MODEL OPTIMASI PENJADWALAN KERETA API
(Studi Kasus pada Jadwal Kereta Api di PT Kereta Api Indonesia (Persero) Daop 2 Bandung Lintasan Bandung – Cicalengka)
SKRIPSI
Diajukan untuk Memenuhi Sebagian dari Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains
Program Studi Matematika Konsentrasi Terapan
Oleh
DWI AGUSTINA SAPRIYANTI 0902313
JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA
FAKULTAS PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA
DWI AGUSTINA SAPRIYANTI
MODEL OPTIMASI PENJADWALAN KERETA API (STUDI KASUS PADA JADWAL KERETA API
DI PT KERETA API INDONESIA (PERSERO) DAOP 2 BANDUNG LINTASAN BANDUNG - CICALENGKA)
DISETUJUI DAN DISAHKAN OLEH PEMBIMBING :
Pembimbing I
Khusnul Novianingsih, S.Si., M.Si. NIP. 197711282008122001
Pembimbing II
Husty Serviana Husain, S.Si., M.Si. NIP. 198009182008122002
Mengetahui,
Ketua Jurusan Pendidikan Matematika FPMIPA UPI
MODEL OPTIMASI PENJADWALAN KERETA API
(Studi Kasus pada Jadwal Kereta Api di PT Kereta Api Indonesia (Persero)
Daop 2 Bandung Lintasan Bandung – Cicalengka)
Oleh
Dwi Agustina Sapriyanti
Sebuah skripsi yang diajukan untuk memenuhi salah satu syarat memperoleh gelar Sarjana pada Fakultas Pendidikan Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
© Dwi Agustina Sapriyanti 2013
Universitas Pendidikan Indonesia
Agustus 2013
Hak Cipta dilindungi undang-undang.
Skripsi ini tidak boleh diperbanyak seluruhya atau sebagian,
MODEL OPTIMASI PENJADWALAN KERETA API (STUDI KASUS PADA JADWAL KERETA API
DI PT KERETA API INDONESIA (PERSERO) DAOP 2 BANDUNG LINTASAN BANDUNG - CICALENGKA)
ABSTRAK
Kereta api merupakan angkutan umum yang banyak diminati oleh masyarakat khususnya di daerah Bandung, oleh karena itu diperlukan penjadwalan yang tepat agar dapat mengoptimalkan waktu tempuh kereta api. Pada skripsi ini dibangun sebuah model optimasi penjadwalan kereta api dengan pendekatan integer programming yang meminimumkan waktu keterlambatan di lintasan Bandung – Cicalengka. Untuk menyelesaikan optimasi tersebut digunakan algoritma branch and bound. Branch and bound secara sistematis mengabaikan sekumpulan kandidat solusi yang tidak potensial menuju solusi optimal dengan menggunakan estimasi batas atas dan batas bawah (upper and lower estimated bounds) dari kuantitas yang dioptimasi. Berdasarkan model optimasi yang telah dibangun, waktu keterlambatan yang diperoleh di lintasan Bandung – Cicalengka adalah sebesar 630 menit.
OPTIMIZATION MODEL OF TRAIN SCHEDULING (A CASE STUDY OF TRAIN SCHEDULE
IN PT KERETA API INDONESIA (PERSERO) DAOP 2 BANDUNG PATH BANDUNG – CICALENGKA)
ABSTRACT
Train is public transportation which attracts many people especially in Bandung area, due to that reason the precise scheduling is needed in order to optimalize train scheduling through integer programming approach which minimizes delay in path Bandung-Cicalengka. To solve the optimization, branch and bound is systematically neglect a group of solution candidate which is not potential towards optimum solution by using upper and lower estimated bounds from optimized quantity. Based on optimization model which has been built, delay which is acquired in path Bandung-Cicalengka as much 630 minutes.
DAFTAR ISI
PERNYATAAN ……….. ABSTRAK ………... ABSTRACT ……….... KATA PENGANTAR ………. UCAPAN TERIMAKASIH ……… DAFTAR ISI ………... DAFTAR GAMBAR ………... DAFTAR TABEL ………... DAFTAR LAMPIRAN ………... BAB I PENDAHULUAN ………
1.1Latar Belakang ………..
