SKL Nomor 3 : Memahami bangun datar, bangun ruang, garis sejajar, dan sudut, serta menggunakannya dalam pemecahan masalah.
1. Menyelesaikan soal dengan menggunakan teorema Pythagoras
Teorema Pythagoras : “kuadrat hipotenusa (sisi terpanjang) suatu segitiga siku-siku sama dengan jumlah dari kuadrat sisi-sisi yang lain”
Perhatikan gambar disamping, rumus Pythagoras yang berlaku berdasarkan gambar disamping adalah :
a. sudut B → sudut siku-siku
b. sisi AC → sisi di depan sudut siku-siku merupakan sisi terpanjang (hipotenusa) c. Rumus Pythagoras : 2 2 2 AB BC AC = + atau b2 = c2 + a2
Dari rumus tersebut dapat diperoleh rumus lain : 2 2 2 AC BC AB = − atau c= b2 − a2 2 2 2 AC AB BC = − atau a2 = b2 − c2
Tripel Pythagoras : “pasangan tiga buah bilangan dimana kuadrat bilangan terbesar sama dengan jumlah kuadrat dua bilangan yang lain”, jadi misannya p,q, r merupakan tripel Pythagoras dan p merupakan bilangan terbesar maka berlaku :
2 2
2 q r
p = + → p= q2 − r2
2. Menghitung luas bangun datar
Nama Bangun Rumus Luas dan Keliling
A B D C Persegi Panjang : L = AB x BC K = 2( p + l) = p x l p = panjang l = lebar Bujursangkar / Persegi L = AB x BC K = 4 x s = s x s = s 2 s = panjang sisi Segitiga L = ½ x Alas x Tinggi = ½ x a x t K = AB + BC + AC A s B s D C C A A tinggi Tinggi B C B C Alas alas A c cm b cm B a cm C
A B tinggi D C alas Jajar genjang L = alas x tinggi K = 2( AB + BC) A p B tinggi D q C Trapesium
L = ½ x t x jumlah sisi yang sejajar L = ½ x t x ( p + q) K = AB + BC + CD + AD A D B C Belah ketupat L = ½ x BD x AC L = ½ x d1 x d2 K = 2 (AB + BC) d1 = diagonal pertama d2 = diagonal kedua Layang-layang L = ½ x DB x AC L = ½ x d1 x d2 K = 2(AB + CD) d1 = diagonal pertama (DB) d2 = diagonal kedua (AC)
r
Lingkaran
L = πr2 K = 2πr
π = 22/7 atau 3,14 r = jari-jari lingkaran
3. Menghitung keliling bangun datar dan penggunaan konsep keliling dalam kehidupan sehari-hari
Satu kali putaran roda = keliling roda 4. Menghitung besar sudut pada bidang datar
Persegipanjang dan persegi
• Jumlah besar keempat sudutnya = 360° • Dua sudut yang berhadapan sama besar = 90°
Segitiga
• Jumlah besar ketiga sudutnya = 180°
Jajargenjang A
D B
• Jumlah besar keempat sudutnya = 360°
• Dua pasang sudut yang berhadapan sama besar
• Dua pasang sisi yang berdekatan jumlahnya = 180°
Trapesium
• Jumlah besar keempat sudutnya = 360°
• ∠ ADC+ ∠ DAB = 180° dan ∠ ABC + ∠BCD = 180°
Belah ketupat
• Jumlah besar keempat sudutnya = 360°
• Dua pasang sudut yang berhadapan sama besar Layang-layang
• Jumlah besar keempat sudutnya = 360°
• Sepasang sudutnya sama besar →∠DAB = ∠DCB
5. Menghitung besar sudut yang terbentuk jika dua garis berpotongan atau dua garis sejajar berpotongan dengan garis lain.
Hubungan antara dua sudut :
bertolak belakang : ∠ 1 = ∠ 3; ∠ 2 = ∠ 4 Sehadap : ∠ 5 = ∠ 9, ∠ 6 = ∠ 10, ∠ 8 = ∠ 12
berpelurus : ∠ 1 + ∠ 2 = 180°; ∠ 7 = ∠ 11
∠ 2 + ∠ 3 = 180°; ∠ 3 + ∠ 4 = 180° Dalam sepihak : ∠ 7 + ∠ 10 = 180°
∠ 4 + ∠ 1 = 180° ∠ 8 + ∠ 9 = 180°
berpenyiku : ∠ a + ∠ b = 90° Luar sepihak : ∠6 + ∠ 11 = 180°
∠ 5 + ∠ 12 = 180°
Dalam berseberangan : ∠ 7 = ∠ 9; ∠ 8 = ∠ 10 Luar berseberangan : ∠ 6 = ∠12; ∠5 = ∠11 6. Menghitung besar sudut pusat dan sudut keliling pada lingkaran
⇒ Sudut pusat pada sebuah lingkaran adalah sudut yang terbentuk dari dua buah jari-jari lingkaran dengan titik sudutnya adalah titik pusat lingkaran.
