METODE ITERASI BERDASARKAN TEKNIK MINIMISASI UNTUK MENYELESAIKAN SISTEM
PERSAMAAN NILAI MUTLAK
KARYA ILMIAH
OLEH
SITI FATIMAH NIM. 1603110775
PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS RIAU
PEKANBARU 2020
METODE ITERASI BERDASARKAN TEKNIK MINIMISASI UNTUK MENYELESAIKAN SISTEM
PERSAMAAN NILAI MUTLAK Siti Fatimah
Mahasiswa Program Studi S1 Matematika Jurusan Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau Kampus Bina Widya, Pekanbaru 28293
siti.fatimah0775@student.unri.ac.id
ABSTRACT
This article discusses the iterative method based on minimization techniques to solve the system of the absolute value equations. The analysis begins by discussing how to obtain a solution by applying this method. The convergence of the methods discussed is shown by looking at the value of the difference of the function values at two consecutive iterations which is equal to the error of the method at the specified norm. At the end of the discussion a computational example is given, to see how the performance of the iterative method. This article is a review of articles from Noor et al.’s [Optimization Letters, 6 (2012), 1027–1033].
Keywords: Iterative method, minimization technique, absolute value eqtuations, inner product, positif definite matrix
ABSTRAK
Artikel ini membahas metode iterasi berdasarkan teknik minimisasi untuk menye- lesaikan sistem persamaan nilai mutlak. Analisis dimulai dengan membahas cara mendapatkan solusi dari penerapan metode ini. Kekonvergenan metode yang diba- has ditunjukkan dengan melihat nilai pengurangan fungsi dari dua iterasi yang berurutan yang bernilai sama dengan eror pada norm yang ditentukan. Diakhir pembahasan diberikan satu contoh komputasi, untuk melihat penerapan metode it- erasi. Artikel ini merupakan review dari artikel Noor et al. [Optimization Letters, 6 (2012), 1027–1033].
Kata kunci: Metode iterasi, teknik minimiasi, persamaan nilai mutlak, hasilkali dalam, matriks positif definit
1. PENDAHULUAN
Nilai mutlak muncul dalam sistem persamaan yang dikenal dengan sistem per- samaan nilai mutlak dalam bentuk
Ax− |x| = b, (1)
dengan A ∈ Rn×n adalah matriks simetris, b ∈ Rn dan |x| menunjukkan vektor dalam Rn dengan nilai mutlak dari komponen x. Sistem persamaan nilai mutlak (1) merupakan bentuk khusus dari sistem persamaan nilai mutlak dengan bentuk umum:
Ax− B|x| = b, (2)
dengan B ∈ Rn×n adalah matriks. Jika B = 0, nol matriks, kemudian sistem persamaan nilai mutlak (2) direduksi menjadi sistem persamaan linear Ax=b.
Sistem persamaan nilai mutlak (1) telah dibahas oleh Mangasarian [7] untuk kasus tertentu yaitu ketika nilai singular A tidak kurang dari satu. Mangasarian [6] juga telah menyelesaikan sistem persamaan nilai mutlak (1) dengan menggu- nakan masalah komplementaritas linear (LCP). Untuk mencari solusi dari sistem persamaan nilai mutlak (1) Mangasarian [7] mengusulkan dengan menggunakan Generalisasi Metode Newton. Edalatpour et al. [9] menyatakan untuk mencari solusi dari sistem persamaan nilai mutlak (1) dapat digunakan Generalisasi Metode Gauss-Seidel.
Selain menggunakan masalah komplementaritas linear (LCP), Generalisasi Metode Newton dan Generalisasi Metode Gauss-Seidel, sistem persamaan nilai mutlak (1) juga dapat diselesaikan dengan metode lain, salah satunya dengan meng- gunakan teknik minimisasi pada metode iterasi. Hal ini membuat penulis tertarik untuk me-review artikel Noor et al. [8]. Untuk pembahasannya, pada bagian ke- dua dibahas penurunan metode iterasi untuk menyelesaikan sistem persamaan nilai mutlak. Kemudian dilanjutkan dibagian ketiga membuktikan kekonvergenan dari metode iterasi dan dibagian keempat diberikan contoh komputasi numerik untuk memverifikasi keakuratan metode yang diusulkan.
