KSN 2021 MATERI PAKET 8
Dasar-dasar Segitiga A. Garis Sejajar dan Sudut yang Besarnya Sama
Di bawah ini, ditunjukkan sepasang garis yang sejajar dan sebuah garis yang memotong kedua garis ini pada titik 𝐵 dan 𝐶. Terdapat dua tupel empat sudut yang besarnya sama.
Besar sudut yang ditunjukkan di gambar ini dapat berubah namun nilai relatifnya dengan ketujuh sudut lain akan tetap mengikuti seperti gambar di bawah ini.
B. Definisi dan Properti
Segitiga adalah sebuah bangun datar yang memiliki tiga buah titik sudut dan tiga buah sisi. Berikut adalah beberapa properti yang dimiliki oleh segitiga:
1. Ketaksamaan segitiga
Jika 𝑎, 𝑏, 𝑐 adalah panjag dari ketiga titik segitiga, maka 𝑎 + 𝑏 > 𝑐
𝑏 + 𝑐 > 𝑎 𝑐 + 𝑎 > 𝑏
Dengan kata lain, panjang sisi terpanjang segitiga pasti lebih pendek daripada jumlah kedua sisinya yang lain.
2. Luas Segitiga
Luas segitiga dapat dicari dengan berbagai cara. Tiga cara yang umum digunakan adalah
i. Apabila diketahui panjang salah satu sisi segitiga dan panjang garis tinggi ke sisi tersebut, maka dapat digunakan rumus
𝐿 =1 2𝑎𝑡
KSN 2021 dengan 𝑎 adalah panjang sisi segitiga dan 𝑡 adalah panjang garis tinggi
yang sesuai.
ii. Apabila diketahui panjang dua buah sisi dan besar sudut yang diapit kedua sisi tersebut, dapat digunakan rumus
𝐿 =1
2𝑎𝑏 sin 𝛾
dengan 𝑎 dan 𝑏 adalah dua buah sisi yang dimaksud dan 𝛾 adalah besar sudut yang diapit kedua sisi tersebut.
iii. Apabila diketahui panjang ketiga sisi segitiga tersebut, dapat digunakan dalil Heron:
𝐿 = √𝑠(𝑠 − 𝑎)(𝑠 − 𝑏)(𝑠 − 𝑐)
dengan 𝑎, 𝑏, 𝑐 adalah panjang ketiga sisi segitiga dan 𝑠 =(𝑎+𝑏+𝑐)
2 3. Perbandingan kuadrat panjang sisi segitiga
Misalkan 𝑎 ≤ 𝑏 ≤ 𝑐 adalah panjang sisi sebuah segitiga. Berdasarkan besar sudut yang menghadap sisi berpanjang 𝑐, kita dapat mengetahui hubungan nilai dari 𝑎2+ 𝑏2 dan 𝑐2 berdasarkan dalil kosinus yaitu:
i. Sudut 𝐶 lancip jika dan hanya jika 𝑎2+ 𝑏2 > 𝑐2
ii. Sudut 𝐶 siku-siku jika dan hanya jika 𝑎2+ 𝑏2 = 𝑐2 (Dikenal juga dengan dalil Pythagoras)
iii. Sudut 𝐶 tumpul jika dan hanya jika 𝑎2+ 𝑏2 < 𝑐2 4. Jumlah sudut dalam segitiga
Jumlah sudut dalam sebuah segitiga adalah 180∘. 5. Dalil Stewart
Dalil Stewart digunakan untuk mencari panujang sebuah segmen garis yang menghubungkan sebuah titik sudut segitiga dan sisi yang ada di hadapannya di titik sembarang.
KSN 2021 Pada gambar di atas, berlaku hubungan
𝑏2𝑚 + 𝑐2𝑛 = 𝑎(𝑑2+ 𝑚𝑛) 6. Hubungan Sisi dan Sudut
Pada segitiga, sisi terpendek berada di hadapan titik sudut dengan besar sudut terkecil dan demikian juga sebaliknya, sisi terpanjang berada di hadapan titik sudut dengan besar sudut terbesar.
C. Kekongruenan dan Kesebangunan 1. Kekongruenan
Dua buah segitiga dikatakan kongruen ketika besar sudut dan panjang sisi mereka yang saling berkoresponden sama.
Dalam soal, biasanya hanya sebagian kuantitas saja yang diketahui. Untuk membuktikan kekongruenan, bisa digunakan salah satu dari tiga kriteria berikut:
• Kriteria SSS (side-side-side)
Jika ketiga pasang sisi yang saling berkorespondensi memiliki panjang yang sama, maka kedua segitiga kongruen.
• Kriteria SAS (side-angle-side)
Jika dua pasang sisi yang saling berkorespondensi memiliki panjang yang sama dan besar sepasang sudut yang diapit kedua sisi tersebut juga sama, maka kedua segitiga tersebut kongruen.
