M01275

(1)

Desman P. Gulo/ KOMPUTASI NUMERIK KAPASITAS PANAS DEBYE KRISTAL MONOATOMIK 5

Prosiding Pertemuan Ilmiah XXVIII HFI Jateng & DIY, Yogyakarta, 26 April 2014 ISSN : 0853-0823

KOMPUTASI NUMERIK KAPASITAS PANAS DEBYE KRISTAL

MONOATOMIK

Desman P. Gulo1 dan Suryasatriya Trihandaru2.

Program Studi Pendidikan Fisika dan Fisika, Fakultas Sains dan Matematika Universitas Kristen Satya Wacana

Jl. Diponegoro No.52–60 Salatiga 50711, Jawa Tengah-Indonesia, telp (0298) 321212 e-mail1 : 192010022@student.uksw.edu

Abstrak– Salah satu sifat material zat padat ditunjukkan oleh kapasitas panasnya. Secara klasik kapasitas panas mengikuti hukum Dulung-Petit. Secara modern terdapat dua model yang terkenal, yaitu model Einstein dan Debye. Pada makalah ini dibahas penurunan kapasitas panas model Debye yang menggunakan tinjauan kristal monoatomik. Model Debye yang biasa ditemukan di buku-buku teks Fisika menggunakan relasi dispersi untuk medium kontinu. Ketika model kristal monoatomik digunakan, persamaan yang terbentuk tidak dapat diselesaikan secara analitik. Perhitungan frekuensi Debye diselesaikan dengan metode pencarian akar secara belah dua (bisection), sedangkan operasi integralnya menggunakan integral Trapesium. Dimakalah ini disajikan beberapa simulasi numerik untuk logam aluminium.

Kata kunci : kapasitas panas Debye, kristal monoatomik, bisection, integral Trapesium

Abstract- One of the characteristics of solid state material is determined by its heat capacity. According to classical physics, the heat capacity follows the law of Dulong-Petit. According to modern physics, there are two noted models that are Einstein and Debye models. This paper will discuss about the decrease of Debye model for heat capacity using monoatomic crystals. Debye model that is usually found in Physics text books is using dispertion relation for continuous medium. When monoatomic crystals model is applied, the equation derived cannot be solved analytically. The calculation of Debye frequency is solved using bisection method for finding roots, while the integral operation is solved using trapezoidal rule. This paper presents the numerical simulation for aluminum metal.

Key words: Debye model for heat capacity, monoatomic crystals, bisection method, trapezoidal rule

I.PENDAHULUAN

Salah satu sifat penting dari material sebuah benda padat adalah panas. Ref. [1] dalam penelitian sebelumnya, mengatakan bahwa sifat panas, perpindahan panas, perlakuan panas mempunyai dampak pada material benda padat tersebut. Sifat panas tersebut salah satunya adalah kapasitas panas. Kapasitas panas merupakan banyaknya panas yang diperlukan untuk menaikan suhu suatu zat. Kapasitas panas di bagi menjadi dua bagian, yakni kapasitas pada tekanan tetap (Cp) dan kapasitas panas pada vulome tetap (Cv). Salah satu dasar teori tentang kapasitas panas volume tetap adalah kapasitas panas Debye yang diturunkan dari fungsi energi sistem osilator harmonik kuantum dan rapat keadaan. Pada persamaan model Debye dengan tinjauan kristal monoatomik, penyelesaian integrasinya tidak dapat diselesaikan secara analitik.

Dalam penelitian ini, dilakukan metode numerik untuk memecahkan integrasi model Debye tersebut. Oleh sebab itu, tujuan penelitian ini adalah untuk mensimulasikan profil kapasitas panas benda padat yang diasumsikan terbentuk dari kristal monoatomik.

II.KAJIAN PUSTAKA 1.Kapasitas Panas

Sejumlah panas yang diperlukan per mol zat untuk menaikkan suhunya disebut kapasitas kalor. Ref. [2] bila kenaikan suhu zat , maka kapasitas panas adalah :

T T Q v

C (1)

Jika proses penyerapan panas berlangsung pada volume tetap Cv, maka panas yang diserap sama dengan peningkatan

energi dalam zat. Q E, dengan E merupakan energi dalam. Dalam hal ini persamaan Kapasitas panas Cv menjadi

:

dT T dE T

T E v

C (2)

Kapasitas panas memiliki kapasitas spesifik Cv yang

besarnya pada suhu tinggi mendekati nilai 3R dengan R

menyatakan tetapan gas umum. Ref. [2] secara matematis dapat ditulis :

(3) 60

, 5 3R dT dE C

v

(2)

6

Desman P. Gulo / KOMPUTASI NUMERIK KAPASITAS PANAS DEBYE KRISTAL MONOATOMIK

Menurut Dulong-Petit (1820), Cv hampir sama untuk

semua material yaitu 6 cal/mole 0K.

