Pengantar Analisis Real

Bacaan Warga KSA

Pengantar Analisis Real

Introduction to real analysis

Dikumpulkan dari berbagai sumber oleh: Abu Abdillah

KOMUNITAS STUDI ALKWARIZMI

UNAAHA

PERSEMBAHAN

Untuk bahan bacaan warga KSA (Komunitas Studi Al Khwarizmi).

Pesan

Janganlah kesibukan duniamu melalaikan untuk menuntut ilmu Agama, ingatlah bahwa yang wajib ‘ain bagi kalian adalah menuntut ilmu Agama.

KATA PENGANTAR

uku ini ditulis dalam rangka pengadaan buku ajar mata kuliah Analisis Real I dan II, yang merupakan mata kuliah wajib. Buku ini berisi materi yang diperuntukan bagi mahasiswa yang telah mengambil mata Kalkulus I dan Kalkulus II. Topik-topik dalam buku ini sebenarnya sudah dikenal oleh mahasiswa yang telah mengambil kedua mata kuliah tersebut. Hanya saja, materi pada buku ini lebih abstrak, teoritis, dan mendalam. Materi pada buku ini merupakan materi dasar analisis real. Analisis real merupakan alat yang esensial, baik di dalam berbagai cabang dari matematika maupun bidang ilmu-ilmu lain, seperti fisika, kimia, dan ekonomi. Mata kuliah Analisis I adalah gerbang menuju mata kuliah yang lebih lanjut, baik di dalam maupun di luar jurusan Matematika. Jika mata kuliah ini dapat dipahami dengan baik maka mahasiswa mempunyai modal yang sangat berharga untuk memahami mata kuliah lain. Diharapkan, setelah mempelajari materi pada buku ini, mahasiswa mempunyai kedewasaan dalam bermatematika, yang meliputi antara lain kemampuan berpikir secara deduktif, logis, dan runtut, serta memiliki kemampuan menganalisis masalah dan mengomunikasikan penyelesaiannya secara akurat dan rigorous.

Buku ini terdiri dari lima bab. Bab I membahas tentang aljabar himpunan, fungsi, dan induksi matematika. Sebagaimana kita ketahui bahwa materi pada bab ini adalah materi penunjang pemahaman pada bab-bab selanjutnya, maka diharapkan para pembaca dan pengajar tidak mengabaikan penyampaian bab I ini. Bab II membahas tentang himpunan bilangan real. Di dalamnya, dibicarakan tentang sifat aljabar (lapangan), sifat terurut, dan sifat kelengkapan dari himpunan bilangan real. Kemudian,

dikonstruksi berdasarkan sifat terurutnya, yang disebut sebagai interval. Dijelaskan pula tentang representasi desimal dari bilangan real dan menggunakannya untuk membuktikan Teorema Cantor. Selanjutnya, bab III berisi tentang barisan bilangan real, yang meliputi definisi dan sifat-sifat barisan, Teorema Bolzano-Weierstrass, kriteria Cauchy, barisan divergen, dan sekilas tentang deret tak hingga. Kemudian, bab IV mendiskusikan tentang definisi limit fungsi (termasuk limit sepihak, limit di tak hingga, dan limit tak hingga) dan sifat-sifatnya. Lalu, bab V membahas kekontinuan fungsi, yang meliputi definisi fungsi kontinu dan sifat-sifatnya, fungsi kontinu pada interval, kekontinuan seragam, serta fungsi monoton dan fungsi invers.

Buku ini masih dalam proses pengembangan dan tentunya masih jauh dari sempurna. Untuk itu, penulis membuka diri terhadap saran dan kritik dari pembaca, demi semakin baiknya buku ini sebagai buku ajar mata kuliah wajib Analisis I.

Unaaha, April 2013 Penulis,

DAFTAR ISI

PERSEMBAHAN ... ii

KATA PENGANTAR ... iii

DAFTAR ISI ... v

BAB I PENDAHULUAN 1.1 Aljabar Himpunan ... 1

1.2 Fungsi ... 8

1.3. Induksi Matematika ... 17

BAB II HIMPUNAN BILANGAN REAL 2.1 Sifat Aljabar dari R ... 27

2.2 Sifat Terurut dari R ... 29

2.3. Sifat Kelengkapan dari R ... 38

2.4. Interval ... 48

2.5 Representasi Desimal dari Bilangan Real ... 51

BAB III BARISAN BILANGAN REAL 3.1 Definisi Barisan Bilangan real ... 54

3.2 Sifat-Sifat Barisan Bilangan Real ... 57

3.3 Teorema Bolzano-Weierstrass ... 64

3.4 Kriteria Cauchy ... 65

3.5 Barisan Divergen ... 68

3.6 Deret Tak Hingga ... 71

BAB IV LIMIT FUNGSI 4.1 Titik Timbun ... 80

BAB V KEKONTINUAN FUNGSI

5.1 Definisi Fungsi Kontinu ... 89

5.2 Sifat-Sifat Fungsi Kontinu ... 92

5.3 Fungsi Kontinu pada Interval ... 94

5.4 Kekontinuan Seragam ... 97

5.5 Fungsi Monoton dan Fungsi Invers ... 100

BAB I

HIMPUNAN BILANGAN REAL

ada bab ini, kita akan membahas beberapa prasyarat yang diperlukan untuk mempelajari analisis real. Bagian 1.1 dan 1.2 kita akan mengulang sekilas tentang aljabar himpunan dan fungsi, yang keduanya merupakan perkakas penting untuk semua cabang matematika.

