JURNAL TEKNIK POMITS Vol. 1, No. 1, (2012) 1-6 1

(1)

Abstrak—Kualitas merupakan faktor utama yang dipertimbangkan konsumen dalam memilih barang dan jasa. Agar dapat menghasilkan barang dan jasa yang berkualitas baik diperlukan suatu pengendalian kualitas statistik, salah satunya menggunakan peta kendali. Peta kendali dapat digolongkan menjadi dua yaitu peta kendali atribut dan peta kendali variabel.

Pada tugas akhir ini, suatu rancangan peta kendali baru dibentuk berdasarkan fungsi keanggotaan Triangular Fuzzy

Number untuk menghasilkan peta kendali p~ . Untuk menguji

kinerja dari rancangan peta kendali ini dilakukan perbandingan dengan peta kendali p dimana data dari peta kendali ini berasal dari data pengukuran diameter dalam cincin piston yang dianalisis menggunakan Triangular Fuzzy Number untuk menghasilkan tingkat ketidaksesuaian dalam mendeteksi keadaan out of control pada pergeseran nilai rata-rata berdasarkan kurva OC (Operating Characteristic Curve) dan nilai ARL (Average Run Length).

Dari analisis dan pembahasan yang telah dilakukan, hasil perbandingan berdasarkan kurva OC dan ARL menunjukkan bahwa pada k=0 sampai k=0.8 peta kendali p mempunyai kinerja yang lebih baik dalam mendeteksi keadaan

out of control pada pergeseran nilai rata-rata daripada peta

kendali ~ . p

Kata kunci : Average Run Length (ARL), batas spesifikasi,

Operating Characteristic Curve (kurva OC), Triangular Fuzzy Number.

I. PENDAHULUAN

eta kendali digunakan untuk mendeteksi keadaan yang tidak sesuai atau biasa disebut nonconforming/NC dalam suatu proses. Peta kendali digolongkan menjadi dua, yaitu peta kendali variabel dan peta kendali atribut. Peta kendali atribut yang dikembangkan berdasarkan distribusi Binomial adalah peta kendali p [1].

Pada tugas akhir ini, suatu rancangan peta kendali atribut yang datanya berasal dari data pengukuran dianalisis menggunakan Triangular Fuzzy Number sehingga menghasilkan peta kendali baru, yaitu peta kendali p~ . Peta kendali ini diharapkan mampu mendeteksi keadaan out of control pada variansi yang kecil. Selanjutnya kinerja peta kendali ~p dan peta kendali p dibandingkan berdasarkan kurva OC (Operating Characteristic Curve) dan nilai ARL (Average Run Length) pada pergeseran nilai rata-rata dan

variansi dari suatu proses. Untuk mengukur kemampuan peta kendali dalam mendeteksi pergeseran diperlukan kurva OC (Operating Characteristic Curve) dan nilai ARL (Average Run Length). Kurva OC adalah penyajian grafis probabilitas menerima secara salah, hipotesis dalam keadaan tidak terkendali (kesalahan tipe II atau ) [4]. Sedangkan ARL merupakan rata-rata banyaknya sampel (subgrup) yang harus diamati sampai ditemukan out of control yang pertama [5].

Pada tugas akhir ini, permasalahan yang dibahas adalah bagaimana mendapatkan batas-batas pengendali untuk peta kendali p~ dan perbandingan kinerja kedua peta kendali berdasarkan nilai ARL dan bentuk kurva OC pada pergeseran nilai rata-rata dari suatu proses dengan batasan masalah data yang digunakan merupakan data yang berasal dari pengukuran diameter dalam cincin piston untuk mesin automobil yang diproduksi dengan proses penempaan yang diambil dari buku “Pengantar Pengendalian Kualitas Statistik” karangan D. C. Montgomery. Manfaat yang diperoleh dari tugas akhir ini adalah dapat menghasilkan metode baru dari peta kendali atribut yang tidak hanya mampu mendeteksi keadaan out of control pada pergeseran nilai rata-rata tetapi juga mampu mendeteksi keadaan out of control pada pergeseran variansi yang kecil.

