BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang Masalah
Perkembangan dunia yang semakin maju tidak dapat dipisahkan dari peranan ilmu matematika. Penggunaan ilmu pengetahuan di bidang matematika dalam kehidupan sehari-hari terdapat pada pengembangan aplikasi matematika di seluruh aspek kehidupan manusia. Peran matematika dalam permasalahan sehari-hari disajikan dalam pemodelan matematika. Representasi matematika yang dihasilkan dari pemodelan matematika disebut sebagai model matematika. Model matematika merupakan suatu tahap dalam pemecahan masalah berupa penyederhanaan fenomena nyata dalam bentuk matematika. Model matematika untuk mengetahui penyebaran penyakit dalam suatu wilayah disebut model epidemi. Epidemi adalah mewabahnya penyakit dalam komunitas atau daerah tertentu dalam jumlah yang banyak dan melebihi batas normal.
Model matematika digunakan untuk mempelajari tingkah laku epidemi terkait apakah epidemi tersebut meluas ataukah epidemi tersebut hilang dalam beberapa waktu ke depan. Hasil yang didapatkan dari model tersebut dapat digunakan sebagai bahan pertimbangan dalam pengambilan suatu keputusan. Salah satu masalah yang dapat dimodelkan ke dalam bentuk matematika adalah penyebaran penyakit hepatitis C.
Hepatitis C merupakan suatu penyakit yang menginfeksi organ hati yang disebabkan oleh virus hepatitis C (HCV). HCV merupakan jenis virus RNA dari keluarga Flaviviridae genus
Hepacivirus (DirJen PP & PL Kementerian Kesehatan, 2012). HCV pertama kali diteliti pada
telah terinfeksi HCV (Kretzschmar and Wiessing, 2006). Menurut World Health Organization (WHO), sekitar 300-500 ribu penduduk meninggal setiap tahun akibat terserang penyakit hepatitis C dan 130-150 juta orang di seluruh dunia telah terinfeksi hepatitis C kronis.
Penularan penyakit hepatitis C dapat terjadi melalui beberapa cara, di antaranya adalah melalui kontak darah antar individu, pencangkokan organ dari donor yang terinfeksi, kelahiran dari ibu yang terinfeksi, dan penggunaan peralatan jarum secara bersama-sama. Presentase penularan hepatitis C melalui penggunaan jarum suntik secara bersama-sama tergolong cukup besar terutama pada pengguna narkoba suntik. Di Indonesia, jumlah penderita penyakit hepatitis C oleh pengguna narkoba suntik mencapai 77,3% (PKNI, tanpa tahun). Besarnya jumlah penderita yang terserang penyakit hepatitis C menunjukkan bahwa penyakit tersebut berbahaya dan harus diminimalisir penyebarannya.
Model epidemi yang biasa digunakan dalam menganalisa penyebaran penyakit adalah model SIR. Model ini dipelajari oleh Kermack dan McKendrick. Dalam model ini, penyebaran yang terjadi menyebabkan beberapa individu di dalam suatu populasi di mana ada individu yang rentan (susceptible), individu yang sakit karena terinfeksi virus (infected), dan individu sembuh (recovery). Untuk penyebaran penyakit tertentu bisa digunakan model epidemi SIR tetapi untuk beberapa penyakit yang lebih kompleks dapat dikembangkan menjadi model yang baru. Untuk beberapa penyakit tertentu, sebagian individu yang terinfeksi dapat berkembang menjadi kronis, sehingga perlu adanya pengembangan model yang mampu mengakomodasi karakteristik penyakit tersebut, yaitu dengan menambahkan suatu subpopulasi carrier. Pada penyebaran penyakit dengan populasi carrier, individu susceptible dapat terinfeksi karena adanya kontak dengan individu acute
infection maupun individu carrier (Keeling and Pejman, 2008). Individu yang terinfeksi akut
atau dapat pula berkembang menjadi pembawa virus (carrier) (Keeling and Pejman, 2008). Pada umumnya, model ini dapat diterapkan pada penyebaran virus hepatitis C, karena seorang yang terinfeksi (acute infection) virus hepatitis C bisa berkembang menjadi hepatitis kronis maupun akan sembuh dengan sendirinya (meskipun dengan presentase yang kecil).