1.2Batasan Masalah ………
1.3Rumusan Masalah ………..
1.4Tujuan Penulisan ………...
1.5Manfaat Penulisan ……….
1.5.1 Aspek Teoritis ………
1.5.2 Aspek Praktis ………..
1.6Sistematika Penulisan ………
BAB II KAJIAN TEORI……….. 2.1Linear Programming(Pemrograman Linear) ………....
2.2Integer Linear Programming ……….
2.3Algoritma Branch and Bound ………
BAB III DESKRIPSI DAN PEMODELAN MASALAH ………...
3.1 Deskripsi Permasalahan ………
3.2 Asumsi ………..
3.3 Model Matematika ………
3.3.1 Himpunan, Parameter, dan Variabel ………
3.3.2 Fungsi Tujuan ………..
3.3.3 Kendala –kendala ………
3.4 Teknik Penyelesaian ……….
3.5 Contoh Kasus Sederhana ………..
BAB IV STUDI KASUS PENJADWALAN KERETA API PADA
JADWAL KERETA API PT KERETA API INDONESIA DAOP 2
BANDUNG LINTASAN BANDUNG – CICALENGKA ……….…
4.1Himpunan dan Parameter ………..…
4.2Hasil ………...
BAB V KESIMPULAN DAN SARAN ……….. DAFTAR PUSTAKA ……….. LAMPIRAN ………
16
17
23
25
28
35
36
DAFTAR GAMBAR
Gambar Hal.
Gambar 2.1 Cabang-cabang permasalahan masalah integer programming...
Gambar 2.2 Bagan Algoritma Branch and Bound………...
Gambar 3.1 Contoh jalur kereta api antara Stasiun A dan Stasiun B ………..
Gambar 3.2 Lintasan Kereta Api Stasiun A –Stasiun C ……….
Gambar 4.1 Lintasan Kereta Api Stasiun Bandung – Stasiun Cicalengka ….. 9
12
13
17
DAFTAR TABEL
Tabel Hal.
Tabel 3.1 Waktu tinggal minimal untuk masing-masing kereta api pada
setiap rel ………...
Tabel 3.2 waktu tinggal maksimal untuk masing-masing kereta api pada setiap rel ………... Tabel 3.3 Jadwal Keberangkatan dari Stasiun A menuju Stasiun C …………
Tabel 3.4 Jadwal Keberangkatan dari Stasiun C menuju Stasiun A ………… Tabel 4.1 Waktu Kedatangan Kereta Api ………... Tabel 4.2 Jalur yang Ditempuh Masing-masing Kereta Api ………...
Tabel 4.3 Selisih minimum antara kereta api k dan l saat menggunakan rel i
secara berurutan ………...
Tabel 4.4 Keterlambatan Masing-masing Kereta Api ……….
Tabel 4.5 Jadwal Kereta Api Bandung –Cicalengka ………..
Tabel 4.6 Jadwal Kereta Api Cicalengka –Bandung ……….. 19
19
22
22
24
26
28
28
31
DAFTAR LAMPIRAN
Lampiran Hal.
Lampiran 1 Syntax LINGO 10 Contoh Kasus Sederhana ………...
Lampiran 2. Syntax LINGO 10 Contoh Kasus Sederhana Penjadwalan
Kereta Api ………
Lampiran 2 dan untuk masing-masing kereta api …….………....
Lampiran 4. Output Waktu Kedatangan Kereta Api pada Microsoft Excel …
Lampiran 5. Output Waktu Keberangkatan Kereta Api pada Microsoft Excel
38
40
44
51
1
BAB I
PENDAHULUAN
1.1Latar Belakang
Kereta api adalah sarana transportasi berupa kendaraan dengan tenaga
gerak, baik berjalan sendiri maupun dirangkaikan dengan kendaraan lainnya, yang
akan ataupun sedang bergerak di rel. Kereta api merupakan alat transportasi
massal yang umumnya terdiri dari lokomotif (kendaraan dengan tenaga gerak
yang berjalan sendiri) dan rangkaian kereta atau gerbong (dirangkaikan dengan
kendaraan lainnya). Rangkaian kereta atau gerbong tersebut berukuran relatif luas
sehingga mampu memuat penumpang maupun barang dalam skala besar. Karena
sifatnya sebagai angkutan massal efektif, beberapa negara berusaha
memanfaatkannya secara maksimal sebagai alat transportasi utama angkutan darat
baik di dalam kota, antarkota, maupun antarnegara (Wikipedia: 2013).
