Persamaan Linier Simultan II

Persamaan Linier Simultan II

Arif Hidayat

TPI4104 – Matematika Industri

Eliminasi Gauss

'' 3 ' 2 1 3 2 1 '' 33 ' 23 ' 22 13 12 11 * 0 0 0 b b b x x x a a a a a a 11 3 13 2 12 1 1 ' 22 3 ' 23 ' 2 2 '' 33 '' 3 3 / ) ( / ) ( / a x a x a b x a x a b x a b x 3 2 1 3 2 1 33 32 31 23 22 21 13 12 11 * b b b x x x a a a a a a a a a Forward Elimination Back Substitution 3 2 1 ... ... ... E E E

Eliminasi Gauss

Proses Forward Elimination :

1. Eliminasikan x₁ dari E₂ dan E₃ Hitung: m₂₁ = a₂₁/a₁₁

E’₂ = E₂ - m₂₁*E₁ Hitung: m₃₁ = a₃₁/a₁₁

E’₃ = E₃ – m₃₁*E₁ 2. Eliminasikan x₂ dari E’₃

Hitung: m₃₂ = a’₃₂/a’₂₂

E’’₃ = E’₃ – m₃₂*E’₂

' 3 ' 2 1 3 2 1 ' 33 ' 32 ' 23 ' 22 13 12 11 * 0 0 b b b x x x a a a a a a a '' 3 ' 2 1 3 2 1 '' 33 ' 23 ' 22 13 12 11 * 0 0 0 b b b x x x a a a a a a ' 3 ' 2 1 ... ... ... E E E '' 3 ' 2 1 ... ... ... E E E

Proses Back Substitution :

1. x₃ = b’’₃ / a’’₃

2. x₂ = (b’₂ – a’₂₃*x₃) / a’₂₂

x + y + 2z = 9 1 1 2 9

2x + 4y – 3z = 1 2 4 -3 1

3x + 6y – 5z = 0 3 6 -5 0

lalu diusahakan berbentuk 1 1 2 9 0 ? ? ? 0 0 ? ?

dengan proses Operasi Baris Elementer (OBE)

(Elementary Row Operation - ERO)

ditulis dalam bentuk matriks augmented

Eliminasi Gauss

Operasi Baris Elementer (OBE)

(Elementary Row Operation - ERO)

1 1 2 9 1 1 2 9 2 4 -3 1 0 2 -7 -17 3 6 -5 0 0 3 -11 -27 1 1 2 9 0 2 -7 -17 0 0 -½ -3_/ 2 baris-2 + (-2) x baris-1 baris-3 + (-3) x baris-1 baris-3 + (-3/2)x baris-2

Eliminasi Gauss

Eliminasi Gauss

x y z 1 1 2 9 Substitusi Balik: 0 2 -7 -17 0 0 -½ -3_/ 2 -1/₂ z = -3/₂ z = 3 1 1 2 9 0 2 -7 -17 2y – 7z = - 17 0 0 -½ -3_/ 2 2y = 21 – 17 y = 2 1 1 2 9 x + y + 2z = 9 0 2 -7 -17 x = – 2 – 6 + 9 x = 1 0 0 -½ -3_/ 2 z y z

Eliminasi Gauss

Eliminasi Gauss (ringkasan):

Sistem Persamaan → Matriks → Eliminasi → Substitusi

Linier Augmented Gauss Balik

8

2

0

28

3

10

14

3

6

3

2

z

z

z

y

y

y

x

x

x

Selesaikan dengan eliminasi gauss

Latihan

8 2 0 | | | 28 3 10 14 3 6 3 1 2 8 2 0 | | | 13 2 10 5 0 6 0 0 2 2 8 0 | | | 2 13 10 0 5 6 0 0 2 2 0 ) 1 ( 10 ) 1 ( 6 2 1 1 8 ) 1 ( 13 5 1 1 1 2 3 x x x

8

2

0

28

3

10

14

3

6

3

2

z

z

z

y

y

y

x

x

x

Eliminasi Gauss-Jordan

* 3 * 2 * 1 3 2 1 * 1 0 0 0 1 0 0 0 1 b b b x x x * 3 3 * 2 2 * 1 1 b x b x b x 3 2 1 3 2 1 33 32 31 23 22 21 13 12 11 * b b b x x x a a a a a a a a a Forward Elimination NO Back Substitution

Eliminasi Gauss-Jordan

x + y – z = -2 1 1 -1 -2 2x – y + z = 5 2 -1 1 5 -x + 2y + 2z = 1 -1 2 2 1 diusahakan berbentuk 1 0 0 ? 0 1 0 ? 0 0 1 ?