⇒ Sudut keliling adalah sudut pada lingkaran yang terbentuk dari
dua buah tali busur yang berpotongan tepat pada keliling
Sudut AOB (∠AOB) adalah sudut pusat dengan titik sudut O (O juga sebagai titik pusat lingkaran)
Sudut DCE (∠ DCE) adalah sudut keliling dengan titik sudut C yang berada pada keliling lingkaran
⇒ Hubungan antara sudut pusat dan sudut keliling : “Besarnya
sudut pusat sama dengan dua kali besarnya sudut keliling yang menghadapi busur yang sama” atau “ Besarnya sudut keliling sama dengan setengah kali besar sudut pusat yang
5 6 1 2 8 7 4 3 9 10 12 11 A B D O C E
menghadapi busur yang sama”
⇒ Contoh :
Perhatikan gambar disamping :
∠ ΑΟΒ → sudut pusat menghadapi busur AB
∠ ACB → sudut keliling menghadapi busur AB, karena kedua sudut menghadapi busur yang sama yaitu busur AB maka berlaku :
◊ ∠ ΑΟΒ = 2 x ∠ ACB; atau
◊ ∠ ACB = ½ x ∠ ΑΟΒ
⇒ Sifat sudut keliling :
◊ Sebuah sudut keliling yang menghadapi diameter lingkaran merupakan sudut siku-siku (90°)
◊ Dua sudut keliling yang menghadapi busur yang sama adalah sama besar.
⇒ Segiempat talibusur adalah segiempat yang terbentuk dari empat buah tali busur yang berpotongan pada keliling lingkaran.
⇒ Sifat-sifat segiempat talibusur :
◊ Jumlah besar dua sudut yang berhadapan pada segiempat talibusur
sama dengan 180° ==> ∠ABC + ∠ ADC = 180°; ∠ DAB + ∠ BCD = 180°
◊ Hasil kali diagonal-diagonalnya sama dengan jumlah perkalian sisi-sisi yang berhadapan (sifat Ptolomeus) ==> AC x BD = (AB x CD) + (AD x BC)
◊ Hasil kali bagian-bagian diagonalnya sama ==> AE x EC = DE x EB
⇒ Sudut antara dua tali busur :
⇒ Sudut dalam adalah sudut yang terbentuk karena dua tali busur
berpotongan di dalam daerah lingkaran. Besarnya sudut dalam sama dengan jumlah dua sudut keliling yang menghadapi busur yang terletak diantara kaki-kaki sudutnya.
◊ Talibusur AB berpotongan dengan talibusur CD di titik E yang
terletak di dalam daerah lingkaran, maka sudut CEB dan sudut AED disebut sudut dalam. Karena kedua sudut saling bertolak belakang maka besar kedua sudut sama.
◊ ∠ CEB ==> sudut dalam menghadapi busur CB
∠ AED ==> sudut dalam menghadapi busur AD
∠ CDB ==> sudut keliling menghadapi busur CB
∠ ABD ==> sudut keliling menghadapi busur AD, maka berlaku :
∠ CEB = ∠ AED = ∠ CDB + ∠ ABD
⇒ Sudut luar adalah sudut yang terbentuk karena dua tali busur
berpotongan di luar daerah lingkaran. Besarnya sudut luar sama dengan selisih dua sudut keliling yang menghadapi busur yang terletak diantara kaki-kaki sudutnya.
◊ Talibusur AB berpotongan dengan talibusur CD di titik E
yang terletak di luar daerah lingkaran, maka sudut AED dan sudut BEC disebut sudut luar. Karena kedua sudut berimpit maka besar kedua sudut sama.
◊ ∠ ΒEC ==> sudut luar menghadapi busur BC
∠ AED ==> sudut luar menghadapi busur AD
B O A C A B C D O E A B D C E A B D C E
∠ CDB ==> sudut keliling menghadapi busur BC
∠ ABD ==> sudut keliling menghadapi busur AD, maka berlaku :
∠ ΒEC = ∠ AED = ∠ ΑBD - ∠ ΒDC
7. Menyelesaikan masalah dengan menggunakan konsep kesebangunan
Gambar dan model berskala, foto dan peta
skala = jarak pada peta
jarak sebenarnya panjang pada model / gbr / foto
panjang sebenarnya =
lebar pada model / gbr / foto
lebar sebenarnya =
tinggi pada model / gbr / foto tinggi sebenarnya Bangun-bangun yang sebangun
Syarat dua bangun yang sebangun :
■ Sudut-sudut yang bersesuaian sama besar
■ Sisi-sisi yang bersesuaian sebanding.
