IDENTIFIKASI FAKTOR SIGNIFIKAN RANCANGAN
FAKTORIAL FRAKSIONAL TANPA PENGULANGAN
DENGAN METODE BISSELL, LENTH, DAN FANG
Oleh:
ADNAN SAUDDIN NRP. 1304 201 008
PROGRAM STUDI MAGISTER JURUSAN STATISTIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT TEKNOLOGI SEPULUH NOPEMBER
FAKTORIAL FRAKTIONAL TANPA PENGULANGAN DENGAN METODE BISSELL, LENTH, DAN FANG
Tesis ini disusun untuk memenuhi salah satu syarat memperoleh gelar Magister Sains (M.Si.)
di
Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya Oleh:
ADNAN SAUDDIN NRP. 1304 201 008
Tangal Ujian : 31 Juli 2006 Periode Wisuda: September 2006 Disetujui Oleh Tim Penguji Tesis:
1. Prof. Dra. Susanti Linuwih, M.Stat., Ph.D (Pembimbing 1) NIP. 130 368 808
2. DR. Drs. Purhadi, M.Sc (Pembimbing 2)
NIP. 131 843 382
3. Prof. Drs. Nur Iriawan, MIkom., Ph.D (Penguji) NIP. 131 782 011
4. DR. Drs. I Nyoman Budiantara, M.Sc (Penguji) NIP. 131 843 382
5. DR. Drs. Sony Sunaryo, M.Si (Penguji) NIP. 131 883 380
6. Ir. Mutiah Salamah, M.Kes (Penguji) NIP. 131 283 368
Direktur Program Pascasarjana
Prof. Ir. Happy Ratna S., M.Sc., Ph.D. NIP. 130 541 829
FAKTORIAL FRAKSIONAL TANPA PENGULANGAN DENGAN METODE BISSELL, LENTH, DAN FANG
Oleh : Adnan Sauddin
Pembimbing : Prof. Dra. Susanti Linuwih, M.Stat., Ph.D Co. Pembimbing : Dr. Purhadi, M.Sc
ABSTRAK
Rancangan faktorial dengan jumlah faktor yang sangat besar tidak memungkin-kan untuk diterapmemungkin-kan didunia industri atau di bidang lainnya. Untuk mengatasi hal tersebut, digunakan rancangan faktorial fraktional. Dalam penelitian, penen-tuan faktor mana dari sejumlah faktor yang dinyatakan potensial memberikan informasi terhadap masalah yang diteliti menjadi lebih sulit jika pengukurannya dilakukan tanpa pengulangan untuk setiap kombinasi perlakuan. Hal tersebut disebabkan oleh tidak adanya rata-rata kuadrat error yang dapat diperoleh pada sebagian besar rancangan faktorial fraksional tanpa pengulangan. Untuk meng-atasi hal tersebut, dalam penelitian ini dihasilkan statistik uji metode Bissell, Lenth, dan Fang beserta penaksir-penaksirnya yang memberikan suatu analisis formal tentang bagaimana menentukan suatu faktor signifikan atau tidak dalam rancangan faktorial fraksional tanpa pengulangan. Juga diperoleh funsi power dari ketiga metode tersebut, yang digunakan untuk membandingkan kekuatan uji masing-masingnya. Power uji menunjukkan metode Lenth dan Fang lebih kuat banding metode Bissell, dan antara metode Lenth dan Fang tidak memberikan indikasi adanya perbedaan kekuatan uji.
Kata kunci : Fraksional Faktorial, fungsi power, metode Lenth, metode Fang, metode Bissell.
UNREPLICATED FRACTIONAL FACTORIAL DESIGN BY USING BISSELL, LENTH, AND FANG METHODS
By : Adnan Sauddin
Supervisor : Prof. Dra. Susanti Linuwih, M.Stat., Ph.D Co. Supervisor : Dr. Purhadi, M.Sc
ABSTRACT
Factorial design with number of factors very large is impossible to be apply in industrial world. To avoid such a problems, fractional factorial design is used instead. However, to select the right factor which should be used in order to supply information about the problem being analyzed will be difficult when we running each treatment combination without replication. That is causes by due to absence of mean square error in any analysis of most unreplicated fractional factorial design. In this research, statistical test of Bissell, Lenth, and Fang methods, including their estimation and the power function are resulted. The power function that resulting used to comparing power test of these methods, the result are Lenth and Fang method more powerfull than Bissell method, and Lenth and Fang methods showed with no indication of resulting different power test.
Key words: fractional factorial, power function, unreplicated, Bissel method, Lenth method, Fang method.
DAFTAR ISI
HALAMAN PENGESAHAN iii
ABSTRAK iii
ABSTRACT iv
DAFTAR TABEL vii
DAFTAR GAMBAR viii
DAFTAR LAMPIRAN ix KATA PENGANTAR x BAB I. PENDAHULUAN 1 1.1 Latar Belakang . . . 1 1.2 Permasalahan . . . 2 1.3 Tujuan Penelitian . . . 2 1.4 Manfaat Penelitian . . . 3 1.5 Batasan Permasalahan . . . 3
BAB II. TINJAUAN PUSTAKA 4 2.1 Model Linier . . . 4
2.1.1 Estimasi Kontras . . . 4
2.1.2 Distribusi dari bβ . . . 7
2.1.3 Penaksirσb2 . . . 8
2.1.4 Pengujian Hipotesis . . . 9
2.2 Rancangan Fraksional Faktorial . . . 10
2.3 Fraksional Faktorial Dua-Level, 2k−p . . . . 10
2.3.1 Identifikasi Struktur Alias . . . 14
2.4 Fraksional Faktorial Tiga-Level . . . 17
2.4.1 Identifikasi Struktur Alias . . . 20
2.5 Beberapa Definisi dan Teorema Berkaitan dengan Pembahasan . . 21
BAB III. METODOLOGI PENELITIAN 27 3.1 Bahan dan Alat . . . 27
3.2 Metode Penelitian . . . 27 v
4.1 Statistik uji dari Metode Bissell, Fang dan Lenth Serta Penaksirnya 31
4.1.1 Statistik Uji Metode Bissell dan Penaksirnya . . . 31
4.1.2 Penaksiran Parameter dengan Metode Lenth . . . 33
4.1.3 Penaksiran Parameter dengan Metode Fang . . . 37
4.1.4 Fungsi Power Metode Bissell, Lenth dan Fang . . . 39
4.2 Perbandingan Power Uji Metode Bissell, Lenth dan Fang . . . 41
4.2.1 Kasus Rancangan Faktorial Fraksional 2-Level . . . 42
4.2.2 Kasus Rancangan Faktorial Fraksional 3-Level . . . 45
BAB V. KESIMPULAN DAN SARAN 49 5.1 Kesimpulan . . . 49
5.2 Saran . . . 50
DAFTAR PUSTAKA 53 LAMPIRAN 54 Lampiran A. Matriks Rancangan dan Data 55 1.1 Data Eksperimen Permainan Golf . . . 55
1.2 Data Pembakaran pada Boiler . . . 55
Lampiran B. Hasil Analisis untuk Identifikasi Faktor Signifikan 57 2.1 Permainan Golf . . . 57
2.2 Pembakaran Pada Boiled 3-Level . . . 58
Lampiran C. Hasil Penghitungan Power dan Kurva Kuasa Metode Bissell, Lenth, dan Fang untuk Permainan Golf 62 Lampiran D. Listing Program 66 4.1 Listing Program Iterasi Bissell . . . 66
4.2 Listing Program Perhitungan Metode Lenth dan Fang . . . 68
DAFTAR TABEL
2.1 Susunan Rancangan Faktorial 23 . . . . 11
2.2 Susunan Rancangan Faktorial 23−1 . . . . 11
2.3 Algoritma Yate untuk Rancangan 32 . . . . 19
4.1 Rangkuman Hasil Analisis Varian . . . 42
4.2 Rangkuman Hasil Analisis Varian . . . 47
1.1 Faktor dan Level-level untuk Permainan Golf . . . 55
1.2 Matriks Rancangan Eksperimen Permainan Golf . . . 55
1.3 Faktor dan Level-Level data Pembakaran pada Boiler . . . 55
1.4 Matriks Rancangan Fraksional Faktorial 3-Level Data Pembakaran pada Boiler . . . 56
2.1 Nilai Statistik Bissell, Metode Lenth dan Fang untuk Permainan Golf . . . 58
2.2 Hasil Perhitungan Metode Bissell, Lenth dan Fang . . . 60
2.3 Hasil Perhitungan Metode Bissell, Lenth dan Fang . . . 61
3.1 Power Metode Bissell untuk Permainan Golf . . . 62
3.2 Power Metode Lenth untuk Permainan Golf . . . 63
3.3 Power Metode Fang untuk Permainan Golf . . . 64
DAFTAR GAMBAR
4.1 Kurva Kuasa Metode Bissell, Lenth, dan Fang untuk Permainan Golf . . . 46 3.1 Kurva Kuasa Metode Bissell, Lenth dan Fang untuk Permainan Golf 65
DAFTAR LAMPIRAN
Lampiran A: Matrik Rancangan dan Data 55
1.1 Data Eksperimen Permainan Golf . . . 55 1.2 Pembakaran pada Boiler . . . 55 Lampiran B: Hasil Analisis untuk Identifikasi Faktor Signifikan 57 2.1 Permainan Golf . . . 57 2.2 Kasus Pembakaran Pada Boiled 3-Level . . . 58 Lampiran C: Hasil Perhitungan Power dan Kurva Kuasa Metode
Bissell, Lenth, dan Fang 62
Lampiran D : Listing Program 66
4.1 Listing Program Iterasi Bissell . . . 66 4.2 Listing Program Perhitungan Metode Lenth dan Fang . . . 68
Kata Pengantar
Segala puji hanya milik Allah, hanya kepada-Nya kami berlindung dan hanya kepada-Nya kami memohon ampunan, kami berlindung kepada-Nya dari keburukan diri kami dan kejelekan amalan-amalan kami. Bahwa, barang siapa diberi petunjuk oleh Allah SWT, tidak seorang yang dapat menyesatkannya dan barang siapa yang disesatkan oleh-Nya, tidak seorang yang dapat memberinya petunjuk. Saya bersaksi bahwa tidak ada illah yang berhak diibadahi kecuali Al-lah SWT, dan aku bersaksi bahwa Muhammad rasululAl-lah SAW adaAl-lah rasul-Nya. Alhamdulillah, penulis dapat menyelesaikan tesis ini dengan judul ”Identifikasi Faktor signifikan Rancangan Faktorial Fraksional tanpa Pengulangan Dengan Metode Bissell, Lenth, dan Fang”. Tesis ini merupakan salah satu syarat un-tuk mendapatkan gelar Magister Sains (M. Si.) pada Jurusan Statistika, Pro-gram Pascasarjana Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya. Penulis menyadari sepenuhnya bahwa tesis ini masih sangat jauh dari kesempurnaan dan dalam penyelesaiannya tidak terlepas dari bantuan, bimbingan, dan arahan dari berbagai pihak, oleh kare-nanya pada kesempatan ini penulis mengucapkan terima kasih dan penghargaan yang setinggi tingginya kepada yang terhormat:
1. Bapak Dr. Drs. I Nyoman Budiantara, M.S. selaku Koordinator Pro-gram Studi S2 Jurusan Statistika Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya.