2. PENURUNAN METODE ITERASI
Pandang matriks persegi A ∈ Rn×n dan x ∈ Rn, berdasarkan Teorema 7.31 [2, h.
479] pertimbangkan fungsi
f (x) = hAx, xi − h|x|, xi − 2hb, xi. (3) Dari sini, terlihat bahwa dengan mencari nilai minimum dari (3) didapat solusi dari sistem persamaan nilai mutlak (1).
Teorema 1 Jika C = A − D adalah suatu matriks positif definit dengan D=
diagonal(sign (x)), maka x ∈ Rn adalah solusi dari sistem persamaan nilai mutlak Ax− |x| = b, jika dan hanya jika, x ∈ Rn adalah minimum dari fungsi f (x) yang didefinisikan oleh persamaan (3).
Bukti. Misalkan x, v ∈ Rndan α adalah bilangan real. Dengan melakukan ekspansi Taylor orde-2 [1, h. 189] terhadap f (x + αv) di sekitar titik x + αv=x diperoleh
f (x + αv) = f (x) + αf′(x)v + α2
2!f′′(x)vv. (4)
Jacob[3, h. 247] menjelaskan bahwa dot product pada Rn adalah sebuah hasil kali dalam, sehingga persamaan (4) dapat ditulis menjadi
f (x + αv) = f (x) + αhf′(x), vi + α2
2 hf′′(x)v, vi. (5) Selanjutnya dengan mempertimbangkan fungsi pada persamaan (3), karena A adalah matriks simetris maka berdasarkan persamaan sifat hasilkali dalam pada vektor dan matriks didapat
hAx, xi = hx, Axi.
Kemudian persamaan (3) dapat ditulis kembali menjadi
f (x) = hx, Axi − h|x|, xi − 2hb, xi. (6) Oleh karena hx, yi = xTy, maka persamaan (6) dapat ditulis menjadi
f (x) = xTAx− |x|Tx− 2bTx. (7) Kemudian f′(x) didapatkan dengan menurunkan f (x), terhadap x. Berdasarkan turunan vektor dan matriks [5, h. 174] diperoleh
f′(x) = (A + AT)x − 2|x| − 2b. (8) Oleh karena A adalah matriks simetris maka AT = A [4, h. 4-8], sehingga per- samaan (8) dapat ditulis menjadi
f′(x) = 2Ax − 2|x| − 2b, atau
f′(x) = 2(Ax − |x| − b). (9)
Selanjutnya untuk menentukan f′′(x) diturunkan f′(x) pada persamaan (9) ter- hadap x diperoleh
f′′(x) = 2(f′(Ax) − f′(|x|) − f′(b))
f′′(x) = 2(A − f′(|x|) − 0). (10)
Kemudian berdasarkan definisi nilai mutlak diperoleh
|x| =
(x jika x ≥ 0,
−x jika x < 0. (11)
Selanjutnya dari persamaan (11) diperoleh
f′(|x|) =
(1 jika x ≥ 0,
−1 jika x < 0. (12)
Langkah berikutnya berdasarkan pengertian fungsi signum [1, h. 109], persamaan (12) dapat ditulis sebagai
f′(|x|) = sign (x). (13)
Kemudian dengan mensubstitusikan persamaan (13) ke persamaan (10) diperoleh f′′(x) = 2(A − sign (x)). (14) Oleh karena matriks A ∈ Rn×n dan sign (x) ∈ Rn, maka persamaan (14) tidak dapat diselesaikan, sehingga digunakan asumsi D=diagonal(sign (x)) diperoleh
f′′(x) = 2(A − D). (15)
Kemudian dari asumsi Teorema 1 diketahui bahwa C = A − D, maka per- samaan (15) menjadi
f′′(x) = 2C. (16)
Langkah berikutnya persamaan (9) dan (16) disubstitusikan ke persamaan (5), diperoleh
f (x + αv) = f (x) + 2αhAx − |x| − b, vi + α2hCv, vi. (17) Selanjutnya dengan menyatakan f (x+αv) sebagai fungsi dari α, dan menyatakannya dengan g(α) diperoleh
g(α) = f (x) + 2αhAx − |x| − b, vi + α2hCv, vi. (18) Kemudian untuk menentukan titik minimum persamaan (18) dengan menggu- nakan Teorema Fermat [11, h. 207] diperoleh
