Divulgaciones Matem´aticas v. 5, No. 1/2 (1997), 77–78
Problemas y Soluciones
Problems and solutions
Editor: Jos´
e Heber Nieto
Departamento de Matem´atica y Computaci´on Facultad Experimental de Ciencias. Universidad del Zulia
Apartado Postal 526. Maracaibo 4001. Venezuela. (E-mail: jhnieto@@luz.ve)
Las soluciones y los problemas propuestos, incluyendo sus soluciones (si se conocen), deben dirigirse al editor, en espa˜nol o ingl´es, por correo electr´onico o bien mecanografiadas, a la direcci´on dada m´as arriba.
Solutions and proposed problems (including their solutions, if known) should be sent to the editor, in Spanish or English, by e-mail or typewritten, to the address given above.
1
Problemas propuestos
11. Sea P un polinomio con coeficientes enteros de grado n > 12. Si el m´aximo com´un divisor de los coeficientes de P es 1 y en m´as de n/2 enteros el valor tomado porP es 1 o -1, pruebe queP es irreducible.
LetPbe a polynomial with integer coefficients and degreen >12. If the greatest common divisor of the coefficients ofP is 1 and for more than
n/2integersP takes the value 1 or -1, then prove thatP is irreducible.
2
Soluciones
1. Propuesto en el v. 1, No. 1 (1993), p. 106.
Sea zn una sucesi´on de n´umeros complejos no nulos tal que si i 6= j
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Problemas y Soluciones
(a) Pruebe que la serieP∞
n=11/z
α
n converge absolutamente para todo
realα >2.
(b) Pruebe con un ejemplo que lo anterior no es cierto paraα= 2. Soluci´on (por el editor):
a) Es claro que el disco|z|<1/2 contiene a lo sumo un t´ermino de la sucesi´on. Si contiene un t´erminozj pongamosA= 1/|zj|2; en caso contrario pongamos
A= 0. Para cada entero positivo kconsideremos los t´erminos de la sucesi´on
zn contenidos en la corona k−1/2 ≤ |z| < k+ 1/2, y seack el n´umero de
tales t´erminos. Como los discos con centro en estos t´erminos y radio 1/2 son disjuntos y est´an contenidos en la corona k−1 ≤ |z| < k+ 1, comparando
b) Dispongamos todos los n´umerosx+iy conxey enteros y no ambos nulos en una sucesi´onzn. Cada cuadrado|x|+|y|=kcontiene 4kt´erminos de dicha
sucesi´on, todos ellos con m´odulo menor o igual quek. Por lo tanto