2. Prof. Dra. Susanti Linuwih, M.Stat., Ph.D, selaku pembimbing satu yang telah meluangkan waktu memberikan arahan dan bimbingan kepada penulis.
memberikan arahan dan bimbingan kepada penulis.
4. Para staf dosen Program Studi Statistika, Institut Teknologi Sepuluh Novem-ber Surabaya yang telah membekali penulis dengan ilmu pengetahuan. 5. Semua pihak yang telah banyak membantu dan tidak sempat penulis
se-butkan namanya satu persatu.
Surabaya, Maret 2006
Penulis
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Penggunaan rancangan faktorial fraksional telah diperkenalkan oleh Tip-pett (Box dan Meyer, 1986), dan sejak Tahun 1980 - an telah menjadi perha-tian. Voelkel dan Rochester (2004), dalam penelitiannya menyimpulkan bahwa rancangan ini relatif lebih efisien.
Eksperimen yang didasarkan pada rancangan faktorial, dimaksudkan un-tuk menenun-tukan faktor mana diantara sejumlah faktor yang secara potensial memberikan efek pada respon. Namun, pada rancangan faktorial dengan jum-lah faktor yang besar dan diikuti oleh jumjum-lah kombinasi perlakuan yang besar, eksperimen menjadi tidak efisien untuk dilakukan. Untuk menurunkan jumlah kombinasi perlakuan, digunakan rancangan faktorial fraksional.
Jika terdapat lebih dari satu unit eksperimen untuk setiap perlakuan, maka digunakan analisis varian untuk menguji efek utama dan efek interaksi dalam model. Semua uji tersebut memerlukan rata-rata kuadrat error (mean squares error, M SE), sebab estimasi dari varians error didasarkan pada variabilitas data yang diperoleh dari hasil pengukuran atau pengamatan yang dilakukan se-cara berulang-ulang untuk setiap perlakuan. Pertanyaan yang kemudian muncul adalah, bagaimana jika hanya terdapat satu pengamatan pada tiap-tiap per-lakuan?.
Kelemahan eksperimen tanpa pengulangan adalah tidak terdapat derajat bebas untuk mengestimasi σ2, tidak ada error dalam setiap perlakuan, yang ber-akibat pada sulitnya melakukan interpretasi terhadap efek yang dimungkinkan berpengaruh, dan semua yang berkaitan dengan rata-rata kuadrat untuk uji sig-nifikan statistik.
Dalam menaksir efek faktor yang signifikan dari rancangan faktorial
sional tanpa pengulangan, telah dikemukakan beberapa metode, diantaranya; Lenth (1989) menggunakan nilai margin of error atau batas kesalahan, simul-tan margin error dan pseudo sparsity of error untuk menentukan faktor yang signifikan yang didasarkan pada distribusi t, Hamada dan Balakrishnan (1998) mengemukakan bahwa kelemahan dari metode Lenth adalah lemah dalam me-ngontrol kesalahan type I.
Dong (1993) memodifikasi metode Lenth, yaitu mengganti nilai s0 dengan s1yang merupakan trimmed median. Bissell (1989, 1992), mengadopsi uji dispersi Cochran (1954) dalam mengkonstruksi uji statistik untuk mengidentifikasi fak-tor yang signifikan. Menurut Hamada dan Balakrishnan (1998), kelemahan dari metode Bissell adalah power ujinya akan mengalami penurunan tatkala terdapat banyak faktor yang signifikan.
1.2 Permasalahan
Berdasarkan latar belakang yang dijelaskan di atas, rumusan masalah dari penelitian adalah sebagai berikut:
1. Bagaimana menentukan statistik uji dari metode Bissell, Lenth, dan Fang serta penaksirnya dalam mengindentifikasi faktor yang signifikan dalam fak-torial fraksional tanpa pengulangan
2. Bagaimana menentukan faktor yang signifikan dalam rancangan faktorial fraksional 2k dan 3ktanpa pengulangan dengang menggunakan metode Bis-sell, Lenth, dan Fang.
1.3 Tujuan Penelitian
Dari permasalahan yang dikemukakan di atas, tujuan penelitian dapat dirumuskan sebagai berikut:
1. Menentukan penaksir dan statistik uji untuk mendapat faktor yang sig-nifikan dengan metode Bissell, Lenth, dan Fang.
2. Membandingkan fungsi power metode Bissell, Lenth, dan Fang dalam meng-identifikasi faktor yang signifikan dari rancangan faktorial fraksional 2k tanpa pengulangan pada kasus permainan golf.
3. Membandingkan fungsi power metode Bissell, Lenth, dan Fang dalam meng-identifikasi faktor yang signifikan dari rancangan faktorial fraksional 3k tanpa pengulangan pada kasus pembakaran pada boiler.
1.4 Manfaat Penelitian
Manfaat dari penelitian ini adalah:
1. Menambah wawasan keilmuan menyangkut masalah penaksiran efek faktor pada rancangan faktorial fraksional tanpa pengulangan
2. Untuk memberikan alat analisis dalam menetapkan faktor yang signifikan dalam eksperimen rancangan faktorial fraksional tanpa pengulangan.
1.5 Batasan Permasalahan
Karena keterbatasan waktu dan mengacu pada rumusan masalah, peneli-tian ini dibatasi pada masalah pengidentifikasian faktor yang signifikan rancangan faktorial fraksional dua level dan tiga level.
TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Model Linier
Diberikan variabel respon y dari rancangan faktorial fraksional yang penga-matannya dilakukan tanpa pengulangan untuk tiap kombinasi perlakuan, dan x1, x2, . . . , xk, variabel input yang berkaitan dengan faktor independen. Hubungan antara variabel-variabel tersebut dapat digambarkan dalam persamaan berikut:
y = β0+ β1x1+ β2x2+ · · · + βkxk+ (2.1) Jika dilakukan pengamatan sebanyak n kali, maka persamaan (2.1) menjadi:
yi = β0+ β1x1i+ β2x2i+ · · · + βkxki+ i ; i = 1, 2, · · · , n Model terakhir ini dapat dituliskan dalam model linear, sebagai berikut:
y = Xβ + (2.2)
dimana;
y = [y1 y2 · · · yn]T adalah vektor pengamatan berukuran n × 1, β = [β0 β1 β2 · · · βk]T adalah vektor dari parameter
X adalah matriks berukuran n × (k + 1), dan
= [1 2 · · · n]T adalah vektor error berukuran n × 1 dan berdistribusi Nn(0, σ2I). Persamaan (2.2) dapat dituliskan dalam bentuk sebagai berikut:
y1 y2 .. . yn = 1 x11 x21 · · · xk1 1 x12 x22 · · · xk2 .. . ... ... . .. ... 1 x1n x2n · · · xkn β0 β1 .. . βk + 1 2 .. . n 2.1.1 Estimasi Kontras
Pada analisis variansi dua arah rancangan faktorial fraksional dua faktor tanpa pengulangan dengan model sebagai berikut:
yij = µ + τi+ θj + ij; i = 1, 2; j = 1, 2 (2.3) 4
dengan syarat τ1+ τ2 = 0 ⇒ τ1 = −τ2 dan θ1+ θ2 = 0 ⇒ θ1 = −θ2.
Model tersebut juga dapat dituliskan dalam bentuk persamaan regresi linier, yaitu
yi = β0 + β1x1+ β2x2+ i; i = 1, 2, 3, 4 (2.4) untuk x1 bernilai (−1, +1) dan x2 bernilai (−1, +1).
Keterkaitan antara kedua model tersebut dalam menetapkan kontras untuk pe-naksir efek faktor dapat ditunjukkan sebagai berikut.
Dari syarat τ1 = −τ2 dan θ1 = −θ2 serta nilai dari x1(−1, +1), dan x2(−1, +1), selanjutnya y11= µ + τ1+ θ1+ 11 y12= µ + τ1 − θ1+ 12 y21= µ − τ1+ θ1+ 21 y22 = µ − τ1− θ1+ 22 dan y1 = β0+ β1+ β2+ 1 y2 = β0+ β1 − β2+ 2 y1 = β0− β1+ β2+ 3 y1 = β0− β1− β2+ 4 karena (2.3) dan (2.4) ekuivalen, maka
y11 = y1 ⇒ µ + τ1+ θ1 = β0 + β1+ β2 (2.5) y12 = y2 ⇒ µ + τ1− θ1 = β0+ β1− β2 (2.6) y21 = y1 ⇒ µ − τ1+ θ1 = β0− β1+ β2 (2.7) y22 = y1 ⇒ µ − τ1− θ1 = β0− β1− β2 (2.8) Persamaan (2.5) dan (2.6) dijumlahkan
µ + τ1+ θ1 = β0+ β1+ β2 µ + τ1− θ1 = β0+ β1− β2
+
2µ + 2τ1 = 2β0+ 2β1 (2.9)
Persamaan (2.5) dan (2.7) dijumlahkan µ + τ1+ θ1 = β0+ β1+ β2 µ − τ1+ θ1 = β0− β1 + β2
+
Persamaan (2.6) dan (2.7) dijumlahkan µ + τ1− θ1 = β0+ β1− β2 µ − τ1+ θ1 = β0− β1 + β2
+
2µ = 2β0 ⇒ µ = β0 (2.11)
Selanjutnya, dengan mensubtitusikan persamaan (2.11) ke persamaan (2.9) dan (2.10), diperoleh
τ1 = β1 dan θ1 = β2
Dengan demikian, menaksir parameter-paramter pada model anova adalah sama dengan melakukan penaksiran parameter-parameter pada model regresi.
Estimasi kontras dari model pada persamaan (2.2), yaitu:
y = Xβ +
dapat diperoleh dengan menggunakan metode kuadrat terkecil (Ordinary Least Square Method ), yaitu dengan mengambil turunan pertama dari jumlah kuadrat error terhadap β dan menyamakannya dengan nol yang dijelaskan sebagai berikut:
y = Xβ + = y − Xβ
L = T = (y − Xβ)T(y − Xβ) (2.12) persamaan (2.12) merupakan jumlah kuadrat error. Selanjutnya, ambil turunan pertama dari L terhadap β
∂L ∂β = −2X T(y − Xβ) = −2XTy + 2XTXβ ∂L ∂β = 0 ⇒ −2X Ty + 2XTXβ = 0 XTXβ = XTy b β = (XTX)−1XTy (2.13)
dengan syarat XTX tidak singular, diperoleh bβ = (XTX)−1XTy yang merupakan penaksir dari β.
