Pangkat Positif. Dari pelajaran sebelumnya kalian sudah memahami bahwa: 3 2 = 3 3 (-2) 3 = (-2) (-2) (-2) 5 4 = = 2 2..

Pangkat Positif

Dalam pelajaran biologi atau fisika kadang-kadang dijumpai bilangan yang sangat besar. Contohnya bilangan Avogadro 6,02205 × 1023 _{atau massa bumi 3,98} × ₁₀24 _kg. Demikian juga sering dijumpai bilangan yang sangat kecil seperti konstanta gravitasi Newton 6,67 × 10-11 _atau diameter sel darah merah 7,75 × 10-7 _{m. Bilangan-bilangan} yang sangat besar atau sangat kecil ini ditulis dalam notasi ilmiah atau notasi baku

a × 10n_{, dengan 1} ≤ _{a < 10 dan n bilangan bulat}

Pada penulisan a × 10n _{, n disebut pangkat.}

Karena n bilangan bulat maka n dapat berupa bilangan postif, negatif atau nol.

Dari pelajaran sebelumnya kalian sudah memahami bahwa: 32 _{= 3} × ₃ (-2)3 _{= (-2)} × _(-2) × _(-2) 54 _{= 5} × ₅ × ₅ × ₅ 210 _{= 2} × ₂ × _….. × ₂ 10 faktor a6 _{= a} × _a × _….. × _a 6 faktor

Secara umum bilangan berpangkat dapat dinyatakan sebagai perkalian berulang pada bilangan yang sama.

Apa yang akan kamu

pelajari?

À Menjelaskan pengertian bilangan berpangkat dengan pangkat positif, negatif dan nol

À Mengubah pangkat positif menjadi negatif dan sebaliknya.

À Mengenal arti pangkat positif dan negatif À Mengenal bentuk akar Kata Kunci

•

Pangkat Positif

•

Pangkat Negatif

•

Pangkat Nol

•

Bentuk akar

5.1

Jika a sebarang bilangandan n bilangan bulat positif maka an _{= a} × _a × _….. × _a

n faktor

a disebut bilangan pokok atau basis n disebut pangkat atau eksponen Bagaimana jika n = 1? Disepakati a1 _{= a.}

Contoh 1:

Tentukan nilai dari

a. 123 b. 3,45 c. (-6) 7 Jawab: a. 123 = 12 × 12 × _{12 = 1728} b. 3,45 = 3,4 × 3,4 × 3,4 × 3,4 × 3,4 = 454.35424 c. (-6) 7 = -6 × -6 × -6 × -6 × -6 × -6 × -6 = -279936

Pangkat Negatif

Di depan kalian dapat menyatakan konstanta gravitasi Newton 0,0000000000667 dalam notasi baku sebagai 6,67 × 10−11.

Perhatikan 6,67 × 10−11 = 0,0000000000667 = 6,67 × 00 1000000000 1 = 6,67 × ₁₁ 10 1 Maka 10-11 ₌ 11 10 1

Dapatkah kamu menyatakan diameter sel darah merah 0,000000775 m dalam bentuk pangkat?

Secara umum, jika a sebarang bilangan tidak nol dan n bilangan bulat maka

n _n

a a− = 1 Mengapa a ≠ 0?

Contoh 2:

Tentukan nilai dari

a. 2-3 b. 1,2-4 c. (-3) -5 Jawab: a. 2-3 = 8 1 2 2 2 1 2 1 3 = _{× ×} = = 0,125 b. 1,2-4 = 0736 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 1 4 _{, , , , ,} , = × × × = = 0.4823 c. (-3) -5

=

243 1 3 3 3 3 3 1 3 1 5 = _{− ×− ×− ×− ×−} = ₋ −

= -0.0041

Pangkat Nol

Perhatikan bentuk pangkat berikut 23 _{= 8}

22 _{= 4}

21 _{= 2} Berapakah 20 _?

