Metode numeris untuk menyelesaikan model pergerakan lapisan fluida yang melibatkan minyak dan air

(1)

METODE NUMERIS UNTUK MENYELESAIKAN MODEL

PERGERAKAN LAPISAN FLUIDA YANG MELIBATKAN

MINYAK DAN AIR

Skripsi

Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat

Memperoleh Gelar Sarjana Sains

Program Studi Matematika

Oleh :

Friska Dwi Mesra Mangadil

NIM: 133114007

PROGRAM STUDI MATEMATIKA, JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS SANATA DHARMA

(2)

NUMERICAL METHOD FOR SOLVING A MOTION MODEL

OF FLUID LAYERS INVOLVING OIL AND WATER

Thesis

Presented as a Partial Fulfillment of the Requirements

to Obtain the Degree ofSarjana Sains

in Mathematics

By :

Friska Dwi Mesra Mangadil

Student Number: 133114007

MATHEMATICS STUDY PROGRAM, DEPARTMENT OF MATHEMATICS

FACULTY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY

SANATA DHARMA UNIVERSITY

YOGYAKARTA

(3)

(4)

(5)

(6)

MOTTO

“Segala perkara dapat kutanggung didalam Dia yang memberi kekuatan

kepadaku” (Filipi 4:13)

“Karena masa depan sungguh ada, dan harapanmu tidak akan hilang” (Amsal

23:18)

(7)

HALAMAN PERSEMBAHAN

Karya ini kupersembahkan untuk:

Tuhan Yesus Kristus yang senantiasa menyertai, mendengarkan, dan selalu

memberi perlindungan.

Bapak Mesak Luas, Ibu A. Irawati Pongkapadang, Laurance Feien Eka Prakasa

Mangadil, S.E., Falerio Ishak Renfeika Mangadil, dan Akhmalia Fiabel Hawari

Mangadil yang selalu mendukung, dan memberi keceriaan ketika rindu

(8)

ABSTRAK

Pergerakan lapisan fluida merupakan salah satu masalah yang biasanya

muncul pada bidang perminyakan. Pergerakan lapisan fluida dapat diselesaikan

dan disimulasikan dengan menggunakan banyak metode dan aplikasi komputer.

Dalam skripsi ini, dibahas mengenai penyelesaian masalah pergerakan

lapisan fluida yang melibatkan minyak dan air. Masalah pergerakan lapisan fluida

diselesaikan dengan menggunakan dua metode yaitu metode volume hingga

Lax-Friedrichs dan metode beda hingga. Metode volume hingga bekerja dengan cara

membagi domain ruang menjadi beberapa bagian kemudian dihitung rata-rata

kuantitas untuk masing-masing bagian. Metode beda hingga bekerja dengan

menghampiri solusi masalah secara titik demi titik. Pengujian dilakukan

menggunakan simulasi numeris. Analisis hasil simulasi dilakukan dengan

membandingkan hasil solusi numeris dengan solusi eksak, untuk kasus yang

mempunyai solusi eksak.

(9)

ABSTRACT

The motion of fluid layers is one of problems that usually happened in

petroleum engineering. The motion of fluid layer can be solved and simulated

using many methods and computer application.

In this undergraduate thesis, the solution to the problem of motion of fluid

layersinvolving oil and water will be discussed. The problem of motion of fluid

layers can be solved using two methods: Lax-Friedrichs finite volume method and

finite difference method. The finite volume method works by dividing the spatial

domain into a finite number of cells, then calculating the average quantity of each

cell. The finite difference method works by approaching the solution to the

problem point by point. Test cases were done using numerical simulations.

Simulation result analysis was conducted by comparing numerical solutions with

the analytical ones, for cases having analytical solutions.

(10)

KATA PENGANTAR

Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yesus Kristus yang telah

mencurahkan rahmat dan Roh KudusNya sehingga penulis dapat mengerjakan dan

menyelesaikan skripsi ini dengan baik. Skripsi ini dibuat dengan tujuan memenuhi

salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Program Studi

Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, Universitas Sanata Dharma.

Penulis menyadari bahwa penulis melibatkan banyak pihak untuk

membantu dalam menghadapi berbagai macam tantangan, kesulitan, dan

hambatan. Oleh karena itu, pada kesempatan ini penulis mengucapkan terima

kasih kepada:

1. Bapak Sudi Mungkasi, S.Si., M.Math.Sc., Ph.D., selakuDekan Fakultas

Sains dan Teknologi sekaligus sebagaiDosen Pembimbing Skripsi.