Pada bagian selanjutnya yakni bagian 1.3 kita akan mengulas mengenai induksi matematika. Sebagaimana kita ketahui bahwa induksi matematika berhubungan dengan sifat dasar sistem bilangan asli yang akan sering kita gunakan pada pembuktian beberapa masalah khusus dalam bab selanjutnya.

1.1 ALJABAR HIMPUNAN

Bila Amenyatakan suatu himpunan, maka untuk suatu unsur

x

kita akan menuliskannya menjadi

A

x  , ■

untuk menyatakan

x

suatu unsur di A,

x

anggota A, atau

x

termuat di A, atau A memuat

x

. Selanjutnya bila kita ingin menyatakan bahwa

x

suatu unsur yang bukan di A maka dapat kita tuliskan menjadi:

A

x  , ■

Selanjutnya bila A dan B keduanya adalah himpunan sehingga untuk setiap unsur x A mengakibatkan x B ( setiap unsur di A juga unsur di B), maka kita katakan A termuat di B, atau B memuat A, atau A suatu subhimpunan dari B, dan kita menuliskannya dengan:

B

A 

atau

B 

A

, ■ Bila

A 

B

dan terdapat unsur di B yang bukan anggota A maka kita

1.1.1. Definisi Kesamaan Dua Himpunan

Dua buah himpunan A dan B dikatakan sama bila keduanya memuat unsur yang sama. Dengan kata lain untuk setiap unsur

x

anggota himpunan A

maka

x

juga merupakan anggota himpunan B, dan juga sebaliknya untuk setiap unsur y anggota himpunan B maka y juga merupakan anggota himpunan A.

Selanjutnya kedua buah himpunan A dan B dikatakan sama maka kita menuliskannya dengan:

B

A  ■ Untuk menunjukkan bahwa A B , kita harus menunjukkan bahwa

B

A 

dan

B 

A

.

Suatu himpunan dapat ditulis dengan mendaftar anggota-anggotanya, atau dengan menyatakan sifat keanggotaannya. Kata “sifat keanggotaan” memang menimbulkan keragu-raguan, akan tetapi bila P menyatakan sifat keanggotaan (yang tak bias maknanya) maka suatu himpunan

x

yang memenuhi P akan kita tuliskan dengan cara:



x P(x)



■ Notasi diatas kita baca: “himpunan semua

x

yang memenuhi (sedemikian sehingga) P”. Bila perlu untuk menyatakan subhimpunan S yang memenuhiP, maka kita dapat menuliskannya dalam bentuk:



x S P(x)



■ Beberapa himpunan tertentu akan banyak digunakan dalam buku ini, dan akan kita tuliskan dengan penulisan standar yakni sebagai berikut:

 Himpunan bilangan asli,

N





1

,

2

,

3

,...



 Himpunan bilangan bulat

Ζ





0

,

1

,



1

,

2

,



2

,...



 Himpunan bilangan rasional





















m

,

n

,

n

0

n

m

Q

Contoh-contoh:

1. Himpunan



xN x2 3x20



, menyatakan himpunan bilangan asli yang memenuhi persamaan kuadrat

x

2

 x

3



2



0

. Karena yang memenuhi hanya x1 dan x2 , maka himpunan tersebut dapat juga dituliskan menjadi

 

1

,

2

.

2. Terkadang formula dapat pula digunakan untuk menyingkat penulisan himpunan. Sebagai contoh himpunan bilangan genap positif sering dituliskan dengan cara



2x xN



, dari pada kita menuliskannya



yN y2x,xN



.

Operasi Himpunan

Pada bagian ini kita akan mendefinisikan aturan untuk membangun (mengkonstruksi) himpunan baru dari himpunan yang sudah ada.

1.1.2. Definisi

a. Bila A dan B keduanya adalah himpunan, maka irisan (interseksi) dari A

dan Bdituliskan dengan A B , merupakan himpunan yang unsur-unsurnya adalah anggota himpunan A dan juga merupakan anggota himpunan B.



xx A x B



B

A   _dan  ■

b. Gabungan dari himpunan A dan Badalah himpunan yang unsurnya paling tidak termuat di salah satu dari himpunan A atau B . Gabungan dari himpunan A dan Bdituliskan dengan A B.



xx A x B



B

A   _atau  ■

1.1.3. Definisi

Himpunan yang tidak mempunyai anggota disebut dengan himpunan kosong, dituliskan dengan

 

atau . Bila himpunan A dan Bdua himpunan yang tidak

1.1.4. Teorema

Misalkan

A,

B

dan C sebarang himpunan, maka:

a)

A



A



A

,

A



A



A

Idempoten

b)

A



B



B



A

,

A



B



B



A

Komutatif

c)



A



B





C



A





B



C

 

,

A



B





C



A





B



C



Asosiatif

d)

A





B



C

 



A



B

 



A



C



,

A





B



C

 



A



B

 



A



C



Distributif.

Bukti teorema diatas diserahkan kepada pembaca!

Dimungkinkan juga untuk menunjukkan bahwa bila



A

₁

,

A

₂

,...,

A

_n



merupakan koleksi himpunan, maka terdapat sebuah himpunan, maka terdapat sebuah himpunan A yang memuat unsur yang merupakan unsur semua himpunan A_j, j1,2,...,n ; dan terdapat sebuah himpunan B yang unsurnya paling tidak unsur dari suatu Aj, j1,2,...,n. Dengan menanggalkan kurung,

kita tuliskan dengan

n

A

A

A

A



₁



₂



...



n

B

B

B

B



1



2



...