Syarat dua segitiga yang sebangun :
■ Ketiga sisi yang bersesuaian pada kedua segitiga sebanding (S, S, S)
■ Dua sudut yang bersesuaian pada kedua segitiga sama besar (Sd, Sd)
■ Satu sudut sama besar dan dua sisi yang mengapit sudut itu sebanding (S, Sd, S)
Jika terdapat dua segitiga sebangun maka perbandingan
ketiga sisi yang bersesuaian sebanding. Contoh ==> jika segitiga ABC dan segitiga PQR sebangun maka berlaku :
AB PQ= BC QR= AC PR
Rumus-rumus dalam segitiga siku-siku ■ KM2 = KL2 + LM2 (teorema pythagoras)
■ LN2 = KN x NM
■ LM2 = MN x MK
■ KL2 = KN x KM
8. Menyelesaikan masalah dengan menggunakan konsep kongruensi
Sifat kongruensi :
Jika dua bangun datar sisi lurus kongruen maka :
Sisi-sisi yang bersesusian pada kedua bangun datar sama panjang. Sudut-sudut yang bersesuaian pada kedua bangun datar sama besar. Syarat dua segitiga kongruen :
Ketiga sisi yang bersesuaian pada kedua segitiga sama panjang (S, S, S)
Terdapat satu sudut pada kedua segitiga sama besar dan dan dua sisi yang mengapit sudut
itu pada kedua segitiga sama panjang. (S, Sd, S)
Terdapat dua sudut pada kedua segitiga sama besar dan satu sisi pada kedua segitiga sama
panjang. (Sd, S, Sd) A B C Q P R K L M N
9. Menentukan unsur-unsur bangun ruang sisi datar
Kubus
Mempunyai 12 rusuk yang sama panjang yaitu AB=BC=CD=
AD=AE=EF=BF=CG=GH=DH=EH=AD
Mempunyai 12 diagonal sisi yang sama panjang yaitu : AC=BD=
AF=BE=AH=DE=DG=CH=BG=CF=EG=FH
Mempunyai 4 diagonal ruang yang sama panjang yaitu :
AG=HB=CE=DF
Mempunyai 8 titik sudut.
Mempunyai 6 buah sisi yang berbentuk persegi yaitu : ABCD, ABFE, ADHE, DCGH,
BCFG, dan EFGH.
Balok.
Mempunyai 12 rusuk yaitu AB=CD=EF=GH;
AD=BC=FG=EH; AE=BF=CG=DH
Mempunyai 12 diagonal sisi yaitu : AC=BD=EG=HF;
AF=BE=CH=DG; BG=CF=AH=DE
Mempunyai 4 diagonal ruang yang sama panjang yaitu :
AG=HB=CE=DF
Mempunyai 8 titik sudut.
Mempunyai 6 buah sisi yaitu : ABCD ≅ EFGH, ABFE ≅ DCGH, BCGF ≅ ADHE. Prisma
Nama dari prisma tergantung pada bentuk alasnya. Prisma dengan alas segi-n maka :
banyaknya rusuk = 3 x n banyaknya sisi = n + 2
Contoh prisma segitiga.
Banyaknya rusuk = 3 x 3 = 9, yaitu AB, BC, AC, AD, BE, CF, DE,
EF, DF.
Banyaknya sisi = 3 + 2 = 5, yaitu ABC (alas), ABDE, BCEF,
ACFD, DEF (tutup)
Banyaknya diagonal sisi = 6 yaitu AE = BD; AF = CD; BF = AE Limas
Nama limas tergantung pada bentuk alasnya. Jika limas mempunyai alas segi-n maka namanya adalah limas segi-n dan mempunyai rusuk sebanyak 2 x n, mempunyai sisi sebanyak n + 1.
Contoh limas segi-4 :
Banyaknya rusuk = 2 x 4 = 8, yaitu : AB, BC, CD, AD, AT, BT,
CT, DT
Banyaknya sisi = 4 + 1 = 5, yaitu : ABCD (alas), ABT, BCT,
CDT, ADT
TE disebut tinggi limas Kerucut
Kerucut adalah limas dengan alas berupa lingkaran.
T disebut titik puncak kerucut. AB disebut diameter alas kerucut (d) AC = CB disebut jari-jari alas kerucut (r) TC disebut tinggi kerucut
H G E F D C A B H G E F D C A B F D E C A B T D C E A B T A B C
TA = TB disebut garis pelukis (s)
10. Menentukan jaring-jaring bangun ruang
Jaring-jaring adalah rangkaian sisi-sisi dari sebuah bangun ruang yang dapat disusun kembali
menjadi bentuk bangun ruang tersebut secara berurutan.
