The image cannot be display ed. Your computer may not hav e enough memory to open the image, or the image may hav e been corrupted.

(1)

The image cannot be display ed. Your computer may not hav e enough memory to open the image, or the image may hav e been corrupted. Restart y our computer, and then open the file again. If the red x still appears, y ou may hav e to delete the image and then insert it again.

(2)

The image cannot be display ed. Your computer may not hav e enough memory to open the image, or the image may hav e been corrupted. Restart y our computer, and then open the file again. If the red x still appears, y ou may hav e to delete the image and

(3)

then insert it again.

Konsep dan Definisi

Eksperimen Probabilitas, Ruang Sampel dan

Peristiwa

q

Eksperimen probabilitas (probability experiment)

adalah segala tindakan dimana suatu hasil/keluaran

(outcome), tanggapan (response) ataupun ukuran

(measurement) diperoleh

q

Himpunan yang memuat seluruh kemungkinan hasil,

tanggapan, ataupun ukuran dari eksperiment tersebut

disebut ruang sampel (sample space)

q

Peristiwa/kejadian (event) didefinisikan sebagai

segala himpunan bagian dari hasil, tanggapan,

ataupun ukuran dalam suatu ruang sampel

(4)

Konsep dan Definisi

Contoh 3.1:

Pada eksperimen probabilitas mengambil sehelai kartu dari satu

set kartu bridge, maka ruang sampel dari eksperimen tersebut

adalah seluruh jenis kartu yang berjumlah 52 lembar tersebut.

Jika peristiwa A adalah terambilnya sebuah kartu hati (H), maka

peristiwa A dapat dinyatakan sebagai A = {2H, 3H, 4H, 5H, 6H, 7H,

8H, 9H, 10H, JH, QH, KH, AsH}

S

(5)

Konsep dan Definisi

Definisi Probabilitas

q

Probabilitas: sebuah bilangan antara 0 dan 1 yang

berkaitan dengan suatu peristiwa (even) tertentu

Ø

Peristiwa pasti terjadi

à

probabilitas =1

Ø

Peristiwa mustahil terjadi

à

probabilitas =0

q

Definisi Klasik :

Jika sebuah peristiwa A dapat terjadi dengan f

_A

cara dari

sejumlah total N cara yang yang memiliki kesempatan sama

dan mutually exclusive mungkin terjadi, maka:

- probabilitas P(A) dari terjadinya peristiwa A:

- probabilitas tidak terjadinya peristiwa A

( )

f

A

P A

N

=

( )

(~

)

N

f

A

1 f

A

1 ( )

P A

P

A

P A

N

-=

%

=

= -

=

(6)

-The image cannot be display ed. Your computer may not hav e enough memory to open the image, or the image may hav e been corrupted. Restart y our computer, and then open the file again. If the red x still appears, y ou may hav e to delete the image and

Konsep dan Definisi

Contoh 3.2:

Definisi klasik cocok digunakan misalnya pada permainan

tembakan/undian (games of chance). Misalnya dalam satu

set kartu bridge yang terdiri dari 52 kartu terdapat 4 buah

kartu As, maka probabilitas pengambilan satu kartu

(7)

Konsep dan Definisi

Definisi Probabilitas

q

Definisi Frekuesi Relatif :

Jika sebuah eksperimen dilakukan sebanyak N kali dan

kejadian A terjadi sebanyak f

_A

kali, maka jika percobaan

dilakukan sedemikian rupa N mendekati tak terhingga

(dilakukan tak terhingga banyaknya), limit dari f

_A

/N

(frekuensi relatif) didefinisikan sebagai probabilitas

kejadian A atau P(A)

( )

lim

A N

f

P A

N

®¥

=

q

Definisi Subyektif (Intuitif) :

Dalam hal ini, probabilitas P(A) dari terjadinya peristiwa A

adalah sebuah ukuran dari “derajat keyakinan” yang

(8)

Probabilitas Peristiwa Majemuk

Definisi

q

Peristiwa majemuk (compound event) adalah

peristiwa yang merupakan gabungan/kombinasi dua

atau lebih peristiwa sederhana (simple event)

q

Terdapat tiga jenis peristiwa majemuk antara peristiwa

A dan peristiwa B :

Ø

Peristiwa A terjadi dengan syarat peristiwa B telah

terjadi

à

Notasi : P(A|B)

Ø

Keduanya, peristiwa A dan peristiwa B sama-sama

terjadi

à

Notasi : P(A dan B) atau P(A

Ç

B)

Ø

Salah satu peristiwa A, atau peristiwa B, atau keduanya

terjadi

à

Notasi : P(A atau B) atau P(A

È

B)

(9)

Probabilitas Peristiwa Majemuk

Probabilitas Bersyarat

q

Peristiwa A terjadi dengan syarat peristiwa B telah

terjadi

q

Dengan telah terlebih dahulu peristiwa B terjadi, maka

terjadi perubahan (pengurangan) pada ruang sampel

yang

perlu

dipertimbangkan

untuk

menentukan

probabilitas peristiwa A.