II. URAIANPENELITIAN A. Fungsi Keanggotaan (Membership Function)

Fungsi keanggotaan (Membership Function) merupakan suatu kurva yang menunjukkan titik-titik input data ke dalam nilai keanggotaannya (derajat keanggotaan) dengan interval 0 sampai 1. Salah satu bentuk fungsi keanggotaan adalah Triangular Fuzzy Number T(L,M,U) dimana LMU sehingga [6],                  lainnya U x M U M U x M x L L M L x x U M L T , 0 , , , , ) )( , , ( (1)

Analisis Peta Kendali p menggunakan Kualitas

Fuzzy pada Pergeseran Nilai Rata-Rata dan

Variansi dari Suatu Proses

Rollita Putri Kareni, I G N Rai Usadha, Laksmi Prita Wardhani

Jurusan Matematika, Fakultas MIPA, Institut Teknologi Sepuluh Nopember (ITS) Jl. Arief Rahman Hakim, Surabaya 60111

E-mail: [email protected]

(2)

B. Kualitas Fuzzy (Fuzzy Quality)

Jika karakteristik kualitas adalah x maka tingkat kesesuaian dengan standar kualitas dinotasikan C~(x)sedangkan tingkat ketidaksesuaian didefinisikan sebagai berikut [2],

) ( ~ 1 ) ( ~ x C x N   (2)

C. Tingkat Kesesuaian menggunakan Triangular Fuzzy Number

Teorema :

Diberikan x adalah karakteristik kualitas dan x

berdistribusi normal dengan parameter dan 2. Jika tingkat kesesuaian menggunakan triangular fuzzy number adalah

) , , ( ~ U M L C maka (i) _C~ E

 

C~

 

x                                L M L M                                M L L M L                               M U U M                               U M U M U (3) (ii)



 













                 L L L M x C E 2 2 ~





_                L M M 2









                  M L M L 2 2 2









                  M U M L 2







_                          M U U U 2









                               U M U M U 2 2 2 (4) (iii) E

 

N~

 

x 1E

 

C~

 

x (5)

 

N x Var

 

C

 

x Var ~  ~ (6) dengan :



.

 : probability density function (pdf)



.

 : cumulative distribution function (CDF)

III. ANALISADANPEMBAHASAN A. Analisa Peta Kendali p~

Pada tahap ini dilakukan analisis untuk mendapatkan batas-batas pengendali untuk peta kendali p~ .

Tingkat Ketidaksesuaian menggunakan Triangular Fuzzy Number

Langkah awal sebelum menentukan batas-batas pengendali yaitu mendefinisikan tingkat ketidaksesuaian menggunakan fungsi keanggotaan Triangular Fuzzy Number. Jika tingkat kesesuaian menggunakan Triangular Fuzzy Number adalah

) , , ( ~ U M L

C dimana LMUmaka bentuk fungsi keanggotaannya adalah sebagai berikut,



   

                   lainnya U x M U M U x M x L L M L x x C x U M L C , 0 , , , , ~ , , ~ (7)

Dari persamaan (7) dan persamaan (2) didapatkan tingkat ketidaksesuaian sebagai berikut,

 

                    lainnya U x M U M U x M x L L M L x x N , 1 , , 1 , , 1 ~ (8)

Rata-Rata

 

_N~_{ }_x _{untuk Peta Kendali p}~

Untuk mendapatkan rata-rata

 

_N~_{ }_x _{pada peta kendali p}~ menggunakan persamaan (3) dan persamaan (5) dan hasilnya sebagai berikut :

 

_                                   L M L M x N E ~ 1                                M L L M L                               M U U M                                   U M U M U (9) Variansi

 

2~ N

 untuk Peta Kendali p~ Untuk mendapatkan Variansi

 

2~

N

 untuk peta kendali p~ menggunakan persamaan (6), Var

 

C~

 

x didapatkan menggunakan persamaan berikut ini :

