Materi 9 INTEGER PROGRAMMING CUTTING PLANE ALG

(1)

Widha Kusumaningdyah, ST., MT

2012

(2)

(3)

INTEGER PROGRAMMING (IP)

•

Untuk permasalahan optimasi dengan beberapa

atau

semua

variabel

keputusan

bernilai

bulat(integer).

•

Tidak

dapat

diselesaikan

langsung

dengan

metode simpleks karena adanya beberapa atau

semua variable yang berupa bilangan bulat

(4)

KLASIFIKASI IP

Integer programming dapat diklasifikasikan menjadi empat

(berdasarkan banyaknya variable keputusan yang bernilai bulat):

1)

Pure Integer Programming

semua

variable keputusan harus bernilai bilangan bulat

2)

Mixed Integer Programming (MIP)

tidak semua

variable keputusan berupa bilangan bulat

3)

Binary Integer Programming (BIP)

semua variable keputusan memiliki nilai berupa bilangan biner

(0 atau 1).

4)

Mixed Binary Integer Programming (MBIP)

(5)

PROBLEM IP

Permasalahan yang mengharuskan variabel keputusan bernilai integer

diantaranya adalah



Investasi



Multiperiode Budgeting



Routing



Knapsack



Vehicle Loading



Set Covering



Scheduling



Mixed Product



Location



Distribution



Assignment



Transportasi

(6)

(7)

1. PENJADWALAN PEKERJA (SCHEDULING)

• Bank Swasta buka mulai jam 9 pagi sampai dengan jam 5 sore. Banyaknya konsumen yang datang ke bank cukup bervariasi sehingga banyaknya teller yang diperlukan pada setiap jam juga berbeda. Teller merupakan tenaga outsourcing, pihak bank bisa menentukan pada jam berapa teller tersebut harus mulai bekerja. Setiap teller bekerja selama 5 jam sehari. Tentukan banyaknya setiap teller yang harus masuk pada setiap jam supaya biaya yang dikeluarkan bank minimal !

Periode Jumlah teller yang

diperlukan

9 – 10 10

10 – 11 12

11 –12 14

12 – 1 16

1 – 2 18

2 - 3 17

3 – 4 15

(8)

X5

X4

X3

X2

X1

9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

(9)

2. CAPITAL BUDGETING

•

Punya uang utk investasi Rp 14.000.000.

•

Ada 4 jenis kesempatan investasi :

–

Investasi 1 : butuh Rp 5.000.000 , akan berkembang mjd Rp 8.000.000

–

Investasi 2 : butuh Rp 7.000.000 , akan berkembang mjd Rp

11.000.000

–

Investasi 3 : butuh Rp 4.000.000 , akan berkembang mjd Rp 6.000.000

(10)

FORMULASI : Capital Budgeting

Model ILP :

x

_i

: investasi ke i , i=1,2,3,4

x

_i

= 0 jika tidak mengambil investasi i

= 1 jika mengambil investasi i

Maksimasi :

Z = 8x

₁

+ 11x

₂

+ 6x

₃

+ 4x

₄

Kendala :

(11)

3. CONTOH & FORMULASI : Capital Budgeting

•

Apabila ditambah kendala :

– Kita hanya dapat membuat paling banyak dua investasi

– Jika investasi 2 diambil, maka investasi 4 juga diambil

– Jika investasi 1 diambil, maka investasi 3 tidak dapat diambil

•

Model matematikanya :

Maksimasi :

Z = 8x₁+ 11x₂+ 6x₃+ 4x₄ Kendala :

5x₁+ 7x₂+ 4x₃+ 3x₄≤ 14 x₁+ x₂+ x₃+ x₄≤ 2

(12)

3. KNAPSACK PROBLEM

•

Terdapat 7 jenis barang, setiap jenis barang mempunyai

ukuran dan keuntungan yang berbeda sbb :

•

Alat angkut hanya mampu mengangkut 40 m

3

, barang

manakah yang seharusnya diangkut?