g′(α) = 2hAx − |x| − b, vi + 2αhCv, vi = 0, atau
2hAx − |x| − b, vi = −2αhCv, vi. (19)
Dengan menyederhanakan persamaan (19) didapat α = −hAx − |x| − b, vi
hCv, vi , dengan hCv, vi > 0. (20) Selanjutnya persamaan (20) disubstitusikan ke persamaan (18), diperoleh
g(α) =f (x) − 2hAx − |x| − b, vi
hCv, vi hAx − |x| − b, vi +
− hAx − |x| − b, vi hCv, vi
2
hCv, vi, (21)
Kemudian dengan menyederhanakan persamaan (21) diperoleh g(α) =f (x) −hAx − |x| − b, vi
hCv, vi hAx − |x| − b, vi, atau
g(α) = f (x) − hAx − |x| − b, vi hCv, vi
2
. (22)
Jadi untuk sebarang vektor v 6= 0, maka hAx − |x| − b, vi2/hCv, vi > 0 dan mengingat g(α) = f (x + αv) maka diperoleh
f (x + αv) < f (x).
Hal ini tidak mungkin, artinya f (x + αv) memiliki takhingga banyaknya nilai mini- mum lokal karena berlaku untuk semua vektor v. Jadi untuk sebarang x haruslah dipunyai
hAx − |x| − b, vi = 0. (23)
Dengan demikian haruslah
f (x) = f (x + αv).
Kemudian jika x∗ memenuhi persamaan (23) maka diperoleh hAx∗ − |x∗| − b, vi = 0.
untuk sebarang vektor v, dan f (x) tidak bisa dibuat menjadi lebih kecil dari f (x∗), sehingga x∗ minimum dari f .
Sebaliknya, misalkan x∗ adalah vektor yang meminimalkan f . Kemudian untuk sebarang vektor v diperoleh
f (x∗+ αv) ≥ f (x∗). (24)
Bentuk minimum dari persamaan (24) adalah f (x∗+ αv) = f (x∗).
Selanjutnya dari persamaan (22) haruslah hAx − |x| − b, vi2/hCv, vi = 0, se- hingga
hAx∗− |x∗| − b, vi = 0.
Karena vektor v 6= 0 berdasarkan definisi hasilkali dalam haruslah dipunyai Ax∗− |x∗| − b = 0.
Dengan demikian diperoleh
Ax∗ − |x∗| = b.
Hal ini menunjukkan bahwa x∗ adalah solusi dari sistem persamaan nilai mutlak
(1). ✷
Selanjutnya dimisalkan x(0)adalah tebakan awal untuk x∗, dan v(1)6= 0 adalah initial search direction dan v(k) = e(k), dimana e(k) adalah kolom ke-k dari matriks identitas. Untuk k = 1, 2, 3, . . ., maka penerapan Teorema 1 untuk menyelesaikan persamaan nilai mutlak (1) mengikuti skema iterasi berikut:
x(k) = x(k−1)+ α(k)v(k), (25)
dengan
α(k) = −hAx(k−1)− |x(k−1)| − b, v(k)i hCv(k), v(k)i .
Kemudian persamaan (25) disajikan dalam bentuk algoritma, sebagaimana diberikan Algoritma 1.
Algorithm 1 Algoritma metode iterasi INPUT : A (Matriks Sistem)
C = A − D (Matriks positif definit) D (Matriks identitas) b (Vektor ruas kanan) x(0) (Tebakan Awal)
v(1) (v(i) Vektor dengan elemen ke-i adalah 1) delta (Toleransi)
max it (Maksimum Iterasi) OUTPUT : x(k)
PROSES :
for k = 1 : max it do
Hitung y(k)=Ax(k−1)− |x(k−1)| − b Hitung pb=y(k)Tv(k)
Hitung z(k)=Cv(k) Hitung py=z(k)Tv(k) Hitung α=pb/py Hitung ǫ=−αv(k) Hitung x(k)=x(k−1)+ ǫ
Hitung eror=kx(k)− x(k−1)k∞
if eror < delta then
”Selisih iterasi sudah sangat kecil”
break end if end for
3. KEKONVERGENAN METODE ITERASI
Pada bagian ini dibuktikan kekonvergenan dari Algoritma 1 yang disajikan dalam Teorema 2 berikut:
Teorema 2 Pengurangan antara f (x(k−1)) dan f (x(k)) adalah sama dengan pengurangan dari eror dengan norm-C, dimana f adalah bentuk dari persamaan (3) dan C adalah matriks simetris.