 

~

 

~₂

 



 

~

 



2 x C E x C E x C Var   (10) Kemudian dari persamaan (3), persamaan (4), dan persamaan (10) diperoleh,

 

_

_

_







                     M L L L M x C Var 2 ~











                                M L M L M L ₂ 2 2 2

(3)









                  M U M L 2







_                          M U U U 2









                               U M U M U 2 2 2                                   L M L M                                M L L M L                               M U U M 2                                   U M U M U (11) Berdasarkan persamaan (6), Var

 

N~

 

x dapat ditentukan dan hasilnya tertera pada persamaan (11).

Menetukan Batas-Batas Pengendali untuk Peta Kendali p~ Jika rata-rata

 

_N~_{ }_x _{dan variansi}

 _    2 ~ x N  telah diketahui, maka batas-batas pengendali untuk peta kendali p~ sebagai berikut,

 

_N p E N x GT~ ~ ~       (12)

 

n k x N Var k x N E BPAp _N N ~ ~ ~ ~ ~                   (13)

 

n k x N Var k x N E BPB_p _N N ~ ~ ~ ~ ~                   (14) Dengan

 

n x N x N x N n ~ ... ~ ~ _ 1   _dan_k_₃

B. Studi Kasus Data Pengukuran Diameter Dalam Cincin Piston

Data yang digunakan adalah data pengukuran diameter dalam cincin piston (mm) untuk mesin automobil yang diproduksi dengan proses penempaan [4].

Tingkat Ketidaksesuaian menggunakan Fungsi Keanggotaan Triangular Fuzzy Number

Jika batas spesifikasi pada cincin piston adalah mm

05 . 0

74 maka tingkat ketidaksesuaian menggunakan persamaan (8) dan hasilnya adalah sebagai berikut,

 

                                 05 . 74 , 1 05 . 74 74 , 05 . 0 05 . 74 1 74 95 . 73 , 05 . 0 95 . 73 1 95 . 73 , 1 ~ x x x x x x x N (15)

Hasil tingkat ketidaksesuaian menggunakan Triangular Fuzzy Number ditunjukkan pada Tabel 4.1.

Tabel 4.1 Tingkat Ketidaksesuaian menggunakan Triangular Fuzzy Number No. sampel Ñ(x1) Ñ(x2) Ñ(x3) Ñ(x4) Ñ(x5) Ñ̄(x) 1 0.600 0.040 0.380 0.160 0.160 0.268 2 0.100 0.160 0.020 0.220 0.080 0.116 3 0.240 0.480 0.420 0.100 0.040 0.256 4 0.040 0.080 0.140 0.300 0.180 0.148 5 0.160 0.140 0.300 0.220 0.280 0.220 6 0.180 0.120 0.060 0.300 0.140 0.160 7 0.100 0.120 0.120 0.000 0.100 0.088 8 0.300 0.060 0.140 0.300 0.240 0.208 9 0.160 0.100 0.180 0.100 0.080 0.124 10 0.040 0.000 0.200 0.140 0.100 0.096 11 0.120 0.040 0.120 0.100 0.200 0.116 12 0.080 0.000 0.140 0.000 0.080 0.060 13 0.340 0.040 0.040 0.060 0.240 0.144 14 0.120 0.660 0.120 0.000 0.320 0.244 15 0.240 0.280 0.040 0.020 0.140 0.144 16 0.000 0.320 0.100 0.040 0.080 0.108 17 0.120 0.240 0.280 0.100 0.140 0.176 18 0.120 0.200 0.360 0.060 0.000 0.148 19 0.320 0.040 0.060 0.100 0.060 0.116 20 0.000 0.200 0.260 0.400 0.060 0.184 21 0.240 0.020 0.180 0.100 0.080 0.124 22 0.080 0.020 0.200 0.120 0.180 0.120 23 0.200 0.220 0.200 0.180 0.280 0.216 24 0.300 0.160 0.140 0.000 0.200 0.160 25 0.360 0.320 0.100 0.340 0.260 0.276 26 0.240 0.300 0.600 0.280 0.000 0.284 27 0.100 0.200 0.200 0.300 0.020 0.164 28 0.260 0.020 0.300 0.000 0.200 0.156 29 0.160 0.200 0.060 0.180 0.120 0.144 30 0.060 0.000 0.020 0.280 0.060 0.084 31 0.120 0.060 0.300 0.400 0.080 0.192 32 0.160 0.040 0.360 0.100 0.100 0.152 33 0.020 0.080 0.200 0.080 0.040 0.084 34 0.300 0.000 0.320 0.500 0.000 0.224 35 0.600 0.100 0.000 0.320 0.240 0.252 36 0.020 0.200 0.100 0.200 0.480 0.200 37 0.300 0.400 0.480 0.100 0.380 0.332 38 0.700 0.200 0.240 0.300 0.520 0.392 39 0.340 0.260 0.720 0.500 0.520 0.468 40 0.200 0.100 0.580 0.000 0.400 0.256

