LEMBAR KEGIATAN SISWA LEMBAR KEGIATAN SISWA Kelompok :
Kelompok : ..., Kelas ..., Kelas : : ... Nama a
Nama a nggota kelompoknggota kelompok 1. 1. ………... ………... 2. 2. ………... ………... 3. 3. ………... ………... 4. 4. ……….. ………... TOPIK
TOPIK : Suku Banyak: Suku Banyak MATERI PEMBEA!ARAN
MATERI PEMBEA!ARAN :Pengertian Suku Banyak:Pengertian Suku Banyak A
AOOKKAA""I I ##AAKKTT$$ :: 90 menit90 menit T$!$AN PEMBEA!ARAN
T$!$AN PEMBEA!ARAN :: Setelah menyelesa
Setelah menyelesaikan Lembar Kegiataikan Lembar Kegiatan n Siswa ini diharapSiswa ini diharapkan siswa dapat :kan siswa dapat : 1.
1. Menentukan Menentukan koeisien koeisien pangkat pangkat tertinggi! tertinggi! koeisien koeisien pangkat pangkat terendah! terendah! "umlah "umlah semua kosemua koeisien sueisien suku banyaku banyak!k! banyaknya #ariabel suku banyak! dan
banyaknya #ariabel suku banyak! dan suku$suku pada bentuk al"abar.suku$suku pada bentuk al"abar. PET$N!$K
PET$N!$K PEN%%$NAAN PEN%%$NAAN K" K" :: 1. Selesaikan setiap kegiatan pada
1. Selesaikan setiap kegiatan pada LKS ini bersama LKS ini bersama dengan kelompok %nda.dengan kelompok %nda. &. 'kutilah langkah (langkah yang
&. 'kutilah langkah (langkah yang diminta dan tulislah hasil diskusi diminta dan tulislah hasil diskusi ditempat yang telah ditentukan.ditempat yang telah ditentukan. ).Kumpulkan hasil *iskusi "ika
).Kumpulkan hasil *iskusi "ika waktu yang telah ditentukan berakhir.waktu yang telah ditentukan berakhir. Penganta& Mate&' : Penge&t'an "(k(
Penganta& Mate&' : Penge&t'an "(k( Ban)ak Pol'nom'alBan)ak Pol'nom'al Suku banyak +polinomial, dalam
Suku banyak +polinomial, dalam x x yang yang berdera"atberdera"at nn ! dengan! dengan nn bilangan -a-ah dan bilangan -a-ah dan aann≠≠00 dituliskan dituliskan dalam bentuk: dalam bentuk: a ann x xnn
+
+
aann−−11 x x n n−−11+
+
aann−−22 x x n n−−22+
+
……+
+a
a11 x x+
+
aa00*era"at suatu suku banyak dalam
*era"at suatu suku banyak dalam x x adalah pangkat tertinggi dari adalah pangkat tertinggi dari x x dalam suku dalam suku banyak itu. Bilanganbanyak itu. Bilangan aann disebut
disebut koefisienkoefisien dari #ariabel dari #ariabel x xnn dan dan aa00 disebut #ariabel suku tetap atau konstanta. disebut #ariabel suku tetap atau konstanta. a
ann ,,aann−−11,, aann−−22, … , a, … , a11,, dan
dan aa00 merupakan bilangan real. merupakan bilangan real. ika suku banyak
ika suku banyak dalam #ariabeldalam #ariabel x x dengan koeisen bilangan real dianggap suatu dengan koeisen bilangan real dianggap suatu ungsi! maka penulisannyaungsi! maka penulisannya berbentuk: berbentuk: P P
((
x x))
=
=
aann x xnn+
+
aann−−11 x x n n−−11+
+a
ann−−22 x xnn−− 2 2+
+…
…+
+
aa11 x x+
+
aa00ika suku banyak
ika suku banyak dalam #ariabel / dengan koeisien bilangan real dianggap suatu persamaan! maka penulisandalam #ariabel / dengan koeisien bilangan real dianggap suatu persamaan! maka penulisannyanya berbentuk: berbentuk: a ann x x n n
+
+
aann−−11 x x n n−−11+
+a
ann−−22 x xn n−−22+
+
……+
+a
a11 x x++
aa00==
00Bentuk ini sering disebut
Bentuk ini sering disebut persama persamaananrasionalrasional integralderajatintegralderajat nn dalam #ariabel dalam #ariabel x x ..