Pada ruas kiri dari atas ke bawah, pangkatnya berkurang satu. Pada ruas kanan dari atas ke bawah selalu dibagi 2. Dengan demikian 20 _{= 1.}

Berapakah 30_{? 5}0_{? a}0_?

Ingat

Bentuk Akar

Aulia mempunyai sehelai saputangan yang berbentuk persegi dengan luas 900 cm persegi. Supaya indah, Aulia akan menambahkan renda di salah satu sisinya. Berapa panjang renda yang diperlukan Aulia?

Misal panjang sisi saputangan adalah n cm maka Aulia harus menentukan n×n = 900. Dalam hal ini n = 30 karena 30 × 30 = 900 atau 302 = 90.

Menentukan n = 30 berarti melakukan penarikan akar dari 900 dan ditulis sebagai 900 = 30. Bentuk 900 dibaca ” akar kuadrat dari 900 ”.

Berapakah nilai dari 5 ?

Kita tidak dapat menentukan suatu bilangan rasional n sedemikian hingga n2 = 5. Selanjutnya ” akar kuadrat dari 5 ” tetap ditulis dalam bentuk akar 5 dan 5 merupakan bilangan irrasional.

Apakah 4, 7, 121, 200, merupakan bilangan irrasional? Mengapa ? Jika 2 × 2 × 2 = 23 _{= 8 maka dapat ditulis} 3_{8 = 2.}

Jika -3 × -3 × -3 × -3 × -3 = -243 maka 5−243 =−3

Tetapi walaupun -5 × -5 = 25 nilai dari 25 = 5. Untuk akar pangkat genap hanya digunakan nilai yang positif.

Secara umum,

Menyederhanakan Bentuk Akar

Jika a, b bilangan positif maka ab = a×b = a× b

Contoh 3:

Sederhanakan bentuk akar berikut:

amu

ngan at akar at n

Jika n bilangan genap dan a suatu bilangan positif maka an = b berarti nb =a Jika n bilangan ganjil maka an = b berarti nb =a

a. 8 b. 500 Jawab:

a. 8 = 4×2 = 4× 2 =2× 2 =2 2

b. 500 = 100×5 = 100× 5 =10× 5=10 5

1. Nyatakan dalam bentuk bilangan berpangkat

a. 7 × 7 × 7 × 7 × 7 b. 3,4 × 3,4 × 3,4 × 3,4 b. 8 ×32 d. n × n × n × n × n × n 2. Tentukan nilai dari

a. 45 b. 4 3 2 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ _{c. −5}3 _d. 3 5 3 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛−

3. Carilah bilangan yang terbesar yang merupakan bentuk perpangkatan dari bilangan 3 dan -4.

4. Ubahlah dalam pangkat negatif a. ₂ 3 1 _b. 5 1 a c. 3 2 p d. 4 5 x

5. Ubahlah dalam pangkat positif

a. 2−4 b. a−3 c. 2p−5 d.

( )

3x −6

6. Tentukan nilai dari

a. 144 b. 256 c. 3125 d. 3−343

7. Sederhanakan

a. 128 b. 80 c. 50a4

8. Ambil seutas benang atau tali, kemudian potong menjadi tiga bagian. Satukan ketiga bagian tersebut kemudian potong lagi menjadi tiga bagian.

Berapa potong benang/tali yang akan diperoleh?

Perkirakan berapa potong benang/tali yang akan diperoleh jika dilakukan pemotongan sebanyak 5 kali.