Penelitian mengenai penyebaran penyakit hepatitis C telah dilakukan oleh M. Kretzschmar dan L. Wiessing (2004) dalam Modelling the transmission of Hepatitis C in injecting drug users, dan Dontwi dkk (2010) dalam Mathematical modeling of Hepatitis C Virus transmission among
injecting drug users and the impact of vaccination, dalam penelitian tersebut dibahas mengenai
penyebaran hepatitis C dengan model susceptible - acute infection - chronic carrier - recovered. Model matematika pada penyebaran hepatitis C terbagi dalam 4 subpopulasi, yaitu susceptible,
acute infection, chronic carrier, dan recovered. Pada model ini akan dicari pengaruh dari
perubahan parameter kappa � sehingga dapat menyebabkan terjadinya bifurkasi. Parameter
kappa � adalah parameter yang menunjukkan frekuensi rata-rata penggunaan jarum suntik bersama-sama.
Analisis bifurkasi dilakukan untuk melihat apakah perubahan nilai parameter tertentu dapat menyebabkan perubahan perilaku dinamik dari model epidemi yang dibentuk. Bifurkasi adalah perubahan (kestabilan) suatu sistem yang diakibatkan oleh adanya perubahan parameter. Bifurkasi terjadi dalam sistem dinamik yang memuat satu atau lebih parameter dan ditekankan pada perubahan perilaku yang mungkin dialami jika parameter-parameter tersebut berubah. Terdapat beberapa macam jenis bifurkasi, diantaranya adalah bifurkasi saddle-node, bifurkasi transkritikal, bifurkasi superkritikal, bifurkasi pitchfork, dan bifurkasi hopf (Guckenheimer & Holmes, 1985).
mempelajari penyebaran virus hepatitis C pada pengguna narkoba suntik. Dari perilaku dinamik model SACR akan ditentukan titik ekuilibrium kemudian dilakukan analisis kestabilan lokal pada masing-masing titik ekuilibrium. Berdasarkan analisis tersebut akan diselidiki kemungkinan terjadinya bifurkasi pada model SACR berdasarkan karakteristik bifurkasinya. Pada model ini, analisis bifurkasi digunakan untuk melihat apakah saat perubahan nilai parameter kappa � penyakit hepatitis C akan berangsur menghilang atau akan menjadi endemik.
B. Pembatasan Masalah
Pembahasan dalam skripsi ini dibatasi hanya pada sumber penyebaran melalui jarum suntik. Pemberian terapi atau pengobatan hepatitis C tidak dibahas. Laju kelahiran yang terjadi dalam populasi diasumsikan sama dengan laju kematian. Kematian akibat infeksi hepatitis C diabaikan karena hanya terjadi kematian alami pada setiap subpopulasi. Populasi manusia diasumsikan homogen, yaitu setiap anggota populasi memiliki karakteristik yang relatif sama. Parameter-parameter yang menyaakan kondisi dari populasi adalah , , �, �, �, dan �. Pada skripsi ini parameter yang digerakkan adalah parameter �, sedangkan parameter yang lain dibuat tetap. Untuk perolehan nilai parameter tidak akan dibahas dalam penulisan skripsi ini.
C. Perumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang di atas, maka dirumuskan masalah mengenai bifurkasi apa yang terjadi pada model matematika penyebaran virus hepatitis C berdasarkan karakteristiknya?
D. Tujuan Penelitian
Adapun tujuan yang ingin dicapai dalam penulisan skripsi ini adalah:
E. Manfaat Penelitian
Penulisan skripsi ini diharapkan dapat digunakan untuk melakukan pendugaan mengenai endemik dari penyebaran virus hepatitis C, terutama pada pengguna narkoba suntik.
BAB II
KAJIAN TEORI
A. Model MatematikaPemodelan matematika adalah proses representasi dan penjelasan dari permasalahan dunia real yang dinyatakan dalam pernyataan matematika (Widowati dan Sutimin, 2007: 1). Hasil dari representasi pemodelan matematika disebut sebagai model matematika.