Bukti. Jika eror iterasi ke k dinotasikan oleh e(k) = x(k) − x∗, maka eror iterasi ke k − 1 dinotasikan oleh e(k−1) = x(k−1)− x∗, sehingga pengurangan eror dengan norm-C adalah
e(k)
2
C −
e(k−1)
2
C =
x(k)− x∗
2
C −
x(k−1)− x∗
2
C . (26)
Oleh karena hCe(k), e(k)i=ke(k)k2C [10, h. 146], maka persamaan (26) dapat ditulis
menjadi
e(k)
2
C −
e(k−1)
2
C = hCx(k)− Cx∗, x(k)− x∗i
− hCx(k−1)− Cx∗, x(k−1)− x∗i. (27) Kemudian berdasarkan sifat hasil kali dalam [3, h. 246], dari persamaan (27) diper- oleh
e(k)
2
C −
e(k−1)
2
C = hCx(k), x(k)i − hCx(k), x∗i − hCx∗, x(k)i
+ hCx∗, x∗i − hCx(k−1), x(k−1)i + hCx(k−1), x∗i + hCx∗, x(k−1)i − hCx∗, x∗i. (28) Selanjutnya, oleh karena C adalah matriks simetris berdasarkan sifat hasil kali dalam pada vektor dan matriks diperoleh hCx(k), x∗i = hCx∗, x(k)i dan hCx(k−1), x∗i = hCx∗, x(k−1)i, sehingga persamaan (28) dapat disederhanakan menjadi
e(k)
2
C −
e(k−1)
2
C = hCx(k), x(k)i − 2hCx∗, x(k)i − [hCx(k−1), x(k−1)i
− 2hCx∗, x(k−1)i]. (29)
Kemudian berdasarkan Teorema 1 diketahui matriks C = A − D, sehingga per- samaan (29) dapat ditulis menjadi
e(k)
2
C −
e(k−1)
2
C = hAx(k)− D(x(k)), x(k)i − 2hAx∗− D(x∗), x(k)i
− [hAx(k−1)− D(x(k−1)), x(k−1)i
− 2hAx∗− D(x∗), x(k−1)i]. (30) Oleh karena D=diagonal(sign (x)) maka persamaan (30) dapat ditulis kembali menjadi
e(k)
2
C −
e(k−1)
2
C = hAx(k)− |x(k)|, x(k)i − 2hAx∗− |x∗|, x(k)i
− [hAx(k−1)− |x(k−1)|, x(k−1)i
− 2hAx∗− |x∗|, x(k−1)i]. (31) Kemudian, oleh karena Ax∗− |x∗| = b persamaan (31) dapat ditulis kembali menjadi
x(k)− x∗
2
C −
x(k−1)− x∗
2
C = hAx(k)− |x(k)|, x(k)i − 2hb, x(k)i
− [hAx(k−1)− |x(k−1)|, x(k−1)i − 2hb, x(k−1)i],
atau
x(k)− x∗
2
C −
x(k−1)− x∗
2
C = hAx(k), x(k)i − h|x(k)|, x(k)i − 2hb, x(k)i
− [hAx(k−1), x(k−1)i − h|x(k−1)|, x(k−1)i
− 2hb, x(k−1)i]. (32) Selanjutnya berdasarkan fungsi pada persamaan (3) maka persamaan (32) dapat ditulis menjadi
x(k)− x∗
2
C −
x(k−1)− x∗
2
C = f (x(k)) − f (x(k−1)),
sehingga terbukti bahwa pengurangan f (x(k))−f (x(k−1)) sama dengan pengurangan
dari eror dengan norm-C. ✷
4. CONTOH KOMPUTASI NUMERIK
Pada bagian ini dibahas suatu contoh uji komputasi numerik untuk memverifikasi keakuratan dari metode iterasi.
