17
II. GAYA GESER DAN MOMEN LENTUR
2.1. Pengertian Balok
Balok (beam) adalah suatu batang struktural yang didesain untuk menahan gaya-gaya yang bekerja dalam arah transversal terhadap sumbunya. Jadi, berdasarkan pada arah bekerjanya beban yang diberikan, maka balok berbeda dari batang yang mengalami tarik dan batang yang mengalami puntiran. Pada batang yang mengalami tarik, maka bebannya diarahkan sepanjang sumbunya, dan pada batang yang mengalami puntiran maka vektor momen putarannya mengarah sepanjang sumbu batang. Sebaliknya, beban-beban pada sebuah balok diarahkan tegak lurus terhadap sumbunya.
18
2.2. Jenis-Jenis Balok
1. Balok berdasarkan tumpuan yang digunakan
Gambar 2.1. Jenis-jenis Balok 2. Balok berdasarkan keseimbangan statis
Statis Tertentu (Statically Determinate) Gaya – gaya reaksi dianalisa dengan persamaan keseimbangan statis. ΣF = 0 ΣM = 0
Statis Tidak Tentu (Statically Indeterminate)Gaya-gaya reaksi dianalisa dengan persamaan keseimbangan statis dan persamaan-persamaan tambahan yang berhubungan dengan perpindahan-perpindahan struktur.
19
2.3. Tipe-Tipe Beban
Gambar 2. Tipe Beban pada Balok
1. Beban Terpusat (Concentrated Loads) Contoh: Gaya P1 dan P2
2. Beban Terdistribusi (Distributed Loads) Contoh: Beban q
3. Beban merata (Uniform load) Contoh: Beban q pada gambar (a)
4. Beban yang berubah secara linier (Linearly varying load) Contoh: Beban q pada gambar (b)
5. Kopel (Couple) Contoh: Momen M1
2.4. Gaya Geser dan Momen Lentur
Apabila sebuah balok dibebani oleh beberapa buah gaya atau kopel maka akan tercipta sejumlah tegangan dan regangan internal. Untuk menentukan berbagai tegangan dan regangan tersebut, harus dicari terlebih dahulu gaya internal
20
(internal forces) dan kopel internal yang bekerja pada penampang balok. Gaya internal yang bekerja pada penampang-penampang balok diantaranya gaya geser V dan momen lentur M.
A. Gaya Geser (Shearing Force)
Gaya geser secara numerik adalah jumlah aljabar dari semua komponen vertikal gaya – gaya luar yang bekerja pada segmen yang terisolasi, tetapi dengan arah yang berlawanan, dinotasikan dengan V. Penentuan gaya geser pada sebuah irisan balok memenuhi syarat keseimbangan statis pada arah vertikal.
ΣFv = R1 - P1 – P2 – V = 0 atau V = R1 – P1 – P2
B. Momen Lentur (Bending Momen)
Momen lentur adalah jumlah aljabar dari semua komponen momen gaya luar yang bekerja pada segmen yang terisolasi, dinotasikan dengan M. Besar M dapat ditentukan dengan persamaan keseimbangan statis
ΣM =0
ΣMo = M - R1x + P1 (x-a) + P2 (x-b) = 0 atau M = R1x – P1(x-a) – P2(x-b)
2.5. Hubungan Antara Beban, Gaya Geser Dan Momen Lentur
Hubungan ini bermanfaat untuk:Mencari gaya geser dan momen lentur di seluruh arah panjang sebuah balok
Menyusun diagram – diagram gaya geser dan momen lentur
A. Beban Terdistribusi
dx
dV
w
dx
dM
V
21
B. Beban Terpusat
V1 = - P M1 = P
(
dx2)
+ Vdx + V1dxC. Beban Kopel
V1 = 0 M1 = - Mo
2.6. Diagram Gaya Geser dan Momen Lentur
Gaya geser V dan momen lentur M dalam balok merupakan fungsi-fungsi dari jarak x yang diukur sepanjang sumbu longitudinal. Salah satu cara untuk mengetahui harga V dan M pada semua penampang balok adalah dengan menggambar sebuah grafik yang memperlihatkan bagaimana V dan M berubah terhadap x. Grafik ini disebut diagram gaya geser dan momen lentur.