Untuk mempersingkat penulisan, A dan B di atas sering dituliskan dengan



n j j

A

A

1 





n j j

A

B

1 



1.1.5. Definisi

Misalkan A dan B suatu himpunan, maka komplemen dari B relatif terhadap

A, dituliskan dengan A \B (baca “A minus B”) adalah himpunan yang unsur-unsurnya adalah semua unsur di A tetapi bukan anggota B. Dibeberapa buku ditulis menggunakan notasi A B atau AB.



xx A anx B



B

A\   _d  ■

Seringkali A tidak dinyatakan secara eksplisit, karena sudah dimengerti/disepakati. Dalam situasi begini A \B sering dituliskan dengan

_C

 

A

.

1.1.6. Teorema

Misalkan

A

,

B

,

C

sebarang himpunan, maka

A

\

(

B



C

)



(

A

\

B

)



(

A

\

C

)

,

)

\

(

)

\

(

)

(

\

B

C

A

B

A

C

A







. Bukti:

Kita akan membuktikan kesamaan pertama dan meninggalkan bagian kedua pada pembaca sebagai bahan latihan.

Untuk menunjukkan

A

\

(

B



C

)



(

A

\

B

)



(

A

\

C

)

, berarti yang harus ditunjukkan adalah:

A

\

(

B



C

)



(

A

\

B

)



(

A

\

C

)

dan

)

\

(

)

\

(

)

(

\

B

C

A

B

A

C

A







 Akan ditunjukkan

A

\

(

B



C

)



(

A

\

B

)



(

A

\

C

)

Ambil sebarang

x





A

\

(

B



C

)



, maka x Adan

x





B



C



, ini berarti bahwa

x

di A tetapi

x

bukan unsur B atau C, karenanya

x

di A tetapi

x

tidak di B dan

x

di A tetapi

x

tidak di C, sehingga dapat dituliskan



A

B



x



\

dan

x





A

\

C



, hal ini berarti bahwa

x





A

\

B

 



A

\

C



, sehingga terbuktilah bahwa

A

\

(

B



C

)



(

A

\

B

)



(

A

\

C

)

Ambil sebarang

y



(

A

\

B

)



(

A

\

C

)

, maka

y





A

\

B



dan

y





A

\

C



, maka

y 

A

tetapi

y 

B

dan

y 

A

tetapi

y 

C

. Jadi

y 

A

tetapi bukan anggota dari B atau C . Akibatnya

y 

A

dan

y





B



C



, ini berarti



A

\

(

B

C

)



y





, sehingga terbukti bahwa

A

\

(

B



C

)



(

A

\

B

)



(

A

\

C

)

.

Dari dua bukti diatas dapat disimpulkan bahwa

)

\

(

)

\

(

)

(

\

B

C

A

B

A

C

A







.

Produk (hasil kali) kartesius

Berikut ini kita definisikan produk kartesius yang akan kita gunakan pada pembahasan tentang fungsi pada bagian selanjutnya.

1.1.7. Definisi

Bila A dan B keduanya adalah himpunan-himpunan tak kosong, maka produk kartesius dari A dan Byang selanjutnya akan kita tuliskan menggunakan notasi

B

A  adalah himpunan pasangan berurut



a,

b



dengan a A dan b B







a b a A anb B



B

A  ,  _d  ■

Sehingga bila

A





1

,

2

,

3



dan

B



 

4

,

5

, maka

    

 

 

  



1

,

4

,

1

,

5

,

2

,

4

,

2

,

5

,

3

,

4

,

3

,

5





 B

A

Latihan 1.1.

1. Gambarkan diagram yang menyatakan masing-masing himpunan pada Teorema 1.1.4

2. Buktikan teorema 1.1.4.

3. Buktikan bahwa

A 

B

jika dan hanya jika AB A.

4. Tunjukkan bahwa himpunan D yang unsur-unsurnya merupakan unsur dari tepat satu himpunan A atau B diberikan oleh

D





A

\

B

 



B

\

A



.

Himpunan D ini sering disebut selisih simetris dari A dan B. Nyatakan dalam diagram.

5. Tunjukkan bahwa selisih simetris D pada soal nomor 4, juga diberikan oleh:



A

B

 

A

B



D





\



6. Jika

A 

B

tunjukkan

B



A

\



A

\

B



7. Diberikan himpunan A dan B , tunjukkan bahwa A B dan A \B saling asing dan bahwa

A





A



B

 



A

\

B



.

8. Diberikan sebarang himpunan A dan B, tunjukkan

A



B



A

\



A

\

B



. 9. Bila



A

₁

,

A

₂

,...,

A

_n



suatu koleksi himpunan, dan E sebarang himpunan,

tunjukkan bahwa









n j j n j j

E

A

A

E

1 1  







, dan









n j j n j j

E

A

A

E

1 1  







.

10. Mengacu pada soal nomor 9 tunjukkan bahwa









n j j n j j

E

A

A

E

1 1  







, dan









n j j n j j

E

A

A

E

1 1  







.

11. Mengacu pada soal nomor 9 buktikan hukum de morgan







n



j n j j j

E

A

A

E

1 1

\

\

 



,









n j j n j j

E

A

A

E

1 1

\

\

 



Catatan bila E \A_j dituliskan dengan _C

 

A_j , maka kesamaan diatas mempunyai bentuk

 





n j j n j j

A

A

1 1  



















C

C

,





 

n j j n j j

A

A

1 1  



















C

C

12. Misalkan J suatu himpunan dan untuk setiap

j 

J

, A_j termuat di E . Tunjukkan bahwa

13. Bila

B

₁ dan

B

₂ subhimpunan dari B dan

B



B

₁



B

₂ tunjukkan bahwa



A

B

1

 

A

B

2



B

A











1.2 FUNGSI

Pada bagian ini kita akan membahas gagasan fundamental suatu fungsi atau pemetaan. Selanjutnya akan kita ketahui bahwa fungsi merupakan suatu jenis khusus dari himpunan, walaupun terdapat visualisasi lain yang sering lebih bersifat sugesti. Pada bagian terakhir ini kita akan banyak membahas mengenai jenis-jenis fungsi, tetapi sedikit lebih abstrak dibandingkan bagian ini.

