METODE SIMPSON TERMODIFIKASI UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN INTEGRAL VOLTERRA LINEAR JENIS KEDUA. Jonas Lodewyk H 1, Zulkarnain 2 ABSTRACT

METODE SIMPSON TERMODIFIKASI UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN INTEGRAL VOLTERRA LINEAR JENIS KEDUA

Jonas Lodewyk H^1∗, Zulkarnain²

1 Mahasiswa Program Studi S1 Matematika

2 Dosen Jurusan Matematika

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau Kampus Bina Widya Pekanbaru 28293, Indonesia

∗joeslank1@gmail.com

ABSTRACT

This article discusses the modified Simpson’s method and its error. The method is used to solve the second kind of linear Volterra integral equations. The approxi- mated solution obtained by the method is closed to the exact solution compare to approximated solution obtained by the Simpson’s method.

Keywords: Volterra integral equations, modified Simpson’s method, Simpson’s method

ABSTRAK

Artikel ini membahas tentang metode Simpson termodifikasi yang digunakan untuk menyelesaikan persamaan integral Volterra linear jenis kedua. Disamping itu didiskusikan juga eror yang dihasilkan metode ini. Hasil simulasi numerik menunjukkan bahwa metode Simpson termodifikasi memberikan nilai hampiran yang mendekati solusi eksak dibanding dengan metode Simpson.

Kata kunci: Persamaan integral Volterra, metode Simpson termodifikasi, metode Simpson

1. PENDAHULUAN

Persamaan integral adalah suatu persamaan dengan fungsi yang tidak diketahui terletak dalam tanda integral. Jika batas integral konstan, maka dinamakan persamaan integral Fredholm, sedangkan jika batas integral berupa variabel maka dinamakan persamaan integral Volterra.

Pada persamaan integral Volterra, jika fungsi yang tidak diketahui hanya berada di dalam tanda integral dinamakan persamaan integral Volterra jenis pertama. Sementara itu jika fungsi yang tidak diketahui ada di luar dan di dalam

tanda integral maka dinamakan persamaan integral Volterra jenis kedua. Bentuk umum persamaan integral Volterra linear jenis kedua [4, h. 24] adalah

y(t) = x(t) + Z t

a

k(t, s)y(s)ds, a ≤ t ≤ b, (1) dimana x(t) adalah fungsi yang diketahui dan kontinu pada [a, b], k(t, s) adalah fungsi yang diketahui dan kontinu pada [a, b] dan y(t) adalah fungsi yang akan ditentukan.

Pada persamaan integral Volterra, k(t, s) dinamakan fungsi kernel. Fungsi y(t) tidak dapat diperoleh langsung dengan mengintegralkan ruas kanan persamaan (1) karena terdapat y(s) yang juga tidak diketahui berada di dalam integral.

Masalah yang didiskusikan pada artikel ini adalah bagaimana menentukan fungsi y(t) yang merupakan solusi dari persamaan (1) yang diangkat dari artikel Mirzaee [5] yang berjudul ”A computational method for solving linear Volterra integral equations”. Pembahasan dimulai dengan menurunkan modifikasi baru dari metode Simpson, kemudian menyelesaikan persamaan (1) dengan metode Simpson dan metode Simpson termodifikasi, selanjutnya dilakukan simulasi numerik.

2. POLINOMIAL TAYLOR DAN METODE SIMPSON Pada bagian ini dibahas mengenai polinomial Taylor dan metode Simpson.

Teorema 1 (Teorema Taylor) [2, h. 189–190] Misalkan n ∈ N, I = [a, b] dan f : I → R sedemikian hingga f dan turunannya yaitu f^′, f^′′, . . . , f⁽ⁿ⁾ kontinu pada I dan f⁽ⁿ⁺¹⁾ ada pada (a, b). Jika x0 ∈ I maka untuk setiap x ∈ I terdapat suatu titik ξ ∈ (x, x0) sedemikian hingga berlaku

f(x) = f (x0) + f^′(x0)(x − x0) + f^′′(x0)

2! (x − x0)²+ · · · +f⁽ⁿ⁾(x0)

n! (x − x0)ⁿ+f⁽ⁿ⁺¹⁾(ξ)