2.1.2 Distribusi dari bβ a. Ekspektasi bβ
Dari hasil sebelumnya, penaksir dari β adalah bβ = (XTX)−1XTy. Untuk menentukan apakah estimasi dari β bias atau tidak, dilakukan dengan langkah-langkah sebagai berikut
E(bβ) = E{(XTX)−1XTy}
= E{(XTX)−1XT(Xβ + )}
= E{(XTX)−1XTXβ + (XTX)−1XT)} Karena (XTX)−1XTX = I dan E() = 0, maka
E(bβ) = β
Karena E(bβ) = β, maka bβ merupakan estimator tak bias dari β b. Varians bβ V ar(bβ) = V ar{(XTX)−1XTy} = {(XTX)−1XT}V ar(y){(XTX)−1 XT}T = {(XTX)−1XT}σ2I{(XTX)−1 XT}T = σ2{(XTX)−1 XT}{(XTX)−1 XT}T = σ2{(XTX)−1 XTX(XTX)−1} Karena (XTX)−1XTX = I, maka V ar(bβ) = σ2(XTX)−1.
Oleh karena bβ merupakan kombinasi linear dari y1, y2, . . . , yn yang berdistribusi normal, sehingga distribusi dari bβ adalah
b
2.1.3 Penaksir bσ2
Selanjutnya, untuk menentukan M SE, diketahui
b y = Xbβ dan b = (y −y)b SSE = (y −y)b T(y − b y) = (y − Xbβ)T(y − Xbβ) = yTy − yTXbβ − bβTXTy + bβTXTXbβ
karena βTXTy adalah skalar, dan transposnya, (βTXTy)T = yTXbβ juga meru-pakan suatu skalar, dan
XTy = XTXbβ maka SSE = yTy − 2bβ T XTy + bβTXTXbβ = yTy − 2bβTXTy + bβTXTy = yTy − bβTXTy
dengan demikian jumlah kuadrat error adalah SSE = yTy − bβ T XTy (2.15) Dari persamaan (2.13), b β = (XTX)−1XTy Xbβ = X(XTX)−1XTy andaikan matriks X(XTX)−1XT = P dan I
n− P simetri dan idempoten, maka Xbβ = Py, sehingga
y − Xbβ = (In− P)y karena SSE = (y − Xbβ)T(y − Xbβ), maka
SSE = ((In− P)y)T((In− P)y) = yT(In− P)T(In− P)y
= yT(In− P)y
karena PXbβ = Xbβ dan E(yT(In− P)y) = tr((In− P)Σ + µT(In− P)µ) dengan demikian diperoleh
E(SSE) = E(yT(In− P)y)
= σ2Itr(In− P) + (Xβ)T(In− P)Xβ E(SSE) = σ2(n − p)
sehingga, suatu estimator tak bias dari σ2 diberikan sebagai berikut ˆ σ2 = SSE n − p M SE = SSE df = (y − Xbβ) T(y − Xbβ) n − p 2.1.4 Pengujian Hipotesis
Untuk mengetahui faktor-faktor yang signifikan, tentunya perlu dilakukan pengujian hipotesis. Pengujian koefisien regresi atau efek faktor dari suatu model anova dalam mempengaruhi variabel responnya, dapat dilakukan secara serentak dan satu persatu.
Pengujian secara serentak menggunakan uji sebagai berikut: 1. Hipotesis:
H0 : βi = 0; i = 1, 2, 3, . . . , k
H1 : Paling sedikit terdapat satuβi 6= 0
2. Statistik uji yang berkaitan adalah
Fhitung = M SR M SE
3. Berkaitan dengan keputusan yang diambil, diberikan Daerah penolakan Tolak H0jika Fhitung > Fv1,v2;α, untuk v1sebagai derajat bebas untuk faktor
Sedangkan untuk menguji apakah suatu faktor atau koefisien regresi secara indi-vidu berpengaruh secara nyata atau tidak terhadap variabel repsonnya, dilakukan dengan menggunakan uji t sebagai berikut:
1. Hipotesis:
H0 : βi = 0; i = 1, 2, 3, . . . , k H1 : βi 6= 0
2. Statistik uji yang berkaitan adalah
thitung = b βi se(bβi)
3. Berkaitan dengan keputusan yang diambil, diberikan Daerah penolakan Tolak H0 jika |thitung| > tα/2,db.
2.2 Rancangan Fraksional Faktorial
Dalam suatu eksperimen, rancangan faktorial adalah suatu rancangan yang mengikutkan seluruh kombinasi perlakuan dari k faktor atau variabel input. Apa-bila jumlah dari k faktor ini cukup besar, maka akan berakibat pada besarnya jumlah kombinasi perlakuan yang akan dilakukan, dan ini tidak cukup efisien. Rancangan yang sering digunakan untuk menanggulangi hal tersebut, adalah dengan menggunakan rancangan faktorial fraksional dalam rangka menurunkan jumlah kombinasi perlakuan, dan beberapa diantaranya dilakukan tanpa peng-ulangan.
2.3 Fraksional Faktorial Dua-Level, 2k−p
Secara umum, notasi yang digunakan dalam rancangan faktorial fraksional mengikuti notasi yang digunakan dalam rancangan faktorial.
Untuk keperluan interpretasi hasil dari eksperimen, akan dijelaskan beber-apa pengertian yang berkaitan dengan penyusunan rancangan eksperimen fakto-rial fraksional.
Tabel 2.1: Susunan Rancangan Faktorial 23 Kontras
Kombinasi Perlakuan I A B AB C AC BC ABC
(1) + – – + – + + – a + + – – – – + + b + – + – – + – + ab + + + + – – – – c + – – + + – – + ac + + – – + + – – bc + – + – + – + – abc + + + + + + + +
a. One-Half Fractional dari Rancangan 2k
Andaikan eksperimen dengan tiga faktor, masing-masing terdiri atas dua level. Karena suatu kondisi, hanya sebagian kombinasi perlakuan yang dapat dilakukan dalam eksperimen, yaitu empat dari delapan kombinasi perlakuan.
Tabel 2.2: Susunan Rancangan Faktorial 23−1 Kontras
Kombinasi Perlakuan I A B AB C AC BC ABC
a + + – – – – + + b + – + – – + – + c + – – + + – – + abc + + + + + + + + ab + + + + – – – – ac + + – – + + – – bc + – + – + – + – (1) + – – + – + + –
Pada Tabel 2.1, jika dipisahkan interaksi tingkat tingginya, berdasarkan tanda plus dan minusnya, maka akan terbentuk dua kelompok kontras yang masing-masing terdiri dari empat kombinasi perlakuan, sebagaimana yang ditunjukkan pada Tabel 2.2. Dimana, kolom kontras berkaitan dengan efek faktor, sedangkan kolom I mewakili mean total untuk pengamatan dan disebut kolom identitas dan −ABC dan +ABC disebut generator atau defining relation.
b. Estimasi Efek Perlakuan
Karena hanya akan dilakukan pengamatan sebanyak 23−1 = 4 kombinasi perlakuan, maka akan terdapat d.fT otal = 4−1 = 3 derajat bebas untuk menaksir efek faktor. Estimasi efek didasarkan pada koefisien kontras. sebagai contoh, dari Tabel 2.2 untuk defining relation positif, I = ABC. Namun sebelum menentukan penaksir efek dari masing-masing faktor terlebih dahulu akan ditentukan kontras untuk masing-masing faktor, baik faktor utama maupun faktor interaksinya.
KontrasA = CA= (a − b − c + abc) KontrasB = CB = (−a + b − c + abc)
.. .
KontrasBC = CBC = (a − b − c + abc)
Dari kontras tiap faktor tersebut kemudian dapat ditentukan penaksir efek dari masing-masing faktor, sebagai berikut ini,
• Estimasi efek utama,
b A = 1 23−2CA= 1 2(a − b − c + abc) b B = 1 23−2CB = 1 2(−a + b − c + abc) b C = 1 23−2CC = 1 2(−a − b + c + abc) • Estimasi efek interaksi dua faktor,
d BC = 1 23−2CA= 1 2(a − b − c + abc) d AC = 1 23−2CB= 1 2(−a + b − c + abc) d AB = 1 23−2CC = 1 2(−a − b + c + abc)
Dari Penaksir efek di atas, nampak bahwa penaksir efek utama A dan interaksi BC, B dengan interaksi AC, dan C dengan interaksi AB adalah sama, sehingga tidak mungkin untuk menyatakan ada perbedaan antara A dan BC,
B dan AC, dan C dan AB. Oleh karena itu, A disebut alias dengan BC, atau dibaurkan (confounded ), demikian halnya dengan B alias dengan AC, dan C alias dengan AB.
c. Alias dan Kombinasi Linear dari Efek Faktor
Struktur alias untuk rancangan faktorial fraksional dapat diperoleh melalui defining relation. Dalam contoh sebelumnya, rancangan 23 dengan a, b, c dan abc sebagai kombinasi perlakuan yang diamati dan I = ABC didefinisikan sebagai defining relation
Untuk mendapatkan alias dari suatu efek dapat dilakukan dengan menga-likan kolom dari suatu efek tertentu dari matriks rancangan dengan defining relation, akan diperoleh alias untuk efek tersebut. Sebagai contoh, untuk men-dapatkan alias untuk AB, kalikan AB dengan I = ABC, maka:
AB.I = AB.ABC = A2B2C = C d. Jenis Khusus Rancangan Fraksional Faktorial 2k
Rancangan faktorial fraksional dibagi dalam beberapa jenis, yaitu
(i) Rancangan resolusi III, dimana tidak ada efek utama yang dibaurkan deng-an efek utama ydeng-ang lainnya, tapi efek utama dibaurkdeng-an dengdeng-an interaksi dua faktor. sebagai contoh 23−1 rancangan resolusi III.
(ii) Rancangan resolusi IV, dimana tidak ada efek utama yang dibaurkan dengan efek utama yang lain atau efek interaksi dua faktor, tapi interaksi dua faktor dibaurkan dengan sesamanya. Contoh 24−1 rancangan resolusi IV.
(iii) Rancangan resolusi V, dimana tidak ada efek utama atau interaksi dua faktor yang dibaurkan efek faktor utama dan interaksi dua faktor yang lainnya. Tapi interaksi dua faktor dibaurkan dengan interaksi tiga faktor. Contoh 25−1 rancangan resolusi V.
Secara umum, suatu rancangan resolusi R adalah keadaan dimana tidak ada efek faktor p yang dibaurkan dengan efek lainnya yang memuat kurang lebih R − p faktor. Untuk mengidentifikasi resolusi dari rancangan faktorial fraksional, digunakan angka romawi sebagai indeks.
2.3.1 Identifikasi Struktur Alias
Box dan Wilson (1951), Bisgaard (1991) menunjukkan bahwa konsep alias didasarkan pada struktur kelompok antara kolom-kolom ekuivalen yang memung-kinkan adanya penyimpangan dari penaksir kuadrat terkecil dari efek utama yang muncul akibat dari dihilangkannya efek interaksi tingkat tinggi.