Bentuk Bentuk x x
3 3
−
−
55 x x22+
+
77 x x+
+
33 adalah suku banyak dalam #ariabel adalah suku banyak dalam #ariabel x x yang yang berdera"at ). Sebutkan koeisienberdera"at ). Sebutkan koeisien pangkat tertinggi! koeisien pangkat terendah! dan "umlah semua koeisennya.pangkat tertinggi! koeisien pangkat terendah! dan "umlah semua koeisennya. C C o o n n t t o o h h 1 1
awab: Bentuk: x
3
−
5 x2+
7 x+
3 mempunyai:• Koeisien pangkat tertinggi 1 dengan pangkat tertinggi )!
• Koeisien pangkat terendah ) yang merupakan suku tetap atau konstanta! • umlah semua koeisien 1 ( 2 3 2 ) 4
5entukan koeisien x dalam setiap operasi al"abar berikut. a.
(
x+
2)(
2 x−
1)
b.( x
−
1)
2(
x+
2)( x
+
1)
-.(
x2+
2 x−
1)
2 awab: a.(
x+
2)(
2 x−
1)
2 x2−
x+
4 x−2 2 x 2+
3 x−
2 adi! koeisien x adalah )b.
(
x−
1)
2(
x+
2) (
x+
1)
(
x−
1)(
x−
1)(
x+
2)(
x+
1)
(
x−
1)(
x+
2)(
x−
1)(
x+
1)
(
x 2+
x−
2)(
x2−
1)
x4+
x3−
3 x2−
x+
2 adi koeisien x adalah $1-.
(
x 2+
2 x−
1)
2 x 4+
4 x2+
1+
4 x3−
2 x2−
4 x x4+
4 x3+
2 x2−
4 x+
1adi! koeisien x adalah $6
a. 3 x 20
−
3 x2+
x√ 3−
2 disebut suku banyak dengan pangkat tertinggi &0.b. 2 x
2
y2
+
3 xy−
5disebut suku banyak berdera"at & dengan dua #ariabel x dan y ! x berdera"at & dan y "uga berdera"at &.
C o n t o h 2 C o n t o h 3
-. π 3 600 tan
¿
x−
1¿
cos¿ x
3−¿
2 3 x 5−¿
disebut suku banyak berdera"at .
d. 4 x12
−
3 x3−
8 x2 7 x2 4 7 x 10−
3 7 x− 87 disebut suku banyak berdera"at 10.
Perhatikan bentuk$bentuk berikut. a. 3 x
5
+
5 x2−
2x2 ! bukan merupakan suku banyak karena ada #ariabel x yang berpangkat negati.
b. xcos x ! bukan merupakan suku banyak karena ada #ariabel x yang berada dalam ungsi trigonometri.
-. x+
1
x
+
2 ! bukan suku banyak karena ada #ariabel x yang berpangkat negati! yaitu 1 x=
x−1
d. x 2
+
√ x+
1, bukan suku banyak karena ada #ariabel x yang berpangkat bilangan pe-ahan! yaitu√ x
=
x1 2
.
5uliskan dera"at! suku! dan koeisien dari polinomial berikut. a. 2 x2
−
4 x3+
x−
13b. 5
− y
+
2 y2− y
5√ 6awab: a. 2 x
2
−
4 x3+
x−
13*era"at: )
Suku$suku dalam urutan turun:
−
4 x3,2 x2, x ,−13 Koeisien: $6! &! 1! $1)b. 5
− y
+
2 y2− y
5√ 6 *era"at: Suku$suku dalam urutan naik: !
