BAB 2
TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Regresi Linier
Analisis regresi linier merupakan suatu metode yang digunakan untuk menganalisis hubungan antarvariabel. Hubungan tersebut dapat diekspresikan dalam bentuk persamaan yang menghubungkan variabel terikat Y dengan satu atau lebih variabel bebas X1, X2, …, Xk. Dalam hal hanya terdapat satu variabel bebas, maka model yang diperoleh disebut model regresi linier sederhana sedangkan jika variabel bebas yang digunakan lebih dari satu, model yang diperoleh disebut model regresi linier berganda (Nachrowi, 2008). Hubungan yang didapat pada umumnya dinyatakan dalam bentuk persamaan matematik yang menyatakan hubungan fungsional antara variabel-variabel. Penentuan variabel mana yang bebas dan mana yang terikat dalam beberapa hal tidak mudah dapat dilaksanakan. Studi yang cermat, diskusi yang seksama, berbagai pertimbangan, kewajaran masalah yang dihadapi dan pengalaman akan membantu memudahkan penentuan. Variabel yang mudah didapat atau tersedia sering digolongkan ke dalam variabel bebas sedangkan variabel yang terjadi karena variabel bebas itu merupakan variabel terikat (Sudjana, 2005).
Secara umum bentuk persamaan regresi linier sederhana dapat dituliskan sebagai berikut
𝑌𝑌𝑖𝑖 =𝛽𝛽0+𝛽𝛽1𝑋𝑋𝑖𝑖+𝜀𝜀𝑖𝑖 (2.1)
keterangan:
𝛽𝛽0,𝛽𝛽1 = parameter model regresi linier
𝜀𝜀𝑖𝑖 = kesalahan pengganggu/error
Sekarang, 𝛽𝛽0,𝛽𝛽1 dan 𝜀𝜀𝑖𝑖 tidak diketahui nilainya dan memang 𝜀𝜀𝑖𝑖 sangat sukar diketahui sebab nilainya berubah untuk setiap observasi Y. Akan tetapi 𝛽𝛽0,𝛽𝛽1 selalu tetap dan meskipun kita tidak mungkin mengetahui berapa persis nilainya tanpa memeriksa semua kemungkinan pasangan Y dan X, kita dapat menggunakan informasi di dalam data contoh untuk menghasilkan nilai dugaan (estimate) 𝑏𝑏0 dan 𝑏𝑏1bagi 𝛽𝛽0 dan 𝛽𝛽1. Jadi, kita dapat menuliskan
𝑌𝑌�𝑖𝑖 =𝑏𝑏0+𝑏𝑏1𝑋𝑋𝑖𝑖. (2.2)
Dalam hal ini 𝑌𝑌�𝑖𝑖, melambangkan nilai ramalan 𝑌𝑌 untuk suatu 𝑋𝑋 tertentu bila 𝑏𝑏0 dan 𝑏𝑏1 telah ditentukan. Persamaan (2.2) dengan demikian dapat digunakan sebagai persamaan peramal, substitusi untuk suatu nilai 𝑋𝑋 akan menghasilkan ramalan bagi nilai tengah atau rataan populasi 𝑌𝑌 pada nilai 𝑋𝑋 tersebut (Draper & Smith,1992).
Dan secara umum bentuk persamaan regresi linier berganda dapat dituliskan sebagai berikut
𝑌𝑌𝑖𝑖 =𝛽𝛽0+𝛽𝛽1𝑋𝑋1𝑖𝑖+𝛽𝛽2𝑋𝑋2𝑖𝑖+⋯+𝛽𝛽𝑘𝑘𝑋𝑋𝑘𝑘𝑖𝑖 +𝜀𝜀𝑖𝑖 (2.3)
keterangan:
𝛽𝛽0,𝛽𝛽1,𝛽𝛽2, … ,𝛽𝛽𝑘𝑘 = parameter model regresi linier
𝜀𝜀𝑖𝑖 = kesalahan pengganggu/error
𝑖𝑖= 1,2, … ,𝑑𝑑.
2.2 Metode Kuadrat Terkecil
Dalam menduga nila-nilai parameter 𝛽𝛽0,𝛽𝛽1, … ,𝛽𝛽𝑘𝑘 pada model regresi linier, dapat digunakan suatu metode yang didasarkan pada jumlah kuadrat daripada titik-titik pengamatan dengan garis regresi yang sedang dicari harus sekecil mungkin, ini disebut dengan metode kuadrat terkecil atau OLS (Ordinary Least Square).
2.2.1 Prinsip Metode Kuadrat Terkecil
Perhatikan bentuk persamaan regresi linier sederhana berikut: 𝑌𝑌𝑖𝑖 =𝛽𝛽0+𝛽𝛽1𝑋𝑋𝑖𝑖+𝜀𝜀𝑖𝑖,
untuk 𝑖𝑖 = 1,2, … ,𝑑𝑑, sehingga jumlah kuadrat semua kesalahan pengganggu/error dari garis yang sebenarnya adalah
𝑆𝑆=∑𝑑𝑑𝑖𝑖=1𝜀𝜀𝑖𝑖2 =∑𝑑𝑑𝑖𝑖=1(𝑌𝑌𝑖𝑖− 𝛽𝛽0− 𝛽𝛽1𝑋𝑋𝑖𝑖)2. (2.4)
Sebagai nilai dugaan kita akan memilih 𝑏𝑏0 dan 𝑏𝑏1 yang memiliki nilai yang jika nilai-nilai itu disubstitusikan ke dalam 𝛽𝛽0 dan 𝛽𝛽1 dalam persamaan (2.4), maka akan dihasilkan nilai 𝑆𝑆 yang paling kecil. Kita dapat menentukan 𝑏𝑏0 dan 𝑏𝑏1 dengan cara mendiferensialkan persamaan (2.4) terhadap 𝛽𝛽0 dan kemudian terhadap 𝛽𝛽1 dan kemudian menyamakan hasil pendiferensialan itu dengan nol. Sekarang, 𝛿𝛿𝑆𝑆 𝛿𝛿𝛽𝛽0 =−2� (𝑌𝑌𝑖𝑖 − 𝛽𝛽0− 𝛽𝛽1𝑋𝑋𝑖𝑖) 𝑑𝑑 𝑖𝑖=1 (2.5) 𝛿𝛿𝑆𝑆 𝛿𝛿𝛽𝛽1 =−2∑ 𝑋𝑋𝑖𝑖(𝑌𝑌𝑖𝑖− 𝛽𝛽0− 𝛽𝛽1 𝑑𝑑 𝑖𝑖=1 𝑋𝑋𝑖𝑖).