Menurut Widowati dan Sutimin (2007: 3) proses pemodelan matematika dapat dinyatakan dalam diagram alur berikut ini.
Dunia Real Dunia Matematika
Gambar 2.1. Proses Pemodelan
Proses pemodelan telah digambarkan dalam diagram alir di atas. Langkah pertama dalam pemodelan matematika adalah menyatakan permasalahan kehidupan nyata ke dalam pengertian matematika. Langkah ini meliputi identifikasi variabel dan sistem kemudian menjabarkannya
menjadi model. Langkah selanjutnya adalah menyusun kerangka model dengan membuat asumsi. Setelah membuat asumsi dan memahami variabel-variabel, langkah selanjutnya adalah formulasi persamaan (model). Formulasi model merupakan langkah paling penting, sehingga kadang diperlukan adanya pengujian kembali asumsi-asumsi agar langkah formulasi persamaan dapat sesuai sehingga dapat diselesaikan dan realistik. Jika pada proses pengujian kembali model yang terbentuk tidak sesuai maka perlu dilakukan pengkajian ulang asumsi dan membentuk asumsi yang baru. Setelah menyusun persamaan, langkah selanjutnya adalah menyelesaikan persamaan tersebut secara matematis.
Interpretasi hasil adalah langkah yang akan menghubungkan formulasi matematika dengan permasalahan nyata. Setelah membandingkan solusi dengan data, mungkin akan didapatkan hasil yang kurang baik sehingga langkah yang perlu dilakukan adalah dengan memperbaiki model. B. Sistem Dinamik
1. Pengertian Sistem Dinamik
Sistem dinamik adalah sistem yang dibentuk oleh persamaan-persamaan diferensial baik sistem diferensial biasa maupun sistem diferensial parsial.
Definisi 2.1 (Ross, 1984: 3)
Contoh 2.1
Sistem dinamik dipengaruhi variabel-variabel yang saling berkaitan dan berubah berdasarkan waktu (Spiegelman, 1997:2). Jika sistem dinamik secara eksplisit bergantung terhadap waktu, maka sistem dinamik tersebut dinamakan sistem dinamik non autonomous, sedangkan apabila sistem dinamik secara implisit bergantung terhadap waktu maka dinamakan sistem dinamik autonomous (Wiggins, 2003: 2).
Sistem dinamik autonomous dapat dinyatakan dalam bentuk
̇ = , ∀ ∈ ℝ (2.1)
2. Titik Ekuilibrium dan Kestabilan Definisi 2.2
a) (Hale dan Kocak, 1991: 11). Titik ∈ ℝ disebut titik ekuilibrium dari ̇ = , jika ̅ = .
b) (Perko, 2000: 102). Titik ekuilibrium ̅ disebut titik ekuilibrium hiperbolik jika tidak ada nilai eigen dari matriks ̅ yang bagian realnya 0.
c) (Wiggins, 1990: 254). Titik ekuilibrium ̅ disebut titik ekuilibrium non hiperbolik jika ada nilai eigen dari matriks ̅ yang bagian realnya 0.
Diberikan sistem dinamik ̇ = dengan ∈ ℝ . Penyelesaian dengan kondisi awal =
pada saat dinotasikan dengan , maka
a) Titik ekuilibrium ̅ dikatakan stabil jika untuk setiap > ada > sedemikian sehingga jika ‖ − ̅‖ < maka ‖ − ̅‖ < untuk semua .
b) Titik ekuilibrium ̅ dikatakan stabil asimtotis jika titik ̅ stabil dan jika ada > sedemikian
sehingga lim
→∞‖ − ̅‖ = apabila ‖ − ̅‖ < .
c) Titik ekuilibrium ̅ dikatakan tidak stabil jika tidak memenuhi kedua kondisi di atas.