dengan proses Operasi Baris Elementer (OBE)

Eliminasi Gauss-Jordan

Di kolom pertama posisi diagonal sudah terdapat angka 1, dibawahnya harus diubah menjadi nol. Nol yang pertama didapat dengan mengalikan baris pertama dengan -2 dan menambahkan hasilnya ke baris 2:

 Baris 1 tidak berubah

 (-2) kali baris 1 ditambahkan ke baris 2

Eliminasi Gauss-Jordan

Nol yang kedua didapat dengan menambah kan baris 1 ke baris 3 (mengalikan baris 1 dengan 1 dan menambahkan hasilnya ke baris 3)

 Baris 1 tidak berubah  baris 2 tidak berubah

Eliminasi Gauss-Jordan

Di Kolom 2, posisi diagonal diupayakan ber nilai 1 (nilai saat ini -3). Untuk mendapatkkan nya, tiap eleman di baris 2 dibagi -3

 Baris 1 tidak berubah  Baris 2 dibagi -3

Eliminasi Gauss-Jordan

Untuk mendapatkan 0 dibawah nilai 1 di kolom 2, baris 2 dikalikan dengan

-3 dan di jumlahkan ke baris 3

 Baris 1 tidak berubah  Baris 2 tidak berubah

Eliminasi Gauss-Jordan

Untuk mendapatkan 1 di posisi diagonal kolom 3, baris 3 dibagi dengan 4

 Baris 1 tidak berubah  Baris 2 tidak berubah  Baris 3 dibagi 4

Eliminasi Gauss-Jordan

Operasi dilanjutkan ke atas. Untuk men dapatkan nilai 0 di kolom 3:

 Baris 3 ditambahkan ke baris 2  Baris 3 ditambahkan ke baris 1  Baris 3 tidak berubah

Eliminasi Gauss-Jordan

Untuk mendapat matriks identitas, nilai 1 Di baris 1 kolom 2 harus diubah menjadi 0. Sehingga baris 2 dikalikan dengan -1 dan hasilnya ditambahkan ke baris 1. Baris 2 dan 3 tidak berubah

Eliminasi Gauss-Jordan

Dari matriks terakhir ini, bisa dilihat bahwa Solusi masalah adalah

Latihan

Selesaikan dengan eliminasi Gauss-Jordan

39

22

15

7

3

2

4

4

3

3

2

z

z

z

y

y

y

x

x

x

Latihan

6 1 5 0 8 1 2 0 15 2 3 1 ' 1 3 ' 3 ' 1 2 ' 2 1 ' 1 3 2 R R R R R R R R ' 2 3 ' 3 2 ' 2 ' 2 1 ' 1 5 2 3 R R R R R R R R 6 1 5 0 8 1 2 0 15 2 3 1 14 2 7 0 0 4 2 1 1 0 15 2 1 0 1 2 7 3 ' 3 ' 3 2 ' 2 ' 3 1 ' 1 2 1 2 1 R R R R R R R R 39 7 4 3 22 3 4 2 15 2 3 1

Latihan

4

1

0

0

2

0

1

0

1

0

0

1

Sehingga : X = 1 Y = 2 Z = 4

LU Factorization

2 0 0 0 6 0 3 4 1

Matriks Segitiga Atas

Square matriks dengan elemen dibawah diagonal utama adalah nol

Matriks Segitiga Bawah

Square matriks dengan elemen diatas diagonal utama adalah nol

Sebuah matriks A_nxn dapat ditulis sebagai sebuah produk dari matriks segitiga bawah (L) dan matriks segitiga atas (U), sehingga A = LU 3 7 5 0 1 6 0 0 1

Misalkan sistem persamaan linier ditulis dalam

Ax = b

Jika A dapat difaktorkan dalam L dan U, maka

LUx = b

Jika

Ux = y, maka

Ly = b

Sehingga, langkah penyelesaian persamaan linier dengan LU Factorization:

 Nyatakan y = Ux dan selesaikan Ly = b untuk y  Selesaikan Ux = y untuk x

Matriks U adalah hasil eliminasi Gauss dari matriks asal, sedangkan L adalah faktor pengali dalam eliminasi gauss tersebut untuk baris yang bersangkutan.

