TEOREMA VIETA DAN JUMLAH NEWTON
TUTUR WIDODO
1. Pengenalan
Sebelum berbicara banyak tentang Teorema Vieta dan Identitas Newton, terlebih dahulu saya beri penjelasan singkat mengenai polinomial. Di sekolah khususnya SMA, sudah dikenalkan tentang polinomial atau lebih sering disebut dengan istilah suku banyak. Polinomial P (x) berderajat n berbentuk,
(1.1) P (x) = anxn+ an 1xn 1+ an 2xn 2+ + a1x + a0
dengan an6= 0.
ai disebut koo…sien dari xi sedangkan a0 biasa disebut konstanta.
Akar atau pembuat nol dari suatu polinomial f (x) ialah suatu nilai, katakanlah t, sedemikian sehingga f (t) = 0. Berdasarkan Fundamental Theorem of Algebra (FTA), setiap polino-mial setidaknya memiliki satu akar. Lebih jauh, andaikan t1 adalah akar dari P (x) maka dapat
ditulis,
P (x) = (x t1)P1(x)
dimana P1(x)ialah polinomial berderajat n 1. Jika kita gunakan FTA sekali lagi pada P1(x)
maka diperoleh,
P (x) = (x t1)(x t2)P2(x)
dimana P2(x) ialah polinomial berderajat n 2. Seterusnya apabila FTA diterapkan terus,
pada akhirnya kita dapatkan bentuk berikut,
(1.2) P (x) = an(x t1)(x t2)(x t3) (x tn)
Bentuk (1.2) biasa disebut pemfaktoran dari P (x) dan t1; t2; ; tnadalah akar- akar dari P (x).
2. Teorema Vieta
Kita de…nisikan, jumlah simetris ke-k, k, dari suatu himpunan sebagai jumlah dari perkalian
k elemen dari elemen - elemen yang ada pada himpunan tersebut. Sebagai contoh dari him-punan yang beranggotakan a; b; c; d kita peroleh,
1 = a + b + c + d
2 = ab + ac + ad + bc + bd + cd 3 = abc + abd + acd + bcd 4 = abcd
Teorema Vieta.Jika ft1; t2; ; tng adalah akar- akar dari polinomial P (x) = anxn+an 1xn 1+ an 2xn 2+ + a1x + a0 maka berlaku, (2.1) k= ( 1)k an k an untuk 1 k n
Untuk membuktikan teorema Vieta di atas salah satu caranya bisa dengan induksi pada n. Untuk n = 1, diperoleh f (x) = a1x+a0. Dimana satu- satunya akar adalah t1 = aa01. Sehingga
1 = t1 = aa0
1 = ( 1)
1 a1 1
a1 . Selanjutnya assumsikan teorema benar untuk n = m.
Perhatikan, untuk n = m+1 kita punya f (x) = am+1xm+1+amxm+ +a1x+a0. Berdasarkan
FTA, fungsi f dapat ditulis,
(2.2) f (x) = (x tm+1)(fm(x))
dengan tm+1 adalah salah satu akar dari f dan fmadalah polinomial berderajat m. Berdasarkan
assumsi, kita juga ketahui bahwa,
(2.3) fm(x) = am+1 xm (t1+ t2+ + tm)xm 1 + + t1t2t3 tm
Dari (2.2) dan (2.3) didapat, f (x) = (x tm+1)(fm(x))
= (x tm+1)am+1 xm (t1+ t2+ + tm)xm 1 + + t1t2t3 tm
= am+1 xm+1 (t1+ t2+ + tm+ tm+1)xm+ t1t2t3 tmtm+1
!
yang berarti pada fungsi f berlaku, k = ( 1)k
a(m+1) k
am+1 seperti yang diharapkan untuk
me-lengkapi bukti teorema di atas.
3. Jumlah Newton
Sering kita menemui kasus seperti ini. Jika akar-akar dari x3 + 2x2 + 3x + 4 = 0 adalah
a; b; c maka carilah nilai dari a2+ b2+ c2. Untuk menyelesaikan kasus ini relatif mudah. Bisa
dengan bantuan teorema Vieta yang telah dipelajari sebelumnya. Kita punya, (a + b + c)2 =
a2+ b2 + c2+ 2(ab + ac + bc)sehingga
a2+ b2+ c2 = (a + b + c)2 2(ab + ac + bc) = 4 6 = 2
Dari kasus di atas kalau pangkatnya hanya dua tidak masalah. Tetapi jika yang ditanya adalah a10+ b10+ c10 atau a7+ b7+ c7 pasti akan sangat lama menghitungnya. Oleh karena itu untuk mengatasinya, diperkenalkan Jumlah Newton.