Sehingga nilai dugaan 𝑏𝑏0 dan 𝑏𝑏1dapat diperoleh dari ∑𝑑𝑑𝑖𝑖=1(𝑌𝑌𝑖𝑖− 𝛽𝛽0 − 𝛽𝛽1𝑋𝑋𝑖𝑖) = 0
(2.6) ∑𝑑𝑑𝑖𝑖=1𝑋𝑋𝑖𝑖(𝑌𝑌𝑖𝑖 − 𝛽𝛽0− 𝛽𝛽1𝑋𝑋𝑖𝑖) = 0
dengan mensubstitusikan 𝑏𝑏0,𝑏𝑏1 untuk 𝛽𝛽0,𝛽𝛽1 ketika kita menyamakan persamaan (2.5) dengan nol. Dari persamaan (2.6) kita memperoleh
∑𝑖𝑖𝑑𝑑=1𝑌𝑌𝑖𝑖 − 𝑑𝑑𝑏𝑏0− 𝑏𝑏1∑𝑑𝑑𝑖𝑖=1𝑋𝑋𝑖𝑖 = 0 (2.7) ∑𝑑𝑑𝑖𝑖=1𝑋𝑋𝑖𝑖𝑌𝑌𝑖𝑖− 𝑏𝑏0∑𝑑𝑑𝑖𝑖=1𝑋𝑋𝑖𝑖 − 𝑏𝑏1∑𝑑𝑑𝑖𝑖=1𝑋𝑋𝑖𝑖2 = 0 atau 𝑏𝑏0𝑑𝑑+𝑏𝑏1∑𝑑𝑑𝑖𝑖=1𝑋𝑋𝑖𝑖 =∑𝑖𝑖𝑑𝑑=1𝑌𝑌𝑖𝑖 (2.8) 𝑏𝑏0∑𝑖𝑖𝑑𝑑=1𝑋𝑋𝑖𝑖 +𝑏𝑏1∑𝑑𝑑𝑖𝑖=1𝑋𝑋𝑖𝑖2 =∑𝑑𝑑𝑖𝑖=1𝑋𝑋𝑖𝑖𝑌𝑌𝑖𝑖. (2.9)
Kedua persamaan ini disebut persamaan-persamaan normal (Draper & Smith, 1992).
Dari persamaan (2.8) diperoleh: 𝑏𝑏0𝑑𝑑+𝑏𝑏1� 𝑋𝑋𝑖𝑖 𝑑𝑑 𝑖𝑖=1 = � 𝑌𝑌𝑖𝑖 𝑑𝑑 𝑖𝑖=1 𝑏𝑏0𝑑𝑑= � 𝑌𝑌𝑖𝑖 − 𝑏𝑏1� 𝑋𝑋𝑖𝑖 𝑑𝑑 𝑖𝑖=1 𝑑𝑑 𝑖𝑖=1 𝑏𝑏0 = ∑ 𝑌𝑌𝑖𝑖 − 𝑏𝑏1∑ 𝑋𝑋𝑖𝑖 𝑑𝑑 𝑖𝑖=1 𝑑𝑑 𝑖𝑖=1 𝑑𝑑 𝑏𝑏0 = ∑ 𝑌𝑌𝑖𝑖 𝑑𝑑 𝑖𝑖=1 𝑑𝑑 − 𝑏𝑏1 ∑𝑑𝑑𝑖𝑖=1𝑋𝑋𝑖𝑖 𝑑𝑑 (2.10) 𝑏𝑏0 = 𝑌𝑌� − 𝑏𝑏1𝑋𝑋�. (2.11)
Substitusi persamaan (2.10) kedalam persamaan (2.9), diperoleh: �∑𝑑𝑑𝑖𝑖=1𝑌𝑌𝑖𝑖 𝑑𝑑 − 𝑏𝑏1 ∑𝑑𝑑𝑖𝑖=1𝑋𝑋𝑖𝑖 𝑑𝑑 � ∑𝑑𝑑𝑖𝑖=1𝑋𝑋𝑖𝑖 +𝑏𝑏1∑ 𝑋𝑋𝑖𝑖 2 𝑑𝑑 𝑖𝑖=1 =∑𝑑𝑑𝑖𝑖=1𝑋𝑋𝑖𝑖𝑌𝑌𝑖𝑖 ∑𝑑𝑑𝑖𝑖=1𝑋𝑋𝑖𝑖∑𝑑𝑑𝑖𝑖=1𝑌𝑌𝑖𝑖 𝑑𝑑 − 𝑏𝑏1 (∑𝑑𝑑𝑖𝑖=1𝑋𝑋𝑖𝑖)2 𝑑𝑑 +𝑏𝑏1∑𝑑𝑑𝑖𝑖=1𝑋𝑋𝑖𝑖2 = ∑𝑑𝑑𝑖𝑖=1𝑋𝑋𝑖𝑖𝑌𝑌𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑏𝑏1�∑𝑑𝑑𝑖𝑖=1𝑋𝑋𝑖𝑖2 −(∑ 𝑋𝑋𝑖𝑖) 𝑑𝑑 𝑖𝑖=1 2 𝑑𝑑 �=∑𝑑𝑑𝑖𝑖=1𝑋𝑋𝑖𝑖𝑌𝑌𝑖𝑖− ∑𝑑𝑑𝑖𝑖=1𝑋𝑋𝑖𝑖∑𝑑𝑑𝑖𝑖=1𝑌𝑌𝑖𝑖 𝑑𝑑 𝑏𝑏1�𝑑𝑑 ∑ 𝑋𝑋𝑖𝑖 2−(∑ 𝑋𝑋 𝑖𝑖) 𝑑𝑑 𝑖𝑖=1 2 𝑑𝑑 𝑖𝑖=1 𝑑𝑑 �= 𝑑𝑑 ∑𝑑𝑑𝑖𝑖=1𝑋𝑋𝑖𝑖𝑌𝑌𝑖𝑖−∑𝑑𝑑𝑖𝑖=1𝑋𝑋𝑖𝑖∑𝑑𝑑𝑖𝑖=1𝑌𝑌𝑖𝑖 𝑑𝑑 𝑏𝑏1 =𝑑𝑑 ∑ 𝑋𝑋𝑖𝑖𝑌𝑌𝑖𝑖−∑ 𝑋𝑋𝑖𝑖∑ 𝑌𝑌𝑖𝑖 𝑑𝑑 𝑖𝑖=1 𝑑𝑑 𝑖𝑖=1 𝑑𝑑 𝑖𝑖=1 𝑑𝑑 ∑𝑑𝑑𝑖𝑖=1𝑋𝑋𝑖𝑖2−(∑𝑑𝑑𝑖𝑖=1𝑋𝑋𝑖𝑖)2 . (2.12)
Makridakis (1992), suatu cara yang sering dipakai untuk menyatakan persamaan regresi adalah dalam bentuk deviasi dari nilai-nilai tengah 𝑋𝑋 dan 𝑌𝑌. Data ditransformasi dengan mensubstitusikan:
𝑥𝑥𝑖𝑖 =𝑋𝑋𝑖𝑖 − 𝑋𝑋� atau 𝑋𝑋𝑖𝑖 =𝑥𝑥𝑖𝑖+𝑋𝑋�
𝑦𝑦�𝑖𝑖 =𝑌𝑌�𝑖𝑖− 𝑌𝑌� atau 𝑌𝑌�𝑖𝑖 =𝑦𝑦𝑖𝑖 +𝑌𝑌�.
