SOAL DAN SOLUSI MATEMATIKA IPA UJIAN NASIONAL DIMENSI TIGA

1 | Husein Tampomas, Soal-soal dan Solusi Ujian Nasional 2013-2014

SOAL DAN SOLUSI MATEMATIKA IPA

UJIAN NASIONAL 2014 – 2013

DIMENSI TIGA

1. UN 2014

Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 8 cm. Jarak titik H dan garis AC adalah .... A. 8 3 cm B. 8 2 cm C. 4 6 cm D. 4 3 cm E. 4 2 cm Solusi: [C] 1 1 2 2 1 2 2 8 8 4 2 2 2 2 PD BD AB AD    PH  PD2DH2 

 

4 2 282  3264 964 6 Jadi, jarak titik H dan garis AC adalah 4 6 cm.

2. UN 2014

Kubus ABCD.EFGH memiliki rusuk 4 cm. Sudut antara AE dan bidang AFH adalah . Nilai sin .... A. 1 2 2 B. 1 3 2 C. 1 3 3 D. 2 2 3 E. 3 3 4 Solusi: [C] 1 1 2 2 1 42 42 2 2 2 2 2 PE EG EF FG   

 

2 2 2 2 4 2 2 16 8 24 2 6 AP AE PE       Jadi, sin 2 2 1 1 3 3 2 6 3 PE AP      . 3. UN 2014

Kubus ABCD.EFGH memiliki ruruk 8 cm. Jarak titik D ke garis HB adalah .... A. 4 2 3 cm 4 A B C D E F G H P  8 A D C B E H G F P

2 | Husein Tampomas, Soal-soal dan Solusi Ujian Nasional 2013-2014 B. 8 2 3 cm C. 4 3 3 cm D. 8 3 3 cm E. 8 6 3 cm Solusi: [E] 2 2 2 2 8 8 8 2 BD AB AD   

 

2 2 2 2 8 2 8 8 3 BH  BD DH    Luas 1 1 2 2 BDH BD DH BH DP      DP BD DH BH   8 2 8 8 6 3 8 3   

Jadi, jarak titik D ke garis HB adalah 8 6 3 cm. 4. UN 2014

Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 9 cm. Jika titik T terletak pada pertengahan garis HF. Jarak titik A ke garis CT adalah ....

A. 5 3 cm B. 6 2 cm C. 6 3 cm D. 6 6 cm E. 7 3 cm Solusi: [D] _{AC AB}2_BC2 _{ 9}2_92 _{9 2} 1 1 2 2 1 92 92 9 2 2 2 2 2 GT  EG EF FG    2 2 2 9 2 9 2 9 6 2 2 CT  GT CG  _ _     Luas 1 1 2 2 ATC AC TL CT AK      AK AC TL CT   9 2 9 6 6 9 6 2   

Jadi, jarak titik A ke garis CT adalah 6 6 cm. 5. UN 2014

Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 2 3 cm. Jarak dari titik H ke ruas garis AC adalah .... A. 2 2 cm 8 A D C B E H G F P 9 A B C D E _F G H T K L

3 | Husein Tampomas, Soal-soal dan Solusi Ujian Nasional 2013-2014 B. 2 3 cm C. 3 2 cm D. 2 6 cm E. 4 2 cm Solusi: [C] 1 1 2 2 1

   

2 2 2 3 2 3 6 2 2 2 PD BD AB AD    PH  PD2DH2 

   

6 2 2 3 2  6 12  183 2 Jadi, jarak dari titik H ke ruas garis AC adalah 3 2 cm. 6. UN 2014

Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6 cm. Jarak titik A ke ruas garis CF adalah .... A. 2 3 3 cm B. 3 3 4 cm C. 3 cm D. 2 cm E. 3 cm Solusi: [E] 2 2

   

2 2 6 6 2 3 AC AB BC    ACAFCF 2 3

 segitiga ACF adalah segitiga sama sisi.

sin 60 sin 60 2 3 1 3 3 2 AP AP AC AC        

Jadi, jarak titik A ke ruas garis CF adalah 3 cm. 7. UN 2014

Diketahui balok KLMN.PQRS dengan KL3cm, LM4cm, dan KP12cm. Jarak titik R ke garis PM adalah .... A. 35 13 cm B. 40 13 cm C. 45 13 cm D. 50 13 cm E. 60 13 cm Solusi: [E] PR PQ2QR2  3242 5 2 3 A D C B E H G F P 6 A D C B E H G F P 3 K L M N P _Q R S A 4 12

4 | Husein Tampomas, Soal-soal dan Solusi Ujian Nasional 2013-2014 PM KL2LM2KP2  3242122  16913 Luas 1 1 2 2 PMR PR MR PM RA      RA PR MR PM   5 12 60 13 13   

