Tajuk 5 Matriks

Tajuk 5: MATRIKS

1. Penentu Matriks

Jika A matriks __ca _db_, maka penentu A, I AI = ad - bc Contoh: 1) _₁2 5_3 Penentu = 2x3 – 5 x1 = 6 − 5 = 1 Latihan: 1) _₂3 ₃4_ 2) _₃1 −₄2_ Penentu = 1 x 4 – (−2) x 3 = 4 + 6 = 10 2) _₄2 −₅3_ 3) _₋1_{3 4}2_ Penentu = 1 x 4 – 2x (−3) = 4 + 6 = 10 3) _₋₄2 ₅3_ 4) _₃1 ₋2_4 Penentu = 1 x (−4) – 2 x 3 = − 4 − 6 = −10 4) _₄2 ₋3_5

Cari penentu bagi setiap matriks berikut: Latihan: 1) _₅3 ₆4_ 2) _₅3 −₆4_ 3) _₋3_{5 6}4_ 4) _₅3 ₋4_6 5) _−₋₅3 ₆4_ 6) _₂4 ₁3_ 7) _₂4 −₁3_ 8) _₋4_{2 1}3_ 9) _₂4 ₋3_1 10) _₋−₂4 ₁3_

2. MATRIKS SONGSANG

i) Tukar kedudukan dari _a_{c d}b_ kepada _₋d_c −_ab_.

Contoh: 1) _₃2 ₅7_ = _₋5₃ −₂7_ Latihan: 1) _₆4 10_2 2) _₋2_{3 5}7_ = _ ₃5 −₂7_ 2) _₋4₆ 10_2 3) _₃2 −₅7_ = _₋5_{3 2}7_ 3) _₆4 −₂10_ 4) _−₃2 ₋7_5 = _₋−₃5 ₋−₂7_ 4) _−₆4 ₋10_2 5) _−₃2 ₋−₅7_ = _₋−₃5 ₋7_2 5) _₋−₆4 −10_2

Tukar kedudukan dari __ca _db_ kepada _₋d_c −_ab_.

1) _₆4 ₇5_ 2) _₋4_{6 8}2_

3) _₋5₁ −₃2_ 4) _−₋₆7 −₈5_

5) _−3₆ −₋₁2_ 6) _−7_{1 4}5_

7) _₋−6_{2 1}3_ 8) _7_{2 −}−₅3_

ii) Mencari Matriks Songsang dengan Kaedah rumus.

1. Matriks songsang bagi M=M -1

Misalnya jika matriks M = _a_{c d}b_ maka matriks songsang M -1 ₌

    d c b a _-1

2. Bagi matriks M = __ca _db_, yang mempunyai matriks songsang M = _a_{c d}b_

Cari matriks songsang bagi setiap matriks berikut:

Contoh: b) _ 5 −3_ Latihan: b) _ 7 −5_ Contoh: a) _₆5 ₄3_     4 6 3 5 = ₍₅₎₍₄₎1_−(3)(6)     − − 5 6 3 4 = 18 20 1 −     − − 5 6 3 4 = 2 1 _₋₆4 −₅3_ Atau =           − − 2 5 3 2 3 2 Latihan: a) _₂6 ₂3_ -1 -1 -1     d c b a = bc ad − 1     − − a c b d −1 -1

    − − 4 6 3 5 = _(5)(4)−1_(−3)(−6)     5 6 3 4 = 2 1     − − 5 6 3 4 atau =           − − 2 5 3 2 3 2 c) _₋₂1 ₃4_     −2 3 4 1 = _(1)(3)−1_(4)(−2)     − 1 2 4 3 = 11 1     − 1 2 4 3 atau =           − 11 1 11 2 11 4 11 3 (c) _₋₂1 ₇3_ Contoh: (d) _1₂ −₋₃4_ Latihan: d) _₄2 ₋−₈1_ -1 -1

    − − 3 2 4 1 = _(1)(−3)−1_(−4)(2)     − − 1 2 4 3 = 8 3 1 + −     − − 1 2 4 3 = 5 1     − − 1 2 4 3 atau =           − − 5 1 5 2 5 4 5 3 Latihan 3:

1. Dengan menggunakan rumus, cari matriks songsang bagi setiap matriks

yang berikut: a) _       0 1 1 1 b) _₁2 ₁3_ -1

c) _₆4 ₂1_ d) _−₃2 ₋₅2_ e) _       − −6 4 1 2 1 f)             − ₆ 4 1 8 3 1

4. Menukarkan Persamaan Matriks Dalam Bentuk __yx_= A __ba_ Contoh 1:     4 3 2 1     y x = _₆5_ __yx_ = _₃1 ₄2_{ }₆5_ Latihan: 1) _₄2 ₅3__x_y_= _₈7_ Contoh 2:     − 4 3 2 1     y x = _₆5_ _x_y = _1₃ −₄2_{ }₆5_ Latihan: 2) _₄2 −₅3_{}_yx_= _₈7_ Contoh 3:     −3 4 2 1     y x = _₆5_ _x_y_ = _₋1₃ 2₄_{ }₆5_ Latihan: 3) _₋2₄ 3₅_{}_yx_= _₈7_ Contoh 4:     −4 3 2 1     y x = _₆5_ __yx_ = _1_{3 −4}2_{ }₆5_ Latihan: 3) _₄2 ₋3₅_{}_yx_= _₈7_ Latihan 4 -1 -1 -1 -1 -1

Tuliskan persamaan matriks berikut dalam bentuk __yx_= A− 1     b a 1) _₆2 ₈4_ _yx_ = _₆5_ 2) _₆2 −₈4_ _yx_ = _₆5_ 3) _₂4 ₁3_ _x_y_ = _₈7_ 4) _₂4 −₁3_ _yx_ = _₈7_ 5) _₋2_{6 8}4_{ }_yx_ = _₆5_ 6) _₋4₂ 3_1 _x_y_ = _₈7_ 7) _₆2 ₋4₈_{ }_yx_ = _₆5_ 8) _₂4 ₋3_1 _yx_ = _₈7_ 9) _1_{3 4}2_ _x_y_ = _₆5_ 10) _₃1 −₄2_ _x_y_ = _₆5_

5. Penyelesaian Persamaan Matriks

i) Mengunakan kaedah matriks untuk mencari nilai x dan y

    4 3 2 1     y x = _₆5_ __yx_ = 1 4 3 2 1 −             6 5 = _(1×4)−1_{(2×3) }₋4₃ −₁2_     6 5 = 6 4 1 −     × + × − × − + × 6 1 5 3 6 2 5 4 = 2 1 −     + − − 6 15 12 20 = 2 1 −     −9 8 =           − × − × − 9 2 1 8 2 1 =















−

2

9

4

x = − 4, y= 4 2 1     5 4 3 2     y x = _₇6_

Contoh 2:     − 4 3 2 1     y x = _₅5_ __yx_ = _1₃ −₄2_{ }       5 5 = _(1)(4)−1_{(−2)(3) }₋4_{3 1}2_ _       5 5 = 6 4 1 + _         + − + 5 1 5 3 5 2 5 4 x x x x = 10 1     + − + 5 15 10 20 = 10 1     −10 30 =           − × × 10 10 1 30 10 1 _x_y = _₋3_1 x = 3, y = −1 Latihan 2:     − 2 1 3 1     y x = _       1 1 -1

Latihan 5

Selesaikan persamaan matriks berikut dengan kaedah matriks.

1) _−1_{3 4}2_{ }x_y = _       5 5 2) _₋1_{1 2}3_{ }x_y_ = _₃2_ 3) _₃1 ₋2₄_{ }_yx_ = _5₅_ 4) _₁1 ₋3₂_{ }x_y = _       1 1

5) _₁4 ₁2_{ }_yx_ = _       1 1 6) _₄1 1_2 _yx_ = _₂1_ 7) _14 −₁2_{ }_yx_ = _       1 1 8) _₄1 −₂1_{ }_yx_ = _₂2_ 9) _₋1_{1 0}2_{ }_yx_ = _₄2_ 10) _₁2 ₋0_1 _yx_ = _₁2_

6. Menukar Persamaan Serentak Kepada Persamaan Matriks Contoh 1: x + 2y = 5 3x + 4y = 6 1 x + 2 y = 5 3 x + 4 y = 6 Persamaan matriks     4 3 2 1     y x = _₆5_ Latihan: 1) 2x + 3y = 7 4x + 5y = 8 Contoh 2: x − 2y = 5 3x − 4y = 6 1x − 2y = 5 3x + 4y = 6 Persamaan matriks     − 4 3 2 1     y x = _₆5_ Latihan: 2) 2x − 3y = 7 4x + 5y = 8 Contoh 3: x + 2y = 5 −3x + 4y = 6 1x + 2y = 5 −3x + 4y = 6 Persamaan matriks     −3 4 2 1     y x = _₆5_ Latihan: 3) 2x + 3y = 7 −4x + 5y = 8

