TUGAS TUGAS STATISTIKA MATEMATIKA I STATISTIKA MATEMATIKA I Tentang Tentang “
“
PEUBAH ACAK, DISTRIBUSI PELUANG DISKRET DAN KONTINIU
PEUBAH ACAK, DISTRIBUSI PELUANG DISKRET DAN KONTINIU
””Oleh: Oleh:
KELOMPOK III KELOMPOK III Arwinda
Arwinda Febri Febri 409295409295 Joni
Joni Eka Eka Putra Putra 410357410357 Yandre
Yandre Anggasi Anggasi 410494410494
Dosen
Dosen PembimbingPembimbing:: Roza Zaimil, S.Pd. I, M. Pd Roza Zaimil, S.Pd. I, M. Pd
JURUSAN TADRIS MATEMATIKA FAKULTAS TARBIYAH
JURUSAN TADRIS MATEMATIKA FAKULTAS TARBIYAH
INSTITUT AGAMA ISLAM NEGERI
INSTITUT AGAMA ISLAM NEGERI
IMAM BONJOL PADANG
IMAM BONJOL PADANG
1433 H / 2012 M
1433 H / 2012 M
A.
A. Pengertian Peubah AcakPengertian Peubah Acak Definisi 2.1
Definisi 2.1
Peubah acak ialah suatu fungsi yang mengaitkan suatu bilangan real pada setiap unsure Peubah acak ialah suatu fungsi yang mengaitkan suatu bilangan real pada setiap unsure dalam ruang sampel.
dalam ruang sampel. Peubah
Peubah acak acak akan akan dinyatakan dengan dinyatakan dengan huruf huruf besar, misalnya x, sedangkan besar, misalnya x, sedangkan nilainyanilainya dinyatakan dengan huruf kecil padanannya, misalnya x
dinyatakan dengan huruf kecil padanannya, misalnya x
Contoh: Contoh:
Dua bola diambil satu demi satu tanpa dikembalikan dari suatu kantong berisi 4 bola meah Dua bola diambil satu demi satu tanpa dikembalikan dari suatu kantong berisi 4 bola meah dan 3 bola hitam. Bila Y menyatakan jumlah bola merah yang diambil maka nilai y yang dan 3 bola hitam. Bila Y menyatakan jumlah bola merah yang diambil maka nilai y yang mungkin dari peubah acak y adalah
mungkin dari peubah acak y adalah Jawab Jawab 4 merah 4 merah 3 hitam 3 hitam Ruang
Ruang Sampel Sampel yy MM MM MH MH HM HM HH HH 2 2 1 1 1 1 0 0 Contoh: Contoh:
Tiga orang petani Pak Ali, Badu, dan Cokro menitipkan pecinya di pagi hari pada seorang Tiga orang petani Pak Ali, Badu, dan Cokro menitipkan pecinya di pagi hari pada seorang anak. Sore harinya si anak mengembalikan peci tersebut secara acak pada ketiga petani. Bila anak. Sore harinya si anak mengembalikan peci tersebut secara acak pada ketiga petani. Bila Pak Ali, Badu, dan Cokro dalam urutan seperti itu menerima peci dari si anak maka Pak Ali, Badu, dan Cokro dalam urutan seperti itu menerima peci dari si anak maka tuliskanlah titik sampel untuk semua urutan yang mungkin mendapatkan peci tersebut dan tuliskanlah titik sampel untuk semua urutan yang mungkin mendapatkan peci tersebut dan kemudian cari nilai c dari peubah acak C yang menyatakan jumlah urutan yang cocok.
kemudian cari nilai c dari peubah acak C yang menyatakan jumlah urutan yang cocok. Diket: Pak Ali, Badu dan Cokro menitipkan pecinya terhadap seorang anak
Diket: Pak Ali, Badu dan Cokro menitipkan pecinya terhadap seorang anak Ditanya: tulis titik sampel untuk semua urutan yang cocok?