Jumlah Newton. Bila diketahui polinomial P (x) = anxn+an 1xn 1+an 2xn 2+ +a1x+a0
yang akar-akarnya adalah t1; t2; ; tn. Dide…nisikan pula, sd= td1+ td2+ + tdn, maka berlaku
Untuk memberi gambaran, perhatikan beberapa bentuk khusus dibawah ini (untuk beberapa pilihan nilai d), ans1+ an 1 = 0 ans2+ an 1s1 + 2an 2 = 0 ans3+ an 1s2+ an 2s1 + 3an 3 = 0 :::::::::::::::dst 4. Contoh
Setelah mempelajari teorema Vieta dan Jumlah Newton, kini saatnya kita lihat soal- soal yang bisa diselesaikan dengan kedua teorema tersebut. Pada bagian ini akan saya berikan beberapa contoh bahwa kedua tool yang baru saja kita pelajari cukup ampuh bukan hanya untuk menyelesaikan soal- soal yang berkaitan dengan polinomial tetapi juga sistem persamaan. Contoh 1. Tentukan semua pasangan terurut (x; y; z) yang memenuhi :
x + y + z = 17 xy + yz + zx = 94 xyz = 168
Solusi. Misalkan P (x) = x3+ ax2+ bx + cadalah polinomial yang akar- akarnya ialah (x; y; z).
Maka diperoleh a = 17; b = 94 dan c = 168. Oleh karena itu, P (x) = x3 17x2+ 94x 168
yang bisa difaktorkan menjadi P (x) = (x 4)(x 6)(x 7). Sehingga nilai dari triple (x; y; z) yaitu (4; 6; 7) dan semua permutasinya.
Contoh 2. Diketahui akar- akar dari P (x) = x4 x3 x2 1 adalah a; b; c; d. Carilah nilai dari f (a) + f (b) + f (c) + f (d) jika f (x) = x6 x5 x3 x2 x
Solusi. f (a) + f (b) + f (c) + f (d) = a6 a5 a3 a2 a + b6 b5 b3 b2 b + c6 c5 c3 c2 c + d6 d5 d3 d2 d = (a6+ b6+ c6+ d6) (a5+ b5+ c5+ d5) (a3+ b3+ c3 + d3) (a2+ b2+ c2+ d2) (a + b + c + d) = s6 s5 s3 s2 s1
Dengan memanfaatkan jumlah Newton, kita dapatkan, s1 1 = 0
s2+ s1:( 1) + 2:( 1) = 0 s2 1 2 = 0 s2 = 3 s3+ s2:( 1) + s1:( 1) + 3:0 = 0 s3 3 1 = 0 s3 = 4 s4+ s3:( 1) + s2:( 1) + s1:0 + 4:( 1) = 0 s4 4 3 4 = 0 s4 = 11 s5+ s4:( 1) + s3:( 1) + s2:0 + s1:( 1) + 5:0 = 0 s5 11 4 1 = 0 s5 = 16 s6+ s5:( 1) + s4:( 1) + s3:0 + s2:( 1) + s1:0 + 6:0 = 0 s6 16 11 3 = 0 s6 = 30 Jadi, f (a) + f (b) + f (c) + f (d) = s6 s5 s3 s2 s1 = 30 16 4 3 1 = 6
Contoh 3. Misalkan a; b; c adalah bilangan real positif sedemikian sehingga (ab + bc + ca)3 = abc(a + b + c)3
Buktikan bahwa a; b; c adalah suku- suku dari barisan geometri.