• Kriteria ASA (angle-side-angle)
Jika dua pasang sudut yang saling berkorespondensi memiliki besar yang sama dan panjang sepasang sisi yang menghubungkan kedua sudut tersebut juga sama, maka kedua segitiga tersebut kongruen.
KSN 2021 2. Kesebangunan
Dua segitiga dikatakan sebangun jika besar sudut yang saling berkorespondensi sama dan panjang sisi yang saling berkorespondensi proporsional.
Dalam soal, biasanya hanya sebagian kuantitas saja yang diketahui. Untuk membuktikan kesebangunan, bisa digunakan salah satu dari tiga kriteria berikut:
• Kriteria AA (angle-angle)
Jika dua pasang sudut yang saling berkorespondensi memiliki besar yang sama, maka kedua segitiga sebangun.
• Kriteria SSS (side-side-side)
Jika tiga pasang sisi yang saling berkorespondensi proporsional, maka kedua segitiga sebangun.
• Kriteria SAS (side-angle-side)
Jika dua pasang sisi yang saling berkorespondensi proporisonal dan sepasang sudut yang diapit kedua pasang sisi tersbeut besarnya sama, maka kedua segitiga sebangun.
Patut diingat bahwa rasio 𝑘 juga menunjukkan perbandingan panjang segmen- segmen garis lain antara kedua segitiga, seperti garis tinggi, garis median, garis bagi, dan seterusnya. Adapun, perbandingan luas kedua segitiga tersebut adalah 𝑘2.
3. Perbandingan luas segitiga bertinggi sama dan beralas segaris Perhatikan gambar di bawah ini.
KSN 2021
Segitiga 𝐴𝐵𝐷, 𝐴𝐶𝐷, dan 𝐴𝐵𝐶 adalah tiga segitiga yang memiliki tinggi yang sama dan memiliki alas yang segaris. Perbandingan luas ketiga segitiga ini dapat dihitung dengan
[𝐴𝐵𝐷]: [𝐴𝐶𝐷]: [𝐴𝐵𝐶] = 𝐵𝐷: 𝐷𝐶: 𝐵𝐶
KSN 2021 PAKET 8
PILIHLAH JAWABAN MENURUT ANDA YANG PALING TEPAT!
1. Berapa banyak segitiga tumpul dengan sisi bilangan asli yang memiliki sisi terpanjang 10?
a. 10 b. 11 c. 12 d. 13 e. 14
2. Trapesium ABCD dengan AB sejajar DC memiliki panjang AB = 8 dan DC = 4.
Diagonal AC dan BD berpotongan di titik X. Diketahui perbandingan panjang AX dengan XD adalah 4:1 dan panjang diagonal AC = 12. Tentukan keliling segitiga CXD.
a. 7 b. 8 c. 9 d. 10 e. 12
3. Tentukan panjang 𝐶𝐷 pada gambar di bawah ini.
a. 10 b. 12 c. 25
4
d. 13
KSN 2021 e. 15
4. Misalkan 𝐴𝐵𝐶 adalah sebuah segitiga dengan 𝐴𝐶 > 𝐴𝐵. Titik 𝐷 terletak di sisi 𝐴𝐶 sedemikian hingga 𝐴𝐷 = 𝐴𝐵. Diketahui bahwa ∠𝐴𝐵𝐶 − ∠𝐴𝐶𝐵 = 16∘. Besar dari sudut ∠𝐶𝐵𝐷 adalah …
a. 8∘ b. 16∘ c. 24∘ d. 32∘ e. 40∘
5. Pada jajaran genjang ABCD, E terletak pada sisi BC. Garis DE memotong diagonal AC di titik G. Perpanjangan DE dan perpanjangan AB saling berpotongan di titik F. Jika panjang DG = 6 dan panjang EG = 4, tentukan panjang EF.