9. Sebuah bank menerapkan sistem bunga majemuk atau berganda, dimana bunga yang diterima dibungakan lagi. Misal bank tersebut menerapkan bunga majemuk 1% per bulan. Jika Aulia menabung Rp 100.000,00 maka 1 bulan kemudian tabungan Aulia menjadi:

100000 + (100000 × 1%) = 100000 + (100000 × 0,01) = 100000 × ( 1 + 0,01)

= 100000 × 1,01

Dua bulan kemudian tabungan Aulia menjadi (100000 × 1,01) + ((100000 × 1,01) × 1%)

= (100000 × 1,01) + ((100000 × 1,01) × 0,01) = (100000 × 1,01) × ( 1 + 0,01)

= 100000 × 1,01 × 1,01 = 100000 × 1,012

Tiga bulan kemudian tabungan Aulia menjadi (100000 × 1,01 × 1,01 ) + ((100000 × 1,01 × 1,01) × 1%)

= (100000 × 1,01 × 1,01) + ((100000 × 1,01 × 1,01) × 0,01) = (100000 × 1,01 × 1,01) × (1 + 0,01)

= 100000 × 1,01 × 1,01 × 1,01 = 100000 × 1,013

Nyatakan besar tabungan Aulia dalam bentuk pangkat selama satu tahun. 10. Penampang melintang sebuah batang tumbuhan

dikotil di musim hujan mempunyai ukuran tertentu. Pada musim kemarau mengkerut sejauh x seperti pada gambar. Hitunglah prosentase penyusutan luas penampang batang tumbuhan dikotil tersebut.

•

√x √x √x

Operasi pada Bilangan Berpangkat

Setelah mengenal bilangan berpangkat dan bentuk akar, berikut ini kalian akan

mempelajari operasi yang berlaku pada bilangan berpangkat dan bentuk akar serta bagaimana menggunakannya untuk

menyelesaikan masalah.

Masalah 1

1. Lengkapilah 52× 53 = (5 × 5) × (5 × 5 × 5) = 5 × 5 × ... × ... × ... = 5...

2. Dengan menggunakan arti bilangan berpangkat sederhanakan a. 34× ₃3 b. (-2)3× _(-2)4 c. b2× _b5 d. 3-2× ₃-3 e. (-5)-4× _(-5)-2 f. a-3× _a-6

3. Jika a sebarang bilangandan m, n bilangan bulat, apakah bentuk sederhana dari am× _an _?

Masalah 2

1. Lengkapilah ... ...× × × × × = 2 2 2 2 2 2 2 2 5 = ... × ... × ... = 2...

Apa yang akan kamu

pelajari?

À Menyelesaikan operasi kali, bagi, tambah, kurang, dan pangkat pada bilangan berpangkat

À Menyelesaikan operasi yang melibatkan bentuk akar

À Menyelesaikan

masalah yang berkaitan dengan bilangan

berpangkat dan bentuk akar

Kata Kunci

•

Merasionalkan penyebut

2. Dengan menggunakan arti bilangan berpangkat, sederhanakan: a. ₂5 3 3 _b.

( )

( )

3 6 2 2 − − c. 2₅ c c d. ₄6 2 2 − − − − ) ( ) ( e. ₋−₃4 x x f. ₋−₆5 a a

3. Jika a sebarang bilangan tidak nol dan m, n bilangan bulat, apakah bentuk sederhana dari m_n a a _?

Masalah 3

1. Lengkapilah (32₎3 _{= 3}2_{× 3}2 _{× 3}2 = (3 × 3) × (... × ...) × (... × ...) = 3...

2. Dengan menggunakan arti bilangan berpangkat, sederhanakan: a. (23₎4 _{b. ((-3)}2₎5 c. (c2)4 d. 2 3 3 1 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ e. (c-5)2 f. (a-3)-1

3. Jika a sebarang bilangan dan m, n bilangan bulat, apakah bentuk sederhana dari (am)n

Masalah 4

1. Lengkapilah

(a × b)3 = (a × b) × (a × b) × (a × b) = (a × a × a) × (… × ... × ...) = a...× b...