Ditanya: tulis titik sampel untuk semua urutan yang cocok? Jawab:
Jawab: Ruang
Ruang Sampel Sampel CC ABC ABC ACB ACB BAC BAC BCA BCA CAB CAB CBA CBA 3 3 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1
2 bola satu demi satu 2 bola satu demi satu
Dalam kedua contoh di atas ruang sampel mengandung jumlah anggota yang berhingga. Dalam kedua contoh di atas ruang sampel mengandung jumlah anggota yang berhingga.
Akan tetapi, bila satu dadu dilantunkan sampai angka 5 muncul, maka diperoleh ruang Akan tetapi, bila satu dadu dilantunkan sampai angka 5 muncul, maka diperoleh ruang sampel dengan deretan anggota yang tak berhingga.
sampel dengan deretan anggota yang tak berhingga.
Contoh no 2 hal 62 Contoh no 2 hal 62
Dari 5 mobil yang dikirim dari pabrik 2 tiba terkena goresan. Bila suatu took menerima 3 Dari 5 mobil yang dikirim dari pabrik 2 tiba terkena goresan. Bila suatu took menerima 3 mobil ini secara acak, tuliskan unsure ruang sampel T menggunakan huruf G dan B untuk mobil ini secara acak, tuliskan unsure ruang sampel T menggunakan huruf G dan B untuk
masing-masing-masing yang kena “goresan” dan yang “baik”,masing yang kena “goresan” dan yang “baik”, kemudian pada setiap titik sampel berikemudian pada setiap titik sampel beri nilai x dari peubah acak X yang menyatakan banyaknya mobil yang dibeli took tadi yang nilai x dari peubah acak X yang menyatakan banyaknya mobil yang dibeli took tadi yang kena goresan. kena goresan. Jawab: Jawab: T T xx GGG GGG GGB GGB GBG GBG GBB GBB BGG BGG BGB BGB BBG BBG BBB BBB 0 0 1 1 1 1 2 2 1 1 2 2 2 2 3 3 Definisi 2.2 Definisi 2.2
Jika suatu ruang sampel mengandung titik yang berhingga banyaknya atau sederetan anggota Jika suatu ruang sampel mengandung titik yang berhingga banyaknya atau sederetan anggota yang banyaknya sebanyak bilangan bulat, maka ruang sampel itu disebut ruang sampel yang banyaknya sebanyak bilangan bulat, maka ruang sampel itu disebut ruang sampel diskret
diskret
Definisi 2.3 Definisi 2.3
Bila ruang sampel mengandung titik sampel yang tak berhingga banyaknya dan banyaknya Bila ruang sampel mengandung titik sampel yang tak berhingga banyaknya dan banyaknya sebanyak titik pada sepotong garis, maka ruang sampel itu disebut ruang sampel kontinu. sebanyak titik pada sepotong garis, maka ruang sampel itu disebut ruang sampel kontinu.
B.
B. Distribusi Peluang DiskretDistribusi Peluang Diskret
Suatu peubah acak disebut peubah acak diskret bila himpunan kemungkinan hasilnya Suatu peubah acak disebut peubah acak diskret bila himpunan kemungkinan hasilnya terhitung.
terhitung.
Suatu peubah acak diskret mendapat setiap nilainya dengan peluang tertentu. Suatu peubah acak diskret mendapat setiap nilainya dengan peluang tertentu.
Definisi 2.4 Definisi 2.4
Himpunan pasangan terurut (X, f(x)) merupakan suatu fungsi peluang, fungsi massa peluang Himpunan pasangan terurut (X, f(x)) merupakan suatu fungsi peluang, fungsi massa peluang atau distribusi peluang peubah acak diskret X bila, untuk setiap kemungkinan hasil x
atau distribusi peluang peubah acak diskret X bila, untuk setiap kemungkinan hasil x 1. 1. f(x)f(x)
00 2. 2.∑∑
= 1= 1 3. 3.