Di Indonesia, khusunya di daerah Bandung kereta api merupakan salah
satu angkutan darat yang banyak diminati masyarakat, hal ini dikarenakan biaya
yang relatif murah dan waktu tempuh yang cepat dibandingkan angkutan darat
lainnya. Selain itu, kelebihan kereta api lainnya adalah ramah lingkungan dan
relatif aman. Oleh karena itu, diperlukan penjadwalan yang tepat agar dapat
mengoptimalkan perjalanan kereta api. Sistem penjadwalan kereta api merupakan
masalah yang tidak mudah untuk dipecahkan karena harus memperhatikan banyak
aturan dan batasan, salahsatunya adalah jalur yang digunakan merupakan jalur
tunggal yaitu jalur yang digunakan untuk dua arah yang berbeda. Jadwal berisi
tentang waktu kedatangan dan waktu keberangkatan kereta api pada setiap stasiun
yang dilewati kereta api tersebut.
Dalam skripsi ini akan dibahas penyelesaian masalah penjadwalan kereta
api dengan pendekatan integer linear programming (ILP). Integer linear
programming atau integer programming adalah optimasi matematika untuk
menemukan solusi dimana setiap solusinya berupa bilangan bulat. Dalam hal ini
akan dibuat sebuah model matematis untuk meminimumkan waktu keterlambatan
2
beberapa batasan yang lain, diantaranya adalah batasan waktu penggunaan rel
kereta api dan aturan selisih waktu untuk dua kereta api agar kedua kereta api
tersebut tidak bertabrakan. Untuk menyelesaikan model integer programming
yang telah dibuat digunakan algoritma branch and bound. Menurut Suyanto (2010
: 81) branch and bound adalah suatu algoritma umum untuk pencarian solusi
optimal dari berbagai masalah optimasi, khususnya optimasi diskrit. Branch and
bound secara sistematis mengabaikan sekumpulan kandidat solusi yang tidak
potensial menuju solusi optimal dengan menggunakan estimasi batas atas dan
batas bawah (upper and lower estimated bounds) dari kuantitas yang dioptimasi.
Metode ini pertama kali diusulkan oleh A. H. Land & A. G. Doig pada tahun
1960.
1.2Batasan Masalah
Batasan-batasan masalah penjadwalan kereta api yang akan dibahas dalam
skripsi ini terdiri dari:
1. Jalur kereta api yang digunakan adalah jalur tunggal, yaitu jalur kereta
yang dapat dipergunakan untuk dua arah yang berbeda.
2. Parameter penjadwalan yang digunakan adalah jumlah rangkaian kereta
api, kapasitas jalur yang tersedia, dan waktu penggunaan rel untuk setiap
kereta api.
3. Metode yang digunakan untuk penyelesaian pemodelan integer
programming adalah menggunakan metode branch and bound.
1.3Rumusan Masalah
Masalah yang akan dibahas dalam skripsi ini adalah:
1. Bagaimana memodelkan masalah penjadwalan kereta api?
2. Bagaimana menyelesaikan masalah optimasi dari masalah penjadwalan
kereta api?
3. Apakah model matematika yang dibangun pada jadwal di PT Kereta Api
Indonesia (Persero) Daop 2 Bandung lintasan Bandung–Cicalengka dapat
3
1.4Tujuan Penulisan
Tujuan dari penulisan skripsi ini adalah:
1. Membangun model optimasi dari masalah penjadwalan kereta api.
2. Menyelesaikan masalah optimasi dari masalah penjadwalan kereta api
sehingga diperoleh jadwal kereta api yang dapat meminimumkan waktu
keterlambatan.
