BAB II Anova

BAB II

BAB II

LANDASAN TEORI

LANDASAN TEORI

2

2..11 AAnnaalliissiiss Variansi Variansi  Analisis

Analisis variansvarians dipergunakan untuk menguji perbedaan rata-rata hitung jikadipergunakan untuk menguji perbedaan rata-rata hitung jika kelompok sampel yang diuji lebih dari dua buah yang berasal dari populasi yang kelompok sampel yang diuji lebih dari dua buah yang berasal dari populasi yang  berbeda. Namun, jika dikehendaki ia dapat juga dipergunakan walau kelompok itu  berbeda. Namun, jika dikehendaki ia dapat juga dipergunakan walau kelompok itu hanya dua buah. Dengan demikian, anova dapat dipandang sebagai teknik t-tes yang hanya dua buah. Dengan demikian, anova dapat dipandang sebagai teknik t-tes yang di

diperperluluasas. . HaHasisil l peperhrhititunungagan n ujuji i anaanalilisisis s vavaririanans s didinynyatatakakan an dedengngan an ninilalai i FF (Nurgiyantoro, 2002).

(Nurgiyantoro, 2002). Anali

Analis ragam yaits ragam yaitu suatu u suatu metodmetode untuk menguraie untuk menguraikan keragamkan keragaman total dataan total data me

menjnjadadi i komkomponponenen-k-komompoponen nen yayang ng memengungukukur r beberbrbagagai ai susumbmber er kerkeragagamamanan.. Pe

Percrcobobaaaan n anaanalilisisis s raragagam m akakan an memempmpererololeh eh dudua a komkomponponen en yayaititu u komkomponponenen mengukur keragaman yang disebabkan oleh alat percobaan dan komponen mengukur  mengukur keragaman yang disebabkan oleh alat percobaan dan komponen mengukur  keragaman yang disebabkan oleh pecobaan ditambah keragaman yang disebakan oleh keragaman yang disebabkan oleh pecobaan ditambah keragaman yang disebakan oleh  perbedaan varitas (Walpole, 1995).

 perbedaan varitas (Walpole, 1995).

Analisis ragam digunakan untuk menguji rata-rata dari tiga atau lebih suatu Analisis ragam digunakan untuk menguji rata-rata dari tiga atau lebih suatu   po

  populpulasiasi. . RatRata-ra-rata ata popupopulaslasi i ititu u samsama a ataatau u tidtidak ak samsama. a. KonKonsep sep dasdasar ar ANOANOVAVA dikemukakan oleh seorang bernama R.A. Fisher. Konsep tersebut yaitu (Subiyakto, dikemukakan oleh seorang bernama R.A. Fisher. Konsep tersebut yaitu (Subiyakto, 1994):

1994): 1.

1. _{MenghiMenghitung tung rata-rata-rata rata masimasing-masng-masing ing grup grup sampel dan sampel dan menjemenjelaskan kesalahanlaskan kesalahan}   baku

  baku rata-rata rata-rata yang yang hanya hanya didasarkan didasarkan pada pada beberapa beberapa rata-rata rata-rata sampel.sampel. 2.

2. FoFormrmululasasininya ya adadalalahah::

Didapat: Didapat:

Kemudian kesalahan baku dari rata-rata yang dihitung diatas dapat digunakan untuk mengestimasi varian populasi darimana sampel tersebut didapat. Estimasi varian pululasi ini dapat disebut kuadrat rata-rata antara kelompok-kelompok  (mean square between groups: MSB).

3. _{Menghitung varian secara terpisah didalam masing-masing kelompok sampel dan}   berkaitan dengan masing-masing rata-rata kelompok. Kemudian menyatukan

nilai-nilai varian yang terimbang (n-1) untuk masing-masing sampel. Prosedur  tertimbang untuk varian ini adalah perluasan dari prosedur untuk  mengombinasikan dan menimbang dua varian sampel. Hasil stimasi varian  populasi disebut kuadrat rata-rata didalam kelompok-kelompok (MSW).

4. _{Jika hipotesis nol: benar, kuadrat rata-rata MSB dan} MSW merupakan estimator yang tak bias dan independent dari varian populasi yang sama. Akan tetapi, jika hipotesis nol tidak diterima maka nilai harapan MSB lebih besar dari MSW. Sedikit saja ada perbedaan diantara rata-rata  populasi akan membesarkan MSB walaupun tidak berpengaruh pada MSW.

5. Berdasarkan pada pengamatan konsep 4 distribusi F dapat digunakan untuk  menguji perbedaan dua varian. Suatu pengujian satu sisi diperlukan distribusi F. Dalam menemukan nilai F, dapat menggunakan rumus:

Apabila nilai rasio F berada di daerah penolakan untuk tingkat signifikan tertentu maka hipotesis tentang kesamaan beberapa rata-rata sampel berasal dari populasi ditolak.