2. Dengan menggunakan arti bilangan berpangkat, sederhanakan: a. (-2 × 3)5 _{b. (3 × 5)}2

c. (p × q)4 _{d. (x × y)}5_{(3 × 2)}-3 e. (a × b)-2 _{f. (x × y)}-5

3. Jika a dan b sebarang bilangan, n bilangan bulat , apakah bentuk sederhana dari: (a × b)n _?

Masalah 5

1. Lengkapilah 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 4 _{= × × ×} ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ... ... ... ... × × × × × × 3 3 2 2 = _...... 3 2

2. Dengan menggunakan arti bilangan berpangkat sederhanakan:

a. 3 5 2 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − _b. 5 4 3 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − c. 4 2 7 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ d. 3 ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ q p , q ≠ 0 e. 3 3 2 − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ _f. −2 ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ q p , q ≠ 0

3. Jika a dan b sebarang bilangan, b ≠ 0, dan m bilangan bulat positif apakah bentuk sederhana m b a ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ _? Rangkuman

Jika m dan n bilangan bulat, dan a, b sebarang bilangan maka berlaku sifat-sifat berikut. 1. am×an =am+n 2.

( )

amn =amn 3. m n n m a a a _{= −} , a ≠ 0 4.

(

a×b

)

n =an×bn 5. m _mm b a b a ₌ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ _{, b ≠ 0}

Menggunakan Kalkulator

Untuk menghitung nilai bilangan berpangkat dapat digunakan

kalkulator. Kalkulator jenis scientific biasanya memuat tombol untuk menentukan nilai xy

atau tombol untuk menentukan akar pangkat dua.

Contoh 1:

Hitunglah 3,456 Jawab:

Tekan tombol

akan menghasilkan nilai

Contoh 2:

Hitunglah 789 Jawab:

Tekan tombol

akan menghasilkan nilai

Contoh 3: Hitunglah 5456 Jawab: 5 _{456 =} 5 1 456 = 4560,2 Tekan tombol

akan menghasilkan nilai

y x 3 . 4 5 _xy = 1686.221298140625 28.089143810376278537410115784912 7 8 9 3.4024595321284907652092505444728 4 5 6 xy . 2 =

Menggunakan Komputer

Beberapa software komputer dapat digunakan untuk menghitung nilai bilangan berpangkat, diantaranya Microsoft Excel.

Contoh 4:

Hitunglah 5,67-8

Jawab:

Pada salah satu sel ketiklah: =5.67^-8 atau =POWER(5.67,-8)

Contoh 5:

Hitunglah 789 Jawab:

Pada salah satu sel ketiklah: =SQRT(789)

Contoh 6:

Hitunglah 5456 Jawab: 5456 = 5

1

456 = 4560,2

Pada salah satu sel ketiklah: =POWER(456,1/5)

Hasil 9.36129E-07 berarti

7

10 36129 ,

1. Tentukan nilai dari a. 82× ₈4 _{b. (-3)}2× _(-3)4 _c. 5 5 2 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ _{d. (3 × 105) × (5 × 106)} b. ₆8 4 4 _{f .}

( )

( )

3 5 3 3 − − _{g. (53)5 h.} 2 6 3 1 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛−

2. Jika a, b, dan c sebarang bilangan dan tidak nol, sederhanakan a. (2a3₎4 _{b. (4a}5_b2₎2 _{× (2a}3_b-5₎5 _{c. (-8(2c)}-3₎4 _d.

4 2 5 5 4 3 c b a c b a

3. Carilah bilangan yang terbesar yang merupakan hasil operasi perpangkatan dari bilangan 2, 3, dan 4.

4. Ubah bentuk-bentuk di bawah ini dalam pangkat negatif a. ₄ 3 2 b. 4 5 a c. 5 4 ₃ 1 3 1 _× d. 4 7 1 1 a a × e. 2 2 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ b a f. 5 3 1 a

5. Ubahlah bentuk-bentuk di bawah ini dalam pangkat positif. a. 3-2× ₃-5 _{b. 3}3× ₃-4 c. (-2)-2× _(-2)-4 _{d. (-3)}3× _(-3)-5 e.

