A. Jumlah Sudut dalam Segitiga. Teorema 1 Jumlah dua sudut dalam segitiga kurang dari Bukti:

Geometri Netral ?

• Geometri yang dilengkapi dengan sistem aksioma-aksioma insidensi, sistem

aksioma-aksioma urutan, sistem aksioma kekongruenan (ruas garis, sudut, segitiga) dan sistem aksioma-aksioma archiemedes

A. Jumlah Sudut dalam Segitiga

• Teorema 1

Jumlah dua sudut dalam segitiga kurang dari

180

0

.

B F A C E 1 2 3 4 3’ 2’

Teorema 3

Jumlah sudut segitiga sembarang kurang

dari atau sama dengan 180

0

_.

Definisi: Sebuah segiempat dinamakan persegi

panjang apabila besar setiap sudutnya 90

0

_.

Oleh karena geometri yang kita bicarakan

adalah geometri netral yang tidak menganut

aksioma kesejajaran euclides, maka sifat-sifat

dalam persegi panjang yang kita kenal harus

dibuktikan tidak dengan menggunakan

sifat-sifat yang ada pada persegi panjang.

Teorema 1

Jika ada sebuah persegi panjang dalam

geometri netral, maka akan ada juga sebuah

persegi panjang dengan salah satu sisinya lebih

panjang dari ruas garis tertentu.

Bukti:

Andaikan diketahui persegi panjang ABCD dan

ruas garis yang diketahui adalah XY. Harus

dibuktikan adanya persegi panjang dengan

panjang salah satu sisi melebihi XY.

B C C1 C2 Cn

A _{D D1} D2 Dn

x Y

Perpanjang AD sampai DD₁ sehingga AD = DD_1. Perpanjang BC

sampai CC₁ sehingga BC = CC₁. Artinya ada D₁ dengan ADD₁

sehingga panjang AD = DD₁ dan ada C₁ dengan BCC₁ sehingga

panjang BC = CC_1. Tarik C₁D₁ maka AD₁C₁B adalah sebuah

persegi panjang. Proses ini kita lanjutkan. Jadi ada D₂ dengan

DD₁D₂ sehingga panjang DD₁ = D₁D₂ dan ada C₂ dengan CC₁C₂ sehingga CC₁ = C₁C₂. Tarik C₂D₂ maka AD₂C₂B suatu persegi

panjang. Menurut aksioma archimides (aksioma kekontinuan), ada D_n sehingga AD_n = n x AD dan AD_n > XY, maka AD_nC_nB suatu persegi panjang. Persegi panjang inilah yang dicari.

Teorema 2

Jika ada sebuah persegi panjang dalam

geometri netral maka ada persegi panjang

yang panjangnya dua sisi yang bersisihan

masing-masing melebihi panjang dua ruas

garis yang diketahui.

Bukti:

Andaikan diketahui persegi panjang ABCD dan

ruas garis XY dan PQ.

G H F E C D B A Q P X _Y

Dengan menggunakan teorema 1 dua kali maka kita

peroleh persegi panjang ABEF dengan AF > XY. Kemudian ada persegi panjang AGHF dengan AG > PQ. Maka

persegi panjang AGHF adalah persegi panjang yang dicari

Teorema 3

Jika dalam suatu geometri netral ada persegi

panjang, maka jumlah besar sudut-sudut dalam

segitiga siku-siku sama dengan 180

0

Bukti :

Prosedur pembuktiannya adalah dengan cara

menunjukkan bahwa:

1. Setiap segitiga siku-siku adalah tiruan dari segitiga

yang dibentuk dengan cara membelah persegi panjang

pada diagonalnya.

 Misalkan segitia ABC siku-siku di B, menurut teorema 2, maka

terdapat persegi panjang A’B’C’D’ sedemikian hingga A’B’ = AB dan B’C’ = BC.

Hubungkan A’ dan C’, maka segitiga ABC kongruen dengan segitiga A’B’C’.

Sehingga kedua segitiga tersebut mempunyai jumlah sudut yang sama.

Perhatikan gambar berikut:

A B C A’ B’ C, D’ p q Bukti Teorema 3

 Misalkan p adalah jumlah sudut segitiga ABC dan

q adalah jumlah sudut segitiga A’B’C’

 maka menurut definisi segi empat semua

sudutnya adalah 90

0

, maka p + q = 4 x 90

0

…………

(1)

 Menurut teorema 3, maka p ≤ 180

0

_.