Contoh:

cari faktor L dan U dari matriks

LU Factorization

2 10 2 3 1 0 0 3 1 2 10 2 3 1 0 0 3 1 A 2 4 0 3 1 0 0 3 1 1 4 2 0 1 0 0 0 1 L 1 3 ' 3 R 2R R ) 4 ( ₂ 3 ' 3 R R R 0 0 14 3 1 0 0 3 1 U

Selesaikan dengan LU Factorization LU A 14 0 0 3 1 0 0 3 1 1 4 2 0 1 0 0 0 1 2 10 2 3 1 0 0 3 1 20 2 10 2 1 3 5 3 3 2 1 3 2 2 1 x x x x x x x b Ly Selesaikan ) 1 ( 20 1 5 1 4 2 0 1 0 0 0 1 3 2 1 y y y 14 ) 1 ( 4 ) 5 ( 2 20 4 2 20 1 5 2 1 3 2 1 y y y y y

14 1 5 14 0 0 3 1 0 0 3 1 3 2 1 x x x 1 ) 2 ( 3 5 3 5 2 ) 1 )( 3 ( 1 3 1 1 2 1 3 2 3 x x x x x

Solusi persamaan adalah

1 2 1 x Sehingga

y

Ux

Selesaikan

)

2

(

Latihan

Selesaikan dengan LU Factorization

20 130 20 20 20 20 40 20 20 20 20 80 3 2 1 3 2 1 3 2 1 x x x x x x x x x

Kelemahan Eliminasi

 Kesalahan karena pembulatan

 Pembagian dengan nol dalam operasi baris Solusi

1. Menambah angka penting

- mengurangi kesalahan karena pembulatan - tidak menghindarkan pembagian dengan nol 2. Eliminasi Gauss dengan partial pivoting

- mengurangi kesalahan karena pembulatan - menghindarkan pembagian dengan nol

Kesalahan karena pembulatan

Dari sistem persamaan linear

5 1 5 6 099 . 2 3 0 7 10 3 2 1 x x x 6 901 . 3 7 =

Akhir dari Forward Elimination

15005 0 0 6 001 . 0 0 0 7 10 3 2 1 x x x 15004 001 . 6 7 = 6 901 . 3 7 5 1 5 6 099 . 2 3 0 7 10 15004 001 . 6 7 15005 0 0 6 001 . 0 0 0 7 10

Back Substitution 99993 . 0 15005 15004 3 x 5 . 1 001 . 0 6 001 . 6 ₃ 2 x x

3500

.

0

10

0

7

7

_{2 3} 1

x

x

x

15004 001 . 6 7 15005 0 0 6 001 . 0 0 0 7 10 3 2 1 x x x

Bandingkan solusi exact dengan hasil perhitungan

99993

.

0

5

.

1

35

.

0

3 2 1

x

x

x

X

_calculated

1

1

0

3 2 1

x

x

x

X

_exact

Bandingkan solusi exact dengan hasil perhitungan

99993

.

0

5

.

1

35

.

0

3 2 1

x

x

x

X

_calculated

1

1

0

3 2 1

x

x

x

X

_exact

Pembagian dengan nol



Consider this system:



Immediately run into problem:

algorithm wants us to divide by zero!

8 2 3 2 1 0

Pivoting

pk

a

Eliminasi Gauss dengan partial pivoting mengubah tata urutan baris untuk bisa mengaplikasikan Eliminasi Gauss secara Normal

How?

Di awal sebelum langkah ke-k pada forward elimination, temukan angka maksimum dari: nk k k kk

a

a

a

,

_1,

,...

...,

Jika nilai maksimumnya Pada baris ke p, _{k p n,} Maka tukar baris p dan k.

Partial Pivoting

What does it Mean?

Gaussian Elimination with Partial Pivoting ensures that each step of Forward Elimination is performed with the pivoting element |a_kk| having the largest absolute value. Jadi,

Kita mengecek pada setiap langkah apakah angka paling atas (pivoting element) adalah selalu paling besar

Partial Pivoting: Example

Consider the system of equations

6 5 5 901 . 3 6 099 . 2 3 7 7 10 3 2 1 3 2 1 2 1 x x x x x x x x In matrix form 5 1 5 6 099 . 2 3 0 7 10 3 2 1 x x x 6 901 . 3 7 =

Solve using Gaussian Elimination with Partial Pivoting using five significant digits with chopping

Partial Pivoting: Example

Forward Elimination: Step 1

Examining the values of the first column |10|, |-3|, and |5| or 10, 3, and 5

The largest absolute value is 10, which means, to follow the rules of Partial Pivoting, we don’t need to switch the rows

6 901 . 3 7 5 1 5 6 099 . 2 3 0 7 10 3 2 1 x x x 5 . 2 001 . 6 7 5 5 . 2 0 6 001 . 0 0 0 7 10 3 2 1 x x x Performing Forward Elimination