Barang

ke-

1

2

3

4

5

6

7

Ukuran

5

7

4

3

4

3

7

(13)

4. PEMILIHAN LOKASI PABRIK

• Perusahaan berencana untuk mendirikan satu atau beberapa pabrik untuk memenuhi permintaan produk pada berbagai daerah (pasar). Terdapat 4 lokasi dimana pabrik dapat dibangun dan terdapat 12 pasar yang harus dipenuhi oleh perusahaan. Produk akan langsung dikirim dari pabrik ke pasar.

• Biaya untuk mendirikan pabrik dan kapasitas pabrik di masing-masing lokasi adalah sebagai berikut:

• Biaya untuk mengirim barang dari suatu pabrik ke pasar adalah sebagai berikut

• Tentukan dimanakah pabrik harus dibangun dan berapa pabrik yang harus dibangun??

A B C D

Biaya Investasi 1000 1500 700 400

Kapasitas 2000 4000 1000 900

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

A 3 4 1 2 3 5 5 2 3 4 5 5

B 6 6 4 5 7 3 4 1 2 4 4 4

C 4 2 3 5 4 5 4 3 6 5 4 3

D 5 5 2 3 4 5 5 6 2 3 5 5

(14)

5. DIET PROBLEM

Food Serving size Energy (kcal) Protein (g) Calcium (mg) Price per serving (cents) Max serving allowed

Oatmeal 28g 110 4 2 3 4

Chicken 100g 205 32 12 24 3

Eggs 2 large 160 13 54 13 2

Wholemilk 237cc 160 8 285 9 8

Cherry pie 170g 420 4 22 20 2

Pork with beans 260g 260 14 80 19 2

(15)

Formulasi : DIET PROBLEM

6 5 4 3 2

1

24

13

9

20

19

3

:

Minimisasi

x



x



x



x



x



x

(16)

6. BLENDING

• Perusahaan eaglefood akan memproduksi cereal dalam kemasan sebesar 2 pound. Cereal yang diproduksi harus memenuhi kebutuhan gizi dalam sehari. Kebutuhan gizi dalam sehari dapat dilihat dalam tabel berikut ini:

• Terdapat tiga alternatif bahan baku yang dapat digunakan, bahan baku tersebut bisa dicampur untuk memproduksi cereal.

• Tentukan bagaimana perbandingan(komposisi) bahan baku A, B dan C dalam cereal sehingga biaya untuk memproduksi cereal minimum!

Grain

Minimum Daily Requirement

A B C

Harga per pound 3300 4700 3800

Protein per pound 22 28 21 3

Riboflavin per pound 16 14 25 2

Phosphorus per pound 8 7 9 1

(17)

FORMULASI : MODEL

Variabel keputusan

• xi = jumlah mobil tipe ke-i yang diproduksi

• yi = 1 jika mobil tipe ke-i diproduksi, dan yi=0 jika tidak

Formulasi :

Maks z = 2 x1 + 3 x2 + 4 x3 Subject to:

x1 ≤ M y1 x2 ≤ M y2 x3 ≤ M y3

1000 – x1 ≤ M (1 – y1) 1000 – x2 ≤ M (1 – y2) 1000 – x3 ≤ M (1 – y3) 1.5 x1 + 3 x2 + 5 x3 ≤ 6000 30 x1 + 25 x2 + 40 x3 ≤ 60000 x1, x2, x3 ≥ 0 dan integer

(18)

7. SET COVERING PROBLEM

• Propinsi sukolilo mempunyai 6 kota

• Pemerintah berencana untuk membangun kantor pusat pemadam kebakaran. Pada kantor pusat pemadam kebakaran akan ditempatkan kendaraan pemadam kebakaran, peralatan pemadam kebakaran dan personelnya, sehingga jika ada kebakaran maka petugas akan berangkat dari kantor pusat pemadam kebakaran menuju lokasi kebakaran.

• Petugas tidak boleh mencapai lokasi kebakaran lebih dari 15 menit (waktu tempuh) dari stasiun pemadam kebakaran.

• Waktu yang dibutuhkan dari kota yang satu ke kota yang lain adalah sebagai berikut.

• Tentukan dimanakah kantor pusat pemadam kebakaran harus dibangun supaya banyaknya kantor yang harus dibangun tidak banyak(minimal) sehingga dana APBD bisa dihemat untuk dialokasikan pada bidang lain?