22
Contoh-Contoh Soal Dan Pembahasannya
1. Gambarkan diagram gaya geser dan momen lenturnya!Jawab:
Dengan menggunakan persamaan keseimbangan statis diperoleh R1 = 1200 kN dan R2 = 2400 kN w/x = 600/12 w = (x/12)600 kNm 2
25
1200
600
12
2
1
1200
x
x
x
V
33
25
1200
3
600
12
2
1
1200
x
x
x
x
x
x
M
Vx=0 = 1200 kN dan Vx=12 = -2400 kN V = 0 1200 – 25x2 = 0 x = 6.94 m
6
.
94
5520
3
25
94
.
6
1200
3 94 . 6
x
M
X M = 5x(x/2) kN m untuk 0 m<x<4 m Mx=0 = 0 kN m Mx=4 = 40 kNm M = -5x(x/2) kN m untuk 0 m<x<4 m Mx=0 = 0 kN m Mx=4 = -40 kNm M = -10(x - 2) kN m untuk 2 m<x<4 m23 Mx=2 = 0 kN m Mx=4 = -20 kNm M = 20(x - 3) kN m untuk 3 m<x<4 m Mx=3 = 0 kN m Mx=4 = 20 kNm Gaya geser Momen lentur
2. Gambarkan diagram gaya geser dan momen lentur dari balok yang mendapatkan pembebanan seperti berikut.
Jawab:
24 Fv = RB + 14 - 4(6) = 0 RB = 10 Kn V = -4x kN untuk 0 m<x<1 m Vx=0 = 0 kN dan Vx=1 = -4 kN V = -4x + 10 kN untuk 1 m<x<5 m Vx=1 = 6 kN dan Vx=5 = -10 kN V = -4x + 10 +14 kN untuk 5 m<x<6 m Vx=5 = 4 kN dan Vx=6 = 0 kN M = 4x(x/2) =2x2 kN m untuk 0 m<x<6 m Mx=0 = 0 kN m dan Mx=6 = -72 kN m M = 10(x - 1) kN m untuk 1 m<x<6 m Mx=1 = 0 kN m dan Mx=6 = 50 kN m M = 8 kN m untuk 3 m<x<6 m M = 14(x - 5) kN m untuk 3 m<x<6 m Mx=5 = 0 kN m dan Mx=6 = 14 kN m Gaya geser
25
Momen lentur
3. Tentukan persamaan gaya geser dan momen lentur balok di atas menggunakan fungsi singularitas dan gambarkan diagram gaya geser dan momen lenturnya.
Jawab: w(x) = R1(x)-1 – 15(x - 0.5)-1 + R2(x – 1.5)-1 kN………(1) V(x) = R1(x)0 – 15(x - 0.5)0 + R2(x – 1.5)0 kN………(2) M(x) = R1(x)1 – 15(x - 0.5)1 + R2(x – 1.5)1 kN m………(3) Dari persamaan (2) R1 – 15 + R2 = 0 Dari persamaan (3) R1(1.5) – 15(1.5 - 0.5) + 0 = 0 R1 =10 kN, R2 = 5 kN
26
Momen lentur
4. Tentukan persamaan gaya geser dan momen lentur balok di bawah ini menggunakan fungsi singularitas dan gambarkan diagram gaya geser dan momen lenturnya. Jawab: w(x) = -0.25(x - 2)-2 + V 1(x - 3)-1 + M1(x – 3)-2 kN………(1) V(x) = -0.25(x - 2)-1 + V 1(x - 3)-0 + M1(x – 3)-1 kN ………(2) V1 = 0 Sedangkan V(x) = -0.25(x - 2)1 + M 1(x – 3)-1 M(x) = -0.25(x - 2)0 + M 1(x – 3)0 M1 = 0.25
Gaya geser
27
Momen lentur
5. Tentukan persamaan gaya geser dan momen lentur balok di atas menggunakan fungsi singularitas dan gambarkan diagram gaya geser dan momen lenturnya.
