Suku banyak semester 1 iain (1)

MakalahAljabarElementer

Suku Banyak (Polinom)

Teorema Sisa

DisusunOleh:

FajriAlfiansyah 261222870

Suryana 261324582

JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA

FAKULTAS TARBIYAH

UNIVERSITAS ISLAM NEGERI (UIN) AR RANIRY

DARUSSALAM-BANDA ACEH

Kata Pengantar

Puji syukur kepada Allah SWT, Tuhan Yang Maha Esa yang telah memberikan rahmat serta hidayah-Nya sehingga penyusunan makalah ini dapat diselesaikan.

Tugas ini penulis susun sebagai penuntasan kewajiban dalam pelaksanaan tugas mata kuliah Aljabar Elmenter dengan judul Suku Banyak (Polinom): “Teorema Sisa”.

Terima kasih kami, tersampaikan kepada Ibu dosen mata kuliah Aljabar Elementer yang telah membimbing dan memberikan arahan di perkuliahan demi lancarnyatugasini.

Demikianlah tugas ini disusun semoga bermanfaat, agar dapat memenuhi tugas mata kuliah Metode numerik

Pendahuluan

A. LatarBelakang

Guru/Dosen menuntut Mahasiswa untuk mempelajari fungsi konstan, fungsi linear, dan fungsi kuadrat serta selanjutnya akan dipelajari fungsi pangkat tiga, empat dan seterusnya yang disebut fungsi suku banyak, serta pembagian suku banyak. Makalah ini akan membahas materi untuk mendukung tercapainya tujuan pembelajaran dalam hal mengupas materi Polinom dengan mendiskusikan bersama melalui hasil makalah ini nantinya.

B. RumusananMasalah

Rumusan masalah yang penulis rumuskan berdasarkan latar belakang berkaitan dengan Topik yang diangkat, adalah sebagai berikut :

1. Algoritma Pembagian Suku Banyak

Bab I

Algoritma Pembagian Suku Banyak

A. Pengertian Suku Banyak (Polinom)

Bentuk Umum :

ax+an−1an−1x

n−1

+an−2x

n−2

+a1x+a0

Dengan ketentuan n bilangan cacah yang merupakan pangkat tertinggi

dari x dan a₀≠0 disebut suku banyak dalam x berderajat n .

a_n , a_n−1 , a_n−2 ..., a₁ berturut-turut disebut koefisien-koefisien dari xn _{, x}n−1 _{, x}n−2 _{, ... x sedangkan a}

0 disebut suku tetap.1

Contoh : a. 4x3

−5x2

+2x+3 , ini disebut suku banyak dalama x berderajat 3 dengan :

- Koefisien x3 _{adalah 3}

- Koefisien x2 _{adalah -5}

- Koefisien x adalah 2

- Suku tetapnya adalah 3 b. 3x5

+2x4

−8x2

+4 , ini disebut suku banyak dalam x berderajat 5 dengan :

- Koefisien x5 adalah 3

- Koefisien x4 adalah 2

- Koefisien x3 adalah 0

- Koefisien x2 adalah -8

- Koefisien x adalah 0

- Suku tetapnya adalah 4

Selanjutnya perlu diingat, kadangkala peubah (variabel) dari suku banyak tidak tunggal tetapi terdiri atas beberapa peubah.

Contoh :

a. x3+x2y4−3x+2xy+y2+4 , merupakan suku banyak dalam dua peubah (peubah x dan y ). Suku banyak ini berderajat 3 dalam x dan

berdeajat 4 dalam y .

b. a3

+b3

+c3

−2ab+ac−bc+1 , merupakan suku banyak dalam tiga peubah (peubah a , b , dan c). Suku banyak ini berderajat 3 pada setiap peubah.

B. Operasi Pada Suku Banyak

Pada operasi suku banyak, jika berpedoman pada satu buku tertentu maka akan kita dapati ada tiga cara pengoperasian di antaranya : “Penjumlahan Suku Banyak, Pengurangan Suku Banyak, dan Perkalian Suku Banyak”. Namun di dalam buku lain ada disebutkan satu cara lagi operasi suku banyak yaitu “Kesamaan Suku Banyak”.2

1. Penjumlahan Suku Banyak Dan Pengurangan

Dua buah suku banyak dapat dijumlahkan dengan cara menjumlahkan suku-suku yang berderajat sama. Misalkan f(x) dan g(x) masing – masing merupakan suku banyak berderajat m dan n, maka f(x) ± g(x) adalah suku banyak maksimum m atau n.