Kota ke- 1 2 3 4 5 6

1 0 10 20 30 30 20

2 10 0 25 35 20 10

3 20 25 0 15 30 20

4 30 35 15 0 15 25

5 30 20 30 15 0 14

(19)

7. SET COVERING PROBLEM (CONT’D)

•

Sebuah kota dapat dicover oleh stasiun pemadam kebakaran jika jarak

tempuhnya tidak lebih dari 15 menit

•

Covering set untuk setiap kota

Kota Covering sets (15 menit)

1 1,2

2 1,2,6

3 3,4

4 3,4,5

5 4,5,6

(20)

FORMULASI SET COVERING PROBLEM

Variabel keputusan :

x

_i

= 1 jika dibangun stasiun pemadam kebakaran pada kota-i

= 0 jika TIDAK dibangun stasiun pemadam kebakaran pada kota-i

Fungsi tujuan :

Minimum Z= x

₁

+ x

₂

+ x

₃

+ x

₄

+ x

₅

+ x

₆

Fungsi pembatas:

x

₁

+x

₂

≥ 1

x

₁

+x

₂

+ x

₆

≥ 1

x

₃

+x

₄

≥ 1

(21)

Pak Ali harus menugaskan stafnya untuk mengerjakan tugas-tugas pada divisinya. Pak Ali memiliki 5 staf yaitu Rita, Tari, Rani, Nira, Tara. Divisi pak ALi harus menyelesaikan 5 tugas. Pak Ali menemui kesulitan dalam menugaskan kelima stafnya karena Rita tidak mempunyai keahlian dalam mengerjakan tugas 2 sedangkan Tari tidak mampu mengerjakan tugas 1. Biaya menugaskan setiap staff adalah berbeda beda karena untuk bisa menyelesaikan tugas dengan baik, staff seringkali harus mendapatkan pelatihan dan biaya akomodasi yang berbeda beda. Biaya menugaskan setiap staff untuk mengerjakan satu tugas adalah sebagai berikut:

Bagaimanakah cara menugaskan kelima staff tersebut supaya biaya yang harus dikeluarkan perusahaan minimal?

Staff

Tugas

1 2 3 4 5

Rita 4 10 6 5

Tari 5 1 5 10

Rani 3 5 8 4 7

Nira 4 2 7 1 10

Tara 8 8 2 10 5

(22)

METODE CUTTING PLANE

(23)

IP SOLVING:

ALGORITMA CUTTING-PLANE

•

Temukan solusi optimal untuk Linier Problem

(menggunakan prosedur standar).

•

Tambahkan fungsi pembatas khusus (disebut

cuts)

untuk menghasilkan titik ekstrim optimal

integer.

•

Cuts

tidak menghilangkan titik feasible integer

asal.

•

The cuts must through at least one feasible or

infeasible integer point

(24)

IP SOLVING:

ALGORITMA CUTTING-PLANE

(25)

IP SOLVING: ALGORITMA CUTTING-PLANE

(26)

PENDEKATAN ALJABAR

•

Tabel Optimal LP:

•

Buat

cuts

(27)

PENDEKATAN ALJABAR

•

Langkah untuk membuat

cuts

:

–

Pilih

‘baris sumber’

–

Faktorkan baris sumber

–

Buat

cuts

dari faktor baris sumber

–

Buat persamaan dari

cuts

•

Selesaikan problem dari fraksi pecahan

–

Tambahkan fungsi pembatas pada tabel simples

optimal

–

Gunakan dual simplex untuk menyelesaikan

permasalahan, jika tabel optimal tidak feasible.

(28)

1. MEMBUAT

CUTS

Pilih baris sumber

Faktorkan baris sumber

Faktor baris sumber – x₂

Buat cuts_{dari faktor baris sumber}

(29)

•

Table baru :

•

Selesaikan dengan dual simplex

–

Hasil:

(30)

•

Buat cut selanjutnya hingga semua variabel integer

(31)

(32)

•

References:

–

Eunike, Agustina. Materi Ajar Penelitian

Operasional 1. PSTI

–

Universitas Brawijaya. 2012

–

Frederick Hillier and Gerald J. Lieberman.

Introduction to Operations Research

. 7th ed. The

McGraw-Hill Companies, Inc, 2001.

–

Hamdy A. Taha.

Operations Research: An