Partial Pivoting: Example

Forward Elimination: Step 2

Examining the values of the second column |-0.001| and |2.5| or 0.0001 and 2.5

The largest absolute value is 2.5, so row 2 is switched with row 3 5 . 2 001 . 6 7 5 5 . 2 0 6 001 . 0 0 0 7 10 3 2 1 x x x 001 . 6 5 . 2 7 6 001 . 0 0 5 5 . 2 0 0 7 10 3 2 1 x x x

Partial Pivoting: Example

Forward Elimination: Step 2

Performing the Forward Elimination results in:

002 . 6 5 . 2 7 002 . 6 0 0 5 5 . 2 0 0 7 10 3 2 1 x x x

Partial Pivoting: Example

Back Substitution

Solving the equations through back substitution

1

002

.

6

002

.

6

3

x

1

5

.

2

5

5

.

2

₂ 2

x

x

0

10

0

7

7

_{2 3} 1

x

x

x

002 . 6 5 . 2 7 002 . 6 0 0 5 5 . 2 0 0 7 10 3 2 1 x x x

Partial Pivoting: Example

1

1

0

3 2 1

x

x

x

X

_exact 1 1 0 3 2 1 x x x X _calculated

Partial Pivoting: Example



Swap rows 1 and 2:



Now continue:

8 2 3 2 1 0 2 8 1 0 3 2 2 1 1 0 0 1 2 4 1 0 1 3₂

Iterasi Jacobi

Untuk sistem linier berukuran besar, dimana biasanya banyak element matriksnya adalah 0, biasanya solusi bisa diperoleh lebih efisien dengan metode iterasi dibanding eliminasi. Beberapa metode iterasi antara lain Jacobi, Gauss-Seidel dan SOR.

Iterasi Jacobi, dimulai dengan perkiraan awal variabel yang dicari (biasanya nol), kemudian dilanjutkan secara simultan untuk semua nilai yang dicari. Iterasi diteruskan hingga hasil iterasi ke n hampir sama dengan nilai iterasi ke n-1

Iterasi Jacobi

)

...

2

,

1

(

, ) ( ) ( ) (

n

i

a

R

x

X

i i k i k i i k i

Rumus perhitungan nilai variabel :

)

...

2

,

1

(

1 ) ( , ) (

n

i

X

a

b

R

n j k j j i i k i

Contoh

4X₁ – X₂ + X₄ = 100 – X₁ + 4X₂ –X₃ + X₅ = 100 – X₂ + 4X₃ – X₄ = 100 X₁ – X₃ + 4X₄ – X₅ = 100 X₂ – X₄ + 4X₅ = 100

Persamaan ini dapat ditulis dalam: R₁ = 100 – (4X₁ – X₂ + X₄)

R₂ = 100 – (– X₁ + 4X₂ –X₃ + X₅) R₃ = 100 – (– X₂ + 4X₃ – X₄ )

R₄ = 100 – (X₁ – X₃ + 4X₄ – X₅) R₅ = 100 – (X₂ – X₄ + 4X₅)

Contoh

Dengan perkiraan awal x(0) _{= [0 0 0 0 0], didapat}

R_1-5 = 100 dan X_1-5 = 25. Prosedur ini diteruskan dengan hasil sbb: k X₁ X₂ X₃ X₄ X₅ 0 0 0 0 0 0 1 25 25 25 25 25 2 25 31,25 37,5 31,25 25 …………. …………. …………. …………. …………. …………. 17 25 35,714285 42,857142 35,714285 25 18 25 35,714285 42,857143 35,714285 25

Iterasi Gauss-Seidel

)

...

2

,

1

(

, ) ( ) ( ) (

n

i

a

R

x

X

i i k i k i i k i

Mirip dengan Iterasi Jacobi, hanya di metode ini nilai yang diperoleh langsung dimasukkan dalam perhitungan berikutnya

)

...

2

,

1

(

1 1 1 ) ( , ) ( , ) (

n

i

X

a

X

a

b

R

i j n j k j j i k j j i i k i

Contoh

Dengan iterasi Gauss-Seidel, soal diatas dapat dipecahkan dengan iterasi lebih sedikit

k X₁ X₂ X₃ X₄ X₅ 0 0 0 0 0 0 1 25 31,25 32,8125 26,953125 23,925781 2 26,074219 33,740234 40,173340 34,506226 25,191498 …………. …………. …………. …………. …………. …………. 14 25,000001 35,714286 42,857143 35,714285 25 15 25 35,714286 42,857143 35,714286 25