Bagi matematikawan abad terdahulu kata “fungsi” biasanya berarti formula tertentu, seperti

 

2

3

5







x

x

x

f

yang bersesuaian dengan masing-masing bilangan real

x

dan bilangan lain

 

x

f

. Mungkin juga seseorang memunculkan kontroversi, apakah nilai mutlak

 

x x

h 

dari suatu bilangan real merupakan “fungsi sejati” atau bukan. Selain itu definisi

x diberikan pula yakni:















0

,

0

,

x

x

x

x

x

bila bila

Dengan berkembangnya matematika, semakin jelas bahwa diperlukan definisi fungsi yang lebih umum. Juga semakin penting untuk kita membedakan fungsi sendiri dengan nilai fungsi itu. Disini akan mendefinisikan suatu fungsi dan hal ini akan kita lakukan dalam dua tahap.

Definisi pertama:

suatu fungsi

f

dari himpunan A ke himpunan B adalah aturan korespodensi yang memasangkan masing-masing unsur

x

di A secara tunggal dengan unsur

f

 

x

di B.

Definisi di atas mungkin saja tidak jelas, dikarenakan tidak jelasnya makna frase “aturan korespondensi”. Untuk mengatasi hal ini kita akan mendefinisikan fungsi dengan menggunakan himpunan seperti yang telah dibahas pada bagian sebelumnya.

Berikut ini adalah definisi yang mungkin saja dapat membuat kita kehilangan kandungan intuitif dari definisi terdahulu, tetapi kita dapatkan kejelasan.

Ide dasar pendefinisian berikut ini adalah memikirkan gambar dari suatu fungsi; yaitu, suatu korelasi dari pasangan berurut. Bila kita perhatikan tidak setiap koleksi pasangan berurut merupakan gambar suatu fungsi, karena sekali unsur pertama dalam pasangan berurut diambil, unsur keduanya ditentukan secara tunggal.

Gambar 1.1 Gambar grafik sebuah fungsi

masing a A terdapat b B yang tunggal dengan



a

,

b

 

,

a

,

b

'





f

, maka '

b

b  . Himpunan A dari unsur-unsur pertama dari

f

disebut daerah asal

“domain” dari

f

, dan dituliskan

D

 

f

. Sedangkan unsur-unsur dari B yang menjadi unsur kedua di

f

disebut “range” dari

f

dan dituliskan dengan

R

 

f

. Notasi

B

A

f

:



Menunjukkan bahwa

f

suatu fungsi dari A ke B ; akan sering kita katakan bahwa

f

suatu pemetaan dari A ke B atau

f

memetakan dari A ke dalam B. Bila



a

,

b





f

, sering ditulis dengan:

 

a

f

b 

Pembatasan dan Perluasan Fungsi

Bila

f

suatu fungsi dengan domain

D

 

f

dan

D

₁ suatu subhimpunan dari

D

 

f

, sehing kali bermanfaat untuk mendefinisikan fungsi baru

f

₁ dengan domain

D

₁ dan

f

₁

 

x



f

 

x

untuk setiap

x 

D

₁ . Fungsi

f

₁ ini disebut pembatasan fungsi

f

pada

D

₁ . Sehingga menurut definisi 1.2.1, kita mempunyai







1



1 a,b f a D

f   

Terkadang kita tuliskan f ₁ f D₁ untuk menyatakan pembatasan fungsi

f

pada himpunan

D

₁.

Konstruksi yang serupa untuk gagasan perluasan. Bila suatu fungsi g

dengan domain

D

 

g

dan

D 

₂

D

 

g

, maka sebarang fungsi

g

₂ dengan domain

D

₂ sedemikian sehingga

g

₂

 

x



g

 

x

untuk setiap

x 

D

 

g

disebut perluasan g pada himpunan

D

₂.

Bayangan Langsung dan Bayangan Invers

1.2.2. Definisi

Misalkan

f

:

A



B

suatu fungsi dengan domain A dan range B . Bila E

subhimpunan A , maka bayangan langsung dari E terhadap

f

adalah subhimpunan

f

 

E

dari A yang diberikan oleh

 

E



f

 

x

x

E



f



:



Bila H subhimpunan B, maka bayangan invers dari H terhadap

f

adalah subhimpunan

f

1

 

H

dari A, yang diberikan oleh

 

H



x

A

f

 

x

H



f









:

1

Jadi bila diberikan himpunan

E 

A

,

maka titik

y 

₁

B

di bayangan langsung

 

E

f

jika dan hanya jika terdapat paling tidak sebuah titik

x 

1

E

sedemikian sehingga

y 

₁

f

 

x

₁ . Secara sama bila diberikan

H 

B

, titik

x 

2

A

di dalam bayangan invers

f

1

 

H

jika dan hanya jika

y 

f

 

x

₂ di H.

1.2.3. Contoh

a. Misalkan

f

:

R



R

didefinisikan dengan

f

 

x



x

2 . Bayangan langsung himpunan E



x0x2



adalah himpunan f

 

E 



y0 y4



. Bila



0 4



 y y

G , maka bayangan invers G adalah himpunan

 



2 2



1      x x G f . Jadi

f

1

f

 

E



E

.