= f(x)= f(x) Contoh 2.3 Contoh 2.3Suatu pengiriman 8 komputer pc yang sama ke suatu toko mengandung 3 yang cacat. Bila Suatu pengiriman 8 komputer pc yang sama ke suatu toko mengandung 3 yang cacat. Bila suatu sekolah membeli 2 komputer ini secara acak, cari distribusi peluang banyaknya yang suatu sekolah membeli 2 komputer ini secara acak, cari distribusi peluang banyaknya yang cacat.
cacat. Diket
Diket : : 8 8 komputer komputer PC PC => => 3 3 yang yang cacatcacat 2 komputer dibeli secara acak 2 komputer dibeli secara acak Ditanya
Ditanya : : Distribusi Distribusi peluang peluang yang yang cacatcacat Jawab :
Jawab : X peubah acak X peubah acak
x computer yang cacat, x dapat memperoleh nilai 0, 1, dan 2 x computer yang cacat, x dapat memperoleh nilai 0, 1, dan 2
f(0) = P(X=0) = f(0) = P(X=0) =
==
= =
= =
f(1) = P(X=1) = f(1) = P(X=1) =
==
= =
= =
f(2) = P(X=2) = f(2) = P(X=2) =
==
= =
= =
Jadi distribusi peluang xJadi distribusi peluang x X X 0 0 1 1 22 f(x) f(x)
Contoh no 6 hal 63 Contoh no 6 hal 63Dari suatu kotak yang berisi 4 uang logam ratusan dan 2 lima puluhan, 3 uang diambil secara Dari suatu kotak yang berisi 4 uang logam ratusan dan 2 lima puluhan, 3 uang diambil secara acak tanpa pengembalian. Cari distribusi peluang jumlah dari ke 3 uang
acak tanpa pengembalian. Cari distribusi peluang jumlah dari ke 3 uang Jawab:
Jawab:
*) 1 logam ratusan dan 2 lima puluhan *) 1 logam ratusan dan 2 lima puluhan
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
*) 2 logam ratusan, 1 lima puluhan*) 2 logam ratusan, 1 lima puluhan
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
*) 3 logam ratusan *) 3 logam ratusan=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
Jadi distribusi peluang Jadi distribusi peluang
X X 200 200 250 250 300300 f(x) f(x)
⁄⁄
⁄⁄
⁄⁄
Definisi 2.5 Definisi 2.5Distribusi komulatif f(x) suatu peubah acak diskret x dengan distribusi peluang f(x) Distribusi komulatif f(x) suatu peubah acak diskret x dengan distribusi peluang f(x) dinyatakan oleh: dinyatakan oleh: F(x) = P(X F(x) = P(X
x) =x) =∑∑
untuk -untuk -
xx
Contoh: Contoh:Hitunglah distribusi komulatif peubah acak x dengan f(x) = Hitunglah distribusi komulatif peubah acak x dengan f(x) =
(())
untuk x = 0, 1, 2, 3, 4 denganuntuk x = 0, 1, 2, 3, 4 dengan menggunakan f(x). Perlihatkan bahwa f(2) =menggunakan f(x). Perlihatkan bahwa f(2) =
Jawab: Jawab: F(0) = F(0) =
==
==
==
F(1) = F(1) =
==
==
==
==
F(2) = F(2) =
==
==
==
==
F(3) = F(3) =
==
==
==
==
F(4) = F(4) =
==
==
Jadi, Jadi, F(0) = f(0) = F(0) = f(0) =
F(1) = f(0) + f(1) = F(1) = f(0) + f(1) =
+
+
=
=
F(2) = f(0) + f(1) + f(2) = F(2) = f(0) + f(1) + f(2) =
+
+
+
+
=
=
F(3) = f(0) + f(1) + f(2) + f(3) = F(3) = f(0) + f(1) + f(2) + f(3) =