(n + 1)! (x − x0)ⁿ⁺¹. (2) Selanjutnya dinotasikan Pnsebagai polinomial Taylor ke-n dari f dan Rn sebagai sisa atau residu. Persamaan (2) dapat ditulis

f(x) = Pn(x) + Rn(x), dengan

R_n(x) = f⁽ⁿ⁺¹⁾(ξ)

(n + 1)! (x − x0)ⁿ⁺¹, ξ∈ (x, x0). (3)

Misalkan f (x) memenuhi hipotesa Teorema 1 pada [a, b], definisikan titik a = x0, b = x2, dan c = x1 = a + h dengan h = b− a

2 . Ekspansikan f (x) ke dalam deret Taylor di sekitar x = x₁ sampai suku yang memuat f turunan keempat [3, h. 195], yaitu

f(x) = f (x1) + f^′(x1)(x − x1) + f^′′(x1)

2! (x − x1)² +f^′′′(x1)

3! (x − x1)³+f⁽⁴⁾(ξ)

4! (x − x1)⁴, (4) maka

Z x2

x0

f(x)dx = Z x2

x0



f(x1) + f^′(x1)(x − x1) + f^′′(x1)

2 (x − x1)² +f^′′′(x₁)

6 (x − x1)³+f⁽⁴⁾(ξ)

24 (x − x1)⁴



dx, (5) sehingga

S(f ) = h

3 [f (x0) + 4f (x1) + f (x2)] −h⁵

90f⁽⁴⁾(ξ), ξ ∈ (a, b). (6) Persamaan (6) merupakan hampiran integral menggunakan metode Simpson.

Selanjutnya apabila [a, b] dipartisi sebanyak n subinterval dengan n adalah bilangan genap dan h = b− a

n adalah panjang dari setiap subinterval, maka titik- titik partisi yang dihasilkan adalah

a = x0 < x₁ < . . . < x_n−1 < x_n = b atau

x_j = a + jh, j = 0, 1, . . . , n.

Dari sini integral Rxⁿ

x0 f(x)dx, dapat dinyatakan dengan [1, h. 257]

Z xn

x0

f(x)dx = Z x2

x0

f(x)dx + Z x4

x2

f(x)dx + · · · + Z xn

xn

−2

f(x)dx. (7) Dengan menerapkan metode Simpson untuk setiap subinterval pada persamaan (7), diperoleh

S_n(f ) = h

3f(a) +2h 3

n 2−1

X

j=1

f(x2j) + 4h 3

n 2

X

j=1

f(x_2j−1) + h 3f(b)

−h⁴(b − a)

180 f⁽⁴⁾(ξ), ξ∈ (a, b). (8) Persamaan (8) merupakan hampiran integral menggunakan metode Simpson Komposit.

3. METODE SIMPSON TERMODIFIKASI UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN INTEGRAL VOLTERRA

LINEAR JENIS KEDUA

Pada bagian ini dibahas mengenai metode Simpson termodifikasi dan penyelesaian persamaan integral Volterra linear jenis kedua.

3.1 Metode Simpson Termodifikasi

Metode Simpson termodifikasi adalah suatu bentuk modifikasi dari metode Simpson yang diperoleh dengan menggunakan polinomial Taylor dengan mengambil tiga buah titik untuk mendekati fungsi f (x).

Misalkan f (x) memenuhi hipotesa Teorema 1 pada [a, b], definisikan titik a = xi, b = xi+2, dan c = xi+1 = a + h dengan h = b− a

2 . Ekspansikan f (x) ke dalam deret Taylor di sekitar x = xi+1 sampai suku yang memuat f turunan keenam, yaitu

f(x) = f (xi+1) + f^′(xi+1)(x − xi+1) + f^′′(xi+1)

2! (x − xi+1)² +f^′′′(xi+1)

3! (x − xi+1)³+f⁽⁴⁾(ξ)

4! (x − xi+1)⁴ +f⁽⁵⁾(xi+1)

5! (x − xi+1)⁵ +f⁽⁶⁾(ξ)

6! (x − x1)⁶, (9) maka

Z xi+2

xi

f(x)dx = Z xi+2

xi



f(xi+1) + f^′(xi+1)(x − xi+1) + f^′′(x_i+1)