Persamaan regresi, 𝑌𝑌� =𝑏𝑏0+𝑏𝑏1𝑋𝑋𝑖𝑖, kemudian menjadi: 𝑦𝑦�𝑖𝑖 +𝑌𝑌�=𝑏𝑏0+𝑏𝑏1(𝑥𝑥𝑖𝑖+𝑋𝑋�)
yang dapat disederhanakan menjadi 𝑦𝑦�𝑖𝑖 =𝑏𝑏0 +𝑏𝑏1𝑥𝑥𝑖𝑖+𝑏𝑏1𝑋𝑋� − 𝑌𝑌�.
Tetapi karena, 𝑏𝑏0 =𝑌𝑌� − 𝑏𝑏1𝑋𝑋�
𝑦𝑦�𝑖𝑖 =𝑌𝑌� − 𝑏𝑏1𝑋𝑋�+𝑏𝑏1𝑥𝑥𝑖𝑖 +𝑏𝑏1𝑋𝑋� − 𝑌𝑌�
dan 𝑦𝑦�𝑖𝑖 =𝑏𝑏1𝑥𝑥𝑖𝑖. (2.13)
Demikian pula, dengan substitusi:
Diferensialkan persamaan (2.14) terhadap 𝑏𝑏1 kemudian samakan persamaan baru yang didapat dengan nol.
𝛿𝛿 ∑𝑑𝑑𝑖𝑖=1𝑒𝑒𝑖𝑖2 𝛿𝛿𝑏𝑏1 =−2(∑ 𝑥𝑥𝑖𝑖(𝑦𝑦𝑖𝑖 − 𝑏𝑏1𝑥𝑥𝑖𝑖)) 𝑑𝑑 𝑖𝑖=1 =−2(∑𝑑𝑑𝑖𝑖=1𝑥𝑥𝑖𝑖𝑦𝑦𝑖𝑖 − 𝑏𝑏1∑𝑑𝑑𝑖𝑖=1𝑥𝑥𝑖𝑖2) 0 =−2∑𝑖𝑖𝑑𝑑=1𝑥𝑥𝑖𝑖𝑦𝑦𝑖𝑖+ 2𝑏𝑏1∑𝑑𝑑𝑖𝑖=1𝑥𝑥𝑖𝑖2 𝑏𝑏1 =∑ 𝑥𝑥𝑖𝑖𝑦𝑦𝑖𝑖 𝑑𝑑 𝑖𝑖=1 ∑𝑑𝑑𝑖𝑖=1𝑥𝑥𝑖𝑖2 . (2.15)
Gujarati (1988), penduga yang diperoleh tadi dikenal sebagai penduga kuadrat terkecil karena diperoleh dari prinsip kuadrat terkecil. Penduga kuadrat terkecil 𝑏𝑏0dan 𝑏𝑏1 dinyatakan dalam nilai-nilai observasi dari sampel sebanyak n pasang
nilai (Xi,Yi) dan merupakan penduga tunggal (point estimator), maksudnya dari suatu sampel tertentu hanya dihitung satu nilai 𝑏𝑏0 dan satu nilai 𝑏𝑏1. Penduga 𝑏𝑏0 dan 𝑏𝑏1 tersebut setelah dihitung berdasarkan suatu sampel tertentu akan diperoleh nilai 𝑏𝑏0 dan 𝑏𝑏1 yang memungkinkan untuk penggambaran kurva garis regresi yang mempunyai sifat-sifat sebagai berikut:
1. Garis tersebut melalui rata-rata 𝑋𝑋� dan 𝑌𝑌�. Hal ini jelas ditunjukkan oleh persamaan (2.11) dimana 𝑏𝑏0 =𝑌𝑌� − 𝑏𝑏1𝑋𝑋�
2. Nilai rata-rata Y yang ditaksir (𝑌𝑌��) adalah sama dengan nilai rata-rata pengamatan (Y)
Bukti :
𝑌𝑌�𝑖𝑖 =𝑏𝑏0+𝑏𝑏1𝑋𝑋𝑖𝑖 =𝑌𝑌� − 𝑏𝑏1𝑋𝑋�+𝑏𝑏1𝑋𝑋𝑖𝑖
=𝑌𝑌�+𝑏𝑏1(𝑋𝑋𝑖𝑖 − 𝑋𝑋�) jumlahkan untuk seluruh nilai sampel
∑𝑑𝑑𝑖𝑖=1𝑌𝑌�𝑖𝑖 =𝑑𝑑𝑌𝑌�+𝑏𝑏1∑𝑖𝑖𝑑𝑑=1(𝑋𝑋𝑖𝑖 − 𝑋𝑋�) karena ∑𝑑𝑑𝑖𝑖=1(𝑋𝑋𝑖𝑖 − 𝑋𝑋�) = 0 maka ∑𝑑𝑑𝑖𝑖=1𝑌𝑌�𝑖𝑖 =𝑑𝑑𝑌𝑌� kalikan 𝑑𝑑1 1 𝑑𝑑 � 𝑌𝑌�𝑖𝑖 𝑑𝑑 𝑖𝑖=1 = 𝑌𝑌� Jadi, 𝑌𝑌��𝑖𝑖 =𝑌𝑌�
3. Rata-rata kesalahan pengganggu/error adalah nol atau 𝑒𝑒𝑖𝑖 = 0 Bukti : 𝑒𝑒𝑖𝑖 =𝑌𝑌𝑖𝑖 − 𝑌𝑌�𝑖𝑖 =𝑌𝑌𝑖𝑖 − 𝑏𝑏0 − 𝑏𝑏1𝑋𝑋𝑖𝑖 � 𝑒𝑒𝑖𝑖 =� (𝑌𝑌𝑖𝑖 − 𝑏𝑏0− 𝑑𝑑 𝑖𝑖=1 𝑑𝑑 𝑖𝑖=1 𝑏𝑏1𝑋𝑋𝑖𝑖) � 𝑒𝑒𝑖𝑖 𝑑𝑑 𝑖𝑖 = � (𝑌𝑌𝑖𝑖−(𝑌𝑌� − 𝑑𝑑 𝑖𝑖=1 𝑏𝑏1𝑋𝑋�)− 𝑏𝑏1𝑋𝑋𝑖𝑖) =� (𝑌𝑌𝑖𝑖− 𝑌𝑌� − 𝑏𝑏1(𝑋𝑋𝑖𝑖− 𝑋𝑋�)) 𝑑𝑑 𝑖𝑖=1 = � (𝑌𝑌𝑖𝑖− 𝑌𝑌�)− 𝑏𝑏1� (𝑋𝑋𝑖𝑖 − 𝑋𝑋�) 𝑑𝑑 𝑖𝑖=1 𝑑𝑑 𝑖𝑖=1 ∑𝑑𝑑𝑖𝑖=1𝑒𝑒𝑖𝑖 = 0 kalikan 𝑑𝑑1 1 𝑑𝑑 � 𝑒𝑒𝑖𝑖 𝑑𝑑 𝑖𝑖=1 = 0 𝑒𝑒̅𝑖𝑖 = 0.
2.3 Sifat-Sifat Penduga yang Utama
Menurut Nachrowi (2008), sifat-sifat penduga yang utama yaitu: 1. Tak Bias