(4)

Batas-Batas Pengendali untuk Peta Kendali p

Dari data pada Tabel 4.1, dapat dicari garis tengah (GT), batas pengendali atas (BPA), dan batas pengendali bawah (BPB) untuk peta kendali p sehingga didapatkan,

 

0.1851 40 ~ ~ 40 1 _        



i i p x N x N E GT





7062 . 0 5 8149 . 0 1851 . 0 3 1851 . 0    p BPA





0 336 . 0 5 8149 . 0 1851 . 0 3 1851 . 0     p BPB

Gambar 1 memperlihatkan batas-batas pengendali untuk peta kendali p. Semua data berada dalam batas-batas pengendali atau disebut dengan in control sehingga batas-batas pengendali tersebut tidak perlu dilakukan revisi.

Gambar 1. Peta Kendali p

Batas-Batas untuk Peta Kendali p~

Untuk mendapatkan batas-batas pengendali pada peta kendali p~ harus mencari rata-rata

 

_N~_{ }_x _{dan variansi}

 _    2 ~ x N

 terlebih dahulu. Pada persamaan (15), diketahui bahwa 95

. 73



L , M74, dan U74.05. Jika rata-rata dan standar deviasi tidak diketahui, maka dilakukan estimasi untuk dan

 yang masing-masing dinotasikan dengan ˆ dan ˆ . Hasilnya sebagai berikut,

74 00112 . 74 ˆx   01 . 0 0098 . 0 9400 . 0 0092 . 0 ˆ 4     C S 

Dari hasil tersebut, nilai rata-rata

 

_N~_{ }_x _{dan variansi}  _    2 ~ x N

 adalah sebagai berikut,

 

~ 0.1596 ~E N x  N 

 

N~ x 0.0145 Var

Kemudian mendapatkan bats-batas pengendali untuk peta kendali p~ berdasarkan persamaan (12) sampai dengan persamaan (14). Hasilnya sebagai berikut.

 

0.1596 ~ ~         E N x GT _N 3211 . 0 5 0145 . 0 3 1596 . 0 ~ _         p BPA 0 0019 . 0 5 0145 . 0 3 1596 . 0 ~ _          p BPB

Gambar 2 memperlihatkan bahwa pada data ke 37, 38, dan 39 berada di luar batas-batas pengendali (out of control). Hal ini dapat disimpulkan bahwa peta kendali p~ lebih baik dalam mendeteksi keadaan out of control pada pergeseran nilai rata-rata daripada peta kendali p.

Gambar 2. Peta kendali p~

C. Perbandingan Kurva OC (Operating Characteristic) Setelah peta kendali dalam keadaan terkendali (in control), langkah selanjutnya adalah membandingkan berdasarkan kurva OC (Operating Characteristic Curve). Uji hipotesa berdasarkan :

0

H : proses dalam keadaan in control

1

H : proses dalam keadaan out of control

Oleh karena itu, sebelum membentuk kurva OC harus mencari nilai .