Jadi, jarak titik R ke garis PM adalah 60 13 cm. 8. UN 2013

Diketahui limas segi empat beraturan seperti pada gambar. Jarak titik A ke TC adalah .... A. B. C. D. E. Solusi: [B]

Menurut Teorema Pythagoras:

Jadi, jarak titik A ke TC adalah . 9. UN 2013

Nilai kosinus sudut antara bidang ABC dan ABD dari gambar bidang-4 beraturan berikut adalah .... A. B. C. D. E. Solusi: [C]

Menurut Teorema Pythagoras:

ABCD T. cm 14 cm 28 cm 14 2 cm 14 3 cm 28 2 2 2 BC AB AC   4242 4 2 2 2 2 4 2 1 2 1 _{  }  AC AP 2 2 AP TA TP   82

 

2 2 2 2 14



ATC



    8AQ 2 1 14 2 2 4 2 1 28 8 14 2 2 4  _  AQ cm 28 10 1 10 10 1 3 1 2 4 1 2 3 2 2 2 PB BC PC   6232 3 3 D 6 cm A B C T 8 cm 4 cm 4 cm A B C D T 8 cm 4 cm 4 cm A B C D Q P

5 | Husein Tampomas, Soal-soal dan Solusi Ujian Nasional 2013-2014 Menurut Aturan Kosinus:

10. UN 2013

Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6 cm. Jarak titik G ke diagonal BE adalah…. A. 3 6cm B. 6 6cm C. 9 6cm D. 3 10cm E. 9 10cm Solusi: [A]

Perhatikan BEG adalah segitiga sama sisi.

2 6   EG BG BE EG GP GEB  sin sin GPEG GEB 6 2sin60 3 3 6 2 1 2 6    cm

Jadi, jarak titik G ke diagonal BE adalah 3 6cm

11. UN 2013

Kubus ABCD.EFGH memiliki panjang rusuk 12 cm. Nilai kosinus sudut antara bidang AFC dan bidang ABCD adalah….

A. 6 2 1 B. 6 3 1 C. 3 2 1 D. 2 2 1 E. 3 3 1 Solusi: [E]

Perhatikan AFC adalah segitiga sama sisi.

2 12   AF CF AC AF FP FAP  sin 3 3  PC DP





DP PC CD DP PC ABD ABC       2 , cos 2 2 2

   

  

3 3 3 3 2 6 3 3 3 3 2 2 2  54 36 27 27   3 1 54 18_  D 3 A B C 3 P 6 6 6 A B C D E _F G H P A B C D E F G H P

6 | Husein Tampomas, Soal-soal dan Solusi Ujian Nasional 2013-2014 FAP AF FP sin 12 2sin60 3 6 6 2 1 2 12    cm

Menurut Teorema Pythagoras: 2 2 AD AB BD   122122 12 2 2 6 2 12 2 1 2 1 _{  }  BD BP





3 3 1 3 1 6 6 2 6 , cos     FP BP ABCD AFC 12. UN 2013

Jarak titik A ke bidang BCHE pada balok berikut ini adalah.... A. 3 40 cm B. 2 15 cm C. 3 20 cm D. 3 16 cm E. 5 24 cm Solusi: [E]

Menurut Teorema Pythagoras: 2

2 AE AB

BE   8262 10 Lambang



ABC menyatakan luas ABC





ABE



 ABAE BEAP 2 1 2 1 5 24 10 48 10 6 8 _{ }    BE AE AB AP

 Jarak titik A ke bidang BCHE pada balok berikut ini adalah

5 24

cm. 13. UN 2013

Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk a cm. Nilai kosinus sudut antara bidang ABCD dengan DBG adalah....

A.

2

B. 3 3 1 C. 3 2 1 D. 6 3 1 E. 6 2 1 E 8 cm 4 cm 6 cm A B C D F R G H E 8 cm 4 cm 6 cm A B C D F R G H P

7 | Husein Tampomas, Soal-soal dan Solusi Ujian Nasional 2013-2014 Solusi:

Perhatikan BDG adalah segitiga sama sisi.