Selanjutnya, struktur alias dari rancangan dapat diperoleh dengan meng-gunakan defining relation. Misalkan, rancangan faktorial fraksional 23, dengan faktor-faktornya A, B, dan C. Defining relation dari rancangan tersebut adalah interaksi tingkat tingginya yaitu, ABC, dengan mengalikan setiap faktor utama dengan ABC dan faktor interaksi, maka akan diperoleh faktor yang akan di-ikutkan dalam perhitungan selanjutnya dan struktur alias dari faktor tersebut. Akan tetapi, metode penentuan struktur alias dengan menggunakan defining re-lation hanya dapat bekerja dengan baik pada rancangan yang sederhana, dan tidak dapat digunakan pada rancangan yang kompleks, seperti irregular fraction dan partial fold-over design. Lebih lanjut, terdapat beberapa rancangan fakto-rial fraksional yang tidak mempunyai defining relation, seperti Plackett-Burman designs, sedemikian hingga metode ini, tidak mungkin untuk digunakan.
Dalam suplemen buku Design and Analysis of Experiment, Montgomery (2005) mengemukakan bahwa, terdapat suatu metode yang secara umum da-pat bekerja dengan baik dalam banyak keadaan. Metode tersebut menggunakan polynomial atau model regresi yang merupakan representasi dari model. Se-cara formal, faktor yang diikutkan dalam penelitian adalah β1 dan X1 matriks rancangan yang berkaitan dengan β1. Diberikan model linear sebagai berikut ;
dimana y vektor respon n × 1, X1 matriks berukuran n × p1 yang memuat rancangan matriks yang telah diperluas pada model yang ditetapkan oleh peneliti berdasarkan faktor yang dipilih, β1 vektor dari parameter model berukuran p1×1, dan vektor error. Diketahui taksiran dari β1 adalah
b
β1 = (XT1X1)−1XT1y
Andaikan model lengkapnya adalah
y = X1β1+ X2β2+
dimana X2 matriks berukuran n×p2 yang memuat variabel tambahan yang tidak diikutkan dalam model dan β2 vektor berukuran p2 × 1 dari parameter yang berkaitan dengan variabel yang terpilih. Struktur aliasnya dapat ditunjukkan sebagai berikut: b β1 = (XT1X1)−1X1y E(bβ1) = E{(XT1X1)−1X1y} = (XT1X1)−1X1E(y) = (XT1X1)−1X1E(X1β1+ X2β2+ ) = (XT1X1)−1X1E(X1β1) + (X T 1X1)−1XE(X2β2) + (X T 1X1)−1X1E() = (XT1X1)−1X1X1β1+ (XT1X1)−1X1X2β2+ 0 = β1+ (XT1X1)−1X1X2β2 E(bβ1) = β1+ (XT1X1)−1(XT1X2)β2
Ambil (XT1X1)−1(XT1X2) = A, selanjutnya persamaan di atas menjadi E(bβ1) = β1+ Aβ2
dengan A disebut matriks alias.
Contoh penerapannya, pada Tabel 2.2 diberikan rancangan faktorial frak-sional 23−1, dengan I = ABC atau I = x1x2x3 sebagai defining relation, dengan mengacu pada persamaan (2.2), bahwa model yang hanya memperhatikan faktor
utama, dapat dinyatakan sebagai berikut:
y = β0+ β1x1+ β2x2+ β3x3+
dimana x1 merupakan komponen kolom faktor A, x2 komponen kolom faktor B, dan x3 komponen kolom faktor C yang dinyatakan dalam bentuk matriks X1. Model diatas dapat dinyatakan
β1 = β0 β1 β2 β3 , dan X1 = 1 −1 −1 1 1 1 −1 −1 1 −1 1 −1 1 1 1 1
Andaikan bahwa, model yang sebenarnya memuat seluruh interkasi dua faktor, sedemikian hingga modelnya adalah
y = β0+ β1x1+β2x2+ β3x3+ β12x1x2+ β13x1x3+ β23x2x3+ (2.16) dan untuk bagian interaksi dua faktor dari persamaan (2.16), dimana x1x2, x1x2, dan x2x3 berturut menyatakan komponen kolom faktor AB, AC, dan BC, yang dinyatakan dalam bentuk matriks X2, yaitu
β2 = β12 β13 β23 , dan X2 = 1 −1 −1 −1 −1 1 −1 1 −1 1 1 1 .
Selanjutnya, diketahui bahwa
(XT1X1)−1 = 1 4I dan X T 1X2 = 0 0 0 0 0 4 0 4 0 4 0 0 Oleh karena itu,
E b β0 b β1 b β2 b β3 = β0 β1 β2 β3 +1 4 0 0 0 0 0 4 0 4 0 4 0 0 β12 β13 β23 = β0 β1+ β23 β2+ β13 β3+ β12
2.4 Fraksional Faktorial Tiga-Level
Konsep rancangan faktorial fraksional dua level dapat diperluas menjadi rancangan faktorial fraksional tiga-level. Bagian terbesar dari faktorial frak-sional 3k adalah rancangan faktorial fraksional 3k−1, rancangan dibagi ke dalam tiga blok, dimana tiap blok dapat dipilih sebagai rancangan yang akan digunakan. Jika Aα1Bα2Cα3· · · Kαk merupakan komponen interaksi yang akan digunakan
un-tuk mendefinisikan blok, maka I = Aα1Bα2Cα3· · · Kαk disebut defining relation
dari rancangan faktorial fraksional. Tiap estimasi efek utama atau efek interaksi mempunyai dua alias yang dapat diperoleh dengan mengalikan efek dengan I dan I2 modulo 3.
Secara umum, untuk melakukan pembauran dalam rancangan 3k diberikan suatu prosedur umum untuk mengkonstruksi suatu defining contrast, yaitu:
L = α1x1+ α2x2+ · · · + αkxk mod(3)
dimana αi pangkat dari faktor ke i dalam efek yang akan dibaurkan dan xi level dari faktor ke i dalam tiap kombinasi perlakuan.
a. One-third fraction dari Rancangan 3k
Andaikan rancangan faktorial 33 yang faktor-faktornya A, B dan C, masing-masing terdiri dari tiga level. Karena suatu kondisi, hanya sebagian kombinasi perlakuan yang dapat dilakukan, maka akan terbentuk empat kelompok kon-tras yang masing-masing terdiri dari delapan kombinasi perlakuan, sebagaimana ditunjukkan dalam Tabel 2.3. Sebagaimana pada rancangan faktorial fraksional
dua level, interaksi tingkat tinggi yaitu, ABC, AB2C, ABC2, AB2C2, selanjutnya disebut defining relation
b. Estimasi Efek Perlakuan
Karena hanya akan dilakukan pengamatan sebanyak 34−1 = 27 kombinasi perlakuan, maka akan terdapat d.ftotal = 27 − 1 = 26 derajat bebas untuk menaksir efek faktor. Estimasi efek didasarkan pada kontras dari tiap faktor dan untuk menentukannya digunakan metode yates sebagaimana dijelaskan berikut:
1. Kombinasi perlakuan dituliskan berdasarkan kolom dengan urutan standar 2. Keseluruhan pengamatan ditempatkan dibawah kolom respon dengan urutan
kombinasi perlakuan 3. Kolom satu dihitung dari
(a) Tiga baris pertama memuat jumlah dari ketiga kombinasi perlakuan tersebut, yaitu 00, 10, 20
(b) Tiga baris kedua diperoleh dengan minus dari kombinasi perlakuan pertama ditambahkan dengan kombinasi perlakuan ketiga pada tiap-tiap kelompok kombinasi perlakuan
(c) Tiga baris ketiga diperoleh dengan kombinasi perlakuan pertama diku-rangi dengan dua kali kombinasi perlakuan ketiga dari ketiga kelompok pengamatan
(d) Kolom kedua (2) dihitung dengan cara yang sama pada kolom satu (1) dengan menggunakan kolom (1) sebagai acuan.
c. Alias dan Kombinasi Linear dari Efek
Untuk mendapatkan alias dari suatu efek dapat dilakukan dengan menga-likan kolom dari suatu efek tertentu dari matriks rancangan dengan defining re-lation. Sebagai contoh, untuk mendapatkan alias dari faktor yang diperhatikan, dapat dilakukan dengan memilih sembarang komponen dari interaksi ABC untuk
Tabel 2.3: Algoritma Yate untuk Rancangan 32
Pembagi Run Respon (1) (2) Efek 2r3tn JK
00 y1 h1 = y1+ y2+ y3 h1+ h2+ h3 10 y2 h2 = y4+ y5+ y6 h4+ h5+ h6 AL 21× 31× 4 20 y3 h3 = y7+ y8+ y9 h7+ h8+ h9 AQ 21× 32× 4 01 y4 h4 = −y1+ y3 −h1+ h2 BL 21× 32× 4 11 y5 h5 = −y4+ y6 −h4+ h4 ABL×L 22× 30× 4 21 y6 h6 = −y7+ y9 −h7+ h9 ABQ×L 22× 31× 4 02 y7 h7 = y1− 2(y2) + y3 h1− 2(h2) + h3 BQ 21× 32× 4 12 y8 h8 = y4− 2(y5) + y6 h4− 2(h5) + h6 ABL×Q 22× 31× 4 22 y9 h9 = y7− 2(y8) + y8 h7− 2(h8) + h9 ABQ×A 22× 32× 4
mengkontruksi rancangan, yaitu ABC, AB2C, ABC2 atau AB2C2. Selanjutnya, akan terdapat 12 perbedaan one-third fraction dari rancangan 33 yang didefini-sikan dengan
α1x1+ α2x2 + α3x3 = u(mod 3)
dimana α = 1 atau 2 dan u = 0, 1 atau 2. Andaikan dipilih komponen AB2C2, masing-masing bagian yang dihasilkan rancangan 33−1akan memuat dengan tepat 32 = 9 kombinasi perlakuan yang memenuhi
x1+ 2x2+ 2x3 = u(mod 3)
dimana u = 0, 1 atau 2, dan struktur alias yang dihasilkan adalah A = A(AB2C2) = A2B2C2 = ABC A = A(AB2C2)2 = A3B4C4 = BC B = B(AB2C2) = AB3C2 = AC2 B = B(AB2C2)2 = A2B5C4 = ABC2 C = C(AB2C2) = AB2C3 = AB2 C = C(AB2C2)2 = A2B4C5 = AB2 AB = AB(AB2C2) = A2B3C2 = AC AB = AB(AB2C2)2 = A3B5C4 = BC2
2.4.1 Identifikasi Struktur Alias
Sebagaimana yang telah diuraikan pada bagian 2.3 tentang metode umum untuk mendapatkan struktur alias yang berkaitan dengan rancangan faktorial fraksional dua level, metode tersebut juga dapat diterapkan pada rancangan fak-torial fraksional tiga level.