 Andaikan p < 180

0

_.

 Sedangkan menurut persamaan (1), p + q = 360

0

_,

maka diperoleh q > 180

0

_.

 Hal ini bertentangan dengan teorema 3.

 Jadi p = 180

0

_(terbukti)

Teorema 4

Jika dalam geometri netral ada persegi panjang

maka jumlah besar sudut-sudut dalam segitiga 180

0

Bukti :

Perhatikan gambar berikut:

C

A B

• Akan ditunjukkan segitiga ABC memiliki jumlah sudut 1800_.

• A + B + C = 1800

 Tarik garis tinggi CD, sehingga membagi segitiga ABC menjadi dua segitiga siku-siku yaitu segitiga ACD dan BCD.

 Jumlah sudut ACD = ABD = 1800_{. (menurut teorema 3)}

 Sehingga ( A + C₁ + D₁) + ( B + C₂ + D₂) = 2 x 1800 _{= 360}0 ↔ ( A + C₁ + 900_{) + ( B + C} 2 + 900) = 3600 ↔ ( A + C₁ + 900_{) + ( B + C} 2 + 900) = 3600 ↔ A + B ( C₁ + C₂) = 1800 Jadi A + B + C = 1800 _(terbukti) Bukti Teorema 4

Teorema 5

Jika dalam geometri netral ada sebuah

segitiga dengan jumlah sudut 180

0

_{, maka akan ada}

sebuah persegi panjang.

Bukti :

 Perhatikan gambar berikut:

• Misalkan segitiga ABC mempunyai jumlah sudut 1800_.

 Pertama kita tunjukkan bahwa ada segitiga siku-siku dengan jumlah sudut 1800.

 Potong segitiga ABC menjadi dua segitiga siku-siku yang masing-masing mempunyai jumlah sudut p dan q,

dengan menarik garis tinggi tertentu, tulis AD.  Maka p + q = 2 x 900 _{+ 180}0 _{= 360}0 C A B D p q Bukti Teorema 5

 Kita tunjukkan p = 180

0

_{, menurut teorema 3, p =}

180

0

 Jika p < 180

0

_{, q > 180}

0

_{maka ini bertentangan}

dengan teorema 3.

 Jadi ada dua segitiga siku-siku, misalnya segitiga

ABD dengan sudut siku-siku di D yang mempunyai

jumlah sudut 180

0

_.

 Sekarang kita mengambil dua segitiga siku-siku,

kemudian kedua segi tiga siku-siku tersebut kita

tempelkan bersama untuk membentuk sebuah

persegi panjang.

• Lukis segitiga BAE kongruen dengan segitiga ABD dengan E berlainan pihk dengan D dari sisi AB,

dengan BE bersesuaian dengan AD. (lihat gambar di atas)

• Karena jumlah sudut segitiga ABD adalah 1800_{, maka}

B D 2’ E 1 2 1’ A Bukti Teorema 5

• 1 + 2 = 90

0

_{, karena 1 = 1’, 2 = 2’, maka kita peroleh}

1 + 2’ = 90

0

_{dan 1’ + 2 = 90}

0

_.

• Tetapi 1 + 2’ = EAB

1’ + 2 = EAD

• Jadi EAB = EAD = 90

0

_{, berarti ADBE persegi}

panjang (definisi persegi panjang)

Jika sebuah segitiga mempunyai jumlah sudut 1800_{, maka}

setiap segitiga mempunyai jumlah sudut 1800_.

Bukti :

 Diketahui sebuah segitiga mempunyai jumlah sudut 1800_.

 Akan ditunjukkan bahwa setiap segitiga mempunyai jumlah sudut 1800_.

 Misalkan ada sebuah segitiga yang mempunyai jumlah sudut 1800_{, maka menurut teorema 5 akan ada sebuah}

persegi panjang.

 Sedangkan menurut teorema 4, jika ada sebuah persegi panjang maka setiap segitiga memiliki jumlah sudut

Jika sebuah segitiga ABC mempunyai jumlah sudut kurang dari 1800_{, maka setiap segitiga mempunyai jumlah sudut}

kurang dari 1800_.