A B B AÇ B

(

)

( | )

( )

0 ( )

P A

B

P A

B

P B

Ç

=

¹

(10)

Probabilitas Peristiwa Majemuk

Peristiwa Saling Bebas (

independent events

) dan

Saling Terikat (

dependent

)

q

Dua peristiwa A dan B saling bebas (independent)

apabila terjadinya/tidak terjadinya peristiwa A tidak

mempengaruhi probabilitas terjadinya peristiwa B

q

Sebaliknya, jika terjadinya peristiwa A mempengaruhi

probabilitas terjadinya peristiwa B disebut peristiwa

saling terikat (dependent)

q

Jika peristiwa A dan B saling bebas, maka berlaku:

( | )

( ) dan juga ( | )

( )

(11)

Probabilitas Peristiwa Majemuk

Peristiwa

Mutually Exclusive

(Saling Meniadakan)

q

Peristiwa A dan B adalah mutually exclusive jika

terjadinya salah satu peristiwa tersebut dalam sebuah

eksperimen probabilitas mencegah terjadinya

peristiwa yang lainnya selama berlangsungnya

eksperimen probabilitas yang sama

q

Sebaliknya, jika peristiwa A dan B dapat terjadi secara

bersamaan dalam sebuah eksperimen probabilitas,

maka A dan B tidak mutually exclusive

q

Jika peristiwa A dan B mutually exclusive , maka

berlaku:

( dan )

(

)

0 artinya juga ( | )

0

(12)

Probabilitas Peristiwa Majemuk

Peristiwa

Mutually Exclusive

(Saling Meniadakan)

q

Diagram venn dari peristiwa mutually exclusive dan

tidak mutually exclusive

A

B

A

(13)

Probabilitas Peristiwa Majemuk

Hukum-hukum Probabilitas Peristiwa Majemuk

Hukum Perkalian-Peristiwa Saling Bebas

Jika A,B,C, ... adalah peristiwa-peristiwa yang saling bebas

(independent events), maka probabilitas bahwa seluruh

peristiwa itu terjadi, atau disebut pula probabilitas gabungan

(joint probability) P(ABC ...), adalah produk (perkalian) dari

probabilitas masing-masing peristiwa

-=

=

Ç Ç Ç

=

×

=

Ç Ç Ç

Ç

=

Õ

L

I

1

2

1

1 ( dan dan dan ...)

(

)

( )

Notasi matematis secara umum:

(

)

(

...

)

( )

n

i

n

i

P A

B

C

P A

B

C

P A P B P C

P

A

P A

A

P A

(14)

Contoh 3.3:

Ketika menghubungkan sebuah sumber tenaga listrik di bagian depan

sebuah pesawat militer ke peralatan-peralatan yang menggunakan

tenaga listrik di bagian belakang, maka ketimbang menggunakan

sepasang kabel, kita dapat menggunakan 3 pasang kabel parallel, yang

masing-masing dengan jalur berbeda melalui fuselage (rangka

pesawat). Jadi jika tembakan musuh memutuskan sepasang kabel,

kedua pasang kabel lainnya masih tetap bekerja. Prinsip dasar

perancangan (design philosophy) seperti itu akan meningkatkan

realibitas perancangan. Dalam contoh pengkabelan pesawat militer di

atas, anggaplah probabilitas sepasang kabel terputus oleh tembakan

musuh adalah 0,01 setiap satu jam tempur. Dengan cara merancang

lebih pengkabelan menjadi tiga pasang, maka probabilitas putusnya

hubungan tenaga listrik dalam satu jam tempur di pesawat itu sangat

Probabilitas Peristiwa Majemuk

(15)

Probabilitas Peristiwa Majemuk

Hukum-hukum Probabilitas Peristiwa Majemuk

Hukum Perkalian-Peristiwa Saling Terikat

Untuk dua peristiwa A dan B yang saling terikat (tidak saling

bebas):

( dan )

(

)

( )

( | )

( )

( | )

P A

B

=

P A

Ç

B

=

P A

´

P B A

=

P B

´

P A B

Contoh 3.4:

Dalam contoh pesawat militer, andaikan untuk jarak pemisahan

kabel yang mungkin dilakukan dalam pesawat sesungguhnya,

kajian-kajian menunjukkan bahwa sistem disain lebih dengan

dua pasang kabel menunjukkan probabilitas pasangan kabel

kedua akan terputus akibat tembakan yang sama, yang telah

memutuskan hubungan pasangan kabel pertama adalah 0,03.