2. Bapak Hartono, S.Si., M.Sc., Ph.D., selaku Kaprodi Matematika.

3. Ibu M. V. Any Herawati, S.Si., M.Si., selaku Dosen Pembimbing

Akademik.

4. Romo Prof. Dr. Frans Susilo, S.J., Bapak Ir. Ig. Aris Dwiatmoko, M.Sc.,

Bapak Dr. rer. nat. Herry P. Suryawan, S.Si., M.Si., dan Ibu Lusia

Krismiyati Budiasih, S.Si., M.Si. selaku dosen-dosen Prodi Matematika

yang telah memberikan banyak pengetahuan kepada penulis selama proses

perkuliahan.

5. Bapak/Ibu dosen/tenaga kependidikan Fakultas Sains dan Teknologi yang

(11)

6. Kedua orang tua, kakak, dan dua adik yang telah membantu dan

mendukung penulis selama proses pengerjaan skripsi.

7. Teman-teman Matematika 2013: Inge, Yui, Sorta, Melisa, Agung, Laras,

Ambar, Yuni, Rey, Dion, Wahyu, Indra, Bintang, Tia, Lya, Andre, Sisca,

Natali, Yola, Sari, Dita, dan Kristo yang selalu memotivasi, memberi

masukan, dan masih banyak yang tidak bisa disebutkan satu persatu.

Terima kasih atas kebersamaan dan kekompakan ini.

8. Kakak, teman-teman dan adik-adik: Mbak Tiwi, Ignatia, Gege, Nando dan

Edo, terimakasih untuk semangat dan dukungannya selama penulis

berkuliah dan menulis skripsi ini.

9. Kak Mike yang memberi dukungan dengan membantu memperbaiki

penulisan bahasa Inggris penulis yang tidak beraturan dan memberi

tantangan kepada penulis untuk segera mungkin menyelesaikan skripsi ini.

10.Kak Sri dan Cleo yang memberi dukungan dengan hampir setiap bulan

mengingatkan penulis agar mengerjakan skripsi dengan semangat dari kota

dan negeri seberang.

11.Mas Susilo yang memberi dukungan dengan mempersilakan penulis

mengerjakan skripsi di laboratorium berhari-hari.

12.Pralana Anggi yang selalu siap membantu apabila laptop penulis

mengalami gangguan.

13.Pemuda-pemudi GKN Gloria yang memberi dukungan semangat dan doa

(12)

(13)

(14)

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL ...i

HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING ...iii

HALAMAN PENGESAHAN ...iv

PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ...v

HALAMAN PERSEMBAHAN ...vii

ABSTRAK ...viii

ABSTRACT ...ix

KATA PENGANTAR ...x

PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI ...xiii

DAFTAR ISI ...xiv

DAFTAR GAMBAR ...xvi

BAB I PENDAHULUAN ...1

A. Latar Belakang ...1

B. Rumusan Masalah ...4

C. Batasan Masalah ...5

D. Tujuan Penulisan ...5

E. Manfaat Penelitian ...6

F. Metode Penelitian ...6

(15)

BAB II PERSAMAAN DIFERENSIAL ...9

A. Integral ...9

B. Klasifikasi Persamaan Diferensial ...12

C. Nilai Eigen dan Vektor Eigen ...15

D. Klasifikasi Persamaan Diferensial Parsial Orde Dua ...16

E. Penurunan Numeris ...18

F. Matriks Tridiagonal ...25

BAB III MODEL PERGERAKAN LAPISAN FLUIDA ...27

A. Penurunan Persamaan Gerak Lapisan Fluida Satu Dimensi ...27

B. Masalah Pergerakan Fluida ...31

C. Solusi Analitis Masalah Pergerakan Lapisan Fluida ...33

D. Metode Volume Hingga Lax-Friedrichs...35

E. Metode Beda Hingga untuk Model Pergerakan Lapisan Fluida...42

BAB IV ANALISIS HASIL SIMULASI ...50

A. Metode Volume Hingga Lax-Friedrichs...50

B. Metode Beda Hingga ...52

BAB V PENUTUP ...55

A. Kesimpulan ...55

B. Saran ...55

DAFTAR PUSTAKA ...57

(16)