Tukarkan persamaan serentak berikut kepada bentuk Matriks 1) x + 2y = 5 3x – 4y = 6 2) 2x + 4y = 5 6x + 8y = 6 3) 4x + 3y = 7 2x + y = 8 4) 2x - 4y = 5 6x + 8y = 6 5) 2 x + 4y = 5 -6x + 8y = 6 6) 2x + 4y = 5 6x – 8y = 6 7) 4x - 3y = 7 2x + y = 8 8) 4x + 3y = 7 -2x + y = 8 9) 4x + 3y = 7 2x –y = 8 10) 2x + 3y = 6 4x + 5y = 7

Contoh :

1. a) Carikan matrik songsang bagi

    − − 2 3 2 1

b) Seterusnya dengan menggunakan kaedah matriks, hitungkan nilai m dan n yang memuaskan kedua-dua persamaan berikut:

m – 2n = 2 3m – 2n =10

Penyelesaian

a) Matriks sonsang bagi _₃1 ₋−₂2_

1 2 3 2 1 −     − − =

(

1 2

)

( 2 3) 1 × − − − × −  − 1 3 2 2 = 4 1     − − 1 3 2 2 =           × − × × − × 1 4 1 ) 3 ( 4 1 2 4 1 ) 2 ( 4 1 =           − − 4 1 4 3 2 1 2 1 b) m – 2n = 2 3m – 2n = 10     − − 2 3 2 1     n m = _₁₀2_     n m = 1 2 3 2 1 −     − −     10 2     n m = _(1×−2)−1_(−2×3)     − − 1 3 2 2     10 2 _m_n = 4 1     − − 1 3 2 2     10 2 = 4 1     × + × − × + × − 10 1 2 3 10 2 2 2 = 4 1     + − + − 10 6 20 4 = 4 1     4 16 _m_n = _₁4_ maka m=4 dan n=1

1. i) Carikan matriks songsang bagi _₁2 ₄6_

ii) Seterusnya, hitungkan nilai k dan nilai m yang memuaskan persamaan matriks berikut: _₁2 ₄6_ _mk_ = _₀1_.

Penyelesaian

i) ii)

Contoh:

nilai m dan n.

ii) Seterusnya dengan menggunakan kaedah matriks, hitungkan nilai u dan v yang memuaskan persamaan matriks berikut:

    2 3 1 5     v u = _−₂6_ Penyelesaian i) Jika FG = _₀1 ₁0_ maka G = F F = _₂5 ₃6_ F = _₂5 ₃6_ =_(5)(3)−1₍₆₎₍₂₎     − − 5 2 6 3 = 3 1     − − 5 2 6 3 F −1 ₌         − − 3 5 3 2 2 1 Bandingkan G dan F     − n m 2 1 =         − − 3 5 3 2 2 1 m = 3 2 − , n = 3 5 ii)     3 2 6 5     v u = _3_9 Penyelesaian     v u = 1 3 2 6 5 −             9 3 = 3 1     − − 5 2 6 3     9 3 = 3 1     × + × − × − + × 9 5 3 2 9 6 3 3 = 3 1     + − − 45 6 54 9 = 3 1    − 39 45     v u = _−₁₃15_ u = − 15, v = 13 Latihan Kendiri:

a) Diberi bahawa matriks

-1

-1 -1

D = _₆5 ₄3_, E = _       − n m 2 3 2 dan DE = _₀1 ₁0_ Cari nilai m dan n.

b) Seterusnya dengan menggunakan kaedah matriks, hitungkan nilai u dn w

yang memuaskan persamaan.