Contoh penerapannya, diberikan rancangan faktorial fraksional 32, andikan model yang akan diuji dengan faktor-faktornya adalah
y = β0+ β1x1+ β2x2+ β12x1x2+ β11(x21− ¯x 2
1) + β22(x22− ¯x 2 2) +
Model tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk vektor β1 dan matriks X1sebagai berikut β1 = β0 β1 β2 β12 β11 β22 , dan X1 = 1 −1 −1 1 1/3 1/3 1 −1 0 0 1/3 −2/3 1 −1 1 −1 1/3 1/3 1 0 −1 0 −2/3 1/3 1 0 0 0 −2/3 −2/3 1 0 1 0 −2/3 1/3 1 1 −1 −1 1/3 1/3 1 1 0 0 1/3 −2/3 1 1 1 1 1/3 1/3 Andaikan model lengkapnya adalah
y = β0+ β1x1+ β2x2+ β12x1x2+ β12(x21− ¯x 2 1) + β22(x22− ¯x 2 2) + β111x21+ β222x22+ β122x1x22+ dengan X2 = 1 −1 −1 1 −1 0 1 −1 −1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 −1 1 1 −1 0 1 −1 1 , β2 = β111 β222 β122
XT1X1 = 9 0 0 0 0 0 0 6 0 0 0 0 0 0 6 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 2 dan XT1X2 = 0 0 0 6 0 4 0 6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Oleh karena itu, nilai ekspektasi dari parameter model adalah
E(bβ) = β + (XT1X1)−1XT1X2β2 E b β0 b β1 b β2 b β12 b β11 b β22 = β0 β1 β2 β12 β11 β22 + 9 0 0 0 0 0 0 6 0 0 0 0 0 0 6 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 2 −1 0 0 0 6 0 4 0 6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 β111 β222 β122
Diperoleh matriks alias sebagai berikut
A = 0 0 0 1 0 2/3 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Matrix A di atas bermakna
E( bβ0) = β0 E( bβ1) = β1+ β111+ (2/3)β122 E( bβ2) = β2+ β222 E( bβ12) = β12 E( bβ11) = β11 E( bβ22) = β22
2.5 Beberapa Definisi dan Teorema Berkaitan dengan Pembahasan Untuk memberikan arah pada bagian pembahasan dipandang perlu untuk menurunkan beberapa definisi dan teorema yang berkaitan dengannya, sebagai berikut:
Definisi 2.1 (Power).
Peluang menolak H0 ketika H1 benar disebut power uji, dituliskan sebagai: 1 − β = P (Tolak H0|H1 Benar)
Definisi 2.2 (Distribusi t). Jika Z ∼ N (0, 1) dan U ∼ χ2
n, dimana kedua adalah independen, maka distribusi Z
√
U/n dikatakan berdistribusi t dengan derajat bebas n Definisi 2.3 (Distribusi χ2).
Jika Z ∼ N (0, 1) dan jika U = Z2, maka U berdistribusi chi-kuadrat dengan derajat bebas 1. Jika U1, U2, . . . , Un adalah variabel random yang berdistribusi chi-kuadrat dengan derajat bebas 1, maka V =Pn
i=1Ui berdistribusi chi-kuadrat dengan derajat bebas n, dinyatakan dengan χ2
n
Beberapa sifat-sifat distribusi chi kuadrat 1. E(V ) = n dan V ar(V ) = 2n.
2. Jika X1, X2, . . . , Xnberdistribusi IIDN (µ, σ2) maka X1 −µ σ2 , . . . , Xn−µ σ2 adalah IIDN (0, 1), sehingga 1 σ2 n X i=1 (Xi− µ)2 ∼ χ2n Definisi 2.4 (Distribusi Nonsentral t).
Misalkan X berdistribusi normal dengan rata-rata ∆ dan varian 1, dan misalkan kS2 berdistribusi chi kuadrat dengan derajat bebas k. Andaikan bahwa X dan S2saling bebas. Distribusi dari t
k(∆) = XS disebut distribusi noncentral t dengan derajat bebas k dan parameter noncentral ∆, dituliskan
P (−∞ ≤ tk(∆) ≤ 0) = Φ(−∆),
dimana Φ(.) merupakan distribusi normal. Selanjutnya, untuk sembarang nilai, dimana t > 0, untuk P (0 < tk(∆) ≤ t), fungsi distribusi dari tk(∆) dituliskan sebagai berikut
= Φ(−∆) + 1 2 ∞ X i=1 PiIx i + 1 2, n 2 + √∆ 2QiIx i + 1,n 2 , dimana, Ix(a, b) menyatakan fungsi beta incomplete yaitu
Ix(a, b) = Γ(a + b) Γ(a)Γ(b) Z x 0 ta−1(1 − t)b−1dt, Pi = e−∆ 2/2 (∆2/2)i/i! dan Qi = e∆2/2 (∆2/2)2 Γ(i + 3/2)
Definisi 2.5 (Definisi Nonsentral χ2 ).
Misalkan X1, X2, . . . , Xn variabel random independen normal dengan rata-rata µi; i = 1, 2, . . . , n dan varian 1. Distribusi dari
n X
i=1
Xi2 berdistribusi chi kuadrat
dengan db = n dengan β = n X
i=1
µ2i sebagai parameter nonsentral, ditulis
g(x) = ∞ X i=0 eβ/2(β/2)i i! e−x/2xn/2+i−1 2n/2+iΓ(n/2 + i) ∼ χ 2 n, x > 0 (2.17) Dari persamaan (2.17) diberikan fungsi distribusi kumulatif dari chi kuadrat non-sentral sebagai berikut:
P (χ2n≤ x) = ∞ X i=0 e−β/2(β/2)i i! P (χ 2 n+2i ≤ x) = ∞ X i=0 e−β/2(β/2)i i! Ix/2(n/2 + i), (2.18) dimana Iy(a) = 1 Γ(a) Z y 0 exxa−1dx, a > 0, x > 0 merupakan ditribusi gamma tak lengkap
Teorema 2.1 (Wasserman).
Jika X1, X2, . . . , Xn berdistribusi IIDN (µ, σ2), maka (n − 1)S2
σ2 ∼ χ 2
n−1 (2.19)
Bukti. Dari persamaan (2.19), (n − 1)s2
diketahui bahwa s2 = 1 n−1
Pn
i=1(xi− ¯x)2, dengan mengalikan kedua ruas dengan (n − 1) dan membaginya dengan σ2, diperoleh
(n − 1)s2 σ2 = (n − 1)n−11 Pn i=1(xi− ¯x)2 σ2 = Pn i=1(xi− ¯x) 2 σ2 = Pn i=1(xi− µ + µ − ¯x) 2 σ2 = Pn i=1((xi− µ) − (¯x − µ))2 σ2 = n X i=1 (xi− µ) σ2 − (¯x − µ) σ2 2 . (2.20) Misalkan (xi− µ) σ2 = zi dan (¯x − µ)
σ2 = ¯z, persamaan (2.20) dapat ditulis n X i=1 (zi− ¯z)2. Selanjutnya n X i=1 xi− µ σ2 2 = n X i=1 xi− µ σ2 − ¯ x − µ σ2 + ¯ x − µ σ2 2
sebagaimana telah dinyatakan sebelumnya, persamaan di atas dapat dituliskan sebagai n X i=1 zi2 = n X i=1 (zi− ¯z + ¯z)2 = n X i=1 (zi− ¯z) + ¯z)2 = n X i=1 (zi− ¯z)2+ 2¯z n X i=1 (zi− ¯z) + n X i=1 ¯ z2 karena Pn i=1(zi− ¯z) = 0, maka = n X i=1 (zi− ¯z)2+ n X i=1 ¯ z2 = n X i=1 (zi− ¯z)2+ n¯z2 (2.21) dimanaPn
i=1(zi − ¯z)2 dan n¯z2 saling bebas. Fungsi pembangkit momen dari Pn
i=1z 2
i dapat dinyatakan dengan fungsi pem-bangkit momen dari persamaan (2.21), yaitu
MPn
i=1zi2(t) = M
Pn
diketahui bahwa MPn i=1(zi−¯z)2+n¯z2(t) = MPni=1(zi−¯z)2Mn¯z2(t) sehingga MPn i=1zi2(t) = M Pn
i=1(zi−¯z)2Mn¯z2(t), maka diperoleh
MPn i=1(zi−¯z)2 = MPn i=1zi2(t) Mn¯z2(t) . Diketahui bahwa Pn i=1z 2 i ∼ χn dengan mgf (1/(1 − 2t)) n 2. Demikian halnya
dengan ¯z ∼ N (0,1n), √k ¯z adalah normal standar, oleh karena itu (√n¯z)2 = n¯z2 berdistribusi χ2 1 dengan mgf (1/(1 − 2t)) 1 2. Karena itu MPn i=1(zi−¯z)2(t) = (1/(1 − 2t))n/2 (1/(1 − 2t))1/2 = 1 1 − 2t (n−1)/2 (2.22) Persamaan (2.22) merupakan fungsi pembangkit momen dari variabel random chi-kuadrat dengan derajat bebas n − 1, karena itu
n X
i=1
(xi− ¯x)2 berditribusi χ2n−1
Definisi 2.6 (Halaand dan O’Connell (1995)).
Diberikan efek penaksir dari suatu rancangan faktorial fraksional, penaksir yang berhubungan dengan hal tersebut dijelaskan dalam dua tahapan, yaitu:
i. Estimasi awal, s0, merupakanσb0 dari σ (selanjutnya digunakan simbol s0), didefinisikan sebagai berikut
s0(q) = a0(q) × kuantil{q : |bβi|; i = 1, 2, . . . , k} dimana;
|bβi|; i = 1, 2, . . . , k adalah nilai mutlak dari efek penaksir , bβ1, bβ2, · · · , bβk. kuantil{q : bβi} adalah kuantil ke q dari bβi dengan 0 < q < 1.
yang dihitung secara langsung dari bβ1, bβ2, · · · , bβk. ii. Estimasi akhir diperoleh dalam dua tahapan,
(a) Ukuran penaksir robust, selanjutnya dinyatakan sebagai Pseudo Stan-dart Error (PSE) yang dihitung setelah menghilangkan efek-efek yang besar dibanding s0, penaksir ini disebut, bσP SE, didefinisikan sebagai berikut
b
σP SE(q, b) = aP SE(q, b) × median{|bβi| : (|bβi| ≤ b × s0(q))}
dimana aP SE merupakan konstanta yang digunakan pada penaksir awal, q nilai yang diambil dari s0 dan b konstan yang diperoleh melalui simulasi
(b) Ukuran penaksir efisien, dihitung setelah menghilangkan efek yang besar dibanding s0, penaksir ini disebut, s1 yang didefinisikan sebagai berikut: b σs1(q, b) = as1 s l−1 X |bβi|≤b×s0(q) b β2i
dimana as1(q, b) merupakan konstanta yang digunakan pada penaksir
awal, l jumlah dari |bβi| ≤ b × s0(q), dan b nilai konstan yang diperoleh melalui simulasi.