DAFTAR GAMBAR

Gambar 1.1 Dua plat rata dengan jarak 10 cm berisi lapisan fluida. Plat atas

ditarik ke kanan dengan kecepatan konstan ... 2

Gambar 2.1 Ilustrasi fungsi satu variabel ... 10

Gambar 2.2 Ilustrasi geometri vektor eigen ... 16

Gambar 2.3 a. Hampiran beda majub. Hampiran beda mundurc. Hampiran beda

pusat ... 22

Gambar 3.1 Kawat satu dimensi dengan energi panas yang mengalir masuk dan

keluar ... 28

Gambar 3.2 Ilustrasi diskretisasi domain ruang ... 36

Gambar 3.3 Hasil simulasi masalah pergerakan lapisan fluida dengan metode

volume hingga saat = ... 42

Gambar 3.4Hasil simulasi masalah pergerakan lapisan fluida untuk ∆ =

dengan metode beda hingga ... 46

Gambar 3.5Hasil simulasi masalah pergerakan lapisan fluida untuk

∆ = dengan metode beda hingga ... 47

∆ = . dengan metode beda hingga ... 47

∆ = . dengan metode beda hingga ... 48

(17)

∆ = . dengan metode beda hingga ... 49

Gambar 4.1 Ilustrasi geometri galat metode volume hingga Lax-Friedrichs ... 52

(18)

BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang Masalah

Persamaan diferensial adalah persamaan yang menyatakan hubungan

suatu fungsi dengan turunan-turunannya. Persamaan diferensial biasanya

diklasifikasikan menjadi dua, yaitu pesamaan diferensial biasa dan persamaan

diferensial parsial. Persamaan diferensial biasa merupakan persamaan

diferensial yang memuat satu variabel bebas. Persamaan diferensial parsial

sebenarnya hampir sama dengan persamaan diferensial biasa, perbedaannya

terletak pada banyaknya variabel bebas. Pada persamaan diferensial parsial

terdapat lebih dari satu variabel bebas, sehingga terdapat turunan parsial.

Fluida adalah zat yang dapat mengalir atau biasa disebut zat alir. Pada

prinsipnya, fluida adalah semua jenis zat cair dan zat gas. Fluida biasanya

banyak digunakan dalam kehidupan sehari-hari, contohnya adalah minyak dan

air.

Minyak adalah zat cair yang mengandung lemak dan memiliki suatu

kekentalan. Jika dilihat dari asalnya, minyak dapat dikelompokkan menjadi

minyak nabati dan hewani. Minyak yang telah diolah banyak digunakan oleh

(19)

Minyak dan air memiliki massa jenis yang berbeda.Jika keduanya

dimasukkan ke dalam suatu wadah, keduanya tidak akan tercampur menjadi

satu cairan, melainkan akan terpisah dengan air berada di bawah minyak. Hal

itu disebabkan karena massa jenis air lebih besar daripada massa jenis minyak.

Gambar 1.1. Dua plat rata dengan jarak 10 cm berisi lapisan fluida. Plat

atas ditarik ke kanan dengan kecepatan konstan.

Dalam skripsi ini akan dibahas tentang pengaruh pergerakan minyak

terhadap pergerakan air. Minyak dan air dalam kasus ini diletakkan di antara

dua plat rata sehingga air akan berada di bawah minyak seperti terlihat pada

Gambar 1.1. Pengaruh pergerakan minyak terhadap pergerakan air dilihat

dengan menggunakan kajian. Kajian dilakukan terhadap minyak dan air yang

berada di antara dua plat horizontal. Ketika plat yang berada di atas minyak

ditarik dengan kecepatan konstan, maka akan terbentuk gelombang di

permukaan minyak. Gelombang di permukaan minyak inilah yang akan

mempengaruhi pergerakan air. Pertanyaan yang timbul adalah seberapa

(20)

Pengaruh pergerakan minyak terhadap pergerakan air akan

diprediksikan dengan mempertimbangkan jarak kedua plat dan waktu yang

berbeda. Maksudnya ketika plat atas ditarik dengan kecepatan konstan, akan

dilihat seberapa besar pengaruh yang muncul terhadap kedua cairan ini pada

waktu tertentu. Misalnya plat atas ditarik dengan kecepatan konstan dan dalam

waktu 1 detik, akan dilihat berapa besar pengaruh pergerakan minyak terhadap

air dalam waktu tersebut. Pengaruh pergerakan minyak terhadap pergerakan

air di sini akan dicari dengan menggunakan metode volume hingga dan metode

beda hingga.