    4 6 3 5     w u = _₃2_ Penyelesaian a) b)

3. Diberi bahawa k 1         1 1 3

r ialah matriks songsang bagi 

   − 3 2 1 1 .

i) Carikan nilai r dan nilai k.

ii) Seterusnya dengan menggunakan kaedah matriks, hitungkan nilai x dan nilai y yang memuaskan persamaan matriks berikut:

    − 3 2 1 1     y x = _       2 11 Penyelesaian (i) Songsang _₂1 −₃1_ = 1 3 2 1 1 −         − 1 3 2 1 1 −         − = _(1)(3)−1_(−1)(2)     −2 1 1 3 = 2 3 1 +     −2 1 1 3 = 5 1     −2 1 1 3 Bandingkan 5 1     −2 1 1 3 = k 1     1 1 3 r k = 5, r = -2 ii) _ _ y x = 1 3 2 1 1 −         −         2 11 = 5 1     −2 1 1 3         2 11 = 5 1     × + × − × + × ) 2 1 ( ) 11 2 ( ) 2 1 ( ) 11 3 ( = 5 1     + − + 2 22 2 33 = 5 1     −20 35 =           − × × ) 20 ( 5 1 35 5 1 _ _ y x = _₋7_4 x = 7, y = − 4

1. Diberi bahawa k 1     −1 4 1 p

ialah matriks songsang bagi _₁4 −₁2_ a) Carikan nilai k dan p.

b) Seterusnya, dengan menggunakan kaedah matriks, hitungkan nilai

x dan y yang memuaskan persamaan matriks berikut:

    − 1 1 2 4     y x = _−₁₀2_ Penyelesaian a) b) Contoh Pemarkahan:

1) i) Carikan matriks songsang bagi _₆2 ₄1_

ii) Seterusnya, hitungkan nilai k dan nilai m yang memuaskan persamaan matriks berikut:

2k + m = 0 6k + 4m = 1 (7 markah) Penyelesaian i) _₆2 1_4 = ₍₂₎₍₄₎1_−(1)(6) _−4₆ −₂1_ = 6 8 1 −     − − 2 6 1 4 = 2 1     − − 2 6 1 4 ii) _₆2 1_4_mk_=_₁0_ __mk _=_₆2 ₄1_{ }₁0_ = 2 1     − − 2 6 1 4     1 0 = 2 1     × + × − × − + × ) 1 2 ( ) 0 6 ( ) 1 1 ( ) 0 4 ( = 2 1     + − 2 0 1 0 = 2 1        − 2 1 =           × − × 2 2 1 1 2 1     m k = _      − 12 1 k = 2 1 − , m= 1 * mewakili satu markah.

Kesalahan umum.

Analisis Kesalahan

Dengan menggunakan kaedah matriks, hitungkan nilai x dan nilai y yang memuaskan kedua-dua persamaan berikut:

5 x + 3 y = 3 -4x + y = -16 -1 * * * -1 * * * *

1. Kesilapan dalam menulis serentak dalam bentuk matriks.

    − 1 3 4 5     y x = _₋₁₆3_ 1.     −4 1 3 5     y x =     −16 3

2. Kesilapan menghitung nilai penentu.

    −4 1 3 5     y x =     −16 3     y x = _(5)×(1)1_{+(3)(−4) }₄1 −₅3_     −16 3 2.     −4 1 3 5     y x =     −16 3     y x = _(5)(1)−1_{(3)(−4) }₋1₄ −₅3_     −16 3

3. Kesilapan dalam mendarab dua matriks.

    y x = 12 5 1 +     − × + × − × − + × 16 5 3 3 ) 3 4 ( 3 1     −16 3 3.     y x = 17 1     − × + × − × − + × 16 5 3 4 ) 3 4 ( 3 1 4.     y x =_₋3₁₆_ _35 −₁4_ 4.     y x = _₃5 −₁4__₋3_16 5. Sebagai jawapan akhir

    y x = _₋3_4 5. x = 3, y = -4 -1

SOALAN – SOALAN SPM

1. SPM 2003 Kertas 2, soalan 11

M ialah satu matriks 2 x 2 dengan keadaan M _ _=_ _ − − 1 0 0 1 4 5 2 3 a) Carikan matriks M.

b) Tuliskan persamaan linear serentak berikut dalam bentuk persamaan matriks.

