TURUNAN / DIFERENSIAL TURUNAN DAN DIFERENSIAL

TURUNAN /

DIFERENSIAL

4.1 Devinisi Turunan (Derivatif)

Turunan fungsi f adalah f ’ yang nilainya pada bilangan x dan didefinisikan oleh :

untuk semua x dengan limit tersebut ada.

h

x f h

x x f

f

h

) ( )

) ( (

'

lim

0



 



 Contoh Andaikan cari f ‘ (4) ?

Penyelesaian :

h h

h f h

f f

h h

] 6 ) 4 ( 13 [ ] 6 ) 4

( 13 [ )

4 ( )

4 ) (

4 (

'

lim lim

0 0







 



 





6 13

)

(x  x  f

13 13 13

lim lim

0 0









 h

h h

h

 Keterdiferensial Menunjukkan Kekontinuan

Teorema A

Jika f ‘(c) ada, maka f kontinu di c

Bukti

 Kita perlu menunjukkan

lim

^{( ) ( )}

0

c f x

f

h





), ) (

( )

) ( ( )

( x c

c x

c f

x c f

f x

f 



 



c

x 

Karenanya







 



 







) ) (

( )

) ( ( )

(

lim

lim

^{f x f c f x}_{x c}^{f c x c}

c h c

x

) ) (

( )

) (

(

lim lim

lim

^{f c f x}_{x c}^{f c x c}

c x c

x c

x

 

 









) (

0 ).

( ' )

( c f

c f

c f







Persamaan f’(x) didefinisikan oleh aturan

x

) x ( f - ) x +

x ( m f i l

= ) x ( '

f

x 0

m y i l

=

x 0

x

Karena y = f(x) maka persamaan itu dapat

pula dinyatakan dalam bentuk:

m i

l

= )

x ( '

f x 0

f x

m y i

l

x 0

x

m i l

x 0

f

Bentuk-bentuk x serta

Lazim dinotosikan dengan df yang

dx

Jadi untuk menyatakan turunan suatu fungsi f(x) = y dapat digunakan notasi-notasi berikut:

df ) dx

x ( '

f atau

df

Notasi

dx

dapat juga ditafsirkan sebagai:

df dx

dy ) dx

( f x d

d ( y )

x d

= dan = d

dimana

x d

d

dy dx df dx

menyatakan operasi turunan terhadap x. Jadi dibaca turunan dari y

terhadap x dan dibaca turunan f terhadap x

Jadi apabila ada persamaan x

²

+ 1 , maka

dy

4.2 Aturan Pencarian Turunan

Proses pencarian turunan suatu fungsi

langsung dari definisi turunan, yakni dengan menyusun hasil bagi selisih dan menghitung limitnya.

h

x f

h x

f (  )  ( )

Teorema A

 (Aturan Fungsi Konstanta)

Jika f(x)=k dengan k suatu konstanta maka untuk sembarang x, f’(x)=0

0 )

( k 

D

 Bukti

0 ) 0

( )

) ( (

'

lim lim lim

0 0

0



 

 

 





 h h

h h

k k

h

x f h

x x f

f

Teorema B

 (Aturan Fungsi Identitas)

Jika f(x)=x maka untuk sembarang x, f’(x)=1

1 )

( k 

D

 Bukti

) 1 ( )

) ( (

'

lim lim lim

0 0

0



 

 



 





 h

h h

x h

x h

x f h

x x f

f

h h

h

Teorema C

 (Aturan Pangkat)

, dengan n bilangan bulat positif, maka

xn

x f

Jika. ( ) 

) 1

(

' x  nx^n f

)

1

( x

ⁿ

 nx

^n

D

 Bukti

h

x h

x h

x f h

x x f

f

n n

h h



 



 





) (

) ( )

) ( (

'

lim lim

0 0

h

x h

nxh h

n x h n

nx

x^{n n n n n n}

h







 















1 2

2 1

0

2 ...

) 1 (

lim

h

h nxh

h n x

h n nx

h ^{n n n n}

h







    















1 2

2 1

0

2 ...