Bila b adalah penduga dari 𝛽𝛽 (suatu parameter), maka b dikatakan penduga tak bias jika 𝐸𝐸(𝑏𝑏) =𝛽𝛽
2. Efisien
Bila 𝛽𝛽̂ dan 𝛽𝛽̅ keduanya merupakan penduga tak bias untuk 𝛽𝛽, maka 𝛽𝛽̂ dikatakan lebih efisien dari 𝛽𝛽̅ jika 𝑣𝑣𝑑𝑑𝑣𝑣(𝛽𝛽̂)≤ 𝑣𝑣𝑑𝑑𝑣𝑣(𝛽𝛽̅)
3. Terbaik dan Tak Bias atau BUE (Best Unbiased Estimator)
Bila 𝛽𝛽̂ merupakan penduga tak bias untuk 𝛽𝛽, maka 𝛽𝛽̂ dikatakan sebagai penduga terbaik dan tak bias untuk 𝛽𝛽 jika untuk setiap penduga tak bias untuk 𝛽𝛽 sebut 𝛽𝛽̅, berlaku 𝑣𝑣𝑑𝑑𝑣𝑣(𝛽𝛽̂) ≤ 𝑣𝑣𝑑𝑑𝑣𝑣(𝛽𝛽̅)
Suatu penduga katakan 𝛽𝛽̂ dikatakan penduga tak bias linier terbaik (BLUE) dari 𝛽𝛽 jika 𝛽𝛽 tadi linier, tak bias dan mempunyai varians minimum dalam semua kelas penduga linier tak bias dari 𝛽𝛽.
2.4 Autokorelasi
Salah satu asumsi penting dari beberapa asumsi model regresi linier klasik adalah kesalahan pengganggu/error dari pengamatan yang berbeda (𝜀𝜀𝑖𝑖,𝜀𝜀𝑗𝑗) bersifat bebas. Dengan kata lain asumsi ini mengharuskan tidak terdapatnya autokorelasi di antara error 𝜀𝜀𝑖𝑖 yang ada dalam fungsi regresi populasi. Asumsi ini secara tegas menyatakan bahwa nilai-nilai error antara periode pengamatan yang satu harus bebas (tidak berkorelasi) dengan periode pengamatan yang lain (Vincent Gaspersz, 1991).
Istilah autokorelasi (autocorrelation), menurut Maurice G. Kendall dan William R. Buckland, A Dictionary of Statistical Terms : “ Correlation between members of series observations ordered in time (as in time-series data), or space (as in
cross-sectional data) ”. Autokorelasi adalah korelasi di antara anggota seri dari
observasi-observasi yang diurutkan berdasarkan waktu (seperti pada data deret-waktu) atau tempat (seperti pada data cross-section).
Dalam hubungannya dengan persoalan regresi, model regresi linier klasik menganggap bahwa autokorelasi demikian itu tidak terjadi pada error. Dengan simbol dapat dinyatakan sebagai berikut:
𝐸𝐸�𝜀𝜀𝑖𝑖𝜀𝜀𝑗𝑗�= 0 , 𝑖𝑖 ≠ 𝑗𝑗.
Model tersebut menganggap bahwa error 𝜀𝜀𝑖𝑖 yang berhubungan dengan data obsevasi ke-𝑖𝑖tidak akan dipengaruhi oleh error 𝜀𝜀𝑗𝑗 yang berhubungan dengan data observasi ke-𝑗𝑗 (𝑖𝑖,𝑗𝑗 = 1,2, … ,𝑑𝑑). Akan tetapi jika terdapat ketergantungan antara𝜀𝜀𝑖𝑖
dan 𝜀𝜀𝑗𝑗maka dikatakan ada autokorelasi, dengan simbol dapat dinyatakan sebagai berikut:
𝐸𝐸�𝜀𝜀𝑖𝑖𝜀𝜀𝑗𝑗� ≠ 0 , 𝑖𝑖 ≠ 𝑗𝑗.