3x − 2y = 7 5x − 4y = 9

Seterusnya, dengan mengunakan kaedah matriks, hitungkan nilai x dan y [ 6 markah]

2. SPM 2004 Kertas 2, soalan 8

a) M atriks songsang bagi _       − − 6 5 4 3 ialah _       − − 3 5 6 p

m _{. Carikan nilai m dan}

p.

b) Dengan mengunakan kaedah matriks, hitungkan nilai x dan nilai y yang memuaskan persamaan linear srentak berikut:

3x − 4y = − 1 5x − 6y = 2

[6 markah] 3. SPM 2005 Kertas 2, Soalan 11

Diberi bahawa matriks _

      − = ₁2 ₃5 P _{dan matriks }       − =k 3_{1 2}h Q _dengan keadaan =_ _ 1 0 0 1 PQ _.

a) Carikan nilai k dan nilai h.

b) Dengan mengunakan kaedah matriks, hiutngkan nilai x dan y yang memuaskan persamaan linear serentak berikut:

2x − 5y = − 17

4. SPM 2004 Julai, Kertas 2, Soalan 9

a) Carikan matriks songsang bagi _₅2 ₆3_

b) Dengan mengunakan kaedah matriks, hitunhkan nilai x dan nilai y yang memuaskan persamaan linear serentak berikut.

2x + 3y = 1

5x + 6y = − 2 [6 markah] 5. SPM 2005 Julai, Kertas 2, Soalan 9

P ialah matriks 2 x 2 dengan keadaan _1₃ −₄2_P =_1_{0 1}0__.

a) Carikan matriks P.

b) Tuliskan persamaan linear serentak berikut dalam bentuk persamaan matriks:

x − 2y = 8 3x + 4y = − 6

Seterusnya, dengan menggunakan kaedah matriks, hitungkan nilai x dan nilai y.

JAWAPAN Latihan 1: 1) −2 2) 38 3) 38 4) −38 5) 2 6) −2 7) 10 8) 10 9) −10 10) 2 Latihan 2: 1) _₋7₆ −₄5_ Latihan 3: a) _₁0 ₋1_1 2) _₆8 −₄2_ b) _−₁1 ₋3_2 3) _₁3 ₅2_ c) _       − − 2 3 2 1 1 4) _₆8 ₋5_7 d)           − − − − 2 1 4 3 2 1 4 5 5) _−₆1 ₃2_ e)            ₋ − 8 1 2 1 1 4 1 1 6) _₁4 −₇5_ f)           ₋ 12 1 16 1 2 2 3 7) _₂1 ₋3_6 8) _₋−₂5 ₇3_

Latihan 4: 1) __yx_ = _₆2 ₈4_{ }₆5_ 2) _x_y = _2₆ −₈4_{ }₆5_ 3) __yx_ = _14 ₂3_ _7₈_ 4) _x_y = 1 2 2 3 4 −         −     6 5 5) __yx_ = 1 8 6 4 2 −     −     6 5 6) _x_y = 1 1 2 3 4 −         −     8 7 7) __yx_ = 1 8 6 4 2 −     −     6 5 8) _x_y = 1 1 2 3 4 −         −     8 7 9) __yx_ = 1 4 3 2 1 −             6 5 10) _x_y = 1 4 3 2 1 −         −     6 5 Latihan 5 1) x = 1, y = 2 2) x = -1, y = 1 3) x = 3, y = 1 4) x = 1, y = 0 5) x = 2 1 − , y = 2 3 6) x = 0, y = 1 7) x = 2 1 , y = 2 1 8) x = 1, y = −1 9) x = -4, y = 3 10) x = 1, y = 0 -1 -1 -1

Latihan 6 1) _₃1 ₋₄2_{ }_yx_ = _65_ 2) _₆2 ₈4_ __yx_ = _₆5_ 3) _₂4 ₁3_ _x_y_ = _₈7_ 4) _₆2 −₈4_ _yx_ = _₆5_ 5) _₋2_{6 8}4_{ }_yx_ = _₆5_ 6) _₆2 ₋₈4_ _x_y_ = _₆5_ 7) _₂4 ₁−3_{ }_yx_ = _₈7_ 8) _₋4_{2 1}3_ _x_y_ = _₈7_ 9) _       −1 2 3 4     y x = _₈7_ 10) _₄2 ₅3_{ }x_y = _₇6_ Soalan – soalan SPM 1. a) _       − − − 3 5 2 4 2 1 b) _ __ _=_ _ − − 9 7 4 5 2 3 y x , x = 5 dan y = 4 2. a) m = 2 1 dan p = 4 b) 2 11 , 7 = = y x 3. a) , 5 11 1 = = h k b) x =−1, y =3 4. a) _       − −     − − − 3 2 3 5 1 2 2 5 3 6 3 1 atau b) x =−4, y =3 5. a)           −     − 10 1 10 3 5 1 5 2 1 3 2 4 10 1 _atau b) _1₃ −₄2__x_y_=_−8_6 3 , 2 = = y x