+
+
+
+
+
+
=
=
F(4) = f(0) + f(1) + f(2) + f(3) + f(4)= F(4) = f(0) + f(1) + f(2) + f(3) + f(4)=
+
+
+
+
+
+
+
+
=
=
= 1
= 1
Sehingga Sehingga 0 0 bila xbila x
00
bila 0bila 0
xx
11 f(x) = f(x) =
bila 1bila 1
xx
22
bila 2bila 2
xx
33
bila 3bila 3
xx
44 1 1 bila xbila x
44 sekarang sekarang f(2) = F(2) f(2) = F(2) – – F(1) =F(1) =
--
=
=
=
=
Diagram balok Diagram balok F(x) F(x)
⁄⁄
⁄⁄
⁄⁄
⁄⁄
⁄⁄
Histogram Peluang Histogram Peluang
⁄⁄
⁄⁄
⁄⁄
⁄⁄
⁄⁄
⁄⁄
0 0 1 1 2 2 3 3 44Distribusi komulatif diskret Distribusi komulatif diskret
1 1
⁄⁄
⁄⁄
⁄⁄
0 0 1 1 2 2 3 3 44 C.C. Distribusi Peluang KontiniuDistribusi Peluang Kontiniu
Suatu peubah acak kontiniu mempunyai peluang nol dan pada setiap titik x. karena itu, Suatu peubah acak kontiniu mempunyai peluang nol dan pada setiap titik x. karena itu, distribusi peluangnya tak mungkin disajikan dalam bentuk tabel. Tetapi disajikan dalam distribusi peluangnya tak mungkin disajikan dalam bentuk tabel. Tetapi disajikan dalam bentuk rumus. Distribusi peluang X dinyatakan dengan fungsi f(x) yang disebut fungsi bentuk rumus. Distribusi peluang X dinyatakan dengan fungsi f(x) yang disebut fungsi
⁄⁄
0 0 11 2 2 3 3 44 x x x x x xpadat.dari X. karena X didefinisikan pada ruang sampel yang kontiniu, mungkin saja f(x) padat.dari X. karena X didefinisikan pada ruang sampel yang kontiniu, mungkin saja f(x) tidak kontiniu pada beberapa titik yang terhingga banyaknya.\
tidak kontiniu pada beberapa titik yang terhingga banyaknya.\ Bentuk khas fungsi padat
Bentuk khas fungsi padat
(a)
(a) (b)(b)
(c) (d)
(c) (d)
Fungsi padat peluang dituliskan sedemikian rupa sehingga luas daerah, diantara kurva dan Fungsi padat peluang dituliskan sedemikian rupa sehingga luas daerah, diantara kurva dan sumbu x yang dihitung atas semua rentangan harga X pada daerah f(x) terdefinisi adalah 1. sumbu x yang dihitung atas semua rentangan harga X pada daerah f(x) terdefinisi adalah 1.
Definisi 2.6 Definisi 2.6
Fungsi f((x) adalah fungsi padat peubah acak Fungsi f((x) adalah fungsi padat peubah acak kontinu X, yang didefnisikan di atas himpunan kontinu X, yang didefnisikan di atas himpunan semua bilangan real R, bila
semua bilangan real R, bila 1) f(x) ≥0 untuk semua x 1) f(x) ≥0 untuk semua x
∈∈
R.R. 2) 2)∫∫
= 1= 1 3) P(a< X <b ) = 3) P(a< X <b ) =∫∫
f(x) f(x) a a bb Gambar P(a< X <b) Gambar P(a< X <b) x x xx x x xx x xContoh Contoh
Misalkan bahwa galat suhu reaksi, dalam
Misalkan bahwa galat suhu reaksi, dalam
, pada percobaan laboratorium yang dikontrol, pada percobaan laboratorium yang dikontrol merupakan peubah acak X yang mempunyai fungsi padat peluang.merupakan peubah acak X yang mempunyai fungsi padat peluang.