) 1 (

lim

Di dalam kurung siku , semua suku kecuali yang pertama mempunyai h sebagai faktor,sehingga masing-masing suku ini mempunyai limit nol bila h mendekati nol, jadi

Ilustrasi Teorema C

)

1

(

' x  nx

^n

f

2

3

) 3

( x x

D 

Teorema D

 (Aturan Kelipatan Konstanta)

Jika k suatu konstanta dan f suatu fungsi yang terdefinisikan, maka ^{(kf )'(x)  k.f '(x)}

) (

. )]

( .

[ k f x k Df x

D 

 Bukti

Andaikan _{F(x)  k. f (x),maka}

h

x f k h

x f k h

x F h

x x F

F

h h

) ( . )

( ' . )

( )

) (

(

lim lim

0 0



 



 





h

x f h

x k f

h

x f h

x k f

h h

) ( )

. ( )

( )

(

lim

lim

0 0



 



 





) ( ' . f x

 k

Teorema E

 (Aturan Jumlah)

Jika f dan g fungsi yang terdeferensialkan, maka ( f  g)'(x)  f (x) g(x)

) ( )

( )]

( )

(

[ f x g x Df x Dg x

D   

 Bukti

Andaikan _{F(x)  f (x) / g(x),maka}

h

x g x

f h

x g h

x x f

F

h

)]

( )

( [ ) (

) (

) [

(

lim

0









 









  

 

 

 h

x g h

x g h

x f h

x f

h

) ( )

( )

( )

lim

(

0

h

x g h

x g h

x f h

x f

h h

) ( )

( )

( )

(

lim

lim

0 0



 



 





) ( ' )

(

' x g x

f 



Teorema F

 (Aturan Selisih)

Jika f dan g fungsi yang terdeferensialkan, maka ^{( f  g)'(x)  f (x) g(x)}

) ( )

( )]

( )

(

[ f x g x Df x Dg x

D   

 Bukti

)]

( )

1 (

) ( [

)]

( )

(

[ f x g x D f x g x

D    

)]

( )

1 [(

)

( x D g x

Df  



) ( )

1 (

)

( x Dg x Df  



) ( )

( x Dg x Df 



 Contoh

) 6 ( )

7 ( )

5

( x² D x D

D  



) 6 ( )

7 5

( )

6 7

5

( x

²

x D x

²

x D

D     

) 6 ( )

( 7 )

(

5D x²  D x  D



0 1

. 7 2

.

5  

 x

7

10 x

Teorema G

 (Aturan Perkalian)

Jika f dan g fungsi yang terdeferensialkan, maka ^{( f *g)'(x)  f (x)g(x) g(x) f '(x)}

) ( )

( )

( )

( )]

( )

(

[ f x g x f x Dg x g x Df x

D  

 Contoh

cari turunan dari (3x² 5)(2x⁴  x)

) 5 3

( ) 2

( ) 2

( ) 5 3

( )]

2 )(

5 3

[( x²  x⁴ x  x²  D x⁴ x  x⁴ x D x²  D

) 6 )(

2 ( ) 1 8

)(

5 3

( x²  x³   x⁴  x x



2 5

3 2

5 3 40 5 12 6

24x  x  x   x  x



5 9

40

36 ⁵  ³  ² 

 x x x

Teorema H

 (Aturan Hasilbagi)

Jika f dan g fungsi yang terdeferensialkan dengan

Yaitu,

maka x

g ( )  0 ,

) (

) ( ' ) ( )

( ' ) ) (

( ₂

'

x g

x g x f x

f x x g

g

f 

 









) (

) ( )

( )

( )

( )

( ) (

2 x g

x Dg x

f x

Df x g x

g x

D f 



 Contoh 1

Cari turunan dari

2 2

2

) 7 (

) 2 )(

5 3

( ) 3 )(

7 (







 

x

x x

x

) 7 (

) 5 3

(

2 

 x

x

2 2

2 2

2 ( 7)

) 7 (

) 5 3

( ) 5 3

( ) 7 (

) 7 (

) 5 3

(











 













x

x D x

x D x

x D x

2 2

2

) 7 (

21 10

3







 

x

x x

 Contoh 2

Buktikan aturan Pangkat berlaku untuk pngkat integral negatif; yaitu

Penyelesaian

) 1

(x^n  nx^n D

1 2

1 2

. 1

1 0 . ) 1

( ^{ }





   