3. Mendapatkan jadwal kereta api di PT Kereta Api Indonesia (Persero)
Daop 2 Bandung lintasan Bandung – Cicalengka yang meminimumkan
waktu keterlambatan.
1.5Manfaat Penulisan
1.5.1 Aspek Teoritis
Melalui skripsi ini diharapkan dapat memperkaya, memperluas, dan
memperdalam wawasan serta pengetahuan mengenai model optimasi matematika
terutama bentuk integer programming.
1.5.2 Aspek Praktis
Manfaat yang diperoleh melalui penulisan skripsi ini adalah dapat
menemukan jadwal yang optimal sehingga dapat meminimumkan waktu
keterlambatan kereta api dari stasiun asal ke stasiun tujuan sehingga dapat
dijadikan referensi jadwal bagi petugas penyelenggara kereta api.
1.6Sistematika Penulisan
BAB I PENDAHULUAN
Bab ini memberikan penjelasan tentang latar belakang masalah,
rumusan masalah, batasan masalah, tujuan, manfaat, dan sistematika
penulisan skripsi.
BAB II KAJIAN PUSTAKA
Bab ini menguraikan teori dan konsep yang berhubungan dengan
4
BAB III DESKRIPSI DAN FORMULASI PERMASALAHAN
Bab ini berisikan deskripsi dan pemodelan masalah untuk
meminimumkan jumlah keterlambatan kereta api.
BAB IV STUDI KASUS PENJADWALAN KERETA API PADA JADWAL
KERETA API PT KERETA API INDONESIA DAOP 2
BANDUNG LINTASAN BANDUNG – CICALENGKA
Pada bab ini akan dibahas mengenai studi kasus yang dilakukan
terhadap jadwal yang diperoleh dari PT Kereta Api Indonesia (Persero)
Daop 2 Bandung.
BAB V KESIMPULAN DAN SARAN
Bab ini berisikan kesimpulan dan rekomendasi dari hasil-hasil
penerapan integer programming yang telah dipaparkan dalam bab
sebelumnya, serta menjawab rumusan masalah yang telah
13
BAB III
DESKRIPSI DAN FORMULASI PERMASALAHAN
3.1 Deskripsi Permasalahan
Perjalanan kereta api didefinisikan sebagai kereta api yang bergerak dari
stasiun asal ke stasiun tujuan melewati sejumlah rel. Setiap perjalanan diberikan
waktu kedatangan awal. Selain itu, setiap perjalanan mempunyai waktu tinggal
minimal dan maksimal di setiap rel yang digunakan. Untuk rel yang berada di
stasiun, waktu tinggal merupakan waktu untuk menghentikan perjalanan kereta
api di stasiun itu. Sedangkan, untuk rel yang tidak berada di stasiun, waktu tinggal
adalah waktu tempuh kereta api di rel tersebut. Berdasarkan banyaknya kereta api
yang ditugaskan dan kapasitas jalur yang tersedia, akan dibuat sebuah
penjadwalan kereta api yang meminimalkan waktu keterlambatan.
Stasiun A Stasiun B
Gambar 3.1 Contoh jalur kereta api antara Stasiun A dan Stasiun B
(1, 2, 3, 4, dan 5 adalah rel yang terdapat sepanjang jalur
antara Stasiun A dan Stasiun B)
3.2 Asumsi
Pada skripsi ini digunakan asumsi-asumsi berikut:
1. Jenis kereta api yang digunakan ada empat yaitu kereta kereta api lokal
ekonomi, kereta api lokal patas, kereta api ekspres jarak jauh, dan kereta
api ekonomi jarak jauh. Kecepatan masing-masing kereta api tergantung
kepada jenis kereta api dan dianggap konstan, ini menyebabkan waktu
tinggal di setiap rel berbeda-beda, baik di rel yang berada di dalam stasiun
maupun di luar stasiun.