2 (x − xi+1)² +f^′′′(xi+1)

6 (x − xi+1)³+ f⁽⁴⁾(ξ)

24 (x − xi+1)⁴ +f⁽⁵⁾(xi+1)

120 (x − xi+1)⁵ +f⁽⁶⁾(ξ)

720 (x − x1)⁶



dx, (10)

sehingga

CS(f ) = h

3[f (xi) + 4f (xi+1) + f (xi+2)] + h⁴

180[f^′′′(xi) − f^′′′(xi+2)]

+ h⁷

2520f⁽⁶⁾(ξ), ξ∈ (a, b). (11) Persamaan (11) merupakan hampiran integral menggunakan metode Simpson termodifikasi.

Selanjutnya apabila [a, b] dipartisi sebanyak n subinterval dengan n adalah bilangan genap dan h = b− a

n adalah panjang dari setiap subinterval, maka titik- titik partisi yang dihasilkan adalah

a = x0 < x₁ < . . . < x_n−1 < x_n = b atau

x_j = a + jh, j = 0, 1, . . . , n.

Jadi integral Rx2i+2

x2i f(x)dx, dapat dinyatakan dengan Z x2i+2

x2i

f(x)dx = Z x2

x0

f(x)dx + Z x4

x2

f(x)dx + · · · + Z xn

xn−1

f(x)dx. (12) Dengan menerapkan metode Simpson termodifikasi untuk setiap subinterval pada persamaan (12), diperoleh

CS_n(f ) = h

3f(a) +2h 3

n 2−1

X

i=1

f(x2i) + 4h 3

n 2−1

X

i=0

f(x2i+1) + h 3f(b) + h⁴

180[f^′′′(a) − f^′′′(b)] + h⁶(b − a)

5040 f⁽⁶⁾(ξ), ξ∈ (a, b). (13) Persamaan (13) merupakan hampiran integral menggunakan metode Simpson Termodifikasi Komposit.

3.2 Penyelesaian Persamaan Integral Volterra Linear Jenis Kedua

Persamaan (1) diselesaikan dengan memperhatikan dua kasus. Kasus pertama dengan menggunakan metode Simpson komposit ketika turunan parsial k(t, s) tidak ada dan pada kasus kedua dengan menggunakan metode Simpson termodifikasi komposit ketika turunan parsial k(t, s) ada.

Kasus 1. Turunan Parsial k (t,s) Tidak Ada

Untuk menyelesaikan persamaan (1), metode Simpson komposit digunakan untuk mengaproksimasi integral pada ruas kanan persamaan (1), maka penyelesaian persamaan (1) dengan metode Simpson komposit dapat dinyatakan sebagai berikut

y(t) = x(t) + h

3[k(t, s0)y(s0)] + 2h 3

j−1

X

i=1

[k(t, s2i)y(s2i)]

+4h 3

j−1

X

i=0

[k(t, s2i+1)y(s2i+1)] + h

3[k(t, s2j)y(s2j)]

y(t) = x(t) + h 3

j−1

X

i=0

[k(t, s2i)y(s2i) + 4k(t, s2i+1)y(s2i+1) + k(t, s2i+2)y(s2i+2)]. (14)

Untuk t = t_2j dengan j = 1, 2, . . . ,n

2, persamaan (14) menjadi y(t2j) = x(t2j) + h

3

j−1

X

i=0

[k(t2j, s_2i)y(s2i) + 4k(t2j, s_2i+1)y(s2i+1)

+ k(t2j, s_2i+2)y(s2i+2)]. (15) Misalkan y(t2j) = y2j dan x(t2j) = x2j, dengan y2i+1 adalah titik tengah dari subin- terval [y2i, y_2i+2] dengan definisi

y_2i+1= y_2i+ y2i+2

2 , i= 0, 1, . . . ,n 2 − 1, maka dari persamaan (15) diperoleh

y_2j = x2j + h 3

j−1

X

i=0

[k2j,2iy_2i+ 4k2j,2i+1 y_2i+1+ k2j,2i+2 y_2i+2]

y_2j = x_2j + h

3(k_2j,0+ 2k_2j,1)y₀+h

3(k_2j,2j + 2k_2j,2j−1)y_2j + 2h

3

j−1

X

i=1

(k_2j,2i−1+ k_2j,2i+ k_2j,2i+1)y_2i. (16)