 

 



 



  _n ⁿ

n n

n n

n

n nx

x nx x

nx x

D x x

D

4.3 Turunan Sinus dan Kosinus

 Fungsi f(x)=sin(x)dan g(x)=cos(x) keduanya dapat didiferensialkan.

x x

D (sin )  cos

x x

D (cos )   sin

 Contoh Cari

Penyelesaian

) cos 2

sin 3

( x x

D 

) (cos 2

) (sin 3

) cos 2

sin 3

( x x D x D x

D   

x x 2 sin cos

3 



 Pembuktian Dua Pernyataan Limit

sin 1

lim

0





 t

t

t

cos 0

lim

1

0

 



 t

t

t

 Contoh

? ...

sin cos

lim

1

0

 



 t

t

t

1 0 0 sin

cos 1

sin cos

1

lim

lim

0 0









 







t t t

t t

t

t t

4.4 Aturan Rantai

 (Aturan Rantai).Andaikan y=f(u) dan u=g(x) menentukan fungsi komposit

. Jika g terdiferen- sialkan di x dan f terdiferensialkan di u=g(x), maka terdiferensialkan di x dan

yakni,

g f 

) )(

( ))

(

( g x f g x f

y   

) ( ' )) (

( ' )

( )'

( f  g x  f g x g x

u yD D

y

D

_x



_{u x}

 Contoh Jika

Penyelesaian : kita pikirkan ini sebagai dan

Jadi,

y D_x

cari x

x

y  ( 2

²

 4  1 )

⁶⁰

,

u60

y  _{u  2x}² _{ 4x 1}

u D y D y

D

_x



_u

.

_x

) 4 4

)(

60

(

⁵⁹



 u x

) 4 4

( ) 1 4

2 (

60

²

 

⁵⁹



 x x x

4.5 Turunan Tingkat Tinggi

 Operasi pendiferensialan mengambil sebuah fungsi f dan menghasilkan sebuah fungsi

baru f ‘. Jika f ‘ kita diferensialkan

menghasilkan fungsi lain dinyatakan oleh f ‘’

dan disebut turunan kedua dari f, dan seterusnya.

 Contoh

0 )

(

"

"

12 )

( '' '

8 12

) ( ' '

7 8

6 )

( '

:

8 7

4 2

) (

2

2 3























x f

x f

x x

f

x x

x f

maka

x x

x x

f

4.6 Diferensial Terdefinisi

 Andaikan y=f(x) terdiferensialkan di x dan

andaikan bahwa dx, diferensilkan dari peubah bebas x, menyatakan pertambahan

sembarang dari x. Diferensil yang

bersesuaian dengan dy dari peubah tak bebas y didefinisikan oleh :

dx x

f

dy  ' ( )

 Aturan Pangkat

Andaikan r bilangan rasional sembarang, maka

)

1

(

^r



^r

x

x rx

D

 Contoh

Cari dy jika _{y  x}³ _{ 3x 1}

dx x

dy  ( 3

²

 3 )

Rumus turunan

RUMUS-RUMUS TURUNAN

TRIGONOMETRI

Soal ke-1

Jika f(x) = 3x² + 4 maka nilai f¹(x) yang mungkin adalah ….

A. 3x C. 9x2

E. 12x² B. 6x D. 10x²

Pembahasan

f(x) = 3x

²

+ 4

f

¹

(x) = 6x

Jawaban soal ke-1

Jika f(x) = 3x² + 4 maka nilai f¹(x) yang mungkin adalah ….