METODOLOGI PENELITIAN
3.1 Bahan dan Alat
Bahan dan alat yang digunakan dalam penelitian ini adalah:
1. Jurnal dan buku referensi yang terkait dengan permasalahan di atas. 2. Software Minitab 14 dan software lain yang mendukung
3. Kasus yang akan digunakan adalah,
Pertama, Faktor-faktor yang mempengaruhi jarak yang ditempuh bola golf pada permainan golf dengan respon jarak tempuh dalam yard (diestimasi dengan langkah terdekat dari 100-yard), faktor-faktorya adalah Kemam-puan, Bola, Club, Lapangan, dan Tongkat. Kedua, Pembakaran pada Boiler, selengkapnya dapat dilihat pada Lampiran A
3.2 Metode Penelitian
Adapun langkah-langkah penelitian dapat disusun sebagai berikut: 1. Menaksir dan menentukan statistik uji untuk;
(a) Metode Bissell
i. Diberikan Model sebagai berikut:
y = Xβ + ε
ii. Menentukan mean square β
iii. Menentukan statistik uji dari metode Bissell
iv. Menentukan distribusi statistik uji dari metode Bissell v. Mencari nilai harapan dari statistik Bissell.
(b) Metode Lenth
i. Diberikan Model sebagai berikut: y = Xβ + ε ii. Menentukan penaksir efek dari model iii. Menentukan penaksir dari metode Lenth iv. Menentukan statistik uji dari metode Lenth (c) Metode Fang
i. Diberikan Model sebagai berikut: y = Xβ + ε ii. Menentukan penaksir efek dari model iii. Menentukan penaksir dari metode Fang iv. Menentukan statistik uji dari metode Fang
2. Menghitung fungsi power rancangan faksional faktorial 2k−p tanpa peng-ulangan untuk kasus permainan golf
(a) Menghitung fungsi power untuk metode Bissell, dengan langkah-langkah sebagai berikut
i. Diberikan model rancangan fraksional faktorial 2k−p, yaitu y = Xβ + ε
ii. Menghitung rata-rata kuadrat, iii. Menghitung nilai statistik Bk,
iv. Menghitung P (Bk < χ2α/2;(k−1)|H0 + P (Bk > χ21−α/2;(k−1)|H0) = α v. Menghitung P rob(Bk| > χ2k−1;α/2|H1) = δ,
(b) Menghitung fungsi power untuk metode Lenth, dengan langkah-langkah sebagai berikut:
i. Diberikan model rancangan fraksional faktorial 2k−p, yaitu
y = Xβ + ε
ii. Menghitung taksiran β,
iii. Menghitung s0, Pseudo Standar Error (PSE), iv. Menghitung tbσP SE,j
v. Menghitung P rob(|tσbP SE,i| > IERα|H0) = α, untuk i = 1, . . . , J .
vi. Menghitung P rob(|t b
σP SE,i| > IERα|H1) = δ, untuk i = 1, . . . , I.
(c) Menghitung fungsi power untuk metode Fang, dengan langkah-langkah sebagai berikut:
i. Diberikan model rancangan fraksional faktorial 2k−p, yaitu
y = Xβ + ε
ii. Menghitung taskiran β, iii. Menghitung s0,σbs1,
iv. Menghitung tbσs1,i v. Menghitung P rob(|t
b
σs1,i| > IERα|H0) = α, untuk i = 1, . . . , I. vi. Menghitung P rob(|t
b
σs1,i| > IERα|H1) = δ, untuk i = 1, . . . , I. 3. Menghitung fungsi power untuk rancangan faksional faktorial 3k−p,
langkah-langkah yang digunakan sama dengan pada rancangan fraksional faktorial 3k−p tanpa pengulangan untuk kasus pembakaran pada Boiler
(a) Menghitung fungsi power untuk metode Bissell, dengan langkah-langkah sebagai berikut
i. Diberikan model rancangan fraksional faktorial 2k−p, yaitu
y = Xβ + ε
iii. Menghitung nilai statistik Bk,
iv. Menghitung P (Bk < χ2α/2;(k−1)|H0 + P (Bk > χ
2
1−α/2;(k−1)|H0) = α v. Menghitung P rob(Bk| > χ2k−1;α/2|H1) = δ,
(b) Menghitung fungsi power untuk metode Lenth, dengan langkah seba-gai berikut:
i. Diberikan model rancangan fraksional faktorial 3k−p, yaitu
y = Xβ + ε
ii. Menghitung taksiran β,
iii. Menghitung s0,σbP SE (Pseudo Standar Error (PSE)), iv. Menghitung tbσP SE,i
v. Menghitung P rob(|tσbP SE,i| > IERα|H0) = α, untuk i = 1, . . . , I.
vi. Menghitung P rob(|t b
σP SE,i| > IERα|H1) = δ, untuk i = 1, . . . , I.
(c) Menghitung fungsi power untuk metode Fang, dengan langkah sebagai berikut:
i. Diberikan model rancangan fraksional faktorial 3k−p, yaitu
y = Xβ + ε
ii. Menghitung taksiran β. iii. Menghitung s0,σbs1,
iv. Menghitung tbσs1,i v. Menghitung P rob(|t
b
σs1,i| > IERα|Ho) = α, untuk i = 1, . . . , I. vi. Menghitung P rob(|t
b
PEMBAHASAN
4.1 Statistik uji dari Metode Bissell, Fang dan Lenth Serta Penaksirnya Pada bagian ini akan dijelaskan tiga metode yang akan memberikan statistik uji dalam mengidentifikasi apakah suatu faktor signifikan atau tidak.
4.1.1 Statistik Uji Metode Bissell dan Penaksirnya
Diberikan rancangan faktorial fraksionl berjumlah k faktor dengan β1, β2, β3, . . . , βk sebagai efek faktor dan R1, R2, R3, . . . , Rk rata-rata kuadrat yang saling bebas masing-masing mempunyai derajat bebas v.
Hipotesis yang akan diuji adalah
H0 : βi = 0 H1 : βi 6= 0; i = 1, 2, 3, . . . , k Selanjutnya, diketahui 1 σ2 k X i=1 (yi− ¯y)2 ∼ χ2k
dan untuk rata-rata kuadrat dari masing-masing faktor diberikan sebagai berikut
R = k X i=1 (yi− ¯y)2 v vR = k X i=1 (yi− ¯y)2
dengan mengalikan kedua ruas dari persamaan terakhir dengan 1
σ2, diperoleh vR σ2 = k X i=1 (yi− ¯y)2 σ2 Karena σ12 k X i=1
(yi − ¯y)2 berdistribusi chi kuadrat, maka σ12
Pk
i=1(yi − ¯y)2 juga berdistribusi chi kuadrat, akibatnya vR
σ2 juga berdistribusi chi kuadrat dengan 31
derajat bebas v. Dengan demikian untuk Ri i = 1, 2, 3 . . . k, yaitu vR1 σ2 ∼ χ 2 v; db = v vR2 σ2 ∼ χ 2 v; db = v .. . ... vRk σ2 ∼ χ 2 v; db = v Karena vR
σ2 berdistribusi chi kuadrat dengan derajat bebas v, maka dapat diny-atakan ekspektasi dan varian dari vR
σ2 berdasarkan definisi 2.3, yaitu E vR σ2 = v ⇒ v σ2E(R) = v E(R) = σ2 V ar vR σ2 = 2v ⇒ v 2 (σ2)2V ar(R) = 2v V ar(R) = 2(σ 2)2 v
Jika m merupakan faktor skala dari distribusi chi kuadrat, maka V ar(R) = 2m
2
v (4.1)
dan jika s2 merupakan penaksir variansi dari sampel, maka: (k − 1)s2
σ2 ∼ χ 2
k−1 (4.2)
dari persamaan (4.1) dan (4.2) diperoleh \ V ar(R) =bσ2 = 2m 2 v maka (k − 1)s2 b σ2 = (k − 1)s2 2m2/v = (k − 1)v 2 s m 2
yang selanjutnya dinyatakan sebagai nilai dari statistik Bissell, yaitu: Bk=
(k − 1)v 2 (s/m)
2. (4.3)
Karena persamaan (4.2) berdistribusi chi kuadrat, dan nilai statistik Bk dikon-struksi dari persamaan tersebut, maka dapat simpulkan bahwa
Bk=
(k − 1)v 2 (s/m)
2 ∼ χ2 k−1.
selanjutnya, dengan definisi (2.3) sifat 1, dapat dinyatakan estimasi dan variansi dari statistik bissell sebagai berikut
E(Bk) = k − 1
Untuk menentukan apakah suatu faktor signifikan atau tidak, diuji hipotesis dibawah H0 untuk setiap nilai Bk yang diperoleh, dengan kriteria
Tolak H0 jika
P (Bhitung < χ2α/2;k−1|H0) atau P (Bhitung > χ21−α/2,k−1|H0) dimana
α = P (Bk < χ2α/2;k−1|H0) + P (Bk> χ21−α,k−1|H0)
4.1.2 Penaksiran Parameter dengan Metode Lenth
Diberikan model rancangan faktorial fraksional untuk k variabel input y = Xβ +
masing-masing faktor terdiri dari dua level dan pada tiap-tiap kombinasi per-lakuan hanya dilakukan satu kali pengamatan, dengan kontras untuk tiap faktor, β1, β2, · · · , βk, dan penaksir yang berkaitan dengannya adalah bβ1, bβ2, · · · , bβk.