2. Jadwal perjalanan kereta api yang akan ditentukan adalah jadwal
perjalanan untuk satu hari. 1 2
3
14
3. Tidak ada prioritas kereta api.
3.3 Model Matematika
Sebelum memodelkan permasalahan penjadwalan kereta api ini diperlukan
beberapa definisi dari himpunan, parameter, dan variabel yang diperlukan. Model
matematika yang digunakan dalam skripsi ini merupakan kajian dari
Transportation research part B, 43:837-851 karangan Yusin Lee dan Chuen-Yih
Chen pada tahun 2009.
3.3.1 Himpunan, Parameter, dan Variabel
a. Himpunan
: Himpunan kereta api
: Himpunan rel
: Himpunan stasiun
: Himpunan dari semua rel yang dilewati oleh kereta api k
: Himpunan rel yang berada di stasiun : Himpunan rel yang berada di luar stasiun
b. Parameter
: Waktu minimal yang diperlukan oleh kereta api k untuk menyelesaikan perjalanan
: Waktu tinggal minimal untuk kereta api k pada rel i
: Waktu tinggal maksimal untuk kereta api k pada rel i
: Rel pertama yang digunakan oleh kereta api k
: Rel terakhir yang digunakan oleh kereta api k
: Rel yang digunakan oleh kereta api k sebelum menggunakan rel i
15
c. Variabel
: Total waktu keterlambatan untuk kereta api k (menit)
: Waktu ketika kereta api k memasuki rel i (menit)
: Waktu ketika kereta api k meninggalkan rel i (menit)
: Waktu keterlambatan kereta api k pada rel i (menit)
3.3.2 Fungsi Tujuan
Fungsi tujuan permasalahan ini adalah untuk meminimumkan waktu
keterlambatan seluruh kereta api, sehingga dapat dirumuskan dalam fungsi
berikut:
Minimumkan ∑ (3.1)
3.3.3 Kendala – kendala
Adapun kendala-kendala yang harus dipenuhi terdiri dari:
1. Setiap kereta api k menempati rel i paling sedikit selama .
(3.2)
2. Jika kereta api k menggunakan rel i lebih dari kelebihan waktu
tersebut dianggap sebagai keterlambatan.
(3.3)
3. Aturan penggunaan satu rel oleh dua kereta pada saat yang bersamaan,
sehingga harus ada selisih minimum waktu agar kedua kereta tidak
bertabrakan.
(3.4)
4. Waktu kereta api k meninggalkan rel yang telah digunakannya tepat
sebelum memasuki rel i sama dengan waktu kereta api k memasuki rel i.
(3.5)
5. Waktu saat kereta api k meninggalkan jalur terakhir dikurangi waktu saat
kereta api k memasuki jalur pertama sama dengan total keterlambatan
kereta api k ditambah dengan waktu minimal yang diperlukan kereta api k
16
(3.6)
6. Variabel bernilai non-negatif dan integer.
dan integer
dan integer
dan integer
dan integer
(3.7)
Selengkapnya, model matematika dari masalah penjadwalan kereta api
dirumuskan dalam model integer programming sebagai berikut:
Minimumkan ∑
berdasar
dan integer
dan integer
dan integer
dan integer
3.4 Teknik Penyelesaian
Teknik penyelesaian yang digunakan untuk menyelesaikan model integer
programming di atas adalah menggunakan algoritma branch and bound. Pada bab
sebelumnya telah dipaparkan mengenai algoritma branch and bound, berikut
merupakan langkah-langkah algoritma branch and bound menurut Hartanto :
1. Selesaikan integer programming dengan metode simpleks biasa tanpa
17
2. Teliti solusi optimumnya. Jika variabel basis yang diharapkan bulat,
solusi optimum bulat telah tercapai. Jika satu atau lebih variabel basis
yang diharapkan bulat ternyata tidak bulat, lanjutkan ke langkah 3.
3. Nilai solusi pecah yang layak dicabangkan ke dalam sub-sub masalah.
Tujuannya adalah untuk menghilangkan solusi kontinyu yang tidak
memenuhi persyaratan bulat dalam masalah itu. Pencabangan itu
dilakukan melalui kendala-kendala mutually exclusive yang perlu
untuk memenuhi persyaratan bulat dengan jaminan tidak ada solusi
bulat layak yang tidak diikut sertakan.