2 a DG BD BD   BG GP GBP  sin GBP BG GP sin a 2sin60 6 2 3 2 1 2 a a    cm

Menurut Teorema Pythagoras: 2 2

BC

AB

AC







a

2



a

2



a

2

2 2 2 2 1 2 1 a a AC CP   





3 3 1 3 1 6 2 2 2 , cos     a a GP CP DBG ABCD  [B] 14. UN 2013

Jarak titik A ke bidang BCHE pada balok berikut ini adalah …. A. cm 3 40 B. cm 2 15 C. cm 3 20 D. cm 3 16 E. cm 5 24 Solusi: [E]

Perhatikan ABE siku-siku di A. Menurut Teorema Pythagoras:

2 2

AE AB

BE   8262 10 Lambang



ABC menyatakan luas ABC





ABE



 ABAE BEAP 2 1 2 1 5 24 10 48 10 6 8 _{ }    BE AE AB AP

 Jarak titik A ke bidang BCHE pada balok berikut ini adalah

5 24

cm. 15. UN 2013

Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 6 cm. Jarak titik E ke garis AG adalah…. A. 2 3cm B. 3 2cm C. 2 6cm B C D A F G H E P a E 8 cm 4 cm 6 cm A B C D F R G H E 8 cm 4 cm 6 cm A B C D F R G H P

8 | Husein Tampomas, Soal-soal dan Solusi Ujian Nasional 2013-2014 D. 3 6cm

E. 6 2cm

Solusi: [C]

Menurut Teorema Pythagoras:

EG EF2FG2  6262 6 2 cm AG EG2AE2 

 

6 2 262 6 3 cm

Lambang



ABC



menyatakan luas ABC.



ABC



 AEEG AGEP 2 1 2 1 AG EG AE EP  2 6 3 6 2 6 6 _  cm

Jadi, jarak titik E ke garis AG adalah 2 6cm

16. UN 2013

Nilai kosinus sudut antara bidang BDE dan bidang BDG seperti terlihat pada gambar prisma segi-4 ABCD.EFGH beraturan berikut adalah….

A. 6 2 B. 6 3 C. 6 4 D. 9 7 E. 9 8 Solusi: [D]

Menurut Teorema Pythagoras:

EG EF2FG2  4242 4 2 cm AC EG4 2cm 2 2 2 1 _  AC AP cm PE  AE2 AP2  82

 

2 2 2  726 2 cm PGPE6 2 cm

Lambang



ABC



menyatakan luas ABC.



ABC



 AEEG AGEP 2 1 2 1 AG EG AE EP  2 6 3 6 2 6 6 _  cm

Menurut Aturan Kosinus:

4 cm 8 cm 4 cm A B C D E _F G H A B C D E _F G H P 4 cm 8 cm 4 cm A B C D E _F G H P

9 | Husein Tampomas, Soal-soal dan Solusi Ujian Nasional 2013-2014





PG PE EG PG PE BDG BDE       2 , cos 2 2 2

     

2 6 2 6 2 2 4 2 6 2 6 2 2 2      144 32 72 72   9 7 144 112_  17. UN 2013

Kubus ABCD.EFGH memiliki panjang rusuk 12 cm. Nilai kosinus sudut antara bidang AFH dan bidang ABCD adalah....

A. 6 2 1 B. 6 3 1 C. 3 2 1 D. 2 2 1 E. 3 3 1 Solusi: [E]

Menurut Teorema Pythagoras: 2

2

GH

FG

FH





 122122 12 2

Karena FH AF AH 12 2, maka AFH adalah segitiga sama sisi.

6 6 60 sin 2 12 sin   AF AFP AP cm EGFH AC12 2cm 2 6 2 12 2 1 2 1 _{  }  AC AQ





3 3 1 3 1 6 6 2 6 , cos     AP AQ ABCD AFH 18. UN 2013

Diketahui kubus ABCD.EFGH memiliki panjang rusuk 4 cm. Jarak titik A ke diagonal FH adalah…. A. 2 2cm B. 2 6cm C. 3 6cm D. 2 7cm E. 3 7cm Solusi: [B]

Perhatikan AFH adalah segitiga sama sisi.

cm 2 4 4 42 2    AH HF AF cm 6 2 3 2 1 2 4 60 sin 2 4 sin     AF AFP AP

Jadi, Jarak titik A ke diagonal FH adalah 2 6cm. 19. UN 2013 A B C D E _F G H P 12 Q A B C D E _F G H P a

10 | Husein Tampomas, Soal-soal dan Solusi Ujian Nasional 2013-2014

Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan sudut  adalah sudut antara bidang BDG dan bidang BDHF . Nilai dari tan....

A. 3 B. 2 C. 3 2 1 D. 2 2 1 E. 2 1 Solusi: [D]

Ambillah panjang rusuk kubus adalah 2a. Menurut Teorema Pythagoras:

2 2 FG EF EG  

   

2a 2 2a2 2a 2 2 2 1 a EG PG  a PQ2 2 2 1 2 2 tan    a a PQ PG



20. UN 2013

Diketahui kubus ABCD.EFGH memiliki panjang rusuk 6 cm. Sudut



adalah antara garis CG dan bidang BDG. Nilai

cos



adalah....

A.

3

4

1

B.

3

3

1

C.

3

2

1

D.

6

3

1

E.