Nilai untuk Peta Kendali p

Jika rata-rata dari tingkat ketidaksesuaian bergeser dari ₀ke 0

0 1  3

   maka p bergeser ke ₀ p yang masing-masing ₁ dapat dihitung dengan,



0



0 1 PL x UH p    



1



1 1 PL x UH p    

Sehingga nilai (probabilitas eror tipe II) untuk peta kendali p adalah sebagai berikut,

             0 0 ₁ 0 0 0 0 3 ˆ 3 H n q p p p n q p p P p                        0 0 ₁ 0 1 0 0 0 3 ˆ 3 ˆ H n q p p p P H n q p p p P (16)

(5)

Nilai untuk Peta Kendali p~

Jika rata-rata dari tingkat ketidaksesuaian bergeser dari ₀ke 0 0 1  3    maka 0 ~ N  bergeser ke 1 ~ N  yang masing-masing dapat dihitung dengan,

 



0



~ ~ 0 EN x H N  

 



~ 1



1 ~ EN x H N  

Sehingga nilai (probabilitas eror tipe II) untuk peta kendali p

~ adalah sebagai berikut,

             ~ ~ ₁ ~ ~ ~ 0 0 0 0 3 ~ 3 H n N n P _N N _N N p                            ₁ ~ ~ ₁ ~ ~ 0 0 0 0 3 ~ 3 ~ H n N P H n N P _N N _N N (17)

Perbandingan Nilai antara Peta Kendali p dan Peta Kendali p~

Perbandingan Nilai antara Peta Kendali p dan Peta Kendali p~ dapat dilihat pada Tabel 2.

Tabel 2 Perbandingan Nilai  dari Peta Kendali p dan Peta Kendali ~p

k _{Peta Kendali p (βρ)} _{Peta Kendali p̃ (βρ̃)}

0 0.3565 0.8198 0.2 0.4048 0.8111 0.4 0.496 0.7855 0.6 0.5856 0.7442 0.8 0.6517 0.6892 1 0.6681 0.6235 1.2 0.6347 0.5502 1.4 0.5562 0.4770 1.6 0.4618 0.3997 1.8 0.3651 0.3256 2 0.2879 0.2574 2.2 0.2223 0.1977 2.4 0.1723 0.1469 2.6 0.1373 0.1056 2.8 0.1083 0.0735 3 0.0292 0.0495

Gambar 3 Perbandingan Kurva OC antara peta kendali p dan peta kendali p~

Dari Gambar 3 dapat diketahui bahwa pada k=0 sampai k=0.8 peta kendali p mempunyai nilai yang lebih kecil daripada peta kendali p~ . Pada k=1 sampai k=3 peta kendali p dan peta kendali p~ mempunyai nilai yang hampir sama. Sehingga peta kendali p mempunyai kinerja yang lebih baik dalam mendeteksi keadaan out of control daripada peta kendali

p

~ pada k=0 sampai k=0.8.

D. Perbandingan Nilai ARL (Average Run Length)

Selanjutnya menguji kinerja peta kendali p~ dan peta kendali p berdasarkan nilai ARL.

ARL untuk Peta Kendali p

   1 1 ARL                       1 0 0 0 0 0 0 3 ˆ 3 1 1 H n q p p p n q p p P                                1 0 0 0 1 0 0 0 3 ˆ 3 ˆ 1 1 H n q p p p P H n q p p p P (18) ARL untuk Peta Kendali p~

   1 1 ARL                       1 ~ ~ ~ ~ 0 0 0 0 3 ~ 3 1 1 H n N n P _N N _N N                                    1 ~ ~ 1 ~ ~ 0 0 0 0 3 ~ 3 ~ 1 1 H n N P H n N P _N N _N N     (19)

(6)

Perbandingan Nilai ARL antara Peta Kendali p dan Peta Kendali p~

Perbandingan Nilai ARL antara Peta Kendali p dan Peta Kendali p~ dapat dilihat pada Tabel 3.