Metode volume hingga adalah salah satu metode penyelesaian

persamaan diferensial parsial. Metode volume hingga bekerja dengan

mendiskretkan domain ruang ke dalam interval, kemudian dihitung rata-rata

kuantitas untuk masing-masing interval. Perhitungan rata-rata ini menghasilkan

fluks, maka dalam metode volume hingga selain mendiskretkan ruang ke

dalam interval dan menghitung rata-rata tiap interval, harus dihitung pula fluks

agar hasil yang didapat stabil.

Metode beda hingga merupakan suatu metode yang menghampiri

penyelesaian model matematika titik demi titik. Metode ini menggunakan

pendekatan ekspansi Taylor di suatu titik acuan. Metode beda hingga unggul

dalam kemudahan komputasi. Pada skripsi ini akan dibahas mengenai seberapa

besar pengaruh pergerakan minyak terhadap pergerakan air dengan metode

(21)

Pergerakan minyak dan air yang akan diselesaikan di sini menggunakan

persamaan gerak fluida, yaitu:

� i yak

� = i yak

� i yak

� (1)

dan

� ai

� = ai � ai

�

(2)

dengan _{i yak} , adalah kecepatan minyak, _ai , adalah kecepatan air, _{i yak} , adalah kekentalan minyak, dan _ai , adalah kekentalan air. Di sini, variabel bebas x mewakili domain ruang dan variabel t

melambangkan nilai waktu.Hubungan di titik perbatasan antara minyak dan air

diberikan oleh:

i yak = ai

(3)

dan

i yak� _�i yak = ai �_{� ,}ai

(22)

B. Rumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang yang telah dipaparkan, penulis mengadakan

penelitian terhadap masalah-masalah berikut:

1. Bagaimana memperoleh persamaan pergerakan lapisan fluida yang

dipengaruhi plat yang ditarik dengan kecepatan konstan?

2. Bagaimana menyelesaikan persamaan pergerakan lapisan fluida dengan

metode volume hingga dan beda hingga?

C. Pembatasan Masalah

Penulis akan membatasi penulisan agar menjadi lebih terarah dan tidak

menyimpang dari masalah yang akan dibahas, yaitu:

1. Persamaan gelombang yang akan dibahas adalah gelombang lapisan

minyak dan air.

2. Persamaan diselesaikan dengan metode analitis,metode volume hingga

dan metode beda hingga.

3. Masalah pergerakan lapisan fluida yang diselesaikan merupakan masalah

pergerakan lapisan fluida satu dimensi.

D. Tujuan Penulisan

Tujuan yang ingin dicapai penulis, selain untuk memenuhi syarat tugas

akhir dalam Program Studi Matematika Universitas Sanata Dharma, juga

(23)

1. Mencari seberapa besar pengaruh pergerakan minyak terhadap

pergerakan air dengan menggunakan metode volume hingga dan beda

hingga.

2. Memperluas wawasan pembaca tentang aplikasi matematika dalam

pengaruh pergerakan suatu cairan terhadap cairan lain yang memiliki

massa jenis yang berbeda.

E. Manfaat Penulisan

Manfaat dari penulisan skripsi ini adalah sebagai berikut:

1. Penulis memperoleh pengetahuan baru selama mengerjakan tulisan ini.

2. Pembaca mendapat gambaran tentang aplikasi matematika dalam pengaruh

pergerakan suatu cairan terhadap cairan lain yang memiliki massa jenis

berbeda.

3. Skripsi ini dapat dijadikan referensi bagi peneliti lain.

F. Metode Penelitian

Metode penelitian yang digunakan oleh penulis dalam menulis skripsi

adalah studi pustaka, yaitu dengan mempelajari buku maupun jurnal yang

berkaitan dengan metode volume hingga dan beda hingga khususnya dalam

mencari seberapa besar pengaruh pergerakan minyak terhadap pergerakan air;

(24)

khususnya untuk metode volume hingga dan metode beda hingga; selain itu

juga akan dilakukan simulasi dengan komputer.

G. Sistematika Penulisan

Skripsi ini ditulis menggunakan sistematika berikut:

BAB I PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

B. Rumusan Masalah

C. Batasan Masalah

D. Tujuan Penulisan

E. Manfaat Penulisan

F. Metode Penulisan

G. Sistematika Penulisan

BAB II PERSAMAAN DIFERENSIAL

A. Integral

B. Klasifikasi Persamaan Diferensial

C. Nilai Eigen dan Vektor Eigen

D. Klasifikasi Persamaan Diferensial Parsial Orde Dua

E. Penurunan Numeris

F. Matriks Tridiagonal

(25)