Dengan mengurangkan kedua ruas persamaan (16) dengan h

3(k2j,2j + 2k_2j,2j−1)y2j, diperoleh



y_2j −h

3(k2j,2j + 2k_2j,2j−1)y2j



= x2j +h

3(k2j,0+ 2k2j,1)y0

+2h 3

j−1

X

i=1

(k_2j,2i−1+ k2j,2i+ k2j,2i+1)y2i. (17)

Dalam bentuk yang sederhana persamaan (17) menjadi

y_2j = x_2j + ^h₃(k2j,0+ 2k2j,1)y0+ ^2h₃ Pj−1

i=1(k_2j,2i−1+ k2j,2i+ k2j,2i+1)y2i

1 − ^h₃(k2j,2j + 2k_2j,2j−1) , (18)

dengan j = 1, 2, . . . , n

2. Persamaan (18) merupakan penyelesaian dari persamaan integral Volterra linear jenis kedua.

Kasus 2. Turunan Parsial k (t,s) Ada

Dengan menggunakan aturan Leibnitz [6, h. 17], turunan pertama, kedua, dan ketiga dari persamaan (1) terhadap t dapat dinyatakan sebagai berikut:

y^′(t) = x^′(t) + Z t

a

H(t, s)y(s)ds + k(t, t)y(t), a≤ t ≤ b, (19) y^′′(t) = x^′′(t) +

Z t a

H^′(t, s)y(s)ds + H(t, t)y(t)

+ T (t, t)y(t) + k(t, t)y^′(t), a ≤ t ≤ b, (20) y^′′′(t) = x^′′′(t) +

Z t a

H^′′(t, s)y(s)ds + H^′(t, t)y(t) + V (t, t)y(t) + H(t, t)y^′(t) + T^′(t, t)y(t)

+ 2T (t, t)y^′(t) + k(t, t)y^′′(t), a≤ t ≤ b, (21) dengan

H(t, s) = ∂k(t, s)

∂t , H^′(t, s) = ∂²k(t, s)

∂t² , H^′′(t, s) = ∂³k(t, s)

∂t³ , T(t, t) = dk(t, t)

dt , T^′(t, t) = d²k(t, t)

dt² , V(t, t) = dH(t, t) dt .

Selanjutnya dengan menggunakan metode Simpson termodifikasi komposit untuk mengaproksimasi integral pada ruas kanan persamaan (1), (19), (20), dan (21), diperoleh

y_2j = x_2j + h 3

j−1

X

i=0

[(k_2j,2i+ 2k_2j,2i+1)y_2i+ (2k_2j,2i+1+ k_2j,2i+2)y_2i+2]

+ h⁴

180[k0,0y₀^′′′+ 3J0,0y^′′₀ + 3J_0,0^′ y^′₀+ J_0,0^′′ y₀

− k2j,2jy_2j^′′′ − 3J2j,2jy^′′_2j − 3J_2j,2j^′ y_2j^′ − J_2j,2j^′′ y_2j, (22) y_2j^′ = x^′_2j + h

3

j−1

X

i=0

[(H2j,2i+ 2H2j,2i+1)y2i+ (2H2j,2i+1, H_2j,2i+2)y2i+2]

+ h⁴

180 [L^′′_0,0y₀+ 3L^′_0,0y₀^′ + 3L0,0y₀^′′+ H0,0y₀^′′′

− L^′′_2j,2jy_2j − 3L^′_2j,2jy^′_2j − 3L2j,2jy^′′_2j − H2j,2jy^′′′_2j] + k2j,2jy_2j, (23) y_2j^′′ = x^′′_2j + h

3

j−1

X

i=0

[(H_2j,2i^′ + 2H_2j,2i+1^′ )y2i+ (2H_2j,2i+1^′ + H_2j,2i+2^′ )y2i+2]