Tabel 3 Perbandingan Nilai ARL dari Peta Kendali p dan Peta Kendali p~

k Peta Kendali p Peta Kendali p̃

0 1.5540 5.5494 0.2 1.6801 5.2938 0.4 1.9841 4.6620 0.6 2.4131 3.9093 0.8 2.8711 3.2175 1 3.0130 2.6560 1.2 2.7375 2.2232 1.4 2.2533 1.9120 1.6 1.8580 1.6658 1.8 1.5751 1.4828 2 1.4043 1.3466 2.2 1.2858 1.2464 2.4 1.2082 1.1722 2.6 1.1592 1.1181 2.8 1.1215 1.0793 3 1.0301 1.0521

Gambar 4 Perbandingan nilai ARL antara peta kendali p dan peta kendali ~p

Dari Gambar 4 dapat diketahui bahwa pada k=0 sampai k=0.8 peta kendali p mempunyai nilai ARL yang lebih kecil daripada peta kendali p~ . Pada k=1 sampai k=3 peta kendali p dan peta kendali p~ mempunyai nilai ARL yang hampir sama. Sehingga peta kendali p mempunyai kinerja yang lebih baik dalam mendeteksi keadaan out of control daripada peta kendali

p

~ pada k=0 sampai k=0.8.

IV. KESIMPULAN/RINGKASAN

Pada tugas akhir ini diperoleh kesimpulan bahwa :

1. Garis tengah (GT), batas pengendali atas (BPA), dan batas pengendali bawah (BPB) untuk peta kendali p~ adalah

 

_N p E N x GT~ ~ ~      

 

n k x N Var k x N E BPA_p _N N ~ ~ ~ ~ ~                  

 

n k x N Var k x N E BPB_p _N N ~ ~ ~ ~ ~                  

2. Hasil Garis tengah (GT), batas pengendali atas (BPA), dan batas pengendali bawah (BPB) untuk peta kendali p~ berdasarkan data pengukuran diameter dalam Cincin Piston untuk mesin automobil yang diproduksi dengan proses penempaan yang diambil dari buku “Pengantar Pengendalian Kualitas Statistik” karangan D.C. Montgomery adalah

 

0.1596 ~ ~         E N x GT _N 3211 . 0 5 0145 . 0 3 1596 . 0 ~ _         p BPA 0 0019 . 0 5 0145 . 0 3 1596 . 0 ~ _          p BPB

3. Hasil perbandingan kinerja antara peta kendali p dan peta kendali p~ berdasarkan kurva OC dan nilai ARL adalah peta kendali p mempunyai kinerja yang lebih baik dalam mendeteksi keadaan out of control pada pergeseran rata-rata daripada peta kendali ~ pada k=0 sampai k=0.8. p

UCAPANTERIMAKASIH

Penulis R.P.K mengucapkan terimakasih kepada kedua orang tua yang telah memberikan dorongan semangat dan dukungan baik secara moril maupun materi, dosen pembimbing dan teman-teman yang telah membantu penulis dalam penelitian tugas akhir ini.

DAFTARPUSTAKA

[1] Ariani, D.W. 2004. “Pengantar Kualitas Statistik Pendekatan Kuantitatif dalam Manajemen Kualitas”. Yogyakarta: ANDI.

[2] Amirzadeh, V. Mashaallah, M. Abbas, P. (2009). “Construction of -charts using degree of nonconformity”. Journal of Information Science

179 hal 150-160.

[3] Mitra, A. (1993). “Fundamental of Quality Control and Improvemet”. Mac Millan. New York.

[4] Montgomery, D. (1990). “Pengantar Pengendalian Kualitas Statistik”. Yogyakarta: Gadjah Mada University Press.

[5] Septiana, Rizckha. (2011). “Peta Kendali Menggunakan Pendekatan Bayesian”. Tugas Akhir Program Sarjana Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya.

[6] Ross, T. Jane M. W. Jerry Parkinson.(2002). “Fuzzy Logic and

Probability Applications Bridging The Gap”. American Statistical