikasi matriks Identitas (In) pada matriks A. Dalam mengidentifikasi matriks identitas dalam matriks A, komponen matriks identitas dibaca secara matriks kolom dan tidak selalu urut.
Contoh :
I3 =
1 0 0
0 1 0
0 0 1
, komponen matriks identitas secara matriks kolom adalah : 0 0 1
, 0 1 0
, dan 1 0 0
.
4. Membentuk matriks Identitas dengan menambahkan variable semu (V). Jika dalam matriks A belum tersusun (terbentuk) matriks identitas, maka matriks identitas dapat disusun dengan menambahkan variabel semu pada fungsi kendala.
Contoh :
Memaksimumkan Z = 750 X + 425 Y Fungsi Kendala:
a). X + Y ≤ 18 b). X 5 c). Y 3 d). X + Y 10 , dan X 0, Y 0 Jika fungsi kendala persoalan tersebut dinyatakan dalam persamaan akan menjadi : a). X + Y + s1 = 18
b). X − s2 = 5 c). Y − s3 = 3 d). X + Y − s4 = 10
Apabila dinyatakan dalam bentuk AX = B, akan menjadi:
↓ X = [xj] ↓
C = [cj]
−
−
−
1 0 0 0 1 1
0 1 0 0 1 0
0 0 1 0 0 1
0 0 0 1 1 1
4 3 2 1
s s s s Y X
=
10 3 5 18
Dalam matriks A di atas belum tersusun matriks Identitas (I4), karena komponen penyusun
matriks Identitas (I4) belum lengkap. Yang tersusun baru komponen
0 0 0 1
. Sehingga komponen
0 0 1 0
,
0 1 0 0
,
1 0 0 0
harus dibentuk dengan menambahkan variabel V1 pada kendala ke-2, V2 pada
kendala ke-3, dan V3 pada kendala ke-4, sehingga fungsi kendala di atas dapat dinyatakan dalam bentuk sebagai berikut:
a). X + Y + s1 = 18 b). X − s2 + V1 = 5 c). Y − s3 + V2 = 3 d). X + Y − s4 + V3 = 10
dan apabila dinyatakan dalam bentuk AX = B menjadi:
−
−
−
1 0 0 1 0 0 0 1 1
0 1 0 0 1 0 0 1 0
0 0 1 0 0 1 0 0 1
0 0 0 0 0 0 1 1 1
3 2 1 4 3 2 1
V V V s s s s Y X
= 10
3 5 18
5. Menambahkan semua variable semu yang ada ke dalam fungsi tujuan dengan koefisien ± M (dimana M = Bilangan yang cukup besar). Jika fungsi tujuan memaksimalkan maka koefisien dari V pada fungsi tujuan adalah −M, dan sebaliknya).
Contoh :
Jika fungsi kendala dinyatakan seperti pada catatan 4 di atas, maka fungsi tujuan Memaksimumkan Z = 750 X + 425 Y dapat dinyatakan ke dalam bentuk:
Memaksimumkan Z = 750 X + 425 Y + 0s1 + 0s2 + 0s3 + 0s4 − MV1 − MV2 − MV3 Apabila dinyatakan ke dalam notasi matriks menjadi:
Z = [750 425 0 0 0 0 −M −M −M]
3 2 1 4 3 2 1
V V V s s s s Y X
Persoalan Program Linier yang memenuhi ketentuan-ketentuan tersebut di atas akan menghasilkan Bentuk Kanonik Simpleks.
Contoh Soal:
Ubahlah persoalan Program Linier berikut ke dalam Bentuk Kanonik Simpleks:
1. Memaksimumkan Z = 3 X1 + 3 X2
Fungsi Kendala:
a). 2X1 + X2 ≤ 30 b). 2X1 + 3X2 ≤ 60
c). 4X1 + 3X2 ≤ 72, dan X1 0, X2 0
2. Meminimumkan Z = 22 X1 + 6 X2
Fungsi Kendala:
a). 11X1 + 3X2 33
b). 8X1 + 5X2 ≤ 40
c). 7X1 + 10X2 ≤ 70, dan X1 0, X2 0
3. Memaksimumkan Z = 4 X1 + 5 X2
Fungsi Kendala:
a). 5X1 + 4X2 ≤ 200 b). 3X1 + 6X2 = 180
c). 8X1 + 5X2 160, dan X1 0, X2 0
4. Meminimumkan Z = 2 X1 + 3 X2 + 5 X3 + 6 X4
Fungsi Kendala:
a). 2X1 + 4X2 + 6X3 + 2X4 4
b). −2X1 + X2 − X3 + 3X4 ≤ −3, dan X1 0, X2 0, X3 0, X4 0.
5. Memaksimumkan Z = 4 X1 + 2 X2 − X3 + 5 X4
Fungsi Kendala:
a). 3X1 + X2 + 2X3 + 4X4 ≤ 25 b). 2X1 − X2 + X3 + X4 15
c). X1 + 2X2 + 3X3 + X4 = 20, dan X1 0, X2 0, X3 0, X4 0.