Contoh 1 Diketahui A adalah matriks berukuran n × n yang entri-entrinya diten- tukan sebagai berikut:
aii= 4n, ai,i+1 = ai+1,i = n, aij = 0.5, i, j = 1, 2, . . . , n dengan n = 10.
Selanjutnya dari sistem persamaan nilai mutlak (1) diperoleh b= Ax − |x|,
b= (A − I)x, b= (A − I)e,
dengan x = e yang mana x adalah vektor berukuran n × 1 yang semua entrinya sama dengan satu yaitu x = [1, 1, . . . , 1]T merupakan solusi eksak dan I adalah matriks identitas berukuran n × n. Selanjutnya diketahui D=I dan dari Teorema 1 diketahui matriks C = A − D.
Kemudian ditentukan solusi pendekatan dari Ax − |x| = b menggunakan metode iterasi dengan tebakan awal
x0 = [x1, x2, . . . , xn]T dengan xi = 0.001 × i.
dan toleransi = 1.0 × 10−6. Iterasi akan berhenti apabila nilai kxk− xk−1k∞ <
1.0 × 10−6.
Dengan mengimplementasikan metode iterasi (25) digunakan program MATLAB R2013a diperoleh hasil komputasi seperti terlihat pada Tabel 1.
Tabel 1: Hasil komputasi Contoh 1 menggunakan metode iterasi k x(k)1 x(k)2 x(k)3 x(k)4 x(k)5 x(k)6
1 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 2 0.9955 0.9965 0.9975 0.9985 0.9995 1.0005
k x(k)7 x(k)8 x(k)9 x(k)10 eror pendekatan 1 0.007 0.008 0.009 0.01 9.9450e − 01 2 1.0015 1.0025 1.0035 1.0045 1.1725e − 17
Pada Tabel 1, nilai pada kolom terakhir diberikan oleh eror = kxk− xk−1k∞,
dan solusi pendekatan yang dihasilkan adalah sebagai berikut:
x(2) = [0.9955 0.9965 0.9975 · · · 1.0045]T,
yang diperoleh pada iterasi kedua karena nilai kxk− xk−1k∞ sudah lebih kecil dari toleransi, yaitu kx(2)− x(1)k∞= 1.1725e − 17. Jadi metode iterasi dapat digunakan sebagai metode alternatif untuk menyelesaikan sistem persamaan nilai mutlak.
Ucapan terima kasih Penulis mengucapkan terima kasih kepada Dr. Imran M., M.Sc. yang telah membimbing dan memberikan arahan dalam penulisan artikel ini.
DAFTAR PUSTAKA
[1] R. G. Bartel dan R. D. Shebert, Introduction to Real Analysis, Fourth Edition, John Wiley and Sons, Hoboken, 2011.
[2] R. L. Burden dan J. D. Faires, Numerical Analysis, Ninth Edition, Brooks/Cole, Boston, 2011.
[3] B. Jacob, Linear Algebra, First Edition, W. H. Friemann and Company, New York, 1990.
[4] S. T. Karris, Numerical Analysis Using MATLAB and Excel, Third Edition, Orchard Publications, Fremont, 2007.
[5] H. Lutkepohl, Handbook of Matrices, John Wiley and Sons, Chichester, 1996.
[6] O. L. Mangasarian, Absolute value equation solution via concave minimization, Optimization Letters, 1 (2007), 3–8.
[7] O. L. Mangasarian, A generalized Newton method for absolute value equations, Optimization Letters, 3 (2009), 101–108.
[8] M. A. Noor, J. Iqbal, K. I. Noor dan E. Al-Said, On an iterative method for solving absolute value equations, Optimization Letters, 6 (2012), 1027–1033.
[9] V. Edalatpour, D. Hezari dan D. K. Salkuyeh, A generalization of the Gauss- Seidel iteration method for solving absolute value equations, Applied Mathe- matics and Computation, 239 (2017), 156–167.
[10] L. R. Scott, Numerical Analysis, Princeton University Press, Princeton, 2011.
[11] J. Stewart, Calculus, Eight Edition, Cengage Learning, Boston, 2016.