Disatu pihak kita mempunyai

f



f

1

 

G





G

. Tetapi bila H 



y1 y1



, maka kita peroleh f



f 1

 

H







x0x1



H

Pada buku ini kita akan bahas

f

1



G



H





f

1

 

G



f

1

 

H

dan

meninggalkan yang sebaliknya yakni



G

H



f

 

G

f

 

H

f

1 1 1







sebagai latihan bagi pembaca.

i. Akan dibuktikan

f

1



G



H





f

1

 

G



f

1

 

H

Ambil sebarang

x



f

1



G



H



_{, ini berarti bahwa}

_f

_{  }

_x

_

_G

_

_H

_

_{, hal} ini mengakibatkan

f

 

x



G

dan

f

 

x



H

, sehingga ini mengakibatkan

 

G

f

x



1 dan

x



f

1

 

H

, karena itu

x





f

1

 

G



f

1

 

H



bukti selesai.

ii. Bukti sebaliknya diserahkan pada pembaca.

Sifat-sifat Fungsi

1.2.4. Definisi

Suatu fungsi

f

:

A



B

dikatakan injektif atau satu-satu bila untuk setiap

x

₁

,

x

₂



A

demikian sehingga

x 

₁

x

₂ mengakibatkan

f

 

x

₁



f

 

x

₂ . Bila

f

satu-satu, kita katakan

f

suatu injeksi.

Secara ekivalen,

f

injektif jika dan hanya jika

f

 

x

₁



f

 

x

₂ mengakibatkan

x 

₁

x

₂ untuk setiap

x

₁

,

x

₂



A

.

1.2.5. Definisi

Suatu fungsi

f

:

A



B

dikatakan surjektif atau memetakan A pada B

bila

f

 

A



B

. Bila

f

surjektif, maka kita sebut

f

suatu surjeksi.

Secara ekivalen,

f

:

A



B

surjektif bila

R

 

f



B

, yaitu untuk setiap

B

y 

terdapat x A sedemikian sehingga

f

 

x



y

.

Dalam pendefinisian fungsi, penting untuk menentukan domain dan himpunan dimana nilainya diambil. Sekali hal ini ditentukan, maka dapat

1.2.6. Definisi

Suatu fungsi

f

:

A



B

dikatakan bijektif bila bersifat injektif dan

surjektif. Bila suatu fungsi

f

bijektif, kita sebut

f

suatu bijeksi.

Fungsi-Fungsi Invers

Bila

f

:

A



B

suatu fungsi dari A ke B , (karenanya, subhimpunan khusus dari A B ), maka pasangan berurut B A diperoleh dengan saling menukar unsur pertama dan kedua di

f

. Secara umum hasil penukaran tersebut bukanlah fungsi. Tetapi bila

f

injektif, maka penukaran ini menghasilkan fungsi yang disebut invers dari

f

.

1.2.7. Definisi

Misalkan

f

:

A



B

suatu fungsi injektif dengan domain A dan

R

 

f

di

B . Bila g 





b,a



BA



a,b



 f



, maka g suatu fungsi injektif dengan

 

g

R

 

f

D



dan range A. Fungsi g disebut fungsi invers dari

f

dan dituliskan

.

1 

f

Dalam penulisan fungsi yang standar, fungsi

f

1 berelasi dengan

f

sebagai berikut:

x



f

1

 

y

jika dan hanya jika

y 

f

 

x

.

1.2.8. Contoh Suatu fungsi

 

1   x x x

f dengan D

 

f 



xRx1



bersifat injektif (buktikan

f

suatu injeksi untuk latihan pembaca). Selanjutnya kita akan peroleh invers dari

f

adalah dirinya sendiri (bukti diserahkan pada pembaca)

Fungsi Komposisi

Sering kita ingin mengkomposisikan dua buah fungsi dengan mencari

 

x

f

terlebih dahulu, kemudian menggunakan g untuk memperoleh

g



f

 

x



, akan tetapi hal ini bisa dilakukan bila

f

 

x

ada didalam domain g. Jadi kita harus mengasumsikan bahwa

R

 

f



D

 

g

1.2.9. Definisi

Untuk fungsi

f

:

A



B

dan

g

:

B



C

, komposisi

g 

f

adalah fungsi dari A ke C yang didefinisikan dengan

g



f

 

x



g



f

 

x



untuk setiap x A.

1.2.10. Teorema

Bila

f

:

A



B

dan

g

:

B



C

fungsi dan H suatu subhimpunan dari C. Maka



f g

  

1 H 



g1 f 1



 

H g1



f1

 

H



.

1.2.11. Teorema

Bila

f

:

A



B

dan

g

:

B



C

keduanya bersifat injektif, maka komposisi

g 

f

juga bersifat injektif.

(Bukti teorema diberikan sebagai latihan bagi pembaca)

Barisan

Fungsi dengan Ν sebagai domain memainkan aturan yang sangat khusus dalam analisis, yang akan kita perkenalkan daalam konsep barisan berikut ini.

1.2.12. Definisi

Suatu barisan dalam himpunan S adalah suatu fungsi yang domannya himpunan bilangan asli Ν dan rangenya termuat di S.

Untuk barisan X :ΝS , nilai X di nΝ sering ditulis dengan

x

_n daripada

 

x

_n , dan nilainya sering kita sebut suku ke-

n

barisan tersebut. Barisan

Sebagai contoh, barisan di R yang dituliskan dengan



n

n



Ν



sama artinya dengan fungsi X :ΝR dengan X

 

n  n.

Penting sekali untuk membedakan antara barisan



x_n nΝ



dengan nilainya



xn nΝ



, yang merupakan subhimpunan dari S. Suku barisan harus dipandang mempunyai urutan yang diinduksi dari urutan bilangan asli, sedangkan range dari barisan hanya merupakan subhimpunan dari S. Sebagai contoh, suku-suku dari barisan



 



1

n

n



Ν



berganti-ganti 1 dan 1, tetapi range dari barisan tersebut adalah





1

,

1



, memuat dua unsur dari R

Latihan 1.2.