Contoh :

a. Diketahui : f(x) = 8x4−3x2+5x+7 dan g(x) = 2x3−5 .

Hitunglah : hasil dari penjumlahan f(x)+¿ g(x) dan pengurangan

f(x)−¿ g(x) Jawab :

f(x)+¿ g(x) =

(

8x4−3x2+5x+7

)

+(2x3−5)

= 8x4+2x3−3x2+5x+2

f(x)−¿ g(x) =

(

8x4−3x2+5x+7

)

−(2x3−5)

= 8x4−2x3−3x2+5x+12

Dua buah suku banyak dpat dikalikan dengan cara mengalikan suku demi suku. Misalkan f(x) dan g(x) masing – masing merupakan suku banyak berderajat m dan n. maka f(x) g(x) adalah suku banyak berderajat (m + n).

Contoh :

a. Diketahui : f(x) = 3x3+2x2−5 dan g(x) = 2x−3 . Hitunglah : hasil dari perkalian f(x) . g(x)

Jawaban : f(x) . g(x) =

3. Kesamaan Suku Banyak

Suku banyak f(x) dikatakan sama dengan suku banyak g(x) ditulis f(x) = g(x) jika dua suku banyak tersebut memiliki nilai yang sama untuk x ∈ R. Misal, C. Nilai suku banyak

Suku banyak dalam x sering dituliskan f(x). Jika nilai x diganti dengan bilangan tetap k, f(k) disebut nilai suku banyak.3

Cara meghitung nilai suku banyak dapat dilakukan dengan beberapa cara, antara lain :

1. Dengan Metode Substitusi (cara langsung) 2. Dengan Metode Horner ( cara bagan atau skema)

Berikut penulis akan menjelaskan tentang penggunaan kedua metode di atas, sebagai berikut :

1. Dengan Metode Substitusi (cara langsung)

Nilai suku banyak f(x) untuk x=k dapat diperoleh dengan cara

2. Dengan Metode Horner ( cara bagan atau skema)

Perhatikan suku banyak berderajat 3 berikut : f(x) = a x3+b x2+cx+d

Diketahui : f(x) = 6x3−7x2−9x+1

Tentukan nilai f(x) untuk ¿2 ! Jawab :

2 6 −7 −9 1

12 10 2

6 5 1 3

Jadi, nilai dari (x) = 6x3−7x2−9x+1 untuk x=2 adalah f(2) = 3. D. Identik Atau Kesamaan Suku Banyak (Diberi Notasi ≡ )

Dua bangun al jabar yang sama untuk setiap harga x, tetaapi ditulis dalam bentuk berbeda disebut identik.4

Jika terdapat dua polinom dalam x identik, setiap koefisien dari x yang bersesuaian pangkatnya adalah sama. Penjelasan lanjut perhatikan contoh berikut : Hitunglah nilai a, b, c, dan d jika :

x2−8x3+15x−20≡ x4+ (a+b)+2b−c¿x+d Jawab :

Koefisien x4:1=1

Koefisien x3:−8=a → a=−8

Koefisien x2_:0

=a+b=−a=8

Koefisien x:15=2b−c → c=2b−15=1

Koefisien x0_:

−20=d → d=−20

E. Pembagian Suku Banyak

Pembagian suku banyak sama halnya dengan pembagian bilangan real, operasi pembagian suku banyak dapat dilakukan dengan banyak cara misalnya dengan cara Horner. Namun dibutuhkan ketelitian dan kecermatan yang extra kritis dalam proses pengerjaannya. Lebih jelasnya penulis akan mengurai pembahasanya dengan lengkap, sehingga bisa dipelajari dengan seksama.

Sebagai langkah awal agar lebih mudah dipahami penulis akan memberikan contoh kecil mengingatkan kembali pembaca pada konsep pembagian bersusun bilangan real.