Jawab: Mo = 3.5R2 - 15 - 22.5(2.75) = 0 R2 = 22.0 kN Fv = R1 - 15 - 22.5 + 22.0 = 0 R1 = 15.5 Kn w(x) = 15.5(x)-1 - 15(x - 1)-1 - 15(x - 2)0 + 22(x - 3.5)-1 kN...………(1) V(x) = 15.5(x)0 - 15(x - 1)0 - 15(x - 2)1 + 22(x - 3.5)0 kN...………..(2) M(x) = 15.5(x)1 - 15(x - 1)1 - 7.5(x - 2)2 + 22(x - 3.5)1 kN m...……..(3) Dari persamaan (2) Vx=1 = 15.5 kN Vx=2 = 0.5 kN Vx=3.5 = -2216 kN 15.5 - 15 - 15(x - 2) = 0 x = 2.033 m Dari persamaan (3) Mx=0 = 0 kN m Mx=1 = 15.5 kN m Mx=2 = 16 kN m Mx=2.033 = 15.5(2.033) - 15(1.033) - 7.5(0.033)2 = 16.008 kN m Gaya geser
28
Gaya geser
Momen lentur
6. Tentukanlah gaya-gaya raksi yang bekerja pada struktur yang dibebani seperti pada gambar berikut ini.
29 Jawab:
kN
R
R
F
kN
R
R
M
R
kN
R
R
M
Ax Ax x Ay Ay B Bx By By A16
0
4
12
0
12
0
3
16
4
0
4
0
4
1
16
0
kN
R
kN
R
B A2
4
4
4
20
12
16
2 2 2 2
7. Tentukan diagram gaya geser dan momen lentur untuk sebuah balok sederhana dengan beban merata yang berintensitas q yang bekerja pada sebagian dari bentangan balok.
Jawab:
Reaksi-reaksi untuk balok:
2
b
c
L
qb
R
a
2
b
a
L
qb
R
bBagian balok sebelah kiri (0 < x < a)
a
R
V
M
R
ax
Penampang dalam bagian balok yang dibebani
x
a
q
R
V
a
2
2a
x
q
x
R
M
a
Bagian balok yang tak terbebani pada ujung sebelah kanan
b
R
30
8. Sebuah balok ABC dengan sebuah emper menyangga sebuah beban merata dengan intnsitas q = 6 kN/m dan sebuah beban terpusat P = 28 kN. Hitunglah gaya geser V dan momen lentur M pada penampang D yang terletak 5 m dari penyangga sebelah kiri.
Jawab:
R
kN
R
a8
28
5
6
10
3
0
a
40
kN
R
M
a
0
b
48
M
M
kNm
M
kN
V
V
F
y69
0
5
.
2
5
6
2
28
5
40
0
18
0
5
6
28
40
0
Tanda minus untuk V berarti bahwa gaya geser ini bekerja dalam arah negatif (berlawanan arah yang diperlihatkan dalam gambar.
9. Susunlah diagram gaya geser dan momen lentur untuk balok konsol yang diperlihatkan dalam gambar.
31
Jawab:
Bagian balok sebelah kiri (0 < x < a)
1
P
V
M
P
1x
Bagian balok sebelah kanan (a < x < L)
2 1
P
P
V
M
P
1x
P
2
x
a
10. Hitunglah reaksi pada tumpuan untuk balok sederhana berbeban seperti yang terlihat dalam gambar. Abaikan berat dari balok.
Jawab:
N
R
R
M
N
R
R
M
R
F
Ay Ay B B B A Ax x410
0
1
.
0
160
2
.
0
100
200
4
.
0
0
670
0
4
.
0
3
.
0
160
2
.
0
100
200
0
0
0
32
Latihan Soal
1. Gambarkan diagram gaya geser dan momen lenturnya!Dengan menggunakan persamaan keseimbangan statis diperoleh R1 = 1500 kN dan R2 = 2800 kN.
2. Hitunglah gaya geser V dan momen M pada penampang, berturut-turut 3 dan 5 m dari ujung kiri balok seperti terlihat pada Gambar berikut.
3. Tentukan gaya geser maksimum V dan momen M pada balok yang terlihat pada Gambar berikut.
33
4. Hitunglah reaksi tumpuan RA dan RB pada Gambar berikut.
5. Hitunglah reaksi pada tumpuan dari balok berikut.
34