+ h⁴

180[M_0,0^′′ y₀+ 3M_0,0^′ y₀^′ + 3M0,0y₀^′′+ H_0,0^′ y₀^′′′

− M_2j,2j^′′ y_2j − 3M_2j,2j^′ y^′_2j − 3M2j,2jy_2j^′′ − H_2j,2j^′ y^′′′_2j]

+ H_2j,2jy_2j + T_2j,2jy_2j + k_2j,2jy_2j^′ , (24)

y_2j^′′′ = x^′′′_2j + h 3

j−1

X

i=0

[(H_2j,2i^′′ + 2H_2j,2i+1^′′ )y2i+ (2H_2j,2i+1^′′ + H_2j,2i+2^′′ )y2i+2]

+ h⁴

180[D_0,0^′′ y₀+ 3D^′_0,0y^′₀+ 3D_0,0y₀^′′+ H_0,0^′′ y₀^′′′

− D^′′_2j,2jy_2j − 3D^′_2j,2jy_2j^′ − 3D2j,2jy^′′_2j − H_2j,2j^′′ y^′′′_2j] + H_2j,2j^′ y_2j + V2j,2jy_2j + H2j,2jy_2j^′ + T_2j,2j^′ y_2j

+ 2T2j,2jy^′_2j+ k2j,2jy^′′_2j, (25)

dengan

J(t, s) = ∂k(t, s)

∂s , J^′(t, s) = ∂²k(t, s)

∂s² , J^′′(t, s) = ∂³k(t, s)

∂s³ , L(t, s) = ∂²k(t, s)

∂t∂s , L^′(t, s) = ∂³k(t, s)

∂s²∂t , L^′′(t, s) = ∂⁴k(t, s)

∂s³∂t , M(t, s) = ∂³k(t, s)

∂s∂t² , M^′(t, s) = ∂⁴k(t, s)

∂s²∂t² , M^′′(t, s) = ∂⁵k(t, s)

∂s³∂t² , D(t, s) = ∂⁴k(t, s)

∂s∂t³ , D^′(t, s) = ∂⁵k(t, s)

∂s²∂t³ , D^′′(t, s) = ∂⁶k(t, s)

∂s³∂t³ .

Persamaan (22), (23), (24), dan (25) membentuk sistem persamaan linear dengan 2n persamaan dan 2n nilai yang tidak diketahui. Dengan menyelesaikan sistem persamaan linear, akan diperoleh nilai dari y2j yang merupakan penyelesaian dari persamaan integral Volterra linear jenis kedua.

3.3 Simulasi Numerik

Pada bagian ini dilakukan simulasi numerik yang bertujuan untuk membandingkan hasil komputasi dari metode Simpson komposit dan metode Simpson termodifikasi komposit. Simulasi numerik ini menggunakan aplikasi MATLAB v8.1. Persamaan integral yang digunakan dalam simulasi numerik ini adalah

y(t) = t +1 5

Z t 0

tsy(s)ds, 0 ≤ t ≤ 2, dengan solusi eksak

y(t) = te^t315.

Solusi dengan komputasi numerik disajikan pada Tabel 1 dan Tabel 2. Pada tabel n menunjukkan jumlah partisi, t menunjukkan titik-titik partisi, Sn menun- jukkan nilai hampiran dengan metode Simpson komposit, CSn menunjukkan nilai hampiran dengan metode Simpson termodifikasi komposit, ESn menunjukkan eror aproksimasi dengan metode Simpson komposit, dan ECSn menunjukkan eror aproksimasi dengan metode Simpson termodifikasi komposit.

Tabel 1: Hasil Komputasi untuk n = 10.

t Solusi Eksak S_n CS_n |ESn| |ECSn|

0.0 0 0 0 0 0

0.2 0.200107 0.200857 0.200856 0.000750 0.000749 0.4 0.401710 0.401714 0.401713 0.000004 0.000003 0.6 0.608703 0.614830 0.614829 0.006127 0.006126 0.8 0.827778 0.827947 0.827944 0.000169 0.000166 1.0 1.068939 1.087989 1.087983 0.019050 0.019044 1.2 1.346517 1.348031 1.348022 0.001514 0.001505 1.4 1.681028 1.729273 1.729256 0.048245 0.048228 1.6 2.102381 2.110514 2.110490 0.008133 0.008109 1.8 2.655377 2.777906 2.777873 0.122529 0.122496 2.0 3.409210 3.445298 3.445255 0.036088 0.036045