Gambar 2.2 Titik ekuilibrium stabil Gambar 2.3. Titik ekuilibrium stabil asimtotik
Apabila terdapat sistem ̇ = � dengan titik ekuilibrium ̅, sistem tersebut stabil jika titik ekuilibriumnya stabil. Namun, jika titik ekuilibriumnya tidak stabil maka sistem dikatakan tidak stabil.
C. Sistem Dinamik Linear
Menurut Perko (2001: 1), sistem linear dapat dinyatakan dalam bentuk
̇ = � , ∈ ℝ (2.2)
Sebelum melanjutkan pembahasan mengenai sistem linear, terlebih dahulu akan dibahas mengenai nilai eigen dan vektor eigen.
Definisi 2.5 (Howard Anton, 1998, 277)
Jika A adalah matriks berukuran × dan sistem persamaan diferensial biasa homogen ̇ = � , = , ∈ ℝ , maka vektor taknol ∈ ℝ disebut vektor eigen (eigenvector) dari A jika
terdapat suatu skalar ∈ ℝ sedemikian sehingga
� = (2.3)
Nilai skalar dinamakan nilai eigen (eigenvalue) dari A.
Nilai eigen dari matriks A yang berukuran × dapat dicari dengan menuliskan Persamaan (2.3) ke dalam bentuk lain sebagai
� − = (2.4)
dengan I adalah matriks identitas. Persamaan (2.4) mempunyai pemecahan tak nol jika dan hanya jika
− � = (2.5)
Persamaan (2.5) dinamakan persamaan karakteristik dari matriks A.
Contoh 2.3
Tentukan nilai eigen dan vektor eigen dari matriks A berikut ini.
� = [ ]
− � = [ ] − [ ] = [ −− −
− − ],
maka persamaan karakteristik dari A adalah
− � = [ −− −
Untuk = , maka Persamaan (2.7) menjadi
[− −
− − ] [ ] = [ ]
(2.8)
Sistem (2.8) ekuivalen dengan persamaan berikut
− − = (2.9a)
Berdasarkan Persamaan (2.9) didapatkan pemecahan dari sistem (2.8) adalah = − dan =
. Misal = , maka vektor eigen yang bersesuaian dengan = adalah
[− ]
Untuk = , maka persamaan (2.7) menjadi
[−
− − ] [ ] = [ ]
(2.10)
Sistem (2.10) ekuivalen dengan persamaan berikut
= (2.11a)
− = (2.11b)
− − + = (2.11c)
Berdasarkan Persamaan (2.11) didapatkan pemecahan dari sistem (2.10) adalah = . Misal = , maka vektor eigen yang bersesuaian dengan = adalah
[ ]
Untuk = , maka persamaan (2.7) menjadi
[−− −
− − ] [ ] = [ ]
(2.12)
− = (2.13a)
− − = (2.13b)
− − = (2.13c)
Berdasarkan Persamaan (2.13) didapatkan pemecahan dari sistem (2.12) adalah = dan = . Misal = , maka vektor eigen yang bersesuaian dengan = adalah
[ ]
Maka, vektor eigen yang bersesuaian dengan matriks A adalah [− ], [ ], dan [ ].
Definisi 2.6 (Anton, 1991: 284)
Matriks bujur sangkar A dikatakan terdiagonalisasi jika terdapat matriks P yang mempunyai invers
sehingga �− �� diagonal sehingga matriks P dikatakan mendiagonalisasi matriks A. [− ], [ ],
dan [ ]
Contoh 2.4
Berdasarakan contoh 2.2 matriks tersebut mempunyai 3 vektor eigen, yaitu � = [− ], � = [ ],
dan � = [ ].
Maka
� = [− ], dengan �− = [ ]
Sistem (2.2) dengan kondisi awal = mempunyai solusi
= � (2.14)
dengan � adalah fungsi matriks berukuran × yang didefinisikan sebagai deret Taylor.