Bukti :

 Misalkan segitiga ABC mempunyai jumlah sudut < 1800_,

perhatikan sebarang segitiga PQR.

Menurut teorema 1, jumlah sudut p ≤ 1800_.

 Misalkan p = 1800_{, maka menurut akibat 1 dari teorema 5}

di atas, sehingga segitiga ABC mempunyai jumlah sudut 1800_.

Hai ini bertentangan dengan pemisalan di atas. Jadi yang benar adalah p < 1800_.

Proposisi-proposisi Geometri Netral

1.Dua garis yang tidak berhimpit mempunyai

paling banyak satu titik potong.

2.Setiap segmen garis mempunyai tepat satu titik

tengah.

3.Setiap sudut mempunyai tepat satu garis bagi.

4.Komplemen dari sudut-sudut yang sama

adalah sama.

Proposisi-proposisi Geometri Netral

6. Kongrensi dua segitiga adalah SS-SD-SS, SD-SS-SD, SS-SS-SS.

7. Jika dua sisi suatu segitiga adalah sama, maka sudut-sudut dihadapanya adalah sama.

8. Jika dua sudut segitiga sama, maka dua sisi dihadapannya sama.

9. Hanya ada satu garis yang tegak lurus garis tertentu melalui satu titik pada garis tertentu tersebut.

10. Hanya ada satu garis yang tegak lurus garis tertentu melalui satu titik diluar garis tertentu tersebut.

Proposisi-proposisi Geometri Netral

11. Titik T terletak pada sumbu segmen garis AB jika dan hanya jika TA = TB.

12. Jika dua sisi suatu segitiga tidak sama maka sudut-sudut dihadapannya juga tidak sama, dan sudut segitiga yang lebih besar berhadapan dengan sisi yang lebih panjang. 13. Jika dua sudut suatu segitiga tidak sama maka sisi-sisi

dihadapannya juga tidak sama, dan sisi yang lebih panjang berhadapan dengan sudut yang lebih besar. 14. Segmen garis terpendek yang menghubungkan sebuah

titik dan sebuah garis adalah segmen yang tegak lurus. 15. Jumlah panjang dua sisi lebih besar dari sisi ketiga.

Proposisi-proposisi Geometri Netral

16.Jika dua sisi dari segitiga yang pertama masing-masing sama dengan dua sisi segitiga yang kedua, dan sudut apit segitiga pertama lebih besar dari sudut apit segitiga

kedua, maka sisi ketiga dari segitiga yang pertama lebih panjang dari sisi ketiga dari segitiga kedua.

17.Jika dua sisi dari segitiga yang pertama masing-masing sama dengan dua sisi segitiga yang kedua, dan sisi ketiga dari segitiga pertama lebih panjang dari sisi ketiga dari segitiga yang kedua, maka sudut apit dari segitiga yang pertama lebih besar dari sudut apit dari segitiga ke dua. 18.Besar sudut luar dari suatu segitiga adalah lebih besar

dari salah satu sudut dalamnya yang tidak bersisian dengan sudut luar tersebut.

Proposisi-proposisi Geometri Netral

19.Jumlah dua sudut dari suatu segitiga adalah

kurang dari 180

0

.

20.Jika dua garis dipotong oleh garis lain dan

membentuk sepasang sudut dalam

berseberangan yang sama dua garis tersebut

sejajar.

21.Dua garis yang tegak lurus pada garis yang sama

adalah sejajar.

22.Sekurang-kurangnya ada satu garis yang sejajar

dengan suatu garis tertentu yang melalui titik di

luar garis tertentu tersebut.

Proposisi-proposisi Geometri Netral

23. Misalkan garis 1 melaui titik C yang jaraknya kepusat lingkaran kurang dari panjang jari-jarinya maka garis satu memotong lingkaran di dua titik.

24. Sebuah garis merupakan garis singgung lingkaran jika dan hanya jika garis tersebut tegak lurus pada jari-jari lingkaran.

25. Jika diketahui segitiga ABC dan segmen garis PQ

sedemikian hingga PQ=AB maka ada titik R di luar PQ sedemikian sehingga segitiga PQR kongruen segitiga ABC.

26. Sebuah lingkaran dapat digambarkan melalui sebarang segitiga.