Autokorelasi merupakan bentuk khusus atau kasus khusus dari korelasi. Autokorelasi berkaitan dengan hubungan di antara nilai-nilai yang berurutan dari variabel yang sama. Dengan demikian terlihat adanya perbedaan pengertian antara autokorelasi dan korelasi, meskipun pada dasarnya sama-sama mengukur derajat keeratan hubungan. Korelasi mengukur derajat keeratan hubungan di antara dua buah variabel yang berbeda, sedangkan autokorelasi mengukur derajat keeratan hubungan di antara nilai-nilai yang berurutan pada variabel yang sama atau pada variabel itu sendiri (Vincent Gaspersz, 1991).
2.4.1 Alasan Terjadinya Autokorelasi
Vincent Gaspersz (1991), terjadinya autokorelasi pada suatu model regresi linier dapat disebabkan oleh beberapa hal berikut:
1. Adanya variabel-variabel bebas yang dihilangkan dari model
Seperti diketahui bahwa kebanyakan variabel-variabel dalam bidang ekonomi cenderung memiliki autokorelasi, di mana nilai-nilai dari periode sekarang akan tergantung pada periode sebelumnya. Jika variabel yang memiliki sifat autokorelasi ini dihilangkan atau dikeluarkan dari model atau dipisahkan dari sekumpulan variabel-variabel bebas yang lain, maka jelas hal ini akan berpengaruh yang direfleksikan dalam variabel error 𝜀𝜀, sehingga nilai-nilai error akan berautokorelasi
2. Adanya kesalahan spesifikasi bentuk matematika dari model
Jika kita merumuskan atau menetapkan bentuk matematika yang berbeda dari bentuk hubungan yang sebenarnya, maka nilai error akan menunjukka n autokorelasi
4. Di dalam regresi deret-waktu, jika model regresi mengikutsertakan tidak hanya nilai-nilai sekarang tetapi juga nilai-nilai pada waktu yang lalu sebagai variabel bebas, maka variabel itu disebut sebagai model distribusi “ lags ”
5. Adanya manipulasi data
Di dalam analisis empirik, data mentah sering dimanipulasi. Sebelum membahas manipulasi data, maka perlu dikemukakan bahwa kata manipulasi tidak berkaitan dengan hal-hal yang negatif seperti memalsukan data, mengarang data, dan sebagainya tetapi manipulasi data yang dimaksudkan disini adalah suatu teknik mengubah data yang berkonotasi positif, dimana teknik mengubah data atau memperkirakan data itu dapat dibenarkan tetapi sering menimbulkan masalah yang berkaitan dengan bentuk gangguan.
2.4.2 Konsekuensi Autokorelasi
Jika semua asumsi model regresi linier klasik dipenuhi, teori Gauss-Markov menyatakan bahwa dalam kelas semua penduga tak bias linier penduga OLS adalah yang terbaik yaitu penduga tersebut mempunyai varians minimum (Gujarati, 1988). Akan tetapi jika suatu model regresi linier menunjukkan adanya autokorelasi maka telah disebutkan sebelumnya bahwa penduga parameter 𝛽𝛽0,𝛽𝛽1,𝛽𝛽2, … ,𝛽𝛽𝑘𝑘 yang diperoleh dengan metode OLS tidak lagi bersifat
BLUE.Gujarati (1988), jika kita tetap melakukan penerapan OLS dalam situasi autokorelasi, konsekuensi sebagai berikut terjadi:
1. Jika kita mengabaikan autokorelasi dalam penduga OLS yang dihitung secara konvensional dan variansnya, penduga tersebut masih tetap tidak efisien. Oleh karena itu, selang keyakinannya menjadi lebar dan pengujian arti (signifikan) kurang kuat
2. Jika kita tidak memperhatikan batas masalah autokorelasi dan terus menerapkan formula OLS klasik (dengan asumsi tidak ada autokorelasi) maka konsekuensinya akan lebih serius karena:
a.) Varians error 𝜎𝜎�2 menduga terlalu rendah (underestimate) 𝜎𝜎2 sebenarnya
b.) Jika 𝜎𝜎2 tidak diduga terlalu rendah, varians dan kesalahan standar OLS nampaknya akan menduga varians terlalu rendah dan juga kesalahan standar yang sebenarnya
c.) Pengujian arti (signifikan) t dan F tidak lagi sah, dan jika diterapkan akan memberikan kesimpulan yang menyesatkan secara serius mengenai arti statistik dari koefisien regresi yang diduga
3. Meskipun penduga OLS tidak bias yang merupakan sifat penyampelan berulang, tetapi dalam satu sampel tertentu penduga tersebut memberikan gamabaran yang menyimpang dari populasi sebenarnya.
Seperti telah dikemukakan dalam batasan masalah di bab sebelumnya bahwa kesalahan pengganggu/error mengikuti persamaan berikut:
𝜀𝜀𝑡𝑡 = 𝜌𝜌𝜀𝜀𝑡𝑡−1+𝑢𝑢𝑡𝑡 (2.16)
keterangan:
𝜀𝜀𝑡𝑡= kesalahan pengganggu/error pada waktu t
𝜌𝜌 = koefisien autokorelasi dengan nilai −1≤ 𝜌𝜌 ≤1 𝜀𝜀𝑡𝑡−1 = kesalahan pengganggu/error pada periode 𝑡𝑡 −1
𝑢𝑢𝑡𝑡= kesalahan pengganggu/error
yang mana dalam hal ini 𝑢𝑢𝑡𝑡 diasumsikan memenuhi semua asumsi OLS yaitu: 𝐸𝐸(𝑢𝑢𝑡𝑡) = 0, 𝑣𝑣𝑑𝑑𝑣𝑣(𝑢𝑢𝑡𝑡) =𝜎𝜎2, 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑣𝑣(𝑢𝑢𝑡𝑡,𝑢𝑢𝑡𝑡+𝑠𝑠) = 0 , 𝑠𝑠 ≠0.