A. Penurunan Persamaan Gerak Lapisan Fluida Satu Dimensi

B. Masalah Pergerakan Lapisan Fluida

C. Solusi Analitis Masalah Pergerakan Lapisan Fluida

D. Metode Volume Hingga Lax-Friedrichs

E. Metode Beda Hingga

BAB IV ANALISIS HASIL SIMULASI

A. Metode Volume Hingga Lax-Friedrichs

B. Metode Beda Hingga

BAB V PENUTUP

A. Kesimpulan

B. Saran

(26)

BAB II

PERSAMAAN DIFERENSIAL

Dalam bab ini akan dibahas mengenai dasar teori dari skripsi ini. Dasar

teori dari skripsi ini meliputi integral, klasifikasi persamaan diferensial, nilai eigen

dan vektor eigen, matriks tridiagonal, klasifikasi persamaan diferensial parsial

orde dua, dan penurunan numeris.

A. Integral

Pada bagian ini akan dibahas mengenai integral yang meliputi definisi dan

contoh dari integral tentu dan teorema fundamental kalkulus.

Definisi 2.1

Suatu fungsi disebut anti turunan dari pada interval �, jika ′ = untuk setiap dalam interval �.

Contoh 2.1

Carilah suatu anti turunan dari = .

Penyelesaian:

Fungsi = bukanlah anti turunannya, karena turunan dari adalah . Akan tetapi hal ini menyarankan = , yang memenuhi ′ = =

(27)

Anti turunan dinotasikan dengan ∫ … . Notasi tersebut menunjukkan anti turunan terhadap . Anti turunan biasanya disebut integral tak tentu.

1. Integral Tentu

Perhatikan Gambar 2.1 berikut ini:

(28)

Untuk menghitung luas di bawah kurva = , dapat dilakukan dengan disebut jumlahan Riemann fungsi pada interval [ , ], sebagai pendekatan luas daerah di bawah kurva = dan diatas sumbu .

Semakin banyak subinterval seragam yang digunakan artinya ∆ → , maka semakin baik pula aproksimasi luasan tersebut dan semakin dekat dengan

luasan yang sebenarnya. Dengan demikian, luas daerah = lim

∆ �→ ∑

∗ _∆

= .

Definisi 2.2

Misalkan suatu fungsi yang didefinisikan pada selang tertutup [ , ]. Jika

(29)

2. Teorema Fundamental Kalkulus

Pada bagian ini hanya akan diberikan teorema fundamental kalkulus, tidak

dibahas mengenai pembuktiannya.

Teorema 2.1 (Teorema Nilai Rata-Rata)

Jika fungsi kontinu pada [ , ], maka terdapat ∈ [ , ], sehingga berlaku

= − ∫ .

Teorema 2.2 (Teorema Fundamental Kalkulus I)

Jika fungsi kontinu pada [ , ], maka = ∫ kontinu pada

[ , ] dan terdiferensial pada , dan berlaku

′ _{= ∫} ₌ _.

Teorema 2.3 (Teorema Fundamental Kalkulus II)

Jika fungsi kontinu pada setiap titik dalam [ , ] dan adalah antiturunan dari pada [ , ], maka

(30)

Bukti dari ketiga teorema yang disebut di atas dapat dilihat pada buku karangan

Thomas (2010).

B. Klasifikasi Persamaan Diferensial

Berikut ini akan dibahas mengenai klasifikasi persamaan diferensial.

Klasifikasi tersebut meliputi definisi dan contoh persamaan diferensial, persamaan

diferensial biasa, persamaan diferensial parsial, dan orde persamaan diferensial.

Definisi 2.3

Persamaan diferensial adalah persamaan yang melibatkan

variabel tak bebas dari fungsi yang tidak diketahui dan turunan terhadap

variabel-variabel bebas dari fungsi tersebut.

Contoh 2.3

Persamaan-persamaan di bawah ini merupakan contoh persamaan

(31)

Definisi 2.4

Persamaan diferensial biasa adalah persamaan diferensial yang melibatkan

turunan biasa atas satu atau lebih variabel tak bebas terhadap satu variabel bebas.

Contoh 2.4

Persamaan (2.1) dan (2.2) adalah contoh persamaan diferensial biasa. Pada

persamaan (2.1) variabel adalah variabel terikat atau tak bebas dan variabel

adalah variabel bebas. Pada persamaan (2.2) variabel adalah varabel tak bebas

dan variabel adalah variabel bebas.

Definisi 2.5

Persamaan diferensial parsial adalah persamaan diferensial yang

melibatkan turunan parsial atas satu atau lebih variabel tak bebas terhadