BAB V KEKONVERGENAN BARISAN PADA DAN KETERKAITAN DENGAN. Pada subbab 4.1 telah dibahas beberapa sifat dasar yang berlaku pada koleksi

BAB V KEKONVERGENAN BARISAN PADA
 DAN KETERKAITAN
 DENGAN . Pada subbab 4.1 telah dibahas beberapa sifat dasar yang berlaku pada koleksi semua fungsi yang terintegralkan Lebesgue, 1 . Sebagaimana telah dirumuskan pada Bab I, terdapat dua masalah utama yang akan dikaji berkaitan dengan sifat-sifat pada 1 . Pertama, syarat apakah yang harus dipenuhi agar sebarang barisan yang. konvergen di 1 mempunyai limit di 1 . Kedua, bagaimana keterkaitan antara fungsi di  dengan fungsi di 1.. Untuk membahas permasalahan di atas diperlukan konsep-konsep pendukung seperti yang tertuang dalam Teorema Kekonvergenan Monoton Lebesgue dan Lemma Fatou. Pada bab ini kajian akan diawali dengan pembahasan kedua konsep tersebut, dilanjutkan dengan pembahasan masalah pertama yang dimuat dalam Teorema Kekonvergenan Terdominasi Lebesgue. Akhir kajian bab ini membahas bahwa fungsi yang terintegralkan Riemann adalah terintegralkan Lebesgue, namun belum tentu berlaku sebaliknya.. 5.1 Teorema Kekonvergenan Monoton Lebesgue dan Lemma Fatou Pada subbab ini akan dikaji mengenai konsep-konsep utama yang akan digunakan untuk membahas permasalahan-permasalahan yang telah dirumuskan.

80. tersebut. Teorema pendukung yang akan digunakan adalah Teorema kekonvergenan Monoton Lebesgue dan Lemma Fatou. Teorema Kekonvergenan Monoton Lebesgue menjamin bahwa barisan fungsi di 1 yang bernilai non negatif dan konvergen akan mempunyai limit fungsi di 1 jika. barisan fungsi di 1 tersebut monoton naik.. Teorema 5.1.1 (Teorema Kekonvergenan Monoton Lebesgue) Misalkan  adalah sebuah barisan dari fungsi-fungsi terukur- pada

. Jika (a) 0          ∞ untuk setiap  

, dan (b) lim∞ .   , untuk setiap  

.. Maka  terukur dan,. lim       lim   .. ∞.

.

. ∞. Bukti. Misalkan  adalah sebuah barisan fungsi terukur- yang bernilai non. negatif pada

, monoton naik dan konvergen titik demi titik ke fungsi  pada

. Keterukuran dari fungsi  dijamin oleh Teorema 3.2.10. Untuk selanjutnya, akan diperlihatkan bahwa lim∞ !

  "  !

#lim∞  $  .. Karena   %1 untuk setiap   &, maka berdasarkan Teorema 4.3.2. diperoleh !   ! %1 untuk setiap   &. Selanjutnya, karena barisan  . monoton naik dan konvergen titik demi titik ke fungsi  maka    untuk setiap.

81.   &, berdasarkan Teorema 4.3.2 maka !   !  untuk setiap   &. Perhatikan. bahwa, barisan #!  $ monoton naik dan terbatas oleh ! , oleh karena itu akan. terdapat   '0, ∞ sedemikian sehingga. lim      .. ∞.

. Sekarang akan diperlihatkan bahwa   !* lim )    !*   , yaitu dengan menunjukkan bahwa kedua ketaksamaan berikut berlaku, (i)   !*  dan. (ii)  + !*  .. Karena   sup/!  :   &1 dan !   !  untuk setiap   & akibatnya diperoleh,      . *. Dengan demikian ketaksamaan (i) terbukti. Untuk membuktikan ketaksamaan (ii), misalkan 2 adalah sebarang fungsi. sederhana sedemikian sehingga 0  2  , dan misalkan 3 adalah sebarang konstanta dengan 0 4 3 4 1 dan definisikan. 5  /: 0  32    1, di mana   1,2,3, ….. Karena  terukur- untuk setiap   & akibatnya himpunan 5 terukur untuk setiap.   & dan karena  monoton naik maka diperoleh, 51 9 52 9 53 9 . Lebih jauh, akan diperlihatkan bahwa

 :) ; 5 . Untuk itu karena 5 9

untuk setiap.   &, maka diperoleh :∞ 1 5 9

. Selanjutnya, akan diperlihatkan bahwa

9.

82. :) ; 5 . Ambil sebarang  

, jika    0 maka    0 untuk setiap   &. dan 2   0, dengan demikian   5 untuk setiap   &. Selanjutnya jika  <. 0, maka  < 2 < 32 dan akibatnya   < 32 untuk setiap   & yang. cukup besar. Hal ini juga menunjukkan bahwa,   5 untuk suatu   & dan akibatnya diperoleh

9 :) ; 5 . Berdasarkan hal tersebut, dapat disimpulkan. bahwa

 :) ; 5 .. Kemudian perhatikan bahwa,    +    +  32 

. 5. untuk   1,2,3, …. Dengan demikian, diperoleh. 5. lim     + lim     + lim 3  2  . ∞.

. ∞. 5. ∞. 5. atau, dengan kata lain  + 3  2  =>. Karena ketaksamaan ini berlaku untuk setiap 3  0,1 , maka diperoleh  +  2  *. Untuk setiap fungsi sederhana terukur 2 dengan 0  2  , sehingga dengan. mengambil supremum atas seluruh 2 diperoleh,.  +    . *.

83. Dengan demikian ketaksamaan (i) dan (ii) berlaku, sehingga dapat disimpulkan bahwa, lim        . ∞.

.

. lim  "  . ? ∞ . Perhatikan bahwa, kondisi barisan fungsi terukur non negatif  yang harus monoton naik seperti yang disebutkan pada Teorema 4.3.4, tidak dapat dihilangkan, seperti yang diperlihatkan pada contoh berikut.. Contoh 5.1.2 Untuk setiap   &, misalkan  : '1, ∞  '0, ∞@ didefinisikan oleh 1 jika   ',  % 1.    A',%1   B. 0 jika  C ',  % 1 .. D. Dapat dilihat bahwa  bernilai non negatif untuk setiap   &, tetapi barisan fungsi.  tidak monoton naik. Barisan fungsi  konvergen ke fungsi  dengan    0. untuk setiap   '1, ∞ . Akan tetapi, . '1,∞.    . '1,∞. A',%1  #',  % 1 E '1, ∞ $  1.. Sehingga, lim . ∞. '1,∞.     1 F 0  . lim  "  . '1,∞ ∞.

84. Teorema kekonvergenan monoton Lebesgue juga dapat diaplikasikan untuk membuktikan Teorema 4.3.2 seperti yang diperlihatkan pada contoh berikut.. Contoh 5.1.3 Misalkan diberikan dua buah fungsi , G:

 '0, ∞@ di mana  dan G adalah fungsi. terukur- , dan H I

. Misalkan J adalah sebuah konstanta dengan J < 0. Dengan menggunakan Teorema Kekonvergenan Monoton akan diperlihatkan bahwa, !H  % G   !H   % !H G  dan !H J   J !H   .. Berdasarkan Teorema 3.3.6 terdapat barisan fungsi sederhana 2 dan K . sedemikian sehingga, 0  L  L   dengan lim L   pada H ). dan 0  N  N   dengan lim N =G pada H. ). Berdasarkan hal tersebut, diperoleh barisan fungsi sederhana L % N dan JL , di mana 0  L % N  L % N   dengan lim L % N   % G ). dan 0  JL  JL   dengan lim JL  J. ). Berdasarkan Teorema Kekonvergenan Monoton Lebesgue, diperoleh.

85.   % G   lim  L % N    lim  L   % lim  N   ∞. H. ∞. H. H. ∞. H.     %  G  H. H. serta  J   lim  JL    J lim  L    J    . ∞. H. ∞. H. H. H. Teorema 5.1.4 (Lemma Fatou) Jika  :

 '0, ∞@ adalah fungsi terukur non negatif untuk setiap   &, maka  lim inf    lim inf    .

. ∞. ∞.