Persamaan (2.16) di atas dikenal sebagai autoregresif derajat-satu yang ditulis sebagai AR(1), disebut autoregresif karena persamaan (2.16) diinterpretasikan sebagai regresi 𝜀𝜀𝑡𝑡 atas dirinya sendiri yang terlambat satu periode dan dinamakan derajat-satu karena hanya 𝜀𝜀𝑡𝑡 dan nilai error pada satu periode sebelumnya (𝜀𝜀𝑡𝑡−1) saja yang terlibat.
Vincent Gaspersz (1991), J.Durbin dan G.S.Watson dalam dua artikel yang dimuat dalam majalah ilmiah Biometrika pada tahun 1950 dan 1951 telah mengemukakan uji untuk autokorelasi yang populer dengan nama uji Durbin-Watson. Uji Durbin-Watson dapat digunakan untuk menguji hipotesis berikut:
H0 : 𝜌𝜌= 0 ; tidak terdapat autokorelasi H1 : 𝜌𝜌 ≠0 ; terdapat autokorelasi
Untuk menguji H0, dapat digunakan uji Durbin-Watson yang dirumuskan sebagai berikut:
𝑑𝑑
=
∑𝑑𝑑𝑡𝑡=2(𝑒𝑒𝑡𝑡−𝑒𝑒𝑡𝑡−1)2 ∑𝑑𝑑 𝑒𝑒𝑡𝑡2 𝑡𝑡=1=
∑𝑑𝑑𝑡𝑡=2𝑒𝑒𝑡𝑡2+∑𝑡𝑡=2𝑑𝑑 𝑒𝑒𝑡𝑡−12−2∑𝑑𝑑𝑡𝑡=2𝑒𝑒𝑡𝑡𝑒𝑒𝑡𝑡−1 ∑𝑑𝑑 𝑒𝑒𝑡𝑡2 𝑡𝑡=1(2.17)
Adapun beberapa asumsi yang melandasi uji Durbin-Watson ini yaitu:
1. Uji Durbin-Watson diterapkan untuk model regresi yang mencakup parameter 𝛽𝛽0, dengan kata lain dipergunakan untuk model regresi yang mengandung intersep. Jika kita mempunyai model regresi tanpa intersep atau model regresi melalui titik asal maka perlu membangun model regresi dengan intersep untuk menghitung nilai error dari model itu
2. Variabel-variabel bebas 𝑋𝑋 adalah nonstokastik, atau bersifat tetap dalam penarikan sampel yang berulang (repeated sampling)
3. Bentuk kesalahan pengganggu/error mengikuti pola autoregresif derajat-pertama dengan bentuk persamaan: 𝜀𝜀𝑡𝑡 =𝜌𝜌𝜀𝜀𝑡𝑡−1+𝑢𝑢𝑡𝑡
4. Model regresi tidak mencakup nilai-nilai lag dari variabel terikat sebagai suatu variabel bebas
5. Tidak ada pengamatan yang hilang dalam data, dengan demikian uji Durbin-Watson hanya dapat diterapkan untuk model regresi yang dibangun berdasarkan data yang lengkap.
Untuk sampel yang berukuran besar, maka bentuk-bentuk: ∑𝑑𝑑𝑡𝑡=2𝑒𝑒𝑡𝑡2,∑𝑑𝑑𝑡𝑡=2𝑒𝑒𝑡𝑡−12,𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 ∑𝑑𝑑𝑡𝑡=1𝑒𝑒𝑡𝑡2
akan mendekati hasil yang sama atau memiliki besaran yang hampir serupa atau hampir sama besar. Dengan demikian, kita dapat menulis statistik d dalam pendekatan berikut:
𝑑𝑑 ≈2∑ 𝑒𝑒2𝑡𝑡−1 ∑ 𝑒𝑒2𝑡𝑡−1 − 2∑ 𝑒𝑒𝑡𝑡𝑒𝑒𝑡𝑡−1 ∑ 𝑒𝑒2𝑡𝑡−1 ≈2(1− ∑ 𝑒𝑒𝑡𝑡𝑒𝑒𝑡𝑡−1 ∑ 𝑒𝑒2𝑡𝑡−1). Dan didefinisikan 𝜌𝜌�= ∑ 𝑒𝑒𝑡𝑡𝑒𝑒𝑡𝑡−1
∑ 𝑒𝑒2𝑡𝑡−1 sehingga 𝑑𝑑 ≈2(1− 𝜌𝜌�). Oleh karena terdapat
suatu batasan bahwa −1≤ 𝜌𝜌 ≤1 , maka statistik d akan terletak dalam selang (0,4) sehingga dapat ditulis 0≤ 𝑑𝑑 ≤4.
Dari uraian yang dikemukakan, maka dapat diambil kesimpulan tentang beberapa sifat uji Durbin-Watson antara lain:
1. Jika tidak terdapat autokorelasi, maka 𝜌𝜌� = 0 maka 𝑑𝑑 = 2 sehingga apabila berdasarkan perhitungan diperoleh 𝑑𝑑 ≈2 maka dapat dinyatakan tidak terdapat autokorelasi dalam fungsi regresi
2. Jika 𝜌𝜌� = 1 maka 𝑑𝑑 = 0, dan dalam keadaan seperti ini menunjukkan adanya autokorelasi positif sempurna. Dengan demikian, jika 0 <𝑑𝑑 < 2 menunjukkan adanya suatu autokorelasi positif di mana autokorelasi tersebut akan semakin kuat bersifat positif apabila nilai 𝑑𝑑 ≈0, dan sebaliknya autokorelasi positif tesebut akan semakin lemah apabila nilai 𝑑𝑑 ≈2
3. Jika 𝜌𝜌�= −1 maka 𝑑𝑑 = 4, dan dalam keadaan ini menunjukkan adanya autokorelasi negatif sempurna. Dengan demikian, jika 2 <𝑑𝑑 < 4 menunjukkan adanya autokorelasi negatif dimana autokorelasi negatif tersebut akan semakin kuat apabila 𝑑𝑑 ≈4, sebaliknya autokorelasi negatif tersebut akan semakin lemah apabila 𝑑𝑑 ≈2.