Solusi. Andaikan a; b; c adalah akar- akar dari polinomial P (x) = x3+rx2+sx+t. Berdasarkan
teorema Vieta diperoleh,
a + b + c = r ab + bc + ca = s
abc = t
berdasarkan apa yang diketahui di soal didapat hubungan s3 = tr3 apabila r 6= 0 bentuk ini equivalen dengan t = s
3
r3. Apabila hasil terakhir disubstitusikan ke polinomial P (x), kita peroleh
P (x) = x3 + sx2 + rx + s3
dari persamaan cubic,
r3x3+ r4x2+ sr3x + s3 = 0 r4x2+ sr3x + (rx)3+ s3 = 0 r3x(rx + s) + (rx + s)(r2x2 rsx + s2) = 0 (rx + s)(r2x2+ (r3 rs)x + s2) = 0
Jadi salah satu akar dari P (x), tanpa mengurangi keumuman, adalah a = s
r dan dua akar yang lain yaitu b dan c juga merupakan akar- akar dari r2x2 + (r3 rs)x + s2 sehingga bc =
s2
r2 = (
r s)
2 = a2. Jadi terbukti bahwa a; b; c adalah suku- suku barisan geometri. Sedangkan jika
r = 0 berakibat s = 0 sehingga polinom P (x) berbentuk P (x) = x3 + t yang hanya memiliki
satu akar real. Hal ini kontradiksi dengan soal sebab diketahui a; b; c bilangan real positif. Contoh 4. Jika a; b adalah akar- akar dari polinomial P (x) = x4+ x3 1. Buktikan bahwa ab
adalah akar dari polinomial S(x) = x6 + x4+ x3 x2 1
Solusi. Misalkan c; d adalah akar- akar lain dari P (x) = x4 + x3 1. Dengan teorema Vieta
diperoleh,
a + b + c + d = 1 (4.1)
ab + bc + cd + ad + bd + ac = 0 (4.2)
abc + abd + acd + bcd = 0 (4.3)
abcd = 1 (4.4)
Misalkan p = ab; p0 = cddan s = a + b; s0 = c + dsehingga persamaan diatas equivalen dengan, s + s0 = 1 (4.5) p + p0+ ss0 = 0 (4.6) ps0+ p0s = 0 (4.7) pp0 = 1 (4.8)
Dari pers. (4.5) diperoleh s = 1 s0 sedangkan dari pers. (4.8) didapat p = 1
p0. Apabila
hasil ini disubstitusikan ke pers. (4.6) dan (4.7) diperoleh, p2 ps2 ps 1 = 0 (4.9)
p2s + p2+ s = 0 (4.10)
Dari pers. (4.10) kita punya s = p
2
p2+ 1. Jika disubstitusikan ke pers. (4.9) diperoleh,
p2 p p 2 p2+ 1 2 p p 2 p2+ 1 1 = 0
dengan sedikit komputasi diperoleh,
Sehingga terbukti p = ab adalah akar dari polinom S(x) = x6+ x4+ x3 x2 1.
5. Latihan Latihan 1. Selesaikanlah sistem persamaan berikut,
x + y + z = 4 x2+ y2 + z2 = 14 x3+ y3 + z3 = 34
Latihan 2. Carilah penyelesaian real dari sistem persamaan berikut, x + y + z = 0
x3+ y3+ z3 = 18 x7+ y7+ z7 = 2058
Latihan 3. Carilah penyelesaian real dari sistem persamaan berikut, a + b = 8
ab + c + d = 23 ad + bc = 28 cd = 12
Latihan 4. Carilah semua triple (x; y; z) memenuhi sistem persamaan di bawah ini, x + y z = 0
yx + zx xy = 27 xyz = 54
Latihan 5. Diketahui a; b; c adalah bilangan real taknol sedemikian sehingga a + b + c 6= 0 dan 1 a + 1 b + 1 c = 1 a + b + c Buktikan bahwa untuk semua bilangan bulat ganjil n berlaku,
1 an + 1 bn + 1 cn = 1 an+ bn+ cn
Latihan 6. Buktikan bahwa dua akar dari polinomial P (x) = x4+ 12x 5 bila dijumlahkan
hasilnya adalah 2.
Latihan 7. Carilah nilai n dan kemudian selesaikan persamaan berikut, x4 15x3+ 70x2 120x + n = 0
Jika diketahui akar- akarnya membentuk barisan geometri.
Latihan 8. Carilah jumlah semua akar, baik real maupun nonreal, dari persamaan, x2010+ 1
2 x
2010
jika diketahui tidak ada akar kembar.
Latihan 9. Jika dua akar dari persamaan x4 18x3 + kx2 + 200x 1984 = 0 hasil kalinya
adalah 32. Tentukan nilai k.
Latihan 10. Jika akar- akar dari polinomial P (x) = x8 4x7+7x6+a
5x5+a4x4+a3x3+a2x2+
a1x + ao semuanya adalah bilangan real positif. Tentukan semua nilai dari ao yang mungkin.
References
[1] Adeel Khan. 2006. A Few Elementary Properties of Polynomials E-mail address: [email protected]