Hipotesis yang berkaitan dengan suatu faktor signifikan atau tidak dalam memberikan pengaruh terhadap variabel respon, dirumuskan sebagai berikut:
H0 : βi = 0
H1 : βi 6= 0; i = 1, 2, . . . , k
Untuk menguji hipotesis tersebut, sebelum mengkonstruksi statistik uji terlebih dahulu ditentukan penaksir. Dalam metode Lenth, dikemukakan dua bentuk penaksir untuk mengidentifikasi kontras yang signifikan, yaitu penaksir awal dan penaksir akhir. Untuk keperluan tersebut, digunakan definisi yang dikemukakan oleh Halaand dan O’Connell (1995) sebagaimana dituliskan pada definisi 2.6. Dari definisi 2.6, diketahui
a0(q) = 1 Φ−10 (q)
dimana
Φ−10 (q) = Φ−1 q + 1 2
dan Φ adalah fungsi distribusi kumulatif dari distribusi normal standar. a. Estimasi Awal, s0
Dengan menggunakan definisi tersebut, dapat diperoleh penaksir awal, s0, dari metode Lenth sebagi berikut:
Andaikan ambil nilai q = 0, 5, maka
s0(0, 5) = a0(0, 5) × median{q : |bβi|} selanjutnya a0(0, 5) = 1 Φ−10 (0, 5) diketahui Φ−10 (q) = Φ−1 q + 1 2 Φ−10 (0, 5) = Φ−1 0, 5 + 1 2 Φ−1 0, 5 + 1 2 = z Φ−1(0, 75) = z z = 0, 6745 a0(0, 5) = 1 0, 6745 = 1, 4825797 ≈ 1, 5
Dengan demikian penaksir awal dari metode Lenth adalah
s0 = 1, 5 × median{ b|βi|}; i = 1, 2, . . . , k b. Estimasi Akhir, (Pseudo Standart Error (P SE))
Untuk mendapatkan estimator akhir dari metode Lenth, langkah selanjut-nya adalah menentukan nilai aP SE(q, b) dan b. Untuk nilai q diambil dari nilai q yang digunakan pada s0, sedangkan nilai b ditentukan dari simulasi. Namun,
pada bagian ini, penulis tidak akan melakukan simulasi untuk menentukan nilai tersebut, akan tetapi, penulis akan menggunakan nilai tersebut berdasarkan simu-lasi yang telah dilakukan oleh Haaland dan O’Connell (1995), yaitu 2, 5 sehingga penaksir akhir dari metode Lenth diperoleh
b
σP SE = 1, 5 × median |bβi|<2,5s0
|bβi|; i = 1, 2, . . . , k (4.4) Selanjutnya akan dikonstruksi suatu statistik uji, dimana diketahui distribusi dari b
β, sebagaimana yang diberikan pada persamaan (2.14), yaitu b
β ∼ N (β, σ2(XTX)−1) Pengujian hipotesis dibawah H0
b βi
se(β) ∼ tk; i = 1, 2, 3, . . . , k (4.5) dengan persamaan 4.4 sebagai estimasi varian metode lenth, sedemikian hingga statistik uji sebagaimana diberikan pada persamaan (4.5) menjadi
t b σpse = |bβi| b σP SE ; i = 1, 2, 3, . . . , k
sebagai statistik uji metode Lenth
c. Batas Kesalahan (Margin Error (ME))
Untuk menentukan batas kesalahan dari metode Lenth, yaitu M E, terlebih dahulu ditentukan nilai kritis berdasar pemilihan α dan jumlah k.
Hipotesis
H0 : βi = 0; i = 1, 2, · · · , k H1 : βi 6= 0
Untuk nilai kritis c = c(k, α), sehingga
α = P (|t| ≥ c(k, α)|H0)
atau
Kasus k cukup besar P {tk ≤ c|H0} . = |bβ| b σP SE ≤ c; i = 1, · · · , k|H0 (4.6) = [Φ(c) − Φ(−c)]k = [2(Φ(c) − 12)]k dimana Φ(k) = √1 2π Z k −∞ e−u2/2du Didefinisikan c∗ = c(k, α) dengan : 1 − α = 2 Φ(c∗(k, α)) − 12 k dengan c∗(k, α) = Φ−1 1 2 + (1−α)1/k 2 (4.7) Dari persamaan (4.6), dengan memilih k dan α untuk suatu nilai c, diperoleh
P ( |bβi| b σP SE < tα/2; d) = 1 − α P (|bβi| <bσP SE× tα/2; d) = 1 − α (4.8) Untuk α = 0, 05 P (|bβi| <bσP SE× t0,025; d) = 0, 95 untuk d = k3, sedemikian hingga σ2
P SE× t0,025;d merupakan batas kesalahan (mar-gin of error ) ditulis
M E =bσP SE× t0,025, d (4.9)
dimana, nilai 0,025 merupakan kuantil ke 0,975 dari distribusi t dan dengan demikian interval kepercayaan untuk metode Lenth adalah
b
β ± t0,025; d×bσpse
d. Batas Kesalahan Simultan, (Simultant Margin Error (SM E)) Dari persamaan (4.6) dan (4.7) dapat dinyatakan SME dari metode Lenth sebagai berikut c∗(k; α) = Φ−1 1 2 + (1−α)1/k 2
Untuk suatu α = 0, 05, maka
c∗(k; 0, 05) = (1 + 0, 95 1/k) 2
andaikan c∗(k; α) = γ, maka c∗(k; 0, 05) = (1+0,952 1/k) dapat dituliskan menjadi γ = (1 + 0, 95
1/k) 2
dengan demikian diperoleh batas kesalahan simultan P ( |bβi| b σP SE < tγ;d) = 0, 95 P (|bβi| < tγ;d×bσP SE) = 0, 95 SM E = tγ,d×σbP SE (4.10)
4.1.3 Penaksiran Parameter dengan Metode Fang
Dengan cara yang sama pada metode Lenth, bahwa sebelum mengkon-struksi statistik uji dari metode Fang, terlebih dahulu dirumuskan hipotesis yang berkaitan dengan signifikan atau tidak pengaruh suatu faktor terhadap variabel respon. Hipotesisnya dirumuskan sebagai berikut:
H0 : βi = 0
H1 : βi 6= 0; i = 1, 2, . . . , k
Untuk menguji hipotesis tersebut, terlebih dahulu ditentukan estimasi dari metode Lenth, yang dijelaskan sebagai berikut:
a. Estimasi awal
Dengan cara yang sama pada penaksir metode Lenth, penaksir awal dari metode Fang dapat dituliskan sebagi berikut:
s0 = 1, 5 × median{ b|βi|}; i = 1, 2, . . . , k b. Estimasi Akhir
Dengan cara yang sama pada penaksir akhir dari metode Lenth, penaksir akhir dari metode Fang dapat diturunkan dari definisi (2.6) sebagai berikut:
b σs1(q, b) = s l−1 X |bβi|≤2,50×s0 |bβi|2
(4.11) dimana l merupakan jumlah dari |bβi| ≤ 2, 50 × s0.
Untuk uji statistik, Fang menggunakan suatu statistik uji yang menyerupai statis-tik uji-t, sebagai berikut
tσs1 = |bβi|
b σs1
c. Batas Kesalahan (Margin Error, ME )
Menentukan batas kesalahan pada metode Fang adalah sama dengan apa yang dikerjakan pada metode Lenth, perbedaan hanya pada pemilihan nilai α. Pada metode Lenth, dipilih α = 0, 05, sedangkan pada metode Fang, dipilih α = 0, 02. Dengan demikian, dari persamaan (4.8),
P (|bβi| <bσs1 × tα/2;l) = 1 − α
P (|bβi| <σbs1 × t0.01;l) = 0, 98
untuk d = l, dimana l adalah banyaknya bβ ≤ 2, 5s0 sedemikian hinggabσs1× t0.01;l
merupakan batas kesalahan (margin of error ), ditulis M E =σbs1 × t0.01;l
d. Batas Kesalahan Simultan, (Simultantoue Margin Error, SM E) Dari persamaan (4.6) dan (4.7) dapat dinyatakan SME dari metode Fang sebagai berikut c∗(k, α) = Φ−1 1 2 + (1−α)1/k 2
Untuk suatu α = 0, 02, maka
c∗(k; 0, 02) = (1 + 0, 98 1/k) 2
andaikan c∗(k, α) = γ, maka c∗(k; 0, 02) = (1+0,982 1/k) dapat dituliskan menjadi γ = (1 + 0, 98
1/k) 2
dengan demikian diperoleh batas kesalahan simultan P |bβi| b σs1 < tγ;l = 0, 98 P (|bβi| < tγ;l×bσs1) = 0, 98
SM E = tγ,l×bσs1 (4.12)
dengan df = l
4.1.4 Fungsi Power Metode Bissell, Lenth dan Fang
Pada bagian ini akan diturunkan fungsi power dari metode Bissell, Lenth dan Fang. Fungsi power yang diperoleh selanjutnya akan digunakan untuk mem-banding kekuatan uji dari ketiga metode tersebut. Power uji dari metode Bissell diturunkan dari distribusi chi kuadrat noncentral yang didasarkan pada statistik uji dari metode ini, sedangkan untuk metode Lenth dan Fang, fungsi powernya di-turunkan dari distribusi t noncentral, hal tersebut juga didasarkan pada statistik uji dari keduanya.
a. Fungsi Power dari Metode Bissell
Fungsi power dari metode Bissell dibawah hipotesis H1 diberikan sebagai berikut:
1 − δ = P (Tolak H0|H1 Benar)
= P {Bk(βi) ≥ χ2k−1;α/2|β 6= 0; i = 1, 2, . . . , k} dimana Bk(βi) berdistribusi noncentral χ2k−1 dengan β sebagai parameter non-central. Dari definisi (2.5), diberikan fungsi padat peluang dari distribusi chi kuadrat non central sebagai berikut:
f (x) = ∞ X i=1 1 i! β 2 i e−β/2 x a/2+i−1e−x/2 2a/2+iΓ(a/2 + i)
sebagaimana yang diturunkan pada Benton., D dan Krishnanmoorthy (2005), dapat diturunkan nilai kritis dibawah hipotesis H1, sebagai berikut
P (Bk(βi) ≤ χ2k−1;α/2|H1) = P (k − 1)v 2 s m 2 ≤ χ2 k−1;α/2|H1 andaikan χ2k−1;α/2 = x, diperoleh P (Bk ≤ x|H1) = ∞ X i=1 1 i! β 2 i e−β/2IG x 2; a 2 + i dimana IGy(a) = 1 Γ(a) Z y 0 exxa−1dx, a > 0, x > 0
Selanjutnya, fungsi power 1 − δ = P (k − 1)v 2 s m 2 ≥ χ2 k−1;α/2 H1 = 1 − ∞ X i=1 1 i! β 2 i e−β/2IG x 2; a 2 + i
dengan β > 0 sebagai parameter noncentral, x > 0 dan a > 0 b. Fungsi Power dari Metode Lenth
Fungsi power dari metode Lenth, dibawah hipotesis H1, 1 − δ = P (Tolak H0|H1 Benar) = P tk(β) ≥ c(k, α), i = 1, 2, . . . , k|H1 = P |bβi| b σP SE ≥ c(k, α), i = 1, 2, . . . , k|H1
dimana tk(β) adalah distribusi noncentral t dengan β sebagai parameter noncen-tral. Untuk nilai kritis dibawah hipotesis H1
P {tk≤ c(k, α)|H1} = P |bβ| b σP SE ≤ c(k, α), i = 1, 2, . . . , k|H1 diperoleh P {t1 ≤ c(k, α)|H1} = [Φ(k − β) − Φ(−k − β)]. Selanjutnya, Fungsi power
1 − δ(k, α, β) = P |b β| b σP SE ≥ c(k, α), i = 1, 2, . . . , k|β = 1 − [Φ(k − β) − Φ(−k − β)] = 1 − [Φ((k, α) − β) − Φ(−(k, α) − β)] dimana Φ(x) =Rk −∞φ(x)dx φ(x) = v v/2 Γ(v2) e−β2/2 √ π(v + x2)(v+1)/2 ∞ X i=1 Γ v + i + 1 2 βi i! 2x2 v + x2 i/2 untuk − ∞ < x < ∞, v > 0, dan − ∞ < β < ∞ c. Fungsi Power dari Metode Fang
Fungsi power dari metode Fang, dibawah hipotesis H1, 1 − δ = P (Tolak H0|H1 Benar)
= P tk(β) ≥ c(k, α), i = 1, 2, . . . , k|H1 = P |bβ| b σs1 ≥ c(k, α), i = 1, 2, . . . , k|H1
dimana tk(β) adalah distribusi noncentral t dengan β sebagai parameter noncen-tral. Untuk nilai kritis dibawah hipotesis H1
P {tk≤ c(k, α)|H1} = P |bβ| b σs1 ≤ c(k, α), i = 1, 2, . . . , k|H1 diperoleh P {t1 ≤ c(k, α)|H1} = [Φ(k − β) − Φ(−k − β)}. Selanjutnya, Fungsi power
1 − δ(k, α, β) = P |bβ| b σs1 ≥ c, i = 1, 2, . . . , k|β = 1 − [Φ(k − β) − Φ(−k − β)] = 1 − [Φ((k, α) − β) − Φ(−(k, α) − β)] dimana Φ(x) = Z k −∞ φ(x)dx φ(x) = v v/2 Γ(v2) e−β2/2 √ π(v + x2)(v+1)/2 ∞ X i=1 Γ v + i + 1 2 βi i! 2x2 v + x2 i/2 dimana − ∞ < x < ∞, v > 0, dan − ∞ < β < ∞.