2.Kapasitas Panas Debye

Dalam model Einstein, atom-atom dianggap bergetar secara terisolasi dari atom di sekitarnya. Anggapan ini jelas tidak dapat diterapkan karena gerakan atom akan saling berinteraksi dengan atom-atom lainnya. Hal ini seperti pada kasus penjalaran gelombang mekanik dalam zat padat. Oleh karena itu, rambatan gelombang menyebabkan atom-atom akan bergerak kolektif. Frekuensi getaran atom bervariasi

dari sampai dengan . Batas frekuensi

disebut frekuensi potong Debye. Ref. [3] menurut model Debye, energi total E getaran atom pada kisi diberikan oleh :

D

( merupakan energi rata-rata osilator seperti pada model Einstein sedangkan g( ) adalah rapat keadaan. Nilai energi

rata-rata dapat di tulis [1]: yang diperoleh Einstein.

3.Kisi Monoatomik Satu-Dimensi

Ref [4,5] pada vibrasi benda padat kontinu, persamaan dispersi gelombang diberikan oleh :

K

v.

(6)

Dengan turunan v adalah kecepatan dan K adalah vektor gelombang. Turunan pertamanya adalah :

v d dK 1

(7)

Pada dispersi gelombang satu dimensi, bilangan gelombang pada sebuah batang dengan panjang L bernilai diskrit. Keadaan tersebut bila di tuliskan dalam ruang-k

dimana K 2 /Ln dengan n=0, , menyatakan

ragam (moda) gelombang. Ref. [6] jika panjang batang L

lebih besar (L> >), maka jarak 2 /L akan mendekanti nol dan titik-titik dalam ruang –k semakin berdekatan (ruang –

k mendekati melar) seperti gambar berikut.

K

(a)

(b)

Gambar 1. Ruang –k satu dimensi : (a) diskrit dan (b) malar

Berdasarkan gambar diatas dapat didefinisikan jumlah ragam gelombang elastik mempunyai bilangan gelombang antara k dan k+ dk (dalam interval dk) adalah :

Jumlah ragam gelombang untuk setiap satuan volume disebut rapat keadaan atau g(k)dKatau frekuensi sudut

Persamaan (9) jika dipandang dalam bentuk satu dimensi maka rapat keadaan akan memenuhi :

dK bentuk persamaan (7) menjadi :

v persamaan (11) menjadi :

Pada vibrasi harmonik kristal atom monoatomik satu dimensi, nilai frekuensi sudut memenuhi persamaan [2]:

tetangga terdekat, m adalah massa atom, dan a adalah jarak antar bidang. Persamaan (14) dapat juga ditulis sebagai

sehingga persamaan (15) dapat ditulis :

(3)

Desman P. Gulo/ KOMPUTASI NUMERIK KAPASITAS PANAS DEBYE KRISTAL MONOATOMIK 7

Nilai ₀ yang diberikan secara umum adalah sekitar 1013

rad s-1. Dalam kajian satu dimensi, sekarang harga g( )

yang diberikan adalah :

2

diperoleh dari :

persamaan (19) menjadi :

d

Untuk mencari frekuensi Debye D dapat dihitung dengan

cara mencari akar persamaan berikut ini :

f d

Pada persamaan Debye berdimensi satu dijabarkan dalam persamaan (4) dengan mensubstitusikan semua variabel fungsinya sehingga persamaan energi untuk sebuah atom yang terbentuk adalah :

D solusinya secara analitik kecuali hanya dapat diselesaikan dengan integrasi numerik. Salah satunya adalah metode integrasi numerik Trapesium.