2.2 Asumsi-Asumsi Dasar Analisis Ragam

Analisisvarians adalah suatu teknik yang dipakai untuk membandingkan dua atau lebih parameter populasi. Teknik ini sering dipakai untuk penelitian terutama

 pada rancangan penelitian eksperimen, penelitian-penelitian yang memiliki implikasi   pengambilan keputusan untuk menggunakan teknologi baru, prosedur-prosedur baru

dan kebijakan baru. Asumsi-asumsi dasar yang dikemukakan sarwoko yaitu: 1. _{Tiap-tiap dari k populasi memilikiindependent random sampling.}

2. _{Tiap-tiap populasi memiliki distribusi normal dengan yang sama atau berbeda} dan memilikivarians yang sama.

Hasil perhitungan analisis varians yang dipergunakan untuk menguji hipotesis tentang signifikansi perbedaan rata-rata hitung dapat dimanfaatkan dan digeneralisasikan jika ia memenuhi beberapa asumsi dasar. Ada tiga asumsi dasar  yaitu (Nurgiantoro, 2002):

1. _{Subjek yang menjadi anggota kelompok-kelompok harus dipilih secara acak.} Dengan cara ini semua objek anggota sebuah populasi berpeluang sama untuk  terpilih menjadi sampel. Sampel yang diambil secara acak dapat menghindari bias hasil analisis statistik. Sebaliknya, sampel yang ditentukan dengan cara memihak, misalnya sengaja memilih siswa yang tergolong pintar agar rata-rata hitung yang diperoleh dalam suatu kelompok tinggi sehingga nilai F yang diperoleh signifikan, hasilnya akan bias dan tidak mencerminkan keadaan populasi yang akan menjadi tempat penggeneralisasinya.

2. _{Skor-skor hasil pengukuran memiliki distribusi normal. Dalam menentukan} kenormalan suatu distribusi skor hasil pengukuran perlu dilakukan uji normalitas. Uji normalitas dapat dilakukan lewat beberapa cara dan salah satunya yang ditunjukan dalam bab ini adalah lewat teknik chi kuadrat.

3. _{Varians populasi tiap kelompok bersifat homogen atau tidak berbeda secara} signifikan. Untuk menguji homogenitas varians-varians tersebut perlu dilakukan uji statistic (test of variance) pada distribusi skor kelompok-kelompok yang  bersangkutan.

2.2 Analisis Ragam Satu Arah

Analisis varians satu arah dipergunakan untuk menguji signifikansi perbedaan rata-rata hitung yang hanya mencakup satu klasifikasi atau satu variabel independen. Analisis varians berangkat dari adanya sejumlah variabilitas yang terdapat dalam data kelompok sampel yang akan diuji (Nurgiyantoro, 2002)

Menurut Subiyakto analisis varians satu arah atau one way analysis of  variance dapat digunakan untuk pengujian perbedaan antara (k) rata-rata sampel apabila subjek-subjek ditentukan secara acak pada setiap beberapa kelompok atau kelompok perlakuan.

Persamaan linear yang menggambarkan model uji satu arah yaitu:

Keterangan :

μ = Rata-rata keseluruhan dari semua k populasi klasifikasi. = Efek klasifikasi dalam k kelompok.

ikk 

e _{= Kesalahan acak yang bergabung dalam proses sampling.}

Hipotesis nol dan hipotesis alternative untuk ANOVA satu arah yaitu:

0

0 = _k  =H _a ≠

 H  α 

Jika hipotesis nol diterima, berarti:

2.3 Analisis Ragam Dua Arah

Jika dalam anova satu arah hanya dimaksudkan sebagai menguji signifikansi  perbedaan rata-rata hitung satu klasifikasi saja, dalam anova dua arah atau klasifikasi ganda, yang diuji itu lebih dari satu macam. Anova dua arah dapat terdiri 1,2,3, atau lebih klasifikasi tergantung dari desain yang direncanakan. Pengujian banyak 

kelompok yang melibatkan klasifikasi gandan akan menjanjikan perolehan informasi yang lebih banyak dan lebih teliti.

Dalam analisis varians dua arah, baik perhitungan berdasarkan kolom maupun baris, keduanya sama-sama dilakukan, karena ada lebih dari satu efek yang dihitung. Keduanya merupakan variabel independen atau faktor-faktor yang masing-masing mempunyai efek. Dengan demikian, akan didapatkan

perhitungan- perhitungan

∑

 X  _,

∑

 X  2_, X   _{untuk kolom (faktor A) dan untuk baris (faktor B).}

Bahkan masih ada sumber variasi baru sebagai akibat adanya interaksi dari faktor A dan faktor B yang disebut sebagai efek interaksi (faktor A vs B).

Berikut adalah diagram perbandingan analisis varians satu arah dan varians dua arah (nurgiyanto, 2002):

Varians Total (JKT)

Varians dalam Kelompok (JKD) Varians antar kelompok (JKA)

A. _{Anova satu arah}

Varians Totak (JKT)

Varians Dalam Kelompok (JKD) Varians antarkelompok (JKA)

(JKAMet) (JKASek) (JKAInter)

Gambar 2.1

2.4 Pengujian Hipotesis

Pengujian hipotesis beda tiga rata-rata atau lebih dengan satu faktor yang  berpengaruh.