Keuntungan dari uji Durbin-Watson ini adalah statistik tersebut didasarkan pada error/residual yang diestimasi, yang secara rutin dihitung pada analisis regresi. Dan kelemahan dari uji ini yaitu jika d jatuh dalam daerah yang meragukan atau daerah ketidaktahuan maka kita tidak dapat menyimpulkan apakah autokorelasi ada atau tidak (Gujarati, 1988).
Durbin-Watson telah menetapkan batas atas (dU) dan batas bawah (dL) untuk taraf nyata tertentu yang cocok untuk menguji hipotesis tentang ada atau tidak adanya
autokorelasi. Mekanisme dari uji Durbin-Watson adalah sebagai berikut, dengan mengasumsikan bahwa asumsi yang mendasari pengujian terpenuhi:
1. Lakukan regresi OLS dan dapatkan nilai error/residual 2. Hitung nilai d
3. Untuk ukuran sampel tertentu dan jumlah variabel bebas tertentu, tentukan nilai kriteria dL dan dU.
4. Menarik kesimpulan dengan mengikuti aturan pengambilan keputusan pada uji Durbin-Watson yang diberikan pada tabel berikut.
Tabel 2.1. Aturan Pengambilan Keputusan pada Uji Durbin-Watson
Hipotesis Nol (H0) Keputusan Jika
Tidak ada autokorelasi positif Tidak ada autokorelasi positif Tidak ada autokorelasi negatif Tidak ada autokorelasi negatif Tidak ada autokorelasi positif atau negatif
Tolak H0
Tidak ada keputusan Tolak H0
Tidak ada keputusan Terima H0 0 < d < dL dL≤ d ≤ dU 4-dL< d < 4 4-dU≤ d ≤ 4-dL dU< d < 4-dU
2.4.4 Mengatasi Masalah Autokorelasi
Dengan mengetahui konsekuensi dari autokorelasi khususnya kurangnya efisiensi dari penduga OLS kita perlu untuk mengatasinya. Cara mengatasi autokorelasi tersebut bergantung pada pengetahuan yang dimiliki mengenai sifat alamiah dari interdependensi di antara kesalahan pengganggu/ error yaitu pengetahuan mengenai struktur dari autokorelasi. Sebagai permulaan, perhatikan persamaan regresi linier sederhana berikut:
𝑌𝑌𝑡𝑡 = 𝛽𝛽0+𝛽𝛽1𝑋𝑋𝑡𝑡+𝜀𝜀𝑡𝑡 (2.18)
dan asumsikan bahwa kesalahan pengganggu/error mengikuti AR(1) yaitu 𝜀𝜀𝑡𝑡 = 𝜌𝜌𝜀𝜀𝑡𝑡−1+𝑢𝑢𝑡𝑡 dimana −1≤ 𝜌𝜌 ≤ 1. Dalam hal ini yang menjadi perhatian yaitu
(1) apabila 𝜌𝜌 diketahui dan (2) 𝜌𝜌 tidak diketahui. Jika koefisien autokorelasi (𝜌𝜌) diketahui maka masalah autokorelasi dapat diselesaikan dengan mudah. Apabila persamaan (2.18) berlaku pada waktu t maka persamaan tersebut juga berlaku pada waktu (𝑡𝑡 −1). Dengan demikian,
𝑌𝑌𝑡𝑡−1 = 𝛽𝛽0 +𝛽𝛽1𝑋𝑋𝑡𝑡−1 +𝜀𝜀𝑡𝑡−1. (2.19)
Kalikan persamaan (2.19) pada kedua sisinya dengan 𝜌𝜌 diperoleh,
𝜌𝜌𝑌𝑌𝑡𝑡−1 =𝜌𝜌𝛽𝛽0+𝜌𝜌𝛽𝛽1𝑋𝑋𝑡𝑡−1+𝜌𝜌𝜀𝜀𝑡𝑡−1 . (2.20)
Kurangkan persamaan (2.20) dari persamaan (2.18)
(𝑌𝑌𝑡𝑡 − 𝜌𝜌𝑌𝑌𝑡𝑡−1) =𝛽𝛽0(1− 𝜌𝜌) +𝛽𝛽1(𝑋𝑋𝑡𝑡− 𝑋𝑋𝑡𝑡−1) +𝑢𝑢𝑡𝑡 (2.21)
dimana: 𝑢𝑢𝑡𝑡 = 𝜀𝜀𝑡𝑡 − 𝜌𝜌𝜀𝜀𝑡𝑡−1.
Persamaan (2.21) dapat diekspresikan sebagai:
𝑌𝑌𝑡𝑡∗ =𝛽𝛽0∗+𝛽𝛽1∗𝑋𝑋𝑡𝑡∗+𝑢𝑢𝑡𝑡∗ (2.22)
dimana:
𝛽𝛽0∗ =𝛽𝛽0(1− 𝜌𝜌); 𝑌𝑌𝑡𝑡∗ = (𝑌𝑌𝑡𝑡− 𝜌𝜌𝑌𝑌𝑡𝑡−1); 𝛽𝛽1∗ =𝛽𝛽1; 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑋𝑋𝑡𝑡∗= (𝑋𝑋𝑡𝑡 − 𝜌𝜌𝑋𝑋𝑡𝑡−1).
Karena diasumsikan bahwa 𝑢𝑢𝑡𝑡 memenuhi semua asumsi metode kuadrat terkecil (OLS), maka kita dapat menerapkan metode OLS pada variabel transformasi Y*
dan X* untuk memperoleh penduga parameter yang bersifat BLUE. Melakukan regresi persamaan (2.22) setara dengan menggunakan metode GLS
(GeneralizedLeast Square), metode GLS adalah metode OLS yang diaplikasikan
pada model yang telah ditransformasi dan memenuhi asumsi-asumsi klasik. Model regresi persamaan (2.21) dikenal sebagai persamaan beda umum
(generalized difference equation). Regresi tersebut melibatkan regresi 𝑌𝑌 terhadap
𝑋𝑋 bukan dalam bentuk awalnya, tetapi dalam bentuk beda (difference) yang diperoleh dengan mengurangkan sebuah proporsi (= 𝜌𝜌) dari nilai sebuah variabel pada waktu lampau dengan nilai pada waktu sekarang. Pada prosedur tersebut, kita kehilangan satu observasi karena observasi pertama tidak memiliki nilai sebelumnya yaitu pada observasi pertama nilai dari 𝑌𝑌𝑡𝑡−1 dan 𝑋𝑋𝑡𝑡−1 tidak ada. Untuk menghindari kehilangan satu observasi tersebut, observasi pertama dari 𝑌𝑌 dan 𝑋𝑋 ditransformasi sebagai berikut : 𝑌𝑌1∗ =𝑌𝑌1�1− 𝜌𝜌2 dan 𝑋𝑋1∗ =𝑋𝑋1�1− 𝜌𝜌2 . Transformasi ini dikenal sebagai transformasi Prais-Winsten (Gujarati, 2012).