4. Untuk setiap sub-masalah, nilai solusi optimum fungsi tujuan
ditetapkan sebagai batas atas. Solusi bulat terbaik menjadi batas bawah
(pada awalnya, ini adalah solusi kontinyu yang dibulatkan ke bawah).
Sub-sub masalah yang memiliki batas atas kurang dari batas bawah
yang ada, tidak diikut sertakan pada analisa selanjutnya. Suatu solusi
bulat layak adalah sama baik atau lebih baik dari batas atas untuk
setiap sub masalah yang dicari. Jika solusi yang demikian terjadi, suatu
sub masalah dengan batas atas terbaik dipilih untuk dicabangkan.
5. Kembali ke langkah 3.
3.5 Contoh Kasus Sederhana
Berikut ini disajikan contoh kasus dalam masalah penjadwalan kereta api.
Misalkan terdapat tiga stasiun yaitu Stasiun A, Stasiun B, dan Stasiun C.
Masing-masing stasiun memiliki kapasitas dua rel dan antar stasiun dihubungkan oleh satu
rel seperti disajikan dalam gambar berikut.
Gambar 3.2 Lintasan Kereta Api Stasiun A – Stasiun C Stasiun A Stasiun B Stasiun C
1
2
3
4
5
6
7
18
Dalam masalah penjadwalan ini terdapat dua jenis kereta yaitu kereta patas
dan kereta ekonomi, kereta patas hanya berhenti di Stasiun A dan Stasiun C,
sedangkan kereta ekonomi berhenti di Stasiun A, Stasiun B, dan Stasiun C.
Terdapat 2 rangkaian kereta patas yaitu kereta 1 dan 2, dan terdapat 2 rangkaian
kereta ekonomi yaitu kereta 3 dan 4. Kecepatan masing-masing kereta
diasumsikan sama.
Sebelum memodelkan masalah penjadwalan kereta api ini ke dalam model
matematika, perlu didefinisikan mengenai himpunan dan parameter dari
permasalahan ini.
a. Himpunan
: {1, 2, 3, 4}
: {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
: {Stasiun A, Stasiun B, Stasiun C}
: {1, 3, 4, 6, 7}
: {7, 6, 4, 3, 1}
: {2, 3, 5, 6, 8}
: {8, 6, 5, 3, 2}
: {1, 2, 4, 5, 7, 8} : {3, 6}
: {1, 2, 3, 4}
: {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} : 24
: 24 : 27 : 27
: Waktu tinggal minimal untuk kereta api k pada rel i
19
Tabel 3.1 Waktu tinggal minimal untuk masing-masing kereta api pada setiap rel
Rel
Kereta 1 2 3 4 5 6 7 8
1 6 0 5 3 0 4 6 0
2 6 0 5 3 0 4 6 0
3 0 6 5 0 6 4 0 6
4 0 6 5 0 6 4 0 6
Tabel 3.2 waktu tinggal maksimal untuk masing-masing kereta api pada setiap rel
Rel
Kereta 1 2 3 4 5 6 7 8
1 8 0 8 5 0 7 8 0
2 8 0 8 5 0 7 8 0
3 0 8 8 0 8 7 0 8
4 0 8 8 0 8 7 0 8
: {1}
: {7}
: {2}
: {8}
: {7}
: {1}
: {8}
: {2}
: 5, = 3 dan 4, = 6
Model penjadwalan ini selanjutnya dapat diformulasikan ke dalam bentuk
integer programming sebagai berikut.
20
Dengan kendala
1.
Untuk kereta 1
Untuk kereta 3
Untuk kereta 2
Untuk kereta 4
2.
Untuk kereta 1
Untuk kereta 2
Untuk kereta 3
Untuk kereta 4
21
Untuk rel 3
Untuk rel 6
4.
Untuk kereta 1
Untuk kereta 2
Untuk kereta 3
Untuk kereta 4
5.