Definisi 2.7 (Perko, 2001: 1)
Bentuk � adalah fungsi matriks berukuran × yang dinyatakan
� = + ∑ �� � ! ∞
= (2.15)
Jika deret (2.15) didiferensialkan suku demi suku maka diperoleh
[ � ] = ∑ � −
sehingga turunan pertama dari � adalah
Sebagai hasil dari interpretasi fungsi matrikss eksponensial � , dapat dituliskan solusi dari masalah nilai awal
̇ = � , =
dalam bentuk
= �
Dalam hal ini terdapat tiga kemungkinan bentuk � , yaitu :
1. Jika matriks A memiliki nilai eigen real dan berbeda maka bentuk � menjadi � = � [ ]�−
dengan � = [ . . ] adalah matriks invertibel, dan adalah nilai eigen dari matriks A,
dengan , ∈ ℕ dan [ ] = [ ⋱
� ].
Sehingga Persamaan (2.14) menjadi
= � [ ]�− (2.16)
2. Jika matriks A berukuran × dengan blok × sepanjang diagonal, memiliki sebanyak
nilai eigen kompleks yang berbeda maka bentuk � menjadi
� = � [cos −
sin cos ] �−
dengan � = [ . . ] adalah matriks invertibel, dan = ± adalah nilai eigen
dari matriks A, dengan , ∈ ℕ.
= � [cos sin −cos ] �− (2.17)
3. Jika matriks A berukuran × , mempunyai sebanyak nilai eigen kembar maka bentuk � menjadi
� = � [ ]�− [ + � + +� − −
− ! ]
dengan � = [ . . ] adalah matriks invertibel, dan adalah nilai eigen dari matriks A, dan � adalah matriks nilpotent � = � − , = [ ], dengan syarat � − ≠ dan � =
untuk < �.
Sehingga Persamaan (2.14) menjadi
= � [ ]�− [ + � + +� − −
− ! ] (2.18)
D. Sistem Dinamik Non Linear
Menurut Brannan dan Boyce (2011: 488), diberikan sistem non linear
̇ = , (2.19)
Jika sistem (2.19) memiliki titik ekuilibrium, maka sistem tersebut dapat dinyatakan sebagai
̇ = ̅ + �
Bentuk ̅ disebut sebagai bagian linier dari sistem (2.19) dengan ̅ adalah matriks
̅ =
sedangkan bentuk � merupakan bagian non linear dari sistem (2.19).
Teorema 2.1 (Olsder dan Woude, 2004: 68)
Diberikan sistem linear ̇ = � , dengan matriks A berukuran × dan memiliki nilai eigen ke titik ekuilibriumnya, dengan demikian sistem dikatakan stabil.
b) Jika ada sehingga { } > , maka saat → ∞ akan mengakibatkan � { } → ∞, yang
mengakibatkan ada sehingga → ∞, dengan kata lain solusinya akan menjauhi titik ekuilibriumnya, dengan demikian sistem dikatakan tidak stabil.
Tentukan kestabilan dari sistem non linear berikut ini.
= [− + − − 8] (2.20)
Berdasarkan Definisi (2.1), maka sistem (2.20) memiliki titik ekuilibrium pada saat
=
sehingga didapat satu titik ekuilibrium yaitu = ̅ , ̅ = − , −
Matriks Jacobian untuk sistem (2.20) adalah
= [− − +8 ] (2.21)
Matriks Jacobian pada titik ekuilibrium = ̅ , ̅ = − , − pada (2.21) adalah
= [− −8−8] (2.22)
Karena nilai eigen pada Persamaan (2.22) { } < , maka berdasarkan Teorema (2.1) titik
ekuilibrium = ̅ , ̅ = − , − bersifat stabil.
E. Kriteria Routh-Hurwitz
Menurut Olsder dan Woude (2004: 60), nilai-nilai eigen matriks A dapat ditentukan dari persaaan karakteristik, yaitu det − � = . Namun, terkadang untuk menentukan akar-akar persamaan karakteristiknya tidak selalu mudah sehingga diperlukan kriteria yang menjamin bahwa akar-akar persamaan karakteristiknya bernilai negatif atau ada nilai akar yang bernilai positif.
det − � = + − + − + +
− +
dengan ≠ , sehingga disusun tabel Routh-Hurwitz sebagai berikut
Tabel 2.1 Tabel Routh-Hurwitz
dengan
= −
= −
= −
= −
sehingga matriks A berukuran × hanya mempunyai nilai eigen dengan bagian real negatif jika dan hanya jika setiap elemen di kolom pertama pada tabel memiliki tanda yang sama.