Tabel 2: Hasil Komputasi untuk n = 20.

t Solusi Eksak S_n CS_n |ESn| |ECSn|

0.0 0 0 0 0 0

0.1 0.100007 0.100053 0.100053 0.000047 0.000047 0.2 0.200107 0.200107 0.200107 0.000000 0.000000 0.3 0.300540 0.300909 0.300909 0.000369 0.000369 0.4 0.401710 0.401712 0.401712 0.000002 0.000002 0.5 0.504184 0.505212 0.505212 0.001028 0.001028 0.6 0.608703 0.608713 0.608713 0.000010 0.000010 0.7 0.716191 0.718268 0.718268 0.002077 0.002077 0.8 0.827778 0.827823 0.827823 0.000045 0.000045 0.9 0.944820 0.948453 0.948453 0.003633 0.003633 1.0 1.068939 1.069084 1.069084 0.000145 0.000144 1.1 1.202068 1.207994 1.207994 0.005926 0.005926 1.2 1.346517 1.346905 1.346904 0.000388 0.000387 1.3 1.505057 1.514429 1.514428 0.009371 0.009371 1.4 1.681028 1.681952 1.681951 0.000924 0.000923 1.5 1.878484 1.893190 1.893189 0.014706 0.014705 1.6 2.102381 2.104428 2.104427 0.002048 0.002046 1.7 2.358820 2.382071 2.382069 0.023251 0.023249 1.8 2.655377 2.659714 2.659711 0.004336 0.004334 1.9 3.001525 3.038940 3.038938 0.037415 0.037413 2.0 3.409210 3.418167 3.418165 0.008958 0.008955

Pada Tabel 1 dan Tabel 2 dapat dilihat bahwa untuk beberapa n yang berbeda, perbandingan nilai hampiran yang dihasilkan oleh kedua metode pada setiap titik t mendekati solusi eksak. Akan tetapi dapat dilihat bahwa metode Simpson termodifikasi komposit lebih baik dibandingkan dengan metode Simpson komposit.

4. KESIMPULAN

Untuk menyelesaikan persamaan (1) tidak dapat diintegralkan secara analitik, tetapi dapat diselesaikan dengan menggunakan salah satu metode numerik yang disebut metode Simpson termodifikasi. Metode Simpson termodifikasi diperoleh dengan menggunakan polinomial Taylor dengan mengambil tiga buah titik untuk mendekati fungsi f (x).

Dengan memodifikasi metode Simpson diperoleh metode Simpson termodifikasi yang memberikan nilai hampiran lebih baik dibandingkan dengan metode Simpson dalam menyelesaikan persamaan (1).

Berdasarkan simulasi numerik, keunggulan metode Simpson termodifikasi dibandingkan dengan metode Simpson dapat dilihat dari selisih nilai erornya, sehingga dapat disimpulkan bahwa metode Simpson termodifikasi lebih baik dibandingkan dengan metode Simpson dalam menyelesaikan persamaan (1).

Ucapan Terima Kasih

Ucapan terima kasih diberikan kepada Drs. Aziskhan, M.Si. dan Dr. Imran M., M.Sc. yang telah membimbing dan memberikan arahan dalam penulisan artikel ini.

DAFTAR PUSTAKA

[1] K. E. Atkinson, An Introduction to Numerical Analysis, Second Ed., John Wiley and Sons, New York, 1989.

[2] R. G. Bartle dan D. R. Shebert, Introduction to Real Analysis, Fourth Ed., John Wiley and Sons, New York, 2010.

[3] R. L. Burden dan J. D. Faires, Numerical Analysis, Ninth Ed., Brooks Cole, Boston, 2011.

[4] A. J. Jerri, Introduction to Integral Equations with Applications, Second Ed., John Wiley and Sons, New York, 1999.

[5] F. Mirzaee, A Computational Method for Solving Linear Volterra Integral Equations, Appl. Math. Sciences, 6 (2012), 807–814.

[6] A. M. Wazwaz, Linear and Nonlinear Integral Equations: Methods and Appli- cations, Higher Education Press, Beijing, 2011.