4.2 Perbandingan Power Uji Metode Bissell, Lenth dan Fang
Sebagaimana yang telah dijelaskan pada bagian 4.1.4, bahwa fungsi power yang diperoleh akan digunakan untuk membandingkan kekuatan uji dari ketiga metode tersebut. Pada bagian ini, dengan menggunakan kasus yang diberikan, yaitu faktor yang mempengaruhi jarak tempuh bola golf dalam permainan golf untuk rancangan faktorial fraksional 2-level dan faktor yang mempengaruhi pem-bakaran pada boiler untuk rancangan faktorial fraksional 3-level.
4.2.1 Kasus Rancangan Faktorial Fraksional 2-Level
Sebelum melakukan perbandingan power uji antara metode Bissell, Lenth, dan Fang, terlebih dahulu dilakukan analisis terhadap faktor-faktor yang di-ikutkan dalam model, apakah signifikan atau tidak. Data yang digunakan sebagai ilustrasi dari kemampuan metode Bissell, Lenth, dan Fang dalam mengidentifikasi faktor yang signifikan adalah percobaan Permainan Golf. Contoh ini diambil dari Anonim (2003) dengan faktor-faktornya kemampuan (A), bola (B), Club (C), La-pangan (D), dan Teeing (E), yang disusun dalam rancangan faktorial fraksional 25−1atau rancangan resolusi V dengan defining relation E = ABDC dan jumlah run 16 dengan model
y =β0+ β1x1+ β2x2+ β3x3+ β4x4+ β5x5+ β12x1x2+ β13x1x3+ β14x1x4+ β15x1x5+ β23x2x3 + β24x2x4+ β25x2x5+ β34x3x4+ β35x3x5+ β45x4x5+ Model dengan 15 kontras, pengujian dengan menggunakan metode klasik tidak memungkinkan untuk digunakan dengan tidak adanya nilai dari jumlah kuadrat error. Tanda (*) yang muncul pada tabel anova disebabkan oleh, pertama tidak adanya pengulangan untuk tiap kombinasi perlakuan, kedua terdapat 16 kombi-nasi perlakuan, jumlah kuadra total mempunyai 15 derajat bebas, 5 diantaranya untuk faktor utama dan 10 lainnya untuk interaksi dua faktor, sehingga derajat bebas untuk error adalah 0. Hipotesis yang akan diuji adalah
Tabel 4.1: Rangkuman Hasil Analisis Varian
Sumber Variansi DF SS MS F P Efek Utama 5 27127 5425,5 * * Interaksi 2-faktor 10 1812 181,2 * * Kesalahan 0 * * * Total 15 28939 H0 : βi = 0 lawan H1 : βi 6= 0 dimana i = 1, 2, 3, . . . , 15
Pengujian hiptesis dengan menggunakan ketiga metode tersebut dijelaskan seba-gai berikut:
1. Metode Bissell,
Dilakukan perhitungan dengan iterasi sebagai berikut;
(a) Dari hasil perhitungan diperoleh rata-rata(m) 1929,33 dan standar deviasi 3628,93 dari rata-rata kuadrat.
(b) Dengan menggunakan persamaan (4.3), untuk k=15 diperoleh nilai Bk = 24, 8 dengan p-value dari chi-kuadrat 0,0369 untuk α = 0, 05 dengan df = 14, hasil ini dinyatakan signifikan. Selanjutnya rata-rata kuadrat dengan nilai terbesar dihilangkan untuk keperluan per-hitungan selanjutnya, yaitu untuk k = 14.
(c) k = 14 diperoleh nilai Bk = 31, 23 dengan p-value 0,003 untuk α = 0, 05 dengan df = 13, hasil ini dinyatakan signifikan. Demikian seterus-nya hingga untuk suatu k dengan Bk tidak signifikan, perhitungan di-hentikan.
Nilai yang dihilangkan dari perhitungan pada setiap iterasi dalam metode ini dinyatakan sebagai faktor yang signifikan, yaitu faktor Ground, Teeing dan Ability.
2. Metode Lenth,
Dengan menggunakan nilai dari penaksir efek, dihitung: (a) s0 = 1, 5 × median{|bβi|} = 1, 5 × 4, 6250 = 6, 9375 (b) σbP SE = 1, 5 × median b βi≤2,5 {|bβi|} = 5, 4375 (c) M E = t0,025×bσP SE = 13, 9775 (d) SM E = tγ,d×bσP SE = 28, 3764
Untuk menyatakan faktor signifikan dari metode Lenth, bahwa nilai mutlak dari penaksir efek yang lebih besar dari SM E, faktor tersebut yang dinyatakan signifikan, yaitu faktor Ability, groung dan teeing. 3. Metode Fang,
sig-nifikan adalah dengan mengambil nilai dari penaksir efek yang lebih besar dari nilai SM E. Faktor yang dinyatakan signifikan pada metode ini sama dengan yang teridentifikasi pada metode Lenth. Hasil perhitungan yang lengkap dapat dilihat pada Lampiran B Tabel 2.1.
Dari tabel tersebut, terlihat untuk metode Bissel, faktor-faktor yang signifikan adalah ground, teeing dan ability, untuk metode Lenth dengan menggunakan SM E diperoleh faktor signifikan sama dengan faktor yang teridentifikasi pada metode Bissell. Dengan menggunakan metode Fang, diperoleh faktor signifikan ground, ability, teeing.
Selanjutnya, untuk mengetahui kekuatan uji dari metode Lenth dan Fang dalam mengidentifikasi faktor signifikan, digunakan fungsi power dari masing-masing metode dengan nilai noncentral (β) yang berbeda. Dari hasil analisis statistik, dapat dijelaskan sebagai berikut: Dari kasus, diperoleh nilai power untuk metode Bissell bahwa untuk suatu nilai parameter nonsentral yang dite-tapkan, β, mempunyai nilai yang lebih kecil dari nilai statistik Bk memberikan power yang cenderung kecil. Dengan kata lain, semakin nilai statistik Bk power cenderung membesar. Akan tetapi, bahwa dari hasil ini juga memperlihatkan bahwa untuk suatu nilai Bk yang dinyatakan signifikan, dimana nilai nonsentral yang diberikan lebih besar, maka akan memperlihat nilai power yang kecil. Dari kasus, untuk Bk = 24, 766, nilai ini dinyatakan signifikan dengan nilai P sebe-sar 0,03 untuk α = 0, 05 dari distribusi chi kuadrat, juga diberikan nilai power untuk suatu parameter noncentral, β = 10 yaitu 0,579, suatu nilai power yang cukup kecil dalam untuk pengambilan keputusan. Jika dikaitkan dengan kesala-han dalam pengambilan keputusan secara statistik, bahwa untuk statistik Bissell jika jumlah faktor semakin banyak atau k besar, dengan α yang sama cenderung melakukan kesalahan dalam menyatakan suatu faktor signifikan dalam keadaan faktor tersebut tidak signifikan atau cenderung melakukan kesalahan jenis I, yaitu menerima H0 saat H0 salah.
untuk suatu nilai β yang ditentukan lebih kecil dari bβ power cenderung kecil, se-bagai contoh bβ2 ≤ β(9) mempunyai power yang kecil keadaan ini mempunyai kecenderungan yang sama dengan metode Fang. Pada kasus dimana bβ ≥ β menunjukan kecenderungan nilai power besar, walaupun faktor tersebut diny-atakan tidak signifikan. Sebagai contoh; Bk ≥ β(9), Bk = 40, 758, secara lengkap disajikan pada Lampiran C Tabel 3.1, Tabel 3.2, dan Tabel 3.3. Dalam ka-sus ini, untuk faktor yang signifikan mungkin tidak menjadi masalah yang ber-arti oleh karena hasil uji yang menunjukkan power yang besar. Tetapi yang perlu diperhatikan dari kasus ini adalah pada saat faktor tersebut dinyatakan tidak signifikan, baik dengan menggunakan metode Lenth maupun Fang, ke-cenderungan keduanya memberikan suatu power yang besar. Jika hal tersebut dikaitkan dengan kesalahan yang mungkin terjadi dalam setiap pengujian hipote-sis, yaitu kesalahan type II. Kondisi dimana terjadi penerimaan H0 saat H1 be-nar, diberikan contoh dari hasil analisis, bβ2 = −4, 875 (tidak signifikan , baik metode Lenth maupun Fang) dengan β = −8, 38652 diberikan nilai power sebe-sar 0,99957 (Lampiran C Tabel 3.2), dengan peluang terjadi kesalahan type II sebesar 0,00043 suatu tingkat kesalahan yang mungkin sangat kecil.
Melalui uraian kasus di atas, baik metode Lenth maupun metode Fang cen-derung memberikan nilai power yang sama untuk suatu parameter noncentral yang ditetapkan dan lebih kuat jika dibandingkan dengan metode Bissell, ke-cuali pada keadaan dimana parameter nonsentral yang diberikan semakin besar dibanding dengan efek dari suatu faktor terlihat perbedaan antara kedua metode ini (Lenth dan Fang), dimana metode Fang cenderung lebih kuat dibandingkan dengan metode Lenth dan Bissell. Gambar 4.1 berikut memberikan gambaran power dari ketiga metode tersebut.
4.2.2 Kasus Rancangan Faktorial Fraksional 3-Level
Pada kasus ini, kasus yang digunakan adalah proses pembakaran pada boiler dengan faktor-faktornya (1) sudut pengarah nosel (A), distribusi udara (D),kombinasi elemen nosel (C), dan tarikan udara pada furnace (D) disusun