−
y ,2 y2,− y5√ 6 Koeisien: ! $1! &! $ √ 6 C o n t o h 4 C o n t o h 57yatakan bentuk di bawah ini dalam urutan naik dan urutan turun. a.
−
x2
+
14+
2 x3−
7 xb. πy
−
√ 13 y5+
2 y2−
√ 2 y4−
90 awab:a. *engan menggunakan siat komutati dan asosiati! diperoleh:
−
x2+
14+
2 x3−
7 x 2 x3−
x2−
7 x+
14 +urutan turun, 14
−
7 x−
x2+
2 x3 +urutan naik, b. πy−
√ 13 y5
+
2 y2−
√ 2 y4−
90 −
√ 13 y5−
√ 2 y4+
2 y2+
πy−
90 +urutan turun,
−
90+
πy+
2 y2
−
√ 2 y4−
√ 13 y5 +urutan naik,a. !
−
2 x ,17 y2
, dan 9 x4 merupakan monomial b. 3 x
−
7,6 x2
+
5, 2 x−
9 y2, dan x2 y+
1 merupakan binomial.-. x3
−
2 x+
1 !−
xy+
y2−
3 x ! dan a x2+
bx+
c merupakan trinomial.Polinomial dengan dera"at +pangkat, rendah mempunyai nama khusus! yaitu "ika polinomial mempunyai:
• *era"at nol disebut polinomial konstan atau konstanta! • *era"at satu disebut polinomial linear!
• *era"at dua disebut polinomial kuadratik atau kuadratik! • *era"at tiga disebut polinomial kubik atau kubik!
• *era"at empat disebut polinomial kuartik atau kuartik.
ika sebuah polinomial ditulis sebagai: an xn
+
an−1 xn−1
+
an−2 x n−2+
…+
a1 x+
a0*engan suku berdera"at tinggi ditulis sebagai suku pertama dan suku selan"utnya dalam dera"at menurun dan diakhiri dengan konstanta! polinomial tersebut disebut polinomial dengan urutan turun + descending order ,! dan sebaliknya. a0
+
a1 x+
…+
an−2 x n−2+
an−1 x n−1+
an xn*isebut polinomial urutan naik +ascending order ,. Perhatikan illustrasi berikut.
• 8rutan turun : 3 x 4
+
x2−
7 x+
5 • 8rutan naik : 5−
7 x+
x 2+
3 x4A. E*al(as' Penge&t'an ata( Ingatan
C o n t o h 6 C o n t o h 7 L a t i h a n K o m p e t e n s i S i s w a 1
1. Koeisien pangkat terendah pada suku banyak dalam #ariabel x pada polinomial
2 x5
+
3 x4−
5 x3−
6 x2+
7 x−
15 adalah ...&. Koeisien pangkat tertinggi pada suku banyak 4
+
3t−
2t 2+
t 3+
10t 4−
2t 5 adalah ... ). Banyaknya #ariabel dari suku banyak a5
b5
−
a4b3+
a3b2+
a+
b2−
6 adalah ...yaitu ...6. Koeisien dari x 4
pada bentuk suku banyak 3 x 5
−
5 x3+
2 x2 adalah .... Koeisien #ariabel x berpangkat ) dari pen"abaran suku banyak
(
x−
1)
2.
(
x−
2)
2adalah ...
4. umlah semua koeisien dari pen"abaran polinomial:
(
2 y−
y 2)(
4 y2−
2 y+
1)
sama dengan ... 3. Koeisien x
5
dari pen"abaran polinomial
(
x 3+
x−
3)
2.(
x2+
5)
adalah .... 8rutan turun dari suku banyak x 3
−
5+
x−
x2 adalah ...9. 8rutan naik dari suku banyak x
5
−
2 x3+
x2√ 3+
7adalah ... 10. Koeisien pada bentuk al"abar 7
−
y3−
5 y+
2 y2 dalam urutan naik adalah ... B. #aluasi Pemahaman dan Penguasaan MateriPetun"uk : awablah dengan singkat! "elas! dan benar.