Bentuk bangun ruang Contoh salah satu jaring-jaring bangun ruang Kubus : Balok : Prisma segitiga : Limas segi-4 : Kerucut : H G E F D C A B H G H D C G H E A B F E E F H G E F D C H G H D C G H E A B F E F D E C A B D F A C F D D B E E T D C E T D C T E T A B T T s s A B r r A r • r B A A s s T
11. Menghitung volume bangun ruang sisi datar dan sisi lengkung
12. Menghitung luas permukaan bangun ruang sisi datar dan sisi lengkung
Bentuk bangun ruang Rumus Volume dan Luas Permukaan
Kubus : Volume = s x s x s = s3 Luas permukaan = 6 x s2 s ==> panjang rusuk Balok : Volume = p x l x t Luas permukaan = (2xpxl) + (2xpxt)+(2xlxt) = 2(pl + lt + pt)
p ==> panjang; l ==> lebar; t ==> tinggi
Prisma segitiga : Volume = Luas alas x tinggi
Luas permukaan = (2 x L alas)+(K alas x t) L alas ==> Luas alas (tergantung bentuk alas) K alas ==> Keliling alas (tergantung bentuk alas) t ==> tinggi Prisma
Limas segi-4 : Volume = 1/3 x L alas x t
Luas Permukaan = L alas+LTBC+LTCD+LTAD+LTAB L alas ==> luas alas tergantung bentuk alas L TBC ==> luas segitiga TBC
L TCD ==> luas segitiga TCD L TAD ==> luas segitiga TAD L TaB ==> luas segitiga TAB
L segitiga = ½ x alas segitga x tinggi segitiga
Kerucut : Volume = 1/3 x πr2 x t
Luas permukaan = L alas + L Selimut = πr2 + πrs
= πr(r + s) Luas selimut = πrs
π ==> 22/7 atau 3,14 r ==>jari-jari alas kerucut s ==> garis pelukis t ==> tinggi kerucut H G E F s D C s A s B H G E F t D C l A p B F D E t C A B T D C E F A B T s s t r r A B
SKL Nomor 4 : Memahami konsep dalam statistika, serta menerapkannya dalam pemecahan masalah.
1. Menentukan ukuran pemusatan dan menggunakan dalam menyelesaikan masalah sehari-hari
➢ Ukuran pemusatan
Rerata rata−rata atau mean = jumlah data
banyaknya data
Modus adalah data yang paling sering muncul, sekelompok data, terdapat kemungkinan
lebih dari satu modus dalam sekelompok data.
Median adalah data yang terletak ditengah-tengah dari sekelompok data yang telah
diurutkan.
2. Menyajikan dan menafsirkan data
Pengertian
Populasi : seluruh obyek yang ingin diteliti
Sampel : bagian dari populasi yang dipilih secara acak sebagai obyek yang diambil data
penelitiannya. Biasanya penggunaan sampel dengan pertimbangan populasi terlalu besar jika diteliti secara menyeluruh. Pengambilan sampel harus dilakukan secara acak agar sampel dapat benar-benar mewakili populasi penetilian.
Penyajian data hasil penelitian
Tabel frekuensi adalah tabel yang menyajikan banyaknya data (frekuensi) setiap data hasil
penelitian.
Diagram batang adalah sebuah diagram yang menggambarkan data hasil penelitian dengan
menggunakan persegipanjang. Banyaknya data digambarkan dengan panjangnya persegipanjang yang disajikan.
Diagram garis adalah diagram yang berupa garis yang menghubungkan titik-titik koordinat
data hasil penelitian dengan banyaknya data tersebut.
Diagram lingkaran adalah diagram berupa lingkaran yang dibagi menjadi juring-juring
lingkaran. Luas setiap juring menggambarkan banyaknya data hasil penelitian atau persentasenya.
Contoh : Data pekerjaan orang tua siswa SDN 08 Jatiasih adalah PNS 25 orang, TNI/POLRI = 20 orang; Wiraswasta = 15 orang; Pedagang = 30 orang; Petani = 10 orang.
Tabel Frekuensi :
Data Pekerjaan Orangtua Siswa SDN 08 Jatiasih Pekerjaan orang tua Frekuensi PNS 25 TNI/POLRI 20 Wiraswasta 15 Pedangang 30 Petani 10 Jumlah 100 Diagram Batang 35 30 25 20 15 10 5 0 PNS TNI/ POLRI Wira swasta Peda gang Petani
10
Diagram garis : Diagram Lingkaran
Perhitungan sudut pusat setiap juring Perhitungan Persentase :
PNS ==> 25/100 x 3600 = 900 25/100 x 100% = 25% TNI / POLRI ==> 20/100 x 3600 = 720 20/100 x 100% = 20% Wiraswasta ==> 15/100 x 3600 = 540 15/100 x 100% = 15% Pedagang ==> 30/100 x 3600 = 1080 30/100 x 100% = 30% Petani ==> 10/100 x 3600 = 360 10/100 x 100% = 10%