A. 3x C. 9x2

E. 12x² B. 6x D. 10x²

Soal ke-2

Nilai turunan pertama dari:

f(x) = 2(x)² + 12x² – 8x + 4 adalah …

A. x² – 8x + 5 D. 6x² + 24x + 8 B. 2x² – 24x – 2 E. 6x² + 24x – 8 C. 2x² + 24x – 1

Pembahasan

f(x) = 2x

³

+ 12x

³

– 8x + 4

f

¹

(x) = 6x

²

+ 24x – 8

Jawaban soal ke-2

Nilai turunan pertama dari:

f(x) = 2(x)² + 12x² – 8x + 4 adalah …

A. x² – 8x + 5 D. 6x² + 24x + 8 B. 2x² – 24x – 2 E. 6x² + 24x – 8 C. 2x² + 24x – 1

Soal ke-3

Turunan ke- 1 dari f(x) = (3x-2)(4x+1) Adalah …

A. 24x + 5 D. 12x – 5 B. 24x – 5 E. 12x – 10 C. 12x + 5

Pembahasan

f(x) = (3x-2)(4x+1)

f

¹

(x) = 12x

²

+ 3x – 8x – 2 f(x) = 12x

²

– 5x – 2

f

¹

(x) = 24x – 5

Jawaban soal ke-3

Turunan ke- 1 dari f(x) = (3x-2)(4x+1) Adalah …

A. 24x + 5 D. 12x – 5 B. 24x – 5 E. 12x – 10 C. 12x + 5

Soal ke- 4

1 - 5

2 - 5

1 - 5

1 - 5

5

1 - 6

1

2x 4x

C.

2x 4x

E.

2x

2x B.

2x

4x D.

2x

2x A.

adalah...

2x 3 x

f(x) 2 dari

(x) f

Nilai













Pembahasan

2x 2 -

4x (x)

f

(-1).x 2

3 x

6. 2 (x)

f

2x 3 x

f(x) 2

- 5

1

1 - 1 - 1

- 6 1

1 - 6











Jawaban Soal ke- 4

1 - 5

2 - 5

1 - 5

1 - 5

5

1 - 6

1

2x 4x

C.

2x 4x

E.

2x

2x B.

2x

4x D.

2x

2x A.

adalah...

2x 3 x

f(x) 2 dari

(x) f

Nilai













Soal ke- 5

3 3x

D.

3x

B.

1 x

3 E.

2

x 3

C.

x

3 A.

...

adalah 3

x y

dari 1

- ke Turunan

2 2

6











Pembahasan

2 1

3 6 2

6

3x y

3 x

y

3 x

y

3 x

y















Jawaban Soal ke- 5

3 3x

D.

3x

B.

1 x

3 E.

2

x 3

C.

x

3 A.

...

adalah 3

x y

dari 1

- ke Turunan

2 2

6











Soal ke- 6

Jika f(x) = (2x – 1)³ maka nilai f¹(x) adalah … A. 12x² – 3x + 12 D. 24x² – 12x + 6 B. 12x² – 6x – 3 E. 24x² – 24x + 6 C. 12x² – 6x + 3

Pembahasan

f(x) = (2x – 1)³ f¹(x) = 3(2x – 1)² (2) f¹(x) = 6(2x – 1)²

f¹(x) = 6(2x – 1)(2x – 1) f¹(x) = 6(4x² – 4x+1) f¹(x) = 24x² – 24x + 6

Jawaban Soal ke- 6

Jika f(x) = (2x – 1)³ maka nilai f¹(x) adalah … A. 12x² – 3x + 12 D. 24x² – 12x + 6 B. 12x² – 6x – 3 E. 24x² – 24x + 6 C. 12x² – 6x + 3

Soal ke- 7

Turunan pertama dari f(x) = (5x² – 1)² adalah …

A. 20x³ – 20x D. 5x⁴ – 10x² + 1 B. 100x³ – 10x E. 25x⁴ – 10x² + 1 C. 100x³ – 20x

Pembahasan

f(x) = (5x² – 1)³

f¹(x) = 2(5x² – 1) (10x) f¹(x) = 20x (5x² – 1) f¹(x) = 100x³ – 20x

Jawaban Soal ke- 7

Turunan pertama dari f(x) = (5x² – 1)² adalah …

A. 20x³ – 20x D. 5x⁴ – 10x² + 1 B. 100x³ – 10x E. 25x⁴ – 10x² + 1 C. 100x³ – 20x

Soal ke- 8

3 2

2 -1 2

2 2

2

3x) -

(4x 2 )

- 3 (4x C.