( )

₆5 4 4 − − − − ) ( f. 5 3 4 4 ) ( ) ( − − −

6. Penalaran. Apakah an× _bm _{= (ab)}n+m _?

Jika ya beri alasan. Jika tidak beri contoh. 7. Hitunglah jika a ≠ 0

8. Produksi baju suatu perusahaan garmen mengikuti fungsi

( )

_{1 2} 3 3 5 − − = t

b , dengan t bilangan bulat positif yang menya-takan waktu berjalan dalam tahun. Keuntungan perusa-haan dinyatakan oleh p dari persamaan p = b × (10-3× ₂2₎-3_{. Berapakah keuntungan}

perusahaan selama 3 tahun? (Gunakan kalkulator atau komputer bila perlu) 9. Bank A menerapkan bunga majemuk 1% per bulan. Bank B menerapkan

bunga majemuk 12,5% per tahun. Jika Aulia ingin menabungkan uang Rp 100.000,00 selama 3 tahun, bank manakah yang menghasilkan tabungan lebih banyak? (Gunakan kalkulator atau komputer bila perlu) 10.Salah satu tolok ukur tingkat kemakmuran suatu

negara diukur dari besarnya Gross National Product (GNP). Kenaikan GNP suatu negara setelah n tahun (Tn)

dihitung dengan rumus Tn = GNP × tn, dimana t adalah

rata-rata pertumbuhan GNP. Pada tahun 1986, GNP di Jepang 1.204 trilyun dolar, dengan rata-rata

pertumbuhan GNP 4.85 % per tahun.

Jika diasumsikan rata-rata pertumbuhan GNP Jepang tidak berubah, tentukan kenaikan GNP Jepng pada tahun 1990 dibandingkan tahun 1986.

(Gunakan kalkulator atau komputer bila perlu)

Pangkat Pecahan

Bentuk 2× 2 = 2 dapat dinyatakan dalam bentuk bilangan berpangkat sebagai 2x×2x =21. Ini berarti x + x = 1, atau x=₂1.

Dengan demikian dapat dinyatakan _{2 =2}21 _.

Bentuk 32 dibaca ”akar pangkat 3 dari 2” yang berarti 32 × 32 × 32 = (32 )3 _{= 2.} Dalam bentuk bilangan berpangkat dapat dinyatakan 2y× ₂y× ₂y _{= (2}y₎3 _{= 2}

sehingga y = ₃1 . Dengan demikian 32 = _{2 .} 31

al-irsyad0.tripod.com

Masalah 6

Tulislah dalam bentuk akar a. ₄31

b. ₃51 c. ₅31

Nyatakan _an1 _{dalam bentuk akar.}

Selidikilah syarat-syarat untuk a dan n. Apakah syarat a untuk n genap?

Masalah 7

Di depan sudah dipahami makna dari an1 =na ,a≥0_{, a bilangan positif,} n > 1 untuk n genap dan a bilangan sebarang untuk n ganjil.

Sekarang apakah makna dari _amn_{, dengan m, n bilangan bulat lebih dari 1?} Berikut 2 cara untuk menunjukkan hubungan akar dan pangkat pecahan.

Cara 1 Cara 2

( )

₃ 2 2 3 1 3 2 7 7 7 = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ =

( )

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = = 3 2 3 1 2 3 2 7 7 7 Ubahlah n m

Operasi pada Bentuk Akar

Masalah 8

Kalian telah memahami bahwa n ma =

( )

na m, nab=na.nb dan

( )

am n= amn_.

Gunakan ketiga hal di atas untuk menghitung: 1.