6

2

1

Solusi: [D]

Perhatikan BDG adalah segitiga sama sisi,

dengan BDBGDG adalah diagonal sisi kubus. Menurut Teorema Pythagoras:

2 2 _CD BC BD   6262 6 2cm cm 6 3 3 2 1 2 6 60 sin 2 6 sin     BG GBP GP 6 3 1 6 3 6 cos    GP CG  21. UN 2013 A B C D E _F G H P  Q A B C D E _F G H  P 6

11 | Husein Tampomas, Soal-soal dan Solusi Ujian Nasional 2013-2014

Diketahui limas segiempat beraturan T.ABCD seperti pada gambar. Sudut a adalah sudut antara bidang TAD dengan bidang TBC. Nilai cos



....

A. 11 10 B. 12 10 C. 12 11 D. 13 11 E. 13 12 Solusi: [C] cm 2  AB PQ cm 1  CP BP

Menurut Teorema Pythagoras: 2 2 _BP TB TP 



5

2



1

2



24



2

6

cm

cm 6 2  TP TQ

Menurut Aturan Kosinus:





TQ TP PQ TQ TP TBC TAD        2 cos , cos 2 2 2



   

  

6 2 6 2 2 2 6 2 6 2 2 2 2  48 4 24 24   12 11 48 44_  22. UN 2013

Diketahui sebuah kubus ABCD.EFGH memiliki panjang rusuk 4 cm. Jarak titik C ke bidang AFH adalah.... A. cm B. cm C. cm D. cm E. cm Solusi 1: [E]

Jarak titik C ke bidang AFH adalah

3

8

3

2

8

6

3

6

8

3

8

6

3

3

8

2 2 2 AE BC AB CE    424242 4 3cm ruang diagonal panjang 3 2_  CQ T 5 cm 2 cm 1 cm A B C D P 1 cm Q T 5 cm 2 cm A B C D A B C D E _F G H P 4 Q

12 | Husein Tampomas, Soal-soal dan Solusi Ujian Nasional 2013-2014 Solusi 2: [E]

Menurut Teorema Pythagoras:

Karena , maka AFH adalah segitiga sama sisi. cm

cm

Lambang menyatakan luas

Jadi, jarak titik C ke bidang AFH adalah 23. UN 2013

Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk a cm. Sudut adalah sudut antara bidang BEG dan bidang EFGH. Nilai dari

A. B. C. D. E. Solusi: [D]

Menurut Teorema Pythagoras:

Perhatikan PQG adalah segitiga siku-siku. cm 3 3 8 3 4 3 2    2 2 GH FG FH  



4

2



4

2



4

2

2 4   AF AH FH 6 2 60 sin 2 4 sin   AF AFP AP 6 2  CP AP 2 2 BC AB AC 



4

2



4

2



4

2

cm



ABC





ABC



ACP

 

 ACGE

 

2APE



AEAC  AEEP 2 1 2 4 2 2 2 1 2 2 4 4      2 cm 2 8 



ACP



 APt 2 1 t    2 6 2 1 2 8 3 3 3 6 2 8 _  t cm 3 3 8



.... tan





6

3

1

3

3

3

1

2

2

2

1

2 2 FG EF GE   a2a2 a 2cm cm 2 2 2 1 a GE GP  cm a PQ 2 2 2 2 2 tan     a a GP PQ



A B C D E _F G H  P a Q

13 | Husein Tampomas, Soal-soal dan Solusi Ujian Nasional 2013-2014 24. UN 2013

Diketahui limas beraturan T.ABCD dengan ABCD adalah persegi yang memiliki panjang

cm 4



AB dan TA6cm. Jarak titik C ke garis AT =…. A. 14cm 4 1 B. 14cm 3 2 C. 14cm 4 3 D. 14cm 3 4 E. 14cm 2 3 Solusi: [D]

Menurut Teorema Pythagoras: 2 2 BC AB AC   4242 4 2 2 2 2 4 2 1 2 1 _{  }  AC AP 2 2 _AP TA TP   62

 

2 2 2  282 7



ATC



    6AQ 2 1 7 2 2 4 2 1 14 3 4 6 7 2 2 4  _  AQ

Jadi, jarak titik A ke TC adalah 14cm 3

4

. 25. UN 2013

Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk a cm. Sudut adalah sudut antara bidang BEG dan bidang EFGH . Nilai dari tan....

A. 6 3 1 B. 3 C. 3 3 1 D. 2 E. 2 2 1 Solusi: [D]

cm

2

2 2 2 2

a

a

a

GH

FG

FH











cm 2 2 2 1 a FH FP 









BEG,EFGH 2 2 2 2 2 tan     a a FP FB



T 6 cm 4 cm 4 cm C B A D Q P B C D A F _G H E P a 