-1 < x < 2-1 < x < 20,
0, untuk untuk x x lainnyalainnya
(a) Tunjukkan bahwa syarat 2 definisi 2.6 dipenuhi. (a) Tunjukkan bahwa syarat 2 definisi 2.6 dipenuhi. (b) Hitung P( 0 < x (b) Hitung P( 0 < x
1 )1 ) Jawab: Jawab: a. a.∫∫
==∫∫
dx =dx =
==
--
==
++
= 1= 1b.
b.
P( 0 < xP( 0 < x
1 ) =1 ) =∫∫
dx =dx =
==
Contoh soal No 22 hal 65 Contoh soal No 22 hal 65
Jumlah jam, diukur dalam satuan 100 jam, suatu keluarga akan menggunakan mesin Jumlah jam, diukur dalam satuan 100 jam, suatu keluarga akan menggunakan mesin pengisap debu setahun berbentuk peubah acak kontiniu X dengan fungsi padat.
pengisap debu setahun berbentuk peubah acak kontiniu X dengan fungsi padat. x
x 0 0 < < xx
11 2-x2-x
xx
22 00 untuk x lainnyauntuk x lainnya
Cari peluangnya bahwa dalam setahun keluarga itu akan menggunakan mesin pengisap debu Cari peluangnya bahwa dalam setahun keluarga itu akan menggunakan mesin pengisap debu a.
a. Kurang dari 120 jamKurang dari 120 jam b.
b. Antara 50 dan 100 jamAntara 50 dan 100 jam
Jawab: Jawab:
a.
a. Kurang dari 120 jamKurang dari 120 jam x x
120 =120 =∫∫
++∫∫
= =[
[ ⁄⁄
]]
++ ⁄⁄
= [(2 (1, 2) = [(2 (1, 2) – –½
½
( 1( 1,,
2222 )) – – (2 . 1(2 . 1 – – ½ . 1½ . 122) + ½ . 1) + ½ . 122]] = (2,4 = (2,4 – – 0,72)0,72) – – (2-0,5) + 0,5(2-0,5) + 0,5 = 1,68 - 1,5 + 0,5 = 1,68 - 1,5 + 0,5 = 0,68 = 0,68 F(x) = F(x) = 2 2 1 1 1 1 0 0 F(x) = F(x) = 2 2 1 1 1 1 0 0b.
b. Antara 50 dan 100 jamAntara 50 dan 100 jam 50 50
xx
100 =100 =∫∫
⁄⁄ dxdx = [½ x = [½ x22]] = ½ . 1 = ½ . 122- ½ ( ½ )- ½ ( ½ )22 = ½ -= ½ - ⁄⁄
== ⁄⁄
= 0,375= 0,375Distribusi kumulatif F(x) suatu peubah acak kontinu X dengan fungsi padat f(x) diberikan Distribusi kumulatif F(x) suatu peubah acak kontinu X dengan fungsi padat f(x) diberikan oleh :
oleh :
F(x) = P( X ≤x ) =
F(x) = P( X ≤x ) =
∫∫
untuk -untuk -
xx
AkibatAkibat definisi 2.7 definisi 2.7 dapat dapat ditulis kedua ditulis kedua hasil hasil berikut:berikut: P(a
P(a
) = F(b)) = F(b) – – F(a) dan f(x) =F(a) dan f(x) =
Bila fungsi turunan ini ada.Bila fungsi turunan ini ada.
Contoh Contoh
Carilah F(x) dari fungsi pada pada contoh sebelumnya dan kemudian hitunglah
Carilah F(x) dari fungsi pada pada contoh sebelumnya dan kemudian hitunglah P(0 < x ≤1).P(0 < x ≤1). Jawab Jawab Untuk -1 < x Untuk -1 < x
22 F(x) = F(x) =∫∫
==∫∫
==
==
Jadi Jadi 0 0 xx
-1-1
-1 < x-1 < x
22
xx
22Distribusi tumpukan F(x) dalam bentuk grafik Distribusi tumpukan F(x) dalam bentuk grafik P(0 < x ≤1) = F(1) – P(0 < x ≤1) = F(1) – F(0) =F(0) =