Perhatikan pembagian bilangan berikut ! 4

7 30

28

2

Dari contoh pembagian bilangan real yang di atas, kita dapat mencermati dengan melihat apa yang nantinya akan menunjukkan kesamaan pada pembagian suku banyak. Pembagian dari contoh di atas ini menunjukkan:

 30 merupakan bilangan yang dibagi → f(x)

 7 merupakan bilangan pembagi → g(x)

 4 merupakan bilangan hasil bagi → H(x)

 2 merupakan bilangan sisa bagi. → S(x)

Pada pembagian bilangan di atas, kita dapat menuliskan bahwa ; 30 = (7 x 4) +2, artinya dapat ditulis, f(x) = H(x)g(x) + S(x). Pola pembagian ini dapat diterapkan diterapkan untuk pembagian suku banyak.

Contoh : Tentukan hasil bagi dan sisanya ( 2x3

−x2

+3x−5¿:(x−2)!

Jawab :

2x2

+3x+9

x−2 2x3

−x2

+3x−5

2x3

−4x2

3x2

+3x

3x2

9x−5

9x−18 13

Pada pembagian di atas, tampak bahwa :

2x3−x2+3x−5=(x−2)

(

2x2+3x+9

)

+13 Jadi, hasil bagi = 2x2+3x+9 dan sisanya = 13.

Bab II

Derajat Polinom Hasil Bagi & Sisa Pembagian pada Algoritma Pembagian

A. Pembagian Suku Banyak Dengan ( x−k¿ Menggunakan Cara Horner. Cara kerja pembagian ini sama halnya dengan pembagian yang dijelaskan di bab sebelumnya, hanya saja di bab ini kita mencoba memisalkan

a x3+b x2+cx+d , akan kita coba bagi dengan ( x−k¿, seperti yang diperlihatkan dibawah ini.

a x2

+ (ak+b)x+a k2

+bk+c

x−k a x3

+b x2

+cx+d

a x2

−ak x2

(ak+b)x2 _{+ cx}

(ak+b)x2−(ak+bk)x

( a k2

+bk+c¿x+d

a k3+b k2+ck

a k3+b k2+ck+d

Pembagian tersebut menunjukkan :

 f(x) = _{a x}3

+b x2+cx+d

 g(x) = x−k

 H(x) = a x2

+ (ak+b)x+a k2

+bk+c

 S(x) = a k3

+b k2

+ck+d

perhitungan yang di dapat dengan hasil subtitusi ini akan penulis coba

bandingkan dengan hasil perbandingan metode horner di bawah ini, coba di

perhatikan dengan baik !

k a b c d

ak a k2+bk a k3+b k2+ck

a a k2+b a k2+bk+c a k3+b k2+ck+d

Pada baris paling bawah menunjukkan bahwa “ nilai paling kanan” merupakan sisa pembagian (S) dan “nilai di sebelah kirinya” menunjukkan koefisieen-koefisien hasil bagi.

Dari uraian kedua metode pembagian di atas, dapat disusun persamaan ysng menghubungkan f(x) dengan ( x−k¿ , H(x), dan S sebagai berikut : f(x) =(

x−k¿. H(x)+S .

Berikut sebuah contoh untuk melengkapi penjelasan :

a. Tentukan hasil bagi dan sisanya pada suku banyak ( 2x3

−5x2

+3x−1 ) :

(x−3)

b. Tulislah hasil nya dalam bentuk persamaan : yang di bagi = (pembagi

× hasil bagi) + sisa.

3 2 -5 3 −1

6 3 18

1 6 17→ sisa 17

a. Jadi, hasil baginya = 2x2

+x+6 dan sisanya =17 b. Sehingga diperokeh persamaan :

2x3−5x2+3x−1=(x−3) ( 2x2

+x+6+17¿ B. Pembagian Suku Banyak Dengan (ax+b)

Karena ax+b=a(x+b

a) maka untuk membagi banyak f(x) dengan

ax+b

¿ ) dapat dilakukan pembagian dengan

(

x+ b

a

)

lebih dulu menggunakan cara Horner, misalkan diperoleh sisa = S dan hasil bagi = H(x) maka terdapat persamaan :5

f(x) =

(

x+b

a

)

. H(x)+S

⇔

f(x)

=

1_a(x+b

a)

.

H(x)+S ⇔

f(x)

=

(ax+b)

.