Pada sistem dinamik, suatu sistem akan rentan terhadap gangguan ketika sistem tersebut memiliki nilai eigen nol. Sedikit saja sistem mengalami gangguan maka nilai eigen dari sistem dapat berpindah ke daerah negatif (stabil) atau sebaliknya. Keadaan pada sistem yang demikian disebut sebagai bifurkasi. Bifurkasi adalah perubahan kestabilan suatu sistem yang diakibatkan oleh berubahnya nilai parameter (Guckenheimer dan Holmes, 1985: 117).
Salah satu contoh bifurkasi adalah bifurkasi transkritikal. Bifurkasi transkritikal adalah bifurkasi yang ditandai dengan pertukaran kestabilan titik ekuilibrium. Bentuk sistem yang dapat
mengalami bifurkasi transkritikal adalah sistem yang memuat ̇ = , = − . Dalam hal ini, adalah sebuah parameter. Titik ekuilibrium dari sistem tersebut adalah = dan = . Terdapat tiga kondisi yang memenuhi persamaan sistem , yaitu saat = , < , dan > .
Saat = hanya ada satu titik ekuilibrium yaitu = yang bersifat semi stabil (stabil jika didekati dari kanan dan tidak stabil saat didekati dari kiri). Untuk ≠ , terdapat dua titik ekuilibrium yaitu = dan = , sehingga jelas = adalah titik ekuilibrium yang selalu ada
Gambar 2.3. Diagram bifurkasi transkritikal
Dalam analisis kestabilan dinamik, umumnya digunakan analisa nilai eigen dari bagian linearnya apabila nilai eigennya tidak ada yang bernilai nol. Sedangkan untuk sistem yang memiliki nilai eigen nol, dapat menggunakan centre manifold theory untuk menganalisa sistem. G. Bilangan Reproduksi Dasar
Bilangan reproduksi dasar (basic reproduction number) adalah bilangan yang menyatakan rata-rata infeksi sekunder yang muncul akibat adanya satu orang yang terinfeksi primer masuk ke dalam populasi susceptible (Heffernan, 2005). Bilangan ini merupakan parameter penentu kestabilan dari titik-titik ekuilibrium model, dan dinotasikan dengan lambang . Titik kritis berkisar 1, jika > maka infeksi akan membesar namun jika < infeksi akan mengecil dan menghilang dari populasi. Bilangan reproduksi dasar diperoleh dengan cara linearisasi matriks Jacobian yang dihitung pada titik keseimbangan bebas penyakit.
Definisi 2.8 (Heffernan, 2005: 283)
̇ = � , − � , , = , , , … , (2.23) ̇ = � , , = , , , … ,
Misalkan terdapat kelas terinfeksi dan kelas tidak terinfeksi, dengan dinyatakan sebagai kelas yang terinfeksi penyakit dan dinyatakan sebagai kelas yang tidak terinfeksi penyakit, dimana ∈ ℝ dan ∈ ℝ untuk , ∈ �, � menyatakan matriks dari banyaknya individu yang masuk dan menambah banyaknya individu dalam kelas terinfeksi, sedangkan � adalah banyaknya individu yang keluar dari kelas terinfeksi yang mengakibatkan berkurangnya jumlah individu dari kelas tersebut.
Dengan disebut sebagai matriks Next Generation, dimana � = [� ]
dengan [� ] = [��
� ] , , = , , , . . ,
dan
= [ ]
dengan [ ] = [��
� ] , , = , , , . . ,
Contoh 2.5
Diberikan model matematika epidemi sebagai berikut
= − − ,
= − − , (2.24)
= − ,
Tentukan untuk sistem (2.24)
Sistem (2.24) memiliki titik ekuilibrium non endemik ̅̅̅ = , ,
Pada model ini kelas yang terinfeksi adalah kelas , maka berdasarkan Definisi 2.8 � = [ ],
dan
= [ + ]
maka
= [ ][ + ]−
= [ + ] (2.25)
Substitusi titik ekuilibrium ̅̅̅ ke persamaan (2.25) sehingga diperoleh
= [ + ]
dari sistem (2.24) adalah
DAFTAR PUSTAKA
Anton, Howard. (2003). Aljabar Linear Elementer (Alih Bahasa: Refina Indriasari), Jakarta: Erlangga.