1. 5uliskan dera"at! suku$suku dalam urutan naik dan koeisiennya. a. 6 x 7
−
5 x+
2 x5−
4 x6−
10 x4 b. 2b 2+
3b3−
10b2+
20b5+
7b2+
5b5 -. r12+
4r8−
r6+
2r6+
9r7+
5r6 d.(
y2+
4 y+
1)
2(
y+
3 y2)
&. 5uliskan dera"at! suku$suku dalam urutan turun dan koeisiennya. a. x2
−
x4+
1+
3 x b.−
6 x7−
4 x2+
5 x5+
1 -. x 5−
2 x2+
√ 3 x3+
1 2 x d. u 50−
π 3 u 92−
√ 3u+
u61). 5entukan koeisien dari: a. x2 dalam 2 x 2
(
x−
3)
b. x2 dalam 2 x(
x+
2)+
2 x 2+
1 -. k 3 dalam(
3k+
5)(
k 2−
k−
1)
2 d. n 4 dalam(
n 2+
n−
3)(
n2+
5n+
3)
LEMBAR KEGIATAN SISWA
Kelompok : ..., Kelas : ... Nama a nggota kelompok
1. ………... 2. ………... 3. ………... 4. ………...
TOPIK : Suku Banyak
MATERI PEMBEA!ARAN : ;perasi %l"abar pada Polinomial
AOKA"I #AKT$ : 90 menit
T$!$AN PEMBEA!ARAN :
Setelah menyelesaikan Lembar Kegiatan Siswa ini diharapkan siswa dapat : 1. Melakukan operasi al"abar pada polinomial.
PET$N!$K PEN%%$NAAN K" :
1. Selesaikan setiap kegiatan pada LKS ini bersama dengan kelompok %nda.
&. 'kutilah langkah (langkah yang diminta dan tulislah hasil diskusi ditempat yang telah ditentukan. ). Kumpulkan hasil *iskusi "ika waktu yang telah ditentukan berakhir.
Mate&' : Ope&as' Al+aa& pa-a Pol'nom'al
Pada bentuk polinomial dapat diterapkan operasi al"abar pen"umlahan! pengurangan! perkalian! dan pembagian. Khusus untuk operasi pembagian! akan dibahas tersendiri.
A. Pen+(mlaan -an Peng(&angan
*ua bentuk polinomial dapat dilakukan pen"umlahan dan pengurangan dengan men"umlah atau mengurang antar koeisien pada suku se"enisnya! seperti -ontoh berikut ini.
+i, 8 x
+
3 x=
(
8+
3)
x=
11 x +siat distributi, +ii, 8 x−
3 x=
(
8−
3)
x=
5 x +siat distributi, +iii, 5 x y 2+
(
−
2 x y2)
=
(
5+
(
−
2)
) x y
2=
3 x y2 +i#, 5 x y 2−
(
−
2 x y2)
=
[
5−
(
−
2)
]
x y2=
(
5+
2)
x y2=
7 x y2+Penerapan siat distributi, Sederhanakanlah.
a. 5 x
2
+
7 x2−
11 x2b. 3 xy
−
15 xy+
5 xy -.−
5 y2+
3 y2+
2 y2 awab:a. 5 x
2
+
7 x2−
11 x2=
(
5+
7−
11)
x2=
x2+Siat distributi, b. 3 xy
−
15 xy+
5 xy=
(
3−
15+
5)
xy=−
7 xy +Siat distributi,C o n t o h 8
-.
−
5 y2
+
3 y2+
2 y2=
(
−
5+
3+
2)
y2=
0. y2=
0+Siat distributi, Selesaikanlah. a.