. Bukti. Misalkan diberikan sebarang barisan fungsi terukur non negatif  yang terdefinisi pada

dan definisikan,. G  infQ , %1 , %2 , … R dengan   1,2,3, ….. Dengan demikian diperoleh bahwa G + 0, G   dan barisan G monoton naik, Berdasarkan Teorema 3.2.10, G terukur- untuk   1,2,3, … dan lim∞ G . lim inf∞  . Dengan menggunakan Teorema Kekonvergenan Monoton Lebesgue, diperoleh  lim inf S    lim G 

. ∞.

. ∞.

86.  lim  G  ) *.  lim inf  G  ). *.  lim inf    . ? ). *. 5.2 Teorema Kekonvergenan Terdominasi Lebesgue Pada subbab ini akan dibahas mengenai kondisi yang diperlukan agar sebarang barisan di 1 yang konvergen mempunyai limit di 1 . Kondisi tersebut dapat diturunkan dengan menggunakan Teorema Kekonvergenan Monoton Lebesgue dan Lemma Fatou seperti yang diberikan oleh Teorema Kekonvergenan Terdominasi Lebesgue di bawah ini.. Teorema 5.2.1 (Teorema Kekonvergenan Terdominasi Lebesgue) Misalkan  :

 'T∞, ∞@ adalah fungsi terukur untuk setiap   & dan asumsikan. bahwa fungsi G + 0 di mana G   . Jika lim  ∞ . ada untuk setiap  

. dan U  U  G untuk setiap  

,. maka lim∞   1 

dan.

87. lim  "  ∞ . .

.  lim    . ∞

. Bukti. Diberikan sebarang barisan fungsi terukur  pada

di mana barisan  . konvergen titik demi titik pada

dan asumsikan juga bahwa terdapat fungsi G + 0 di. mana G   sedemikian sehingga U  U  G untuk setiap  

. Akan diperlihatkan bahwa pernyataan pada teorema di atas berlaku. Misalkan   lim )   untuk setiap  

, akibatnya berdasarkan. Teorema 3.2.10  adalah sebuah fungsi terukur. Karena U U  G untuk setiap   &. dan G   maka berdasarkan Teorema 4.4.4   1 untuk setiap   &, demikian juga karena   lim )  haruslah ||  G, akibatnya    .. Selanjutnya, perhatikan bahwa karena U U  G dan ||  G akibatnya fungsi. G %  , G % , G T  dan G T  adalah fungsi terukur- yang bernilai non negatif. Dengan mengaplikasikan Lemma Fatou pada fungsi G %  dan G %  diperoleh,  lim infG % .    G %    lim inf  G %   .

. ∞. ∞.

.

. Yaitu,  G  %      G  % lim inf    .

.

.

. ∞.

. Karena G   maka !

G  bernilai hingga, dengan demikian kedua ruas pada ketaksamaan di atas dapat dikurangi oleh !

G  , diperoleh.

88.     liminf    . ∞.

.

. Dengan cara yang serupa, aplikasikan juga Lemma Fatou pada fungsi terukur- non negatif G T  dan G T , diperoleh  T   liminf  T   liminfT   . ∞.

. ∞.

.

. dengan kata lain, T     T limsup    ). *. *. Akhirnya diperoleh, limsup         liminf    . ∞.

.

. ∞.

. Oleh karena itu, dapat disimpulkan bahwa lim∞ !   ada dan sama dengan !

#lim∞  $  . ?. 5.2 Keterkaitan
 dengan  Dengan menggunakan Teorema Kekonvergenan Monoton Lebesgue dapat diturunkan keterkaitan antara fungsi di 1 dengan fungsi di  . Misalkan !'W,X@ . menyatakan integral Lebesgue dari  atas 'W, X@ dan koleksi semua fungsi yang terintegralkan Lebesgue pada 'W, X@ dinotasikan dengan 1 'W, X@. Serta misalkan juga Y. bahwa  !Z  menyatakan integral Riemann dari  atas 'W, X@ dan koleksi semua fungsi yang terintegralkan Riemann pada 'W, X@ dinotasikan oleh 'W, X@. Keterkaitan.

