Penggunaan Fungsi Gamma/Γ(z)

1. Fungsi Gamma, Beta dan Error

Content:

Fundamental properties of Gamma functions, the value of (1/2) and graph of the Gamma function,

Transformation of Gamma function, Different forms of Beta function, Reduction of definite integrals to Gamma functions, Error function or probability

integral

Penggunaan Fungsi Gamma/Γ(z)

Normalisasi fungsi gelombang dari potensial Coulomb

Perhitungan probabilitas pada problem di Mekanika Statistik

Secara umum fungsi Gamma lebih jarang digunakan dibandingkan dengan fungsi khusus seperti Legendre atau Bessel.

Definisi fungsi Gamma

Cukup banyak definisi fungsi Gamma, dua diantaranya:

(1) (2)

Dapat dibuktikan bahwa definisi 1 = definisi 2 (Bukti lengkap ada pada Arfken page 592-593)

(1.1)

(1.2)

Dapat dibuktikan

untuk kedua definisi.

∫

∫

^{∞ −}

∞ −

= −

= +

Γ

0 0

) 1

( z e

^t

t

^z

dt t

^z

de

^t

Maka:

) (

0

1

0

e zt dt z z

e

t

^{z t}

+

^{t z}

= Γ

−

=

^{− ∞}

∫

^{∞ − −}

∞

∫

−

=

−

Γ

0

)

1

( z e

^t

t

^z

dt

Bukti untuk definisi 1:

Bukti untuk definisi 2:

(selanjutnya latihan ☺)

Evaluasi beberapa nilai fungsi Gamma

1 )

1

( 0

0 0

1

1 = =− =

=

Γ ^∞

∫

^{t − e−tdt ∞}

∫

^{e−tdt e−t ∞}

1 )

2 (

0 0

0 0

0

1

2

∫ ∫ ∫

∫

^{∞ − ∞ − − ∞ ∞ −}

∞ − − = = − =− + =

=

Γ t e ^tdt te ^tdt tde ^t te ^t e ^tdt 2

...

) 3 (

0

1

3 = =

=

Γ

∫

^{∞t − e−tdt}

6 2

. 3 ...

) 4 (

0

1

4 = = =

=

Γ

∫

^{∞t − e−tdt}

24 2

. 3 . 4 ...

) 5 (

0 1

5 = = =

=

Γ

∫

^{∞t − e−tdt}

<<definisi 1>>

Kalau n bilangan bulat positif, dapat dilihat:

Γ(n) = (n-1)!

Oleh karena itu fungsi Gamma sering disebut sebagai fungsi faktorial.

Dapat dibuktikan hal yang sama pada definisi 2:

Γ(1) = … Γ(2) = ….

Γ(3) = ….

Sudah tentu hasilnya sama dengan definisi 1

Bagaimana kalau pecahan?

Γ(1/2) =?

Γ(1/2) sering dijumpai dalam problem Mekanika statistik.

Integral ini dapat diselesaikan dengan contour integral (variabel kompleks) dan berharga √π

∫

∫

^{∞ − −}

∞ − − =

= Γ

0

2 / 1 0

1 2 / 1 2

1)

( t e ^tdt t e ^tdt

π

= Γ )(¹₂

Latihan:

Gunakan dan sifat Γ(z+1) = z Γ(z) untuk evaluasi fungsi Gamma 3/2, 5/2, 7/2,-1/2,-3/2 dsb

π

= Γ )(¹₂

Beberapa nilai fungsi gamma

Grafik fungsi gamma

z

Sifat-sifat fungsi gamma

Γ(z+1) = z Γ(z)

z z

z

π

π

) sin 1

( )

( Γ − =

Γ

Bentuk lain ekspresi fungsi Gamma (Buktikan!)

∞

∫

−

= −

Γ

0

1

2 2

2 )

(z e ^t t ^z dt

∫

_⎢⎣^⎡ _⎥⎦^{⎤ −}

=

Γ ¹

0

1

1) ln(

)

( dt

z t

z

Soal-soal Latihan

1. Hitung kecepatan rms partikel gas yang memenuhi distribusi Maxwell:

Catatan:

2. Perluasan soal no. 1, buktikan:

(faizal)

dv v

kT e m N

dN ^3/2 _mv² _{/2kT 2}

4 2 ⎟ ⁻

⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⎛ π π

∫

= v dN

v_rms N1 ²

) (

) 2 (

2 3 2 2 3

/

Γ

⎟ Γ

⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⎛ ⁿ⁺

n n

m v kT

3. Dari relasi

Tunjukkan bahwa 4. Buktikan:

5. Dengan transformasi ke fungsi gamma, buktikan:

z z

z π

π

) sin 1

( )

( Γ − =

Γ

π

= Γ )(¹₂

( )

¹₄

^!

0

4

=

∞

∫

−

dx e

^x

) 1 1 (

ln 1

₂

1

0

− + >

=

− ∫ ^x

^k

^xdx _k ^k

Law

Fungsi Beta

Sifat-sifat fungsi Beta:

Fungsi Error Fungsi Gamma Tak Lengkap

∞

∫

−

=

−

Γ

x

a

t

t dt e

x

a , )

¹

(

Sering juga dibedakan:

Fungsi Gamma Tak Lengkap Batas Atas:

Fungsi Gamma Tak Lengkap Batas Bawah:

∞

∫

−

=

−

Γ

x

a

t

t dt e

x

a , )

¹

(

∫

^{− −}

=

^x

e

^t

t

^a

dt x

a

0

)

1

,

γ (

Sifat-sifat

Dengan integrasi per-bagian, didapat:

Dari definisi Fungsi Gamma biasa, didapat:

ke Bab 2