H(x)

a +S

Persamaan terakhir menunjukkan bahwa f(x) dibagi (ax+b) , hasil

baginya adalah H(x)

a dan sisanya S yang nilainya sama dengan pembagian

dengan

(

x+b

a

)

.

Adapun bentuk soal yang didapat, misalnya tentukan hasil bagi dan

sisanya pada pembagian suku banyak 2x3−x2−1 dengan 2x+3 ! Dari yang diketahui :

f(x)

=

2x3−x2−1

g(x) =

2x+3

= 2(x+

3₂¿

sehingga dapat digunakan pembagian dengan (x+ 3

2¿ dengan menggunakan cara Horner seperti berikut.

−3

2 2 −1 0 −1

−3 6 −9

2 -4 6 −10

Jadi sisanya, S = -10 dan hasilnya H(x) 2 =

2x2−4x+6 2 =x

2

−2x+3 , sehingga

diperoleh persamaan : 2x3−x2−1=(2x+3)

₍

x2x

2

+3

)

−1

Bab III

Sisa Polinom Oleh Bentuk Linear & Kuadrat Dengan Teorema Sisa

A. Pengertian Teorema Sisa

Jika suatu suku banyak f(x) dibagi dengan ( x−k¿ maka hasil baginya adalah suatu suku banyak yang lain H(x) dan sisanya S akan merupakan suatu konstanta yang tidak memuat variabel x. Hubungan suku banyak f(x) dengan pembagi ( x−k¿ , hasil bagi H(x) dan sisa S adalah f(x) = ( x−k¿ H(x) + S yang benar untuk semua x.6 _{Hubungan antara sisa S dengan f(k) dinyatakan dalam}

sebuah teorema yang dikenal dengan Teorema Sisa seperti berikut :

1. Teorema Pertama : “Jika suku banyak f(x) berderajat n di bagi ( x−k¿ maka sisanya S = f(k) , maka teorema ini dikenal sebagai teorema sisa. Bukti :

f(x) = ( x−k¿ H(x) + S

karena persamaan ini berlaku untuk setiap x bilangan real, maka x

diganti k akan diperoleh :

⇔ f(x) = ( 0¿ H(k) + S

⇔ f(x) = 0 + S ⇔ f(x) = S

Jadi terbukti bahwa S = f(k)

Contoh :

Tentukanlah sisa jika x3−3x+5 dibagi x+2

- Cara 1

−2 1 0 - 3 5

−2 4 −2

1 -2 1 3→ jadi sisa 3

- Cara 2

f(x) = x3−3x+5

⇔ f(-2) = (−2)3−3(−2)+5

⇔ f(-2) = −8+6+5 ⇔ f(-2) = 3

Jadi, dari x3

−3x+5 dibagi x+2 S = f(−2) = 3 2. Teorema kedua.

Jika suku banyak dibagi f (x) berderajat dibagi n dibagi dibagi

(ax+b) , maka sisanya S=f+

(

−b

a

)

.7 Bukti :

Subsitusikan x=−b

a kepersamaan f(x)=(ax+b) .

H(x)

a +S diperoleh :

f

(

−b a

)

=

[

(

−b

a

)

+b

]

.

H

(

−b a

)

a

+ S

3. Teorema ketiga

Jika suku banyak f (x) berderajat n dibagi ( x−3¿(x−b), maka sisanya,

S=(x−a) (x−b)f(b)+

(x−b)

a−b f(a)

.

Atau dengan cara Horner : a.

…

…

… S₁

b.

…

…

… S₂

Sisanya = S₂(x−a)+S₁ Contoh :

Carilah sisanya apabila 2x4−3x2−x+2

dibagi oleh

x2−x−2! Jawab :

Cara 1

f(x)=2x4

−3x2

−x+2

x g(x)=x2

−x−2=(x−2)¿

+1), maka

S= (x−2)

(−1−2)f(−1)+ (x+1) (2+1)f(2)

=

(x−2)

=

18x₃+24

=

6x+8

Cara 2

2

2

0

-3

-1

2

4

8

10

18

2

4

5

9

20 =

S₁

1

2

4

5

9

-2

-2

-3

2

2

3

6 =

S₂

Jadi, sisa dari 2x4

−3x2

−x+2 dibagi oleh x2