89. fungsi yang terintegralkan Lebesgue dengan fungsi yang terintegralkan Riemann dinyatakan dalam teorema berikut ini.. Teorema 5.2.1 Jika   'W, X@ maka    'W, X@ , dan. X.      .. 'W,X@. W. Bukti Misalkan diberikan fungsi   'W, X@. Fungsi  terintegralkan Riemann pada. interval 'W, X@ artinya jika [  /W   ,  , … ,  1 adalah sebarang pada 'W, X@. dengan jumlah Riemann atas dan bawah sebagai berikut,. \[,   ] ^_ _ T _` , _;. dengan ^a  sup/ : aT1    a 1, 1  a   dan. [,   ] b_ _ T _` , _;. di mana ba  inf/ : aT1    a 1, 1  a  , maka ccccc X. X. lim \[,           lim [, . ∞. W. W. ∞. ...1.

90. Karena [ diambil sebarang pada 'W, X@ maka dapat dibentuk suatu barisan partisi. d  [e dengan sifat [S%1 adalah penghalus dari [S yaitu [S I [S%1 untuk setiap. S  & sedemikian sehingga Δ_  _ T _` 4 1gS di mana a dan aT1 adalah titik pada partisi [S . Karena [S I [S%1 untuk setiap S  &, akibatnya berdasarkan. Teorema 2.4.4, diperoleh [ ,   [ ,     [e ,   [eh ,    dan \[ ,  + \[ ,  +  + \[e ,  + \[eh ,  + .. Karena barisan [e , . dan \[e , . monoton dan terbatas, jika diambil supremum dari [e , . dan infimum dari \[e , . atas seluruh partisi d yang mungkin pada 'W, X@ maka diperoleh,. X. sup/[S ,  : [S  d1  lim [S ,      S∞. W. dan Y. inf /\ [e ,  : [e  d1 lim \[e ,     . e). Z. Perhatikan barisan d, akan didefinisikan fungsi-fungsi sederhana S dan \S. pada 'W, X@. Untuk sebarang [S  d, misalkan [S  /W  0 , 1 , … ,   X1. Definisikan fungsi S dan \S sebagai berikut: \S   B. W jika   W ^a. jika aT1 4   a. D.

91. W jika   W D S   B ba jika aT1 4   a .. Karena masing-masing subinterval _` , _ @ adalah terukur- , akibatnya berdasarkan Teorema 3.3.7 fungsi S dan \S terukur- dan berdasarkan Definisi 4.2.1 dan. Definisi 2.4.3 diperoleh . S  ] ba a T aT1  [S , . . 'W,X@. a1. dan . . \S  ] ba a T aT1  \[S,  .. 'W,X@. a1. Dengan kata lain, integral Lebesgue untuk fungsi sederhana S dan \S adalah jumlah Riemann atas dan bawah untuk partisi [S . Selanjutnya, diperoleh juga bahwa 1   2        \2   \1 . untuk setiap   'W, X@, karena [S%1 l [S . Karena barisan e dan \e monoton. dan terbatas, akibatnya terdapat sebuah fungsi  dan \ sedemikian sehingga,   lim e  dan \   lim \e  . e). e). Karena L dan U adalah limit dari barisan fungsi yang terukur-µ akibatnya L dan \. adalah fungsi terukur- . Perhatikan juga bahwa  dan \ adalah fungsi yang terbatas. pada 'W, X@, sehingga diperoleh.      \  ,. WX,. dan berdasarkan Teorema Kekonvergenan Monoton Lebesgue, diperoleh.

92.     lim S .  lim  S   lim [S ,     , S∞. S∞. ∞. dan ccccc  \   lim \e .  lim  \e   lim \e ,     . e). e). ). Karena   'W, X@, akibatnya !   ! \. Diketahui bahwa   \, !   ! \ jika dan. hanya jika   \ untuk hampir semua   'W, X@. Dalam hal ini ketaksamaan.      \ ,. WX, mengakibatkan,.     \ ,. hampir dimanapun pada 'W, X@, dengan demikian fungsi  terukur- dan maka terintegralkan Lebesgue. Lebih jauh, karena !    !  dan ! \   cccc !  dan      \  , hampir dimanapun pada 'W, X@, akibatnya diperoleh, X.    . ?. 'W,X@. W. Perhatikan bahwa konvers dari Teorema 5.2.1 tidak berlaku berdasarkan Contoh 2.4.5 dan Contoh 4.1.2..