(
6 x 3−
8 x2+
7 x+
10)
+(
10 x2+
11 x−
13)
b. 10 y(¿¿
3+
7 y2−
4 y−
2)−(
5 y3−
2 y+
3)
¿
awab: <ara mendatar: a.(
6 x3−
8 x2+
7 x+
10)
+(
10 x2+
11 x−
13)
¿
6 x3+
(
−
8 x2+
10 x2)
+
(
7 x+
11 x)
+(
10−
13)
−
8+
10 7+
11¿
6 x3+
(¿
x2)+
(¿
x)+(−
3)
¿
6 x3+
2 x2+
18 x−
3 b. 10 y(¿¿
3+
7 y2−
4 y−
2)−(
5 y3−
2 y+
3)
¿
10 y
¿(¿¿
3−
5 y3)+
7 y2+(−
4 y+
2 y)+(−
2−
3)
¿
5 10
−¿
y¿
¿ ¿
¿
5 y3+
7 y2−
2 y−
5<ara menurun: a. 6 x3
−
8 x2+
7 x+
10 10 x2+
11 x−
13 ===================== 2 ∴6 x3+
2 x2+
18 x−
3 b.10 y3
+
7 y2−
4 y−
2 5 y3−
2 y+
3=====================$ ∴5 y3
+
7 y2−
2 y−
5C o n t o h 9
Pada operasi binomial! terdapat hal khusus berikut:
(
2 x3+
3 x2−
4)−(
2 x3+
3 x2−
4)
=
0Bentuk seperti ini disebut polinomial nol.
B. Pe&kal'an
*alam melakukan perkalian polinomial! kita biasanya menggunakan siat distributi.
a .
(
b+
c+
…+
k)
=
a. b+
a . c+
…+
a . k -an(
b+
c+
…+
k)
. a=
b . a+
c . a+
…+
k . a Selesaikanlah. a.(
5 x+
3)(
2 x 2−
5 x+
1)
b.(
2−
3 x+
x 2)(
4−
5 x+
x2)
awab: a. <ara mendatar:(
5 x+
3)
(
2 x2−
5 x+
1)
¿
5 x(
2 x2−
5 x+
1)
+
3(
2 x2−
5 x+
1)
¿
10 x3−
25 x2+
5 x+
6 x2−
15 x+
3¿
10 x3−
19 x2−
10 x+
3 <ara menurun: 2 x2−
5 x 1 5 10 x3−
25 x 5 x 3 6 x2−
15 3 + 10 x3−
19 x−
10+
3 ← Hasilnya b.(
2−
3 x+
x 2)(
4−
5 x+
x2)
akan lebih mudah "ika diker"akan se-ara menurun.2
−
3 x x2 4 8−
12 x 4 x2−
5−
10 x 15 x2−
5 x x2 2 x2−
3 x x4 + 8−
22 x+
21 x2−
8 x+
x4 ← Hasilnya C o n t o h 1 0Se-ara umum! kita dapat mengalikan polinomial dera"at m dengan polinomial dera"at n sebagai berikut.
(
a xm+
b xm−1+
…) (
A xn+
B xn−1+
…)
=
a . A xm+n+
b . B xm+n−2+
…>al ini berarti:
Ketika mengalikan dua polinomial kita mene!apkan si"at#si"at
pe!pangkatan yang telah dipela$a!i di kelas % yaitu
xm. xn=
xm+n*iberikan dua buah suku banyak f
(
x)
dan g(
x)
yang ditentukan oleh f( x
)
=
x 3+
x2−
3 x+
1 dan g(
x)
=
x3−
2 x2+
2 x−
1 5entukan: a. f(
x)
+
g(
x)
serta dera"atnya. b. f( x
)
−
g(
x)
serta dera"atnya. -. f(
x)
. g(
x)
serta dera"atnya. awab: a. f( x
)
+
g(
x)
=
x 3+
x2−
3 x+
1+
x3−
2 x2+
2 x−1=
2 x3−
x2−
x adi! f( x
)
+
g(
x)
=
2 x 3−
x2−
x dan f( x
)
+
g(
x)
berdera"at ). b. x(¿¿
3+
x2−
3 x+
1)−(
x3−
2 x2+
2 x−
1)
f( x)
−
g( x
)
=¿
¿
x3+
x2−
3 x+
1−
x3+
2 x2−
2 x+
1=
3 x2−
5 x+
2 adi! f( x
)−
g(
x)=
3 x 2−