Candrawati, L. (2014). “Kestabilan Lokal Titik Ekuilibrium Model Matematika SACR
Penyebaran Virus Hepatitis C Pada Pengguna Narkoba Suntik.” Skripsi. Matematika
Universitas Negeri Yogyakarta.
Castillo-Chavez, C. dan Song, B. (2004). “Dynamical Models of Tuberculosis and Their
Applications”. Mathematical Biosciences and Engineering, 1(2): 361-404.
Direktorat Jendral PP & PL. (2012). “Pedoman Pengendalian Hepatitis Virus.” Kementerian Kesehatan RI.
Guckenheimer, P & Holmes, J. (1985). Nonlinear Oscillations Dynamical Systems and
Bifurcations of Vector Fields. Ithaca.
Gunawan. (2014). “Analisis Kestabilan Lokal dan Bifurkasi pada Model Epidemi SEIV dengan
Vaksinasi dan Penularan Penyakit Secara Vertikal.” Tesis. Universitas Gadjah Mada.
Hadi, Chandra. (2014). “Bifurkasi Pada Sistem Dinamik Dari Model Transmisi Penyakit Sifilis (Syphilis).” Skripsi. Matematika Universitas Negeri Yogyakarta.
Hale & Kocak. (1991). Dynamics and Bifurcation. Springer-Verlag: New York.
Haragus, Mariana & Looss, Gerard. (2011). Local Bifurcations, Center Manifolds and Normal
Heffernan, J.M., Smith, R.J. & Wahl, L.M.. (2005). “Perspective on the Basic Reproductive Ratio”. J.R Soc. Interface (2): 281-293.
Imoh & Aetatima. (2013). “Mathematical model for the dynamics of malaria transmission oscillations and backward bifurcation.” International Letters of Natural Sciences, 2 (2013): 31-42.
Kretzschmar, M and Wiessing, L. (2004). “Modelling the transmission of hepatitis C in injecting drug users”. Hepatitis C and Injecting Drug Use: Impact, Costs and Policy Options, 143-158.
Na Yi et al. (2009). “Bifurcations of an SEIQS Epidemic Model”. International Journal of Information and Systems Sciences 5(3-4): 296–310.
Olsder and Van Der Woude. (2004). “Mathematical Systems Theory.”Delft University of Technology.
Perko, Lawrence. (2001). Differential Equations and Dynamical Systems. 3rd. Springer: New York.
PKNI, tanpa tahun. “Hepatitis C: Sebuah krisis kesehatan masyarakat yang mendesak.“Diakses dari http://www.pkni.org/wp-content/uploads/2013/09/PKNI-Hep-C-Brief-versi-indonesia.pdf. pada tanggal 18 November 2014, jam 21.30.
Putri, Intan & Winarko, Setijo. (2014). “Eksistensi Bifurkasi Mundur pada Model Penyebaran Penyakit Menular dengan Vaksinasi.” Paper. Fakultas Matematika dan Pengetahuan Alam
ITS.
Thomas, George & Ross. (1996). Calculus and Analytic Geometry,Addison-Wesley: United States of America.
Widowati & Sutimin. (2007). Buku Ajar Pemodelan Matematika. Semarang: Universitas Diponegoro
Wiggins, S. (1990). Introduction to Applied Nonlinear Dynamical Systems and Chaos. Springer-Verlag. Berlin, Heidelberg: New York.
World Health Organization (WHO). (2014). “Hepatitis C.” Diakses dari
http://www.who.int/mediacentre/factsheets/fs164/en/. pada tanggal 20 November 2014, jam 19.25.
World Health Organization (WHO). (2014). “Hepatitis C.” Diakses dari