Langkah-langkah pengujian klasifikasi satu arah adalah sebagai berikut (Hasan, 2002):

1. _{Menentukan Formulasi Hipotesis:}

k   H ₀ : µ ₁ = µ ₂ = µ ₃ =.... =µ 

k   H ₀ : µ ₁ = µ ₂ = µ ₃ =.... ≠µ 

2. Menentukan taraf nyata (α) beserta F table.

Taraf nyata (α) ditentukan dengan derajat pembilang (v1) dan derajat penyebut

(v₂) _. 1 v _{= k-1 dan} 2 v _{= k(n-1). ( . )} 2 1 v v  F  α   =…

3. Menentukan kriteria pengujian

0  H  _{diterima apabila} ) . .( 0  F  v1v2  F  ≤ α   0  H  _{ditolak apabila} ) . . ( 0

 F 

v₁ v₂

 F 

α 

〉

4. _{Membuat analisisvarians dalam bentuk table ANOVA}

Sumber  Varians

Jumlah Kuadrat

Derajat Bebas Rata-Rata kuadrat 0  F  Rata-rata kolom Eror  JKK  JKE k-1 k(n-1) 1 2 1 − = k   JKK   s ) 1 ( 2 1 − = n k  JKE   s 2 2 1 2

 s

 s

Total JKT nk-1 Tabel2.1

Untuk ukuran sampel yang sama banyak digunakan:

JKT = nk  T   x n   j ij k  i .. 2 1 2 1 −

∑

∑

= = JKK = nk  T  n T  k    j i i .. 2 2 −

∑

= JKE = JKT-JKK. k = Kolom. n = Baris.

Untuk ukuran sampel yang tidak sama banyak digunakan:

JKT =  N  T   x n   j ij k  i .. 2 1 2 1 −

∑

∑

= = JKK =  N  T  n T  i k    j i i .. 2 2 −

∑

= JKE = JKT-JKK  

Derajat bebas eror = N-k  k = Kolom.

n = Baris.

Menyimpulkan bahwa  H 0diterima atau ditolak dengan membandingkan antara langkah ke-4 dengan criteria pengujian pada langkah ke-3.

Langkah-langkah pengujian klasifikasi dua arah adalah sebagai berikut (Hasan, 2002):

1. Menentukan formula hipotesis

a. :α ₁ =α ₂ =α ₃ =...=0

o

 H  _{(pengaruh kolom nol)}

:

1

 H  _{Sekurang-kurangnya satu}

1

α  tidak sama dengan nol

b. : 0

3 2 1

0 β  =β  =β  =

 H  _{(pengaruh kolom nol)}

:

1

 H  _{Sekurang-kurangnya satu}

1

β _{tidak sama dengan nol}

2. _{Menentukan taraf nyata (α) dan F tabelnya}

Taraf nyata (α) dan F table ditentukan dengan derajat pembilang dan penyebut masing-masing:

a. _{Untuk baris:} v₁ =b−₁dan v₂ =(k −1)(b−1)

b. _{Untuk kolom:} v₁ =k −_{1 dan} v₂ =(k −1)(b−1)

3. _{Menentukan criteria pengujian} a.  H _{0 diterima apabila} ) . .( 0  F  v1v2  F  ≤ α   0  H  _{ditolak apabila} ) . . ( 0

 F 

v₁v₂

 F 

α 

〉

b.  H _{0 diterima apabila} ) . .( 0  F  v1v2  F  ≤ α   0  H  _{ditolak apabila} ) . . ( 0

 F 

v₁v₂

 F 

α 

〉

4. Membuat analisis varians dalam bentuk table ANOVA Sumber 

Varians

Jumlah Kuadrat

Derajat Bebas Rata-Rata Kuadrat 0  F  Rata-Rata JKB b-1 db  JKB  s₁2 = 2 3 2 1 1  s  s   f   =

Baris Rata-Rata kolom Eror  JKK  JKE k-1 (k-1)(b-1) db  JKK   s2 = 1 db  JKE   s₁2 = 2 3 2 2 1  s  s   f   = Total JKT kb-1 Tabel 2.2 JKT = kb T   x n   j ij k  i .. 2 1 2 1 −

∑

∑

= = JKK = kb T  n T  i k    j i i .. 2 2 −

∑

= JKK = kb T  b   j T  k    j i .. . ₂ 1 2 −

∑

= JKE = JKT-JKB-JKK  5. Membuat kesimpulan

Menyimpulkan bahwa  H 0diterima atau ditolak dengan membandingkan antara langkah ke-4 dengan criteria pengujian pada langkah ke-3.

DAFTAR PUSTAKA

Walpole, Ronald E. 1995. Pengantar Statistika. Edisi ketiga. Jakarta: Gramedia Pustaka utama.

 Nurgiyantoro, Burhan, dkk. 2002.Statistika Terapan. Yogakarta: Gajah Mada. Hasan, M.Iqbal. 2002.Statistika 1 dan 2. Edisi kedua. Jakarta Bumi Aksara. Subiyakto, Haryono. 1994.Statistika 2. Jakarta: Gunadarma.