3x) -

(4x 2 )

(4x 3 E.

3)

(2x 4x)

3 - ( 2 B.

3x)

(4x 2 )

- 3 (4x D.

8)

(2x 4)

- 3 x ( 2 A.

adalah...

3x 4x

f(x)

dari

pertama

Turunan













Pembahasan

2 1 2 3x)

3)(4x (4x

(x) f

3) 2 (8x

1 2 3x)

2 (4x (x) 1

f

2 1 3x) (4x

f(x)

3x 4x

f(x)

1 1

2 2



























Jawaban Soal ke- 8

3 2

2 -1 2

2 2

2

3x) -

(4x 2)

- 3 (4x

C.

3x) -

(4x 2)

(4x 3

E.

3)

(2x 4x)

3- (2 B.

3x)

(4x 2)

- 3 (4x

D.

8)

(2x 4)

- 3x (2 A.

adalah...

3x 4x

f(x) dari

pertama Turunan













Soal ke- 9

Turunan pertama dari f(x) = (3x² – 6x) (x + 2) adalah …

A. 3x² – 12 D. 9x² – 12 B. 6x² – 12 E. 9x² + 12 C. 6x² + 12

Pembahasan

f(x) = (3x² – 6x) (x + 2) Cara 1:

Misal : U = 3x² – 6x U¹ = 6x – 6 V = x + 2 V¹ = 1

Pembahasan

Sehingga:

f¹(x) = (6x – 6)(x+2)+(3x²+6x).1

f¹(x) = 6x²+12x – 6x – 12+3x² – 6x f¹(x) = 9x² – 12

Pembahasan

f(x) = (3x² – 6x) (x + 2) Cara 2:

f¹(x) = 3x^-3+6x² – 6x³ – 12x f¹(x) = 9x²+12x –12x – 12 f¹(x) = 9x² – 12

Jawaban Soal ke- 9

Turunan pertama dari f(x) = (3x² – 6x) (x + 2) adalah …

A. 3x² – 12 D. 9x² – 12 B. 6x² – 12 E. 9x² + 12 C. 6x² + 12

Soal ke- 10

1

- 8x -

24x C.

1 8x

- 16x

11 E. -

1

8x 16x

B.

1 - 8x -

24x D.

1

8x -

16x A.

...

adalah 1

- 4x

2) f(x) (3x

dari pertama

Turunan

2

2 2

2 2









 

Pembahasan

4 V

1 - 4x V

3 U

2 3x

U : Misal

1 - 4x

2 f(x) 3x

1 1











 

Pembahasan

2 1

2

1 1 1

1) (4x

2)4 (3x

1) (x) 3(4x

f

V

UV -

V (x) U

f

: Maka







 



Pembahasan

1 8x

16x (x) 11

f

1 8x

16x

8 12x

3 (x) 12x

f

2 1

2 1





 









 

Jawaban Soal ke- 10

1

- 8x -

24x C.

1 8x

- 16x

11 E. -

1

8x 16x

B.

1 - 8x -

24x D.

1 8x

- 16x A.

...

adalah 1

- 4x

2) f(x) (3x

dari pertama

Turunan

2

2 2

2 2









 

Soal ke- 11

3 D. 2 3

B. 4

3

E. 1 1

C.

3

A. 5

...

adalah mungkin

yang Nilai

4.

1 (x) f

Jika

6 4x

2 - 3x f(x)

Diketahui







Pembahasan

f(x) = 3x² – 4x + 6 f¹(x) = 6x – 4

 Jika f¹(x) = 4

Pembahasan

3 x 4

6 x 8

8 6x

6x 8

6x 4

4

4 6x

4 : Maka

















Jawaban Soal ke- 11

3 D. 2 3

B. 4

3

E. 1 1

C.

3

A. 5

...

adalah mungkin

yang Nilai

4.

1 (x) f

Jika

6 4x

2 - 3x f(x)

Diketahui







Soal ke- 12

Diketahui f(x) = 5x²+3x+7. Nilai f¹(-2) Adalah ….