1. Misalkan AB



xR1 x1



dan subhimpunan R dari R , apakah himpunan ini fungsi?

2. Misalkan

f

fungsi fungsi pada Ryang didefinisikan dengan

f

 

x



x

2, dan



 1 0



 x R x

E dan F 



xR0 x1



tunjukkan bahwa

 

0



 F

E

dan

f



E

 F

  



0

. Sementara f

 

E  f

 

F 



yR0 x1



.

Disini

f



E



F



adalah subhimpunan sejati dari

f

 

E



f

 

F

. Apa yang terjadi bila 0 dibuang dari E dan F?

3. Bila E dan F seperti soal nomor 2. Tentukan E \F dan

f

 

E

\

f

 

F

dan tunjukkan bahwa

f



E

\

F





f

 

E

\

f

 

F

salah!

4. Tunjukkan bahwa bila

f

:

A



B

dan E ,F subhimpunan dari A, maka



E

F



f

 

E

f

 

F

f







dan

f



E



F





f

 

E



f

 

F

.

5. Tunjukkan bila

f

:

A



B

, dan G , H subhimpunan dari B , maka



G

H



f

 

G

f

 

H

6. Misalkan

f

didefinisikan dengan

 

x

R

x

x

x

f







,

1

2 . Tunjukkan bahwa

f

bijektif dari R pada



y

:



1



y



1



.

7. Untuk

a

,

b



R

dengan a b, tentukan bijeksi dari A



xa xb



pada



0 1



 y y

B .

8. Tunjukkan bahwa bila

f

:

A



B

bersifat injektif dari

E 

A

, maka

 



f

E



E

f

1



. Berikan suatu contoh untuk menunjukkan kesamaan tidak dipenuhi bila

f

tidak injektif.

9. Tunjukkan bahwa bila

f

:

A



B

bersifat surjektif, dan

H 

B

, maka

 



f

H



H

f

1



. Berikan satu contoh untuk menunjukkan kesamaan tidak dipenuhi bila

f

tidak surjektif.

10. Buktikan bila

f

:

A



B

suatu injeksi, maka f 1 





b,a



a,b



R



suatu fungsi dengan domain

R

 

f

. Kemudian buktikan bahwa

f

1 injektif dan

f

invers dari

f

1.

11. Misalkan

f

:

A



B

injektif, tunjukkan bahwa

f

1_

f

 

x



x

untuk setiap

 

f

D

x 

dan

f



f

1

 

y



y

untuk setiap

y 

R

 

f

.

12. Berikan contoh dua buah fungsi

f

:

A



B

,

f

:

A



B

dari

f

:

A



B

pada

B

A

f

:



sehingga

f

:

A



B

, tetapi

f

:

A



B

13. Buktikan teorema 1.2.10 dan 1.2.11

14. Misalkan

f ,

g

fungsi dan

g



f

 

x



x

untuk semua

x

di

D

 

f

. Tunjukkan bahwa

f

injektif dan

R

 

f



D

 

f

dan

R

 

g



D

 

g

.

15. Misalkan

f ,

g

fungsi dan dan

g



f

 

x



x

untuk semua

x

di

D

 

f

dan

 

y

g

1.3 INDUKSI MATEMATIKA

Induksi matematika merupakan metode pembuktian penting yang akan sering digunakan dalam buku ini. Metode ini digunakan untuk menguji kebenaran suatu pernyataan yang diberikan dalam suku-suku bilangan asli. Walaupun kegunaannya terbatas pada masalah tertentu, tetapi induksi matematika sangat dibutuhkan disemua cabang matematika. Karena banyak bukti induksi matematika sangat diperlukan disemua cabang matematika. Karena banyak bukti induksi mengikuti urutan formal argumen yang sama, kita akan sering menyebutkan “hasilnya mengikuti induksi matematika” dan meninggalkan bukti lengkapnya kepada pembaca. Dalam bagian ini kita akan membahas prinsip induksi matematika dan memberi beberapa contoh untuk mengilustrasikan bagaimana proses bukti induksi.

Kita akan mengasumsikan kebiasaan (pembaca) dengan himpunan bilangan asli



1

,

2

,

3

,...





Ν

Dengan operasi matematika penjumlahan dan perkalian seperti biasa dan dengan arti suatu bilangan kurang dari bilangan lain. Kita juga akan mengasumsikan sifat fundamental dari Ν berikut ini

1.3.1. Sifat urutan dengan baik di Ν

Setiap subhimpunan tak kosong dari Ν mempunyai unsur terkecil.

Pernyataan yang lebih detail dari sifat ini sebagai berikut: bila S sub himpunan dari Ν dan S , maka terdapat unsur m S sedemikian sehingga

k

m  untuk setiap k S.

Dengan berdasar sifat urutan dengan baik, kita akan menurunkan suatu versi prinsip induksi matematika yang dinyatakan dalam suku-suku subhimpunan dari Ν . Sifat yang dideskripsikan dalam versi ini kadang-kadang mengikuti turunan sifat Ν.

1.3.2. Prinsip Induksi Matematika

Misalkan S sub himpunan dari Ν yang mempunyai sifat: i. 1S

ii. Jika k S, maka k 1S. Maka S Ν

Bukti:

Andaikan S Ν. Maka Ν\S . Karenanya berdasar sifat urutan dengan baik, maka Ν\S mempunyai unsur terkecil, sebut

m

. Karena 1S , maka m1. Karena itu m1 dengan m1 juga bilangan asli. Karena m 1m dan

m

unsur terkecil di N \S, maka m1 haruslah di S.

Sekarang kita gunakan hipotesis (2) terhadap unsur k  m1 di S, yang berakibat

k



1





m



1





1



m

di S . Kesimpulan ini kontradiksi dengan pernyataan bahwa

m

tidak di S . Karena

m

diperoleh dengan pengandaian

S

\

Ν tidak kosong, kita dipaksa pada kesimpulan bahwa Ν\S kosong. Karena itu kita telah buktikan bahwa S Ν.

Prinsip induksi matematika sering dinyatakan dalam kerangka sifat atay pernyataan tentang bilangan asli. Bila

P

 

n

berarti pernyataan tentang nΝ, maka

P

 

n

benar untuk beberapa nilai

n

, tetapi belum tentu benar untuk yang lain. Sebagai contoh, bila

P

 

n

pernyataan “

n 

2

n

”, maka

P

 

1

benar, sementara

P

 

n

salah untuk semua n1, n N dalam konteks ini prinsip induksi matematika dapat dirumuskan sebagai berikut:

Untuk setiap nΝ , misalkan

P

 

n

pernyataan tentang

n

, misalkan bahwa

a)

P

 

1

benar

b) Jika

P

 

k

benar, maka

P



k



1



benar. Maka

P

 

n

benar untuk semua nΝ.

Dalam kaitannya dengan versi induksi matematika terdahulu yang diberikan pada 1.3.2, dibuat misalkan S



nΝP

 

n _benar



maka kondisi (1) dan (2) pada 1.3.2 berturut-turut tepat bersesuaian dengan (a) dan (b). Kesimpulan

Dalam (b) asumsi “jika

P

 

k

benar” disebut hipotesis induksi. Disini, kita tidak memandang pada benar salahnya

P

 

k

, tetapi hanya pada validitas implikasi “ jika

P

 

k

benar, maka

P



k



1



benar”.

1.3.3. Contoh

a. Untuk setiap n N, jumlah

n

pertama bilangan asli diberikan oleh



1



2 1 ... 2 1  n n n

Untuk membuktikan kesamaan ini, kita misalkan S himpunan nΝ , sehingga kesamaan tersebut benar. Kita harus membuktikan kondisi (1) dan (2) pada 1.3.2 dipenuhi.

i. Bila n1, maka kita mempunyai

 

.1.



1 1



2 1 1 : 1   P , jadi

P

 

1

benar ii. Bila

P

 

k

kita asumsikan benar yakni



1



. 2 1 ... 2 1  k  k k

Bila kita tambahkan pada kedua ruas dengan



k



1



,maka menjadi:





.



1

 

1



2 1 1 ... 2 1  k k  k k  k





1



1



2

1

1

...

2

1





























k

k

k

k







2



1



2 1 1 ... 2 1  k k  k k







1



2



2 1 1 ... 2 1  k k  k k







1

 



1



1



2 1 1 ... 2 1  k k  k k 

Dari persamaan terakhir kita ketahui bahwa karena

P

 

k

berimplikasi pada akibat

P



k



1



bernilai benar, sehingga terbukti bahwa:

b. Untuk setiap nΝ, jumlah kuadrat dari

n

bilangan pertama asli adalah sebagai berikut:







6 1 2 1 ... 2 12  2  n2  nn n

Untuk membuktikan formula diatas, maka pertama-tama kita buktikan kebenaran formula diatas untuk n1, selanjutnya jika benar untuk n k, maka akan dibuktikan benar pula untuk

n

 k





1



i. Bila n1, maka kita mempunyai

 







1 6 6 6 1 1 . 2 1 1 1 1 : 1      P , jadi

 

1

P

benar

ii. Bila

P

 

k

kita asumsikan benar yakni







6 1 2 1 ... 2 12  2  k2  k k k

Bila kita tambahkan pada kedua ruas dengan



k1



2,maka menjadi:





2











2 2 2 2 1 6 1 2 1 1 ... 2 1   k  k  k k k  k

















































1

6

1

2

1

1

...

2

1

2 2

k

2

k

2

k

k

k

k











 



































6

6

6

1

2

1

1

...

2

1

2 2

k

2

k

2

k

k

k

k









_                6 6 6 2 1 1 ... 2 1 2 2 2 2 2 k k k k k k









_               6 6 7 2 1 1 ... 2 1 2 2 2 2 2 k k k k k









_               6 6 7 2 1 1 ... 2 1 2 2 2 2 2 k k k k k













































6

3

2

2

1

1

...

2

1

2 2

k

2

k

2

k

k

k







 





 









































6

1

1

2

1

1

1

1

...

2

1

2 2

k

2

k

2

k

k

k

Hasil terakhir memiliki arti bahwa

P



k



1



bernilai benar sebagai implikasi dari

P

 

k

yang bernilai benar, mengikuti induksi matematika, maka validitas formula diatas berlaku untuk setiap nΝ

c. Diberikan

a,

b

, kita akan buktikan pernyataan



a 

b



adalah faktor dari

n n

b

a 

untuk setiap nΝ.

Pertama-tama kita akan melihat untuk n1, maka kita ketahui bahwa pernyataan matematika bernilai benar karena



a 

b



adalah faktor dari



a

1



b

1







a



b



.

Selanjutnya asumsikan bahwa pernyataan juga bernilai benar untuk n k, sehingga



a 

b



adalah faktor dari



a 

k

b

k



.