III.METODE PENELITIAN

Pada penelitian ini, langkah pertama yang dilakukan adalah dengan mencari nilai frekuensi Debye D. Frekuensi

Debye pada persamaan (21) dapat diselesaikan

menggunakan integrasi numerik trapesium yakni dengan

cara mencari akar persamaannya. Mencari akar

persamaannya dapat diselesaikan dengan metoda belah dua (bisection). Caranya diberikan pada algoritma berikut ini.

a. Tentukan nilai TOLX dan TOLF b. Tentukan nilai m/ sebagai parameter c

c. Tentukan _a TOLXdan _b 0,9999 m/c

i. Kembali kelangkah f sampai dicapai kondisi

TOLF c

f atau _c TOLXtercapai.

IV.HASIL DAN PEMBAHASAN

Persamaan (20) merupakan persamaan yang digunakan untuk mendapatkan besar frekuensi Debye D. Persamaan

tersebut diselesaikan dengan membuat pola algoritma sehingga menghasilkan nilai frekuensi Debye sebesar

0

D atau tepatnya D 0,99990 0. Berikut hasil perhitungan frekuensi Debye _D sebagai fungsi _{0 yang} menunjukan kurva linear dalam skala logaritmik.

Gambar 2. Hasil perhitungan numerik frekuensi Debye D sebagai fungsi 0

Pada grafik gambar 2 menunjukan logam aluminium dari rendah sampai sebesar 4280K. Secara teori, nilai

tinggi akan bernilai 3R. Dengan demikian perhitungan numerik dapat dinormalisasikan dengan cara membagi Cv

dengan kB dan mengalikannya dengan 3R. Hasil numerik

(4)

8

Desman P. Gulo / KOMPUTASI NUMERIK KAPASITAS PANAS DEBYE KRISTAL MONOATOMIK

Gambar 3. Grafik Kapasitas Panas Debye Cv

terhadap suhu (K) Debye jenis logam

Dari grafik tersebut menunjukan perubahan kapasitas panas Debye selama terjadi perubahan suhu (T) Debye logam aluminium. Referensi grafik tersebut diambil dari grafik kapasitas panas Einstein dengan mengubah :

B k B k

hv

E 0



(22)

Dari persamaan (22) ini diperoleh grafik kapasitas panas Debye terhadap perubahan suhu (T) dalam bentuk satu dimensi dengan menggunakan fungsi persamaan (21). Dari grafik tersebut ternyata terlihat titik-titik perubahan kapasitas panas (Cv) tidak segaris dengan grafik normalisasi. Grafik pada gambar 3 tersebut dapat segaris jika dikembangkan ke dalam model tiga dimensi.

V. KESIMPULAN

Persamaan Debye berdimensi satu yang tidak dapat diselesaikan secara analitik, dapat diselesaikan dengan integrasi numerik yakni integrasi numerik trapesium. Untuk mencari akar-akar persamaannya bisa dengan metode belah dua (bisection).

PUSTAKA

[1] P. L. Gareso, E. Juarlin, A. Limbong, FMIPA Universitas Hasanuddin, Integrasi Numerik Kapasitas Panas Debye Material Logam Menggunakan Metode Newton-Cotes, vol.13, SIGMA, Juli 2010, pp 107-113 [2] MIT OpenCourseWare, Physical Chemistry II, 2008.

Website: http://ocw.mit.edu/terms, diakses tanggal 11 Februari 2014

[3] Darpublic, Sifat-sifat Termal. Website :

www.darpublic.com, diakses tanggal 23 Maret 2014

[4] Fisika FMIPA UNY, Sifat Thermal Kristal, 2012.

Website :

http://staff.uny.ac.id/sites/default/files/pendidikan/Rita %20Prasetyowati,%20M.Si./SIFAT%20THERMAL% 20KRISTAL.pdf, di akses 1 April 2014

[5] N. Isma K., S. Dio, dkk, Fonon I : Getaran Kristal, UNJ, 2012, pp 2-9.

[6] Fisika Pendidikan UPI, Vibrasi Kristal. Website :

http://file.upi.edu/Direktori/FPMIPA/JUR._PEND._FI SIKA/195708071982112-WIENDARTUN/4.BAB_IV-(VIBRASI_KRISTAL).pdf, diakses 18 Februari 2014 [7] A.H.Harker, Solid State Physics, In :A. S. Prasad, Ed.,

Phonon Heat Capacity Lecture 10, Phyics and Astronomy, UCL.

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450

0 5 10 15 20 25

Temperatur(K)

K

a

p

a

s

it

a

s

p

a

n

a

s

(

J

/K