Maka:

(16)

Probabilitas Peristiwa Majemuk

Hukum-hukum Probabilitas Peristiwa Majemuk

Hukum Penjumlahan

Probabilitas peristiwa A atau peristiwa B atau kedua-duanya

sama-sama terjadi ditunjukkan oleh hukum penjumlahan

menyatakan:

Perluasan (Continued Reapplication) :

( atau )

(

)

( )

(

)

P A

B

=

P A

È

B

=

P A

+

P B

-

P A

Ç

B

( atau atau )

(

)

( )

(

)

(

)

(

)

(

)

P A

B

C

P A

B

C

P A

P B

P C

P A

B

P A

C

P B

C

P A

B

C

=

È È

=

+

-

Ç

-

Ç

-

Ç

+

Ç Ç

(17)

Contoh 3.5:

Sebagai contoh pemakaian hukum ini, perhatikan struktur yang

dilas seperti pada gambar. Jelas dari gambar tersebut bahwa

kegagalan dari struktur ini terjadi jika salah satu atau lebih dari

ketiga sambungan las tersebut putus. Jika probabilitas dari

kegagalan/putusnya masing-masing sambungan las adalah

0.001 dan diasumsikan masing-masing sambungan saling bebas,

maka:

P(kegagalan struktur) = 0,001 + 0,001 + 0,001

–

10

-6

_–

₁₀

-6

_–

₁₀

-6

₊

10

-9

_{= 0,003}

_–

_{0,000003 + 0.000000001}

»

_0,003

Probabilitas Peristiwa Majemuk

(18)

Probabilitas Peristiwa Majemuk

Hukum-hukum Probabilitas Peristiwa Majemuk

Formulasi Bayes

q

Perluasan dari probabilitas bersyarat (conditional probability)

dan aturan umum hukum perkalian (multiplication) jika

terdapat sekelompok peristiwa B

₁

, B

₂

, ..., B

_n

, yang:

Ø

mutually exclusive

à

masing-masing peristiwa tidak

memiliki hasil/keluaran (outcomes) yang sama

Ø

exhaustive (menyeluruh),

à

secara bersama-sama

memuat keseluruhan hasil/keluaran (outcomes) di dalam

ruang sampel Kemudian sebuah peristiwa lain, A

didefinisikan pada ruang sampel yang sama

q

Maka probabilitas peristiwa A didapat dengan menjumlahkan

probabilitas P(A

Ç

B

) untuk seluruh harga I

(19)

Probabilitas Peristiwa Majemuk

Hukum-hukum Probabilitas Peristiwa Majemuk

Formulasi Bayes

q

Sebaliknya jika peristiwa A telah terjadi

q

Probablitias masing-masing peristiwa B

_i

juga terjadi dapat

ditentukan dengan Formulasi Bayes:

1 1

(

)

(

) ( |

)

(

) ( |

)

(

| )

( )

₍

_{) ( |}

₎

₍

₎

i i i i i i n n i i i i i

P B

A

P B P A B

P B A

P A

_{P B P A B}

_{P B}

_A

= =

Ç

=

Ç

å

(20)

Contoh 3.6:

Vendor I, II, III, dan IV menyediakan seluruh keperluan bantalan

bush yang dibeli oleh perusahaan Sumber Teknik sebanyak

masing-masing 25 %, 35 %, 10 % dan 30 %. Dari pengalaman

selama ini diketahui bahwa vendor I, II, III, dan IV masing-masing

mengirimkan 80 %, 95 %, 70 % dan 90 % bantalan bush yang

baik (tanpa cacat). Maka probabilitas bahwa sebuah bantalan

yang dipilih secara acak merupakan bantalan yang cacat dapat

dihitung sebagai berikut. Misalkan A adalah peristiwa pemilihan

sebuah bantalan yang cacat, dan B

₁

, B

₂

, B

₃

, dan B

₄

, adalah

peristiwa pemilihan bantalan dari vendor I, II, III, dan IV. Maka

Probabilitas Peristiwa Majemuk

4 4

( )

(

)

(

)

( |

)

(21)

Contoh 3.6 (lanjutan):

Kemudian jika terpilih sebuah bantalan cacat, maka probabilitas

bantalan cacat itu berasal dari vendor III adalah :

Probabilitas Peristiwa Majemuk

3 3

(

)

0, 03

(

| )

0, 2353

( )

0,1275

P B

A

P B

A

P A

Ç

=

(22)

Teknik Enumerasi