5 x+
2dan f
(
x)−
g(
x)
berdera"at &.-. x
(¿¿
3+
x2−
3 x+
1)(
x3−
2 x2+
2 x−
1)
f( x
). g
(
x)
=¿
¿
x3(
x3−
2 x2+
2 x−
1)
+
x2(
x3−
2 x2+
2 x−
1)−
3 x(
x3−
2 x2+
2 x−
1)
+
1(
x3−
2 x2+
2 x−
1)
¿
x6+(
−
2 x5+
x5)
+(
2 x4−
2 x4−
3 x4)
+(−
x3+
2 x3+
6 x3+
x3)
+(−
x2−
6 x2−
2 x2)+
(
−
3 x+
2 x)
−
1¿
x6−
x5−
3 x4+
8 x3−
9 x2−
x−
1 C o n t o h 1 1adi! f
(
x)
. g(
x)
=
x 6−
x5−
3 x4+
8 x3−
9 x2−
x−
1dan f
(
x)
. g(
x)
berdera"at 4. Berdasarkan uraian pada <ontoh 11! dapat disimpulkan sebagai berikut.&isalkan
f(
x)
dan
g(
x)
masing#masing suku 'anyak 'e!de!a$at
m dan n maka( de!a$at da!i
[
f(
x)
. g(
x)
]
adalah
(
m+
n)
Misalkan p
(
x)
, q( x
)
, dan r(
x)
masing$masing suku banyak berdera"at m , n , dan s ! maka dera"at dari suku banyak:a. p
(
x)
. q(
x)
+
r(
x)
adalah nilai maksimum dari(
m+
n)
atau s .b. p
(
x)
. q( x
)
+
r(
x)
.q(
x)
adalah nilai maksimum dari(
m+
n)
atau n+
s . -. p(
x)
. q(
x)
. r(
x)
adalah m+
n+
s .at'an Kompetens' "'s/a 02 A. E*al(as' Penge&t'an ata( Ingatan
Petun"uk : awablah dengan singkat! "elas! dan benar.
1. Bentuk sederhana dari:) y2
−
5 y−
10−
6 y2+
15 y adalah ... &.( x
3+
2 x2−
5 x+
3)
+
(
−
x3+
2 x−
4)
sama dengan... ... ).(
−
x 3+
2 x−
4)
−
( x
3+
2 x2−
5 x+
3)
=¿
...6. *iberikan suku banyak$suku banyak f
(
x)
=
4 x 3−
x2+
8 x−
1 dan g(
x)
=
4 x 3+
2 x2−
10 x . Koeisien #ariabel x berpangkat tertinggi dari[
f(
x)
−
g(
x)
]
adalah ... . >asil dari operasi pen"umlahan x3+
5 x2+
6 x−
1 dan 3 x3
−
4 x2−
8 x+
6adalah ... 4. >asil dari operasi pengurangan
x3
−
4 x2−
8 x−
6 3 x3+
5 x2+
6 x−
1==================== $
%dalah ... 3. >asil pen"umlahan menurun berikut ini
2 x3
+
4 x2−
7 3 x3−
9 x+
10−
8 x2−
11 x+
6 ====================2 %dalah... . *era"at(
x 2−
3 x+
2)
(
x+
7)
( x
2−
3 x+
2)
adalah ...9. >asil dari perkalian
(
x2
+
x−
3)(
2 x+
3)
adalah ...10. >asil dari perkalian
(
x 2+
2 x−
3)(
x2+
1)
adalah ... C o n t o h 1 2B. E*al(as' Pemaaman -an Peng(asaan Mate&'
Petun"uk : awablah dengan singkat! "elas! dan benar.
1. *iketahui polinomial f
(
x)
=
x 2+
x dan g(
x)
=
x2−
5 x+
1 . a. f(
x)
+
g(
x) serta dera"atnya. b. f(
x)
−
g(
x)
serta dera"atnya. -. f(
x)
. g( x)
serta dera"atnya.&. 5entukan perkalian polinomial berikut dan tulis hasilnya dalam urutan naik dan turun.
a.