A. -29 D. -7

B. -27 E. 7

C. -17

Pembahasan

f(x) = 5x² – 3x + 7 f¹(x) = 10x – 3

Maka untuk f¹(-2) adalah…

f¹(-2) = 10(-2)+3 f¹(-2) = -20+3 f¹(-2) = -17

Jawaban Soal ke- 12

Diketahui f(x) = 5x²+3x+7. Nilai f¹(-2) Adalah ….

A. -29 D. -7

B. -27 E. 7

C. -17

Soal ke- 13

3 D.

3

- B.

6

E.

0

C.

6

- A.

...

adalah 2

1 1 f Nilai

16 2 5x

4x 3 -

2x f(x)

Diketahui

 

 











Pembahasan

...

adalah 2

f 1 untuk Maka

12 -

12x (x)

f

5 12x

- 6x

(x) f

16 -

5x 6x

- 2x

f(x)

"

"

2

"

2 3

 

 















Pembahasan

6 2 -

f 1

12 -

2 6 f 1

12 2 -

12 1 2

f 1

"

"

"

 



 





 



 





 

 



 

 

 





Soal ke- 14

 

4x)3 2 -

(2x 12)

- (18x 1(x)

f E.

4x)3 2 -

(3x 12)

- (18x 1(x)

f D.

4x)3 2 -

(3x 12)

- (18x 1(x)

f C.

2)5 (3x2

2) - (18x 1(x)

f B.

1)5 2 -

(3x 12)

- (18x 1(x)

f A.

2 4x 6 adalah...

2 3x f(x) 1

dari pertama

Turunan

















Pembahasan

5 2

5 2

1 6

2

6 2

4x) 12)(3x

(18x 1 (x)

f

4) (6x

4x) 3(3x

1 (x) f

4) (6x

4x) 2 (3x

6. 1 1 (x)

f

4x) 2 (3x

f(x) 1

























Jawaban Soal ke- 14

 

4x)5 2 -

12)(2x -

(18x 1(x)

f E.

4x)5 2 -

12)(3x -

(18x 1(x)

f D.

4x)5 2 -

12)(3x -

(18x 1(x)

f C.

2)5 2)(3x2

- (18x 1(x)

f B.

1)5 2 -

12)(3x -

(18x 1(x)

f A.

2 4x 6 adalah...

2 3x f(x) 1

dari pertama

Turunan

















Soal ke- 15

3 4 3 D.

2 B.

3 E. 5 1

3 C.

1 A.

1 2

adalah...

mungkin x yang

nilai maka

2 ) ( 1 f untuk 1

3x 6x

f(x) Diketahui







Pembahasan

3 - 2 12x

1

: maka

2 1 (x)

f untuk

3 - 12x (x)

f

1 2 3x

6x f(x)

1 1













Pembahasan

3 x 1

24 x 8

8 24x

24x

8

24x 6

2

6 24x

2

















Jawaban Soal ke- 15

3 4 3 D.

2 B.

3 E. 5 1

3 C.

1 A.

1 2

adalah...

mungkin x yang

nilai maka

2 ) ( 1 f

untuk 1

3x 6x

f(x) Diketahui







Soal ke- 16

 

4 - 8x D.

2 8x

B.

4 8x

E.

2 - 8x C.

1 x

A.

adalah...

1

- 2x f(x)

: dari

pertama

Turunan

4

4

8









Pembahasan

2 4 8

1) -

(2x f(x)

1) -

(2x f(x)

1) -

(2x

f(x)

^{4 8}







Pembahasan

4 8x

(x) f

1) 4(2x

(x) f

1)(2) 2(2x

(x) f

1 1 1













Jawaban Soal ke- 16

 

4 - 8x D.

2 8x

B.

4 8x

E.

2 - 8x C.

1 x

A.

adalah...

1

- 2x f(x)

: dari

pertama

Turunan

4

4

8









Soal ke- 17

 

1 D.

1 - B.

25 E. 31

0 25 C.

- 31 A.

adalah...

mungkin x yang

nilai Maka

2.

y untuk

1

- 2x y

dari

pertama

Turunan

1

3

6





Pembahasan

(5) 6)

- 2(5x y

6) -

(5x y

6) -

(5x y

6) (5x

y

3 6

3 6

2