Selanjutnya perhatikan bahwa:



1 1



1 1











k k k k k k

b

ab

ab

a

b

a



a

k

b

k



a



a

k

b

k



b

k



a

b













 1 1

Berdasarkan hipotesis maka kita ketahui bahwa



a 

b



faktor dari

a



a

k



b

k



, selain itu kita ketahui bahwa



a 

b



adalah faktor dari

b

k



a



b



, sehingga dari sini kita simpulkan bahwa



a 

b



adalah faktor dari



a

k1



b

k1



. Dengan induksi matematika dapat kita simpulkan bahwa



a 

b



adalah faktor dari



n n



b

a 

untuk setiap nΝ

d. Untuk setiap nΝ buktikanlah bahwa ketaksamaan berikut benar



1



!

2

n

 n



Untuk membuktikan, pertama kita lihat untuk n1 yakni

2

1





1



1



!



2

bernilai benar.

Selanjutnya kita asumsikan bahwa

2

k

 k





1



!

. Dengan menggunakan fakta 2 2 k , diperoleh:



1

 

!

2



.

1

 

!

2



!





1



1



!

2

2

.

2

2

1























k

k

k

k

k

k k

Jadi, bila ketaksamaan tersebut berlaku untuk k, maka berlaku pula untuk 1



k . Karenanya dengan induksi matematika, kita simpulkan bahwa ketaksamaan tersebut benar untuk setiap nΝ.

e. Bila r R, r1 dan nΝ, maka

r

r

r

r

r

n n

















1

1

...

1

1 2

Ini merupakan jumlah

n

suku deret geometri. Untuk membuktikan kesamaan diatas, kita misalkan n1, maka kita mempunyai

r

r

r









1

1

1

2 , jadi formula

diatas benar untuk n1. Selanjutnya kita asumsikan benar untuk n k ,

sehingga

r

r

r

r

r

k k

















1

1

...

1

1 2

benar. Selanjutnya pada kedua ruas

kita tambahkan

r

k1, sehingga menjadi:

1 1 1 2

1

1

...

1

  



















k k k k

r

r

r

r

r

r

r









r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

k k k k k k k k









































      

1

1

1

1

1

1

1

1

1

...

1

2 2 1 1 1 1 1 2  

r

r

r

r

r

r

k k k

















  

1

1

...

1

1 1 1 2

Hasil terakhir memiliki arti formula tersebut juga berlaku untuk n k 1, sehingga mengikuti prinsip induksi matematika, maka formula tersebut benar untuk setiap nΝ.

Pada sekolah menengah kita sudah diajarkan membuktikan kesamaan diatas tanpa menggunakan induksi matematika yakni:

Misalkan S_n 1rr2 ...rn , maka   2 ... n  n1 n r r r r rS ,



2

 

2 1



... ... 1            n n n n n rS r r r r r r r S





1 1 1r S_n  rn

r

r

S

n n









1

1

1

f. Penggunaan prinsip induksi matematika secara ceroboh dapat menghasilkan kesimpulan yang salah. Pembaca diharapkan mencari kesalahan pada “Bukti Teorema” berikut.

Bila

n

sebarang bilangan asli dan bila maksimum dari dua bilangan asli p dan q adalah

n

, maka p q. (akibatnya bila p dan q dua bilangan asli sebarang, maka p q).

Bukti:

Misalkan S sub himpunan dari bilangan asli sehingga pernyataan tersebut benar. maka 1S, karena p,q di Ν dan maksimumnya 1. Maka maksimum

1



p

dan

q



1

adalah k, karenanya

p



1



q



1

, karena k S , dari sini kita simpulkan p q. Jadi



k

 1





S

dan kita simpulkan bahwa pernyataan tersebut benar untuk setiap nΝ.

g. Terdapat juga beberapa pernyataan yang benar untuk beberapa bilangan asli, tetapi tidak untuk semua. Sebagai contoh formula

P

 

n



n

2



n



41

memberikan bilangan prima untuk

n



1

,

2

,

3

,...,

41

. Tetapi,

P

 

1

bukan bilangan prima.

Prinsip induksi matematika memiliki bentuk dalam versi lain yang kadang-kadang sangat berguna. Sering disebut prinsip induksi kuat, walaupun sebenarnya ekivalen dengan versi terdahulu.

1.3.4. Prinsip Induksi Kuat.

Misalkan S sub himpunan Ν sedemikian hingga 1S, dan bila



1

,

2

,...,

k 



S

maka



k

 1





S

. Maka S Ν.

Bukti ekivalensi prinsip induksi kuat dengan prinsip induksi matematika diserahkan pada pembaca sebagai bahan latihan.

Latihan 1.3.

Buktikan bahwa yang berikut ini berlaku untuk semua nΝ

1.



1



1

1

...

3

.

2

1

2

.

1

1













n

n

n

n

2.





2 3 3 3 1 2 1 ... 2 1 _           n n n 3.

 





2 1 1 ... 3 2 12  2     n1  n n 4.

n

3



5

n

dapat dibagi 6 5.

5

2n



1

dapat dibagi 8 6.

5

n

 n

4



1

dapat dibagi 16.

7. Buktikan bahwa jumlah pangkat tiga dari bilangan asli berurutan,

2

,

1

,

n

 n



n

habis dibagi 9.

8. Buktikan bahwa

n



2

n untuk semua nΝ 9. Tentukan suatu formula untuk jumlah



2

1



2

1



1

...

5

.

3

1

3

.

1

1











n

n

Dan buktikan dugaan tersebut dengan menggunakan induksi matematika. (dugaan terhadap pernyataan matematika, sebelum dibuktikan sering disebut

“Conjecture”)

10. Tentukan suatu formula untuk jumlah

n

buah bilangan ganjil pertama



2

1



...

3

1







n



Kemudian buktikan dugaan tersebut dengan menggunakan induksi matematika