Dan jika koefisien autokorelasi (𝜌𝜌) tidak diketahui kita dapat menggunakan metode Dua Tahap Durbin dan Theil-Nagar berikut dalam menduga nilai 𝜌𝜌�, kemudian mentransformasikan data asli pengamatan ke persamaan beda umum dengan memasukkan nilai 𝜌𝜌� yang diperoleh.
2.5. Pendugaan 𝝆𝝆 Berdasarkan Metode Dua Tahap Durbin
J.Durbin pada tahun 1960 mengemukakan suatu metode yang diyakininya mampu untuk menduga parameter koefisien autokorelasi 𝜌𝜌. Untuk mengetahui lebih jelas mengenai metode ini, misalkan diketahui persamaan beda umum sebagai berikut:
𝑌𝑌𝑡𝑡 = 𝛽𝛽0(1− 𝜌𝜌) +𝛽𝛽1(𝑋𝑋𝑡𝑡 − 𝜌𝜌𝑋𝑋𝑡𝑡−1) +𝜌𝜌𝑌𝑌𝑡𝑡−1+𝑢𝑢𝑡𝑡 . (2.23)
Prosedur pendugaan 𝜌𝜌 berdasarkan metode Dua Tahap Durbin adalah sebagai berikut:
1. Pada tahap pertama melakukan pendugaan terhadap model persamaan (2.24), jadi meregresikan 𝑌𝑌𝑡𝑡 terhadap 𝑋𝑋𝑡𝑡,𝑋𝑋𝑡𝑡−1,𝑌𝑌𝑡𝑡−1 berdasarkan metode OLS kita menduga koefisien regresi dari 𝑌𝑌𝑡𝑡−1 yang dipergunakan sebagai koefisien penduga parameter autokorelasi dan dianggap sebagai 𝜌𝜌� . Meskipun teknik pendugaan semacam ini berbias tetapi tetap konsisten sebagai penduga 𝜌𝜌
2. Setelah memperoleh nilai 𝜌𝜌� maka transformasikan variabel-variabel asli ke dalam variabel-variabel transformasi berikut :
𝑌𝑌𝑡𝑡∗ = (𝑌𝑌𝑡𝑡 − 𝜌𝜌�𝑌𝑌𝑡𝑡−1)
𝑋𝑋𝑡𝑡∗ = (𝑋𝑋𝑡𝑡 − 𝜌𝜌�𝑋𝑋𝑡𝑡−1).
Kemudian berdasarkan variabel transformasi 𝑌𝑌𝑡𝑡∗ dan 𝑋𝑋𝑡𝑡∗ dibangun model regresi menggunakan metode OLS. Prosedur ini dikenal sebagai tahap kedua dari metode Dua Tahap Durbin, dengan demikian usaha mengatasi autokorelasi secara umum adalah membangun persamaan beda umum (Vincent Gaspersz, 1991).
Metode Dua Tahap Durbin memiliki karakteristik sebagai berikut :
1. Parameter dari persamaan (2.23) di atas diduga dengan metode kuadrat terkecil (OLS), tahapan ini merupakan tahap pertama Dua Tahap Durbin 2. Karena pendugaaan parameter pada tahap pertama Dua Tahap Durbin
adalah konsisten, nilai error dalam hal ini tidak mempengaruhi sifat asimtotik dari penduga parameter kesalahan pengganggu/errornya.
dengan koefisien kuadrat terkecil dari model regresi biasa yang mengandung variabel tertinggal atau keterlambatan periode, apakah benar atau tidak kesalahan pengganggu/error terdistribusi secara normal. Akhirnya, suatu metode diusulkan untuk suatu model berbeda yang tidak memiliki variabel bebas tertinggal tetapi kesalahan pengganggu/error mempunyai struktur autoregressif. Metode ini terbukti efisien untuk sampel yang besar ( J.Durbin, 1960). Metode tersebut adalah metode Dua Tahap Durbin.
2.6. Pendugaan 𝝆𝝆 Berdasarkan Metode Theil-Nagar
Terdapat suatu hubungan antara statistik d Durbin-Watson dengan koefisien autokorelasi 𝜌𝜌, yang diperkirakan sebagai berikut:
𝑑𝑑 ≈2(1− 𝜌𝜌�) atau 𝜌𝜌� ≈1−𝑑𝑑
2 . (2.24)
Hubungan tersebut akan cukup baik apabila ukuran sampel besar, akan tetapi tidak untuk ukuran sampel kecil. Oleh karena itu Theil-Nagar telah memodifikasi statistik d tersebut, sehingga 𝜌𝜌� berdasarkan statistik d menjadi
𝜌𝜌�
=
𝑑𝑑2�1− 𝑑𝑑 2�+𝑘𝑘2𝑑𝑑2−𝑘𝑘2 (2.25)
keterangan:
𝑑𝑑 = banyaknya pengamatan (ukuran sampel) 𝑑𝑑 = statistik uji Durbin-Watson
𝑘𝑘 = banyaknya parameter yang diduga dalam model regresi.
Setelah memperoleh nilai 𝜌𝜌�, langkah selanjutnya yaitu membangun persamaan beda umum kemudian mentransformasikan variabel-variabel asli ke dalam variabel-variabel transformasi berikut:
𝑌𝑌𝑡𝑡∗ = (𝑌𝑌𝑡𝑡 − 𝜌𝜌�𝑌𝑌𝑡𝑡−1)
𝑋𝑋𝑡𝑡∗ = (𝑋𝑋𝑡𝑡− 𝜌𝜌�𝑋𝑋𝑡𝑡−1)