a. 10 b. 8 c. 6 d. 5 e. 4
6. Diberikan jajargenjang 𝐴𝐵𝐶𝐷. Titik 𝑀 dan 𝑁 secara berturut-turut adalah titik tengah sisi 𝐴𝐵 dan 𝐶𝐷. Misalkan 𝐷𝑀 dan 𝐵𝑁 secara berturut-turut memotong diagonal 𝐴𝐶 di titil 𝐸 dan 𝐹. Perbandingan panjang 𝐴𝐸: 𝐸𝐹: 𝐹𝐶 adalah …
a. 1: 1: 1 b. 1: 2: 1 c. 2: 1: 2 d. 2: 3: 2 e. 3: 2: 3
7. Keliling sebuah segitiga adalah 8. Jika panjang semua sisi segitiga tersebut adalah bilangan asli, luas dari segitiga tersebut adalah …
a. √2 b. 2
KSN 2021 c. 2√2
d. 2√3 e. 3
8. Pada gambar di bawah ini, 𝐴𝐵𝐶𝐷 adalah sebuah persegi dan 𝐹 serta 𝐸 adalah titik tengah dari sisi persegi. Persentase luas daerah yang diarsir dari persegi 𝐴𝐵𝐶𝐷 adalah
… %
a. 21,875 b. 23,4375 c. 25 d. 28,125 e. 31,25
9. Misalkan sebuah segitiga 𝐴𝐵𝐶 memiliki luas 1. Titik 𝐷 terletak di perpanjangan sisi 𝐴𝐵 sedemikian hingga 𝐵𝐷 = 𝐴𝐵. Titik 𝐸 terletak di perpanjangan sisi 𝐵𝐶 sedemikian hingga 𝐶𝐸 = 2𝐵𝐶. Titik 𝐹 terletak di perpanjangan sisi 𝐶𝐴 sedemikian hingga 𝐴𝐹 = 3𝐶𝐴. Luas segitiga 𝐷𝐸𝐹 adalah …
a. 21 b. 18 c. 15
KSN 2021 d. 12
e. 9
10. Gambar di bawah ini menujukkan sebuah segitiga sama sisi (biru) yang diapit tiga persegi (hitam) yang diapit tiga segienam beraturan (biru). Jika panjang sisi segitiga sama sisi ini adalah 1 maka luas semua daerah yang berwarna hitam adalah …
a. 1 +2+√3
4
b. 3 +3+3√5
4
c. 3 +3+3√6
5
d. 3 +6+3√3
4
e. 6 +1+√3
2
11. Diberikan segitiga 𝐴𝐵𝐶 dengan 𝐴𝐵 = 1 dan titik 𝐷 terletak di tengah sisi 𝐴𝐶. Titik 𝐸 dan 𝐹 membagi 𝐵𝐷 menjadi tiga bagian yang sama panjang (𝐵𝐸 = 𝐸𝐹 = 𝐹𝐷). Jika 𝐴𝐹 = 𝐴𝐷, tentukan panjang 𝐶𝐸.
a. 1 b. √2 c. √3
KSN 2021 d. 2
e. √5
12. Persegi panjang 𝐴𝐵𝐶𝐷 memiliki panjang sisi 𝐴𝐵 = 1 dan 𝐵𝐶 = 2. Titik 𝐸, 𝐹, dan 𝐺 secara berturut-turut adalah titik tengah 𝐵𝐶, 𝐶𝐷, dan 𝐷𝐴. Titik 𝐻 adalah titik tengah 𝐺𝐸 seperti ditunjukkan pada gambar di bawah ini.
Luas daerah yang diarsir adalah … a. 1
4
b. 1
6
c. 1
8
d. 1
9
e. 1
12
13. 𝐴𝐵𝐶𝐷 adalah sebuah trapesium dengan 𝐴𝐵 sejajar 𝐶𝐷. 𝐴𝐶 dan 𝐵𝐷 berpotongan di titik 𝑃. Jika luas segitiga 𝐴𝐵𝑃 dan 𝐶𝐷𝑃 secara berturut-turut adalah 𝑚 dan 𝑛, luas dari 𝐴𝐵𝐶𝐷 adalah …
a. 𝑚 + 2√𝑚𝑛 + 𝑛 b. 𝑚 + √𝑚𝑛 + 𝑛 c. 2(𝑚 + 𝑛) d. 4√𝑚𝑛
KSN 2021 e. 4(𝑚 + 𝑛 − √𝑚𝑛)
14. Di trapesium 𝐴𝐵𝐶𝐷 dengan 𝐵𝐶 sejajar dengan 𝐴𝐷, berlaku 𝐵𝐶 = 1000 dan 𝐴𝐷 = 2020. Diketahui bahwa ∠𝐴 = 28∘ dan ∠𝐷 = 62∘. Titik 𝑀 dan 𝑁 secara berturut-turut adalah titik tengah dari 𝐵𝐶 dan 𝐴𝐷. Panjang dari segmen garis 𝑀𝑁 adalah …
a. 500 b. 510 c. 760 d. 1010 e. 1510
15. Segitiga 𝐴𝐵𝐶 memenuhi ∠𝐴 = 60∘ dan ∠𝐵 = 45∘. 𝑇 adalah titik di 𝐵𝐶 sedemikian hingga ∠𝐵𝐴𝑇 = 30∘ dan 𝐴𝑇 = 24. Luas dari segitiga 𝐴𝐵𝐶 adalah …
a. 96√3 + 180 b. 96√2 + 180 c. 72√3 + 180 d. 72√2 + 216 e. 72√3 + 216