( )

3 2 2. 3 24 ⎟3 ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ 3. 24 33 ⎟2 ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ 4 . 33 2⎟6 ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ _a 5 . 24 2⎟6 ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ _x 6. n ma ⎟k ⎠ ⎞ ⎜ ⎝

⎛ _{, jika a > 0, m, n bilangan bulat positif}

Masalah 9

Sederhanakan dengan menggunakan sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan. 1. a c +b c 2. a c −b c 3. 4 2+3 2 4. 2 3+5 3+3 3 5. 2 5−3 5+7 5 6. 6+ 54+ 250 7. 4 3−

(

3 3−2 3

)

Ingat

Sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan a(b + c) = ab + ac (a + b)c = ac + bc

Masalah 10

Di atas kalian sudah mempelajari ab = a× b. Bentuk ini dapat juga ditulis sebagai perkalian bentuk akar a× b = ab.

Hitunglah: a. 2× 3 b. 12× 3 c. 39×381 d. 5 32 .5 43 e. a. b, a > 0 , b > 0

f. na.nb, a > 0, b > 0, n bilangan bulat positif

g. n ma .n kb , a > 0 , b > 0, m, n bilangan bulat positif

Merasionalkan Penyebut Bentuk Akar

Kalian sudah memahami bahwa √2, √3, √5, √7 adalah bilangan irrasional. Demikian juga 7 1 5 1 3 1 2

1 _{, , , merupakan bilangan irrasional. Penyebut dari} pecahan-pecahan tersebut dapat diubah menjadi bilangan rasional, dan

pengubahan ini disebut merasionalkan bentuk akar. Contoh 1: Rasionalkan bentuk a. 2 1 b. 3 2 3 Jawab: a. 2 2 2 1 2

1 _{= × (pembilang dan penyebut dikalikan √2)}

= 4 2 = 2 2 1 2 2 _atau Ingat (a + b)(a - b) = a2 – b2

b. 3 3 3 2 3 3 2

3 _{= × (pembilang dan penyebut dikalikan √3)}

= 9 2 3 3 = 3 2 1 3 2 3 3 ₌ × 1. Hitunglah a. 4 1 256 b. 2 1 15 c. 6 5 64 d. 3 2 27− e. 4 7 4 1 7 7 × f. 4 4 3 5 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ g. 4 1 4 3 16 16 _h. 3 2 2 1 8 − − ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛

2. Nyatakan dalam bentuk pangkat

a. a6b3 b. 48x2y8 c. 3125a2b3 d. 532x5y8

3. Nyatakan dalam bentuk akar a. 3 2 x b.

( )

8 3 8 5 7a b c. 3 4 3 2 3 1 4 a y d. 6 3 6 4 6 1 c b a

4. Mengapa np tidak terdefinisi jika n genap dan p < 0?

5. Tulis bentuk lain yang ekuivalen dengan 346 6. Sederhanakan

a. 5√3 + 4√3 + 6√2 - 3√2 b. √6 + √54 - √200

c. 2 2a3 + 32a3 −a 18a

e. (√a - √b)(√a + √b)

f. a3b2 a4b5

7. Arsitektur. Seorang arsitek akan membuat dinding dengan mengambil ide dari gelembung sabun jika luas permukaan gelembung sabun a maka volumenya v diberikan oleh persamaan v=0,94 a3 . Tentukan luas permukaan gelembung jika volumenya 7,5 cm3_.

(Gunakan kalkulator atau komputer bila perlu)

8. Periode orbit dari satelit yang mengelilingi bumi adalah 90 menit, jari-jari bumi adalah 6400 km.

Diberikan rumus ₂2

4π gmt

r = , disini r

menyatakan jarak dalam meter dari pusat bumi ke satelit, g = 6,67 x 10-11_{, t menyatakan waktu} dalam detik, m menyatakan massa bumi yaitu 5,98 x 1024 _kg.

Tentukan jarak bumi dengan satelit.

(Gunakan kalkulator atau komputer bila perlu) 9. Rasionalkan bentuk akar berikut

a. 8 2 _b. 6 18 _c. 41_b d. 5 3 6 e. 8 2 3

10. Dalam pelajaran fisika terdapat persamaan 3 1 3 3 1 1 − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + b a . Ubahlah

persamaan tersebut dalam bentuk paling sederhana tanpa pangkat negatif. Brasouw.tripod.com