6. dan integer
Model matematika di atas diselesaikan menggunakan software LINGO 10
dan menghasilkan fungsi objektif sebesar 44, ini berarti total keterlambatan
22
menit, kereta api 2 terlambat 13 menit, kereta api 3 terlambat 8 menit, dan kereta
api 4 terlambat 15 menit.
Berikut ini merupakan jadwal yang diperoleh menggunakan software
LINGO 10:
Tabel 3.3 Jadwal Keberangkatan dari Stasiun A menuju Stasiun C
A B C
Dat Ber Dat Ber Dat Ber
Menit ke-
Patas 1 5 11 16 27 31 37
Ekonomi 1 10 21 26 35 39 45
Tabel 3.4 Jadwal Keberangkatan dari Stasiun C menuju Stasiun A
C B A
Dat Ber Dat Ber Dat Ber
Menit ke-
Patas 2 5 11 15 31 36 42
BAB V
KESIMPULAN DAN SARAN
5.1Kesimpulan
Berdasarkan hasil pembahasan yang telah dilakukan, maka dapat diambil
kesimpulan sebagai berikut:
1. Masalah penjadwalan kereta api dapat dimodelkan dalam bentuk model
integer programming dengan fungsi objektif meminimumkan total waktu
keterlambatan kereta api yang ada.
2. Dengan menerapkan algoritma branch and bound model penjadwalan
kereta api dapat diselesaikan sehingga menghasilkan penjadwalan kereta
yang optimal, yaitu jadwal kereta api yang akan meminimumkan total
waktu keterlambatan kereta api.
3. Implementasi model matematika yang dibangun untuk kasus penjadwalan
kereta di PT Kereta Api Indonesia (Persero) Daop 2 Bandung lintasan
Bandung – Cicalengka menunjukkan bahwa model tersebut dapat
diaplikasikan dengan baik (well implemented).
5.2Saran
Setelah membahas dan menerapkan pendekatan integer programming
dalam masalah penjadwalan keret api, penulis dapat memberikan saran sebagai
berikut.
1. Model penjadwalan kereta api ini dapat dikembangkan misalnya
dengan menambahkan kendala supaya dapat meminimumkan biaya
operasional, adanya prioritas kereta api, dan lain sebagainya.
2. Menggunakan model linear programming yang lain untuk mencari
DAFTAR PUSTAKA
Anonim. (2003). Operation Research : 343. [Online]. Tersedia : http://www.doc.ic.ac.uk/~br/berc/linearprog.pdf
Hartanto, Eko. (t.t). Integer Programming. [Online]. Tersedia : http://eko_hartanto.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/28374/Integer.pd f [11 Maret 2013]
Kaufmann, Arnold. (1964). Methods and Models of Operations Research. London : Prentice-Hall, Inc
Komarudin. (2012). Algoritma Branch And Bound untuk Programa Integer.
[Online]. Tersedia :
http://staff.blog.ui.ac.id/komarudin74/2012/04/08/algoritma-branch-and-bound-untuk-programa-integer/ [28 Mei 2013]
Lee, Yusin, and Chen, Chuen-Yih. (2009). Modeling and Solving Train Pathing Problem. Transportation research part B, 43:837-851.
Setianto, Dwi. (2011). Penjadwalan Kereta Api Menggunakan Pemrograman Linear Integer. Skripsi pada Departemen Matematika IPB : tidak diterbitkan.
Siswanto. (2007). Operation Research Jilid 1. Jakarta : Penerbit Erlangga.
Suyanto. (2010). Algoritma Optimasi (Deterministik atau Probabilistik). Yogyakarta : Graha Ilmu.
Taha, Hamdy A. (1996). Riset Operasi, Jilid 1. Tangerang : Binarupa Aksara.
Tapilouw, Marthen. (t.t). Modul 1 Model Matematika Suatu Program Linear.
Jurusan Pendidikan Matematika Universitas Pendidikan Indonesia : Tidak diterbitkan.
Wikipedia. (2012). Pemrograman Linear. [Online]. Tersedia : http://id.wikipedia.org/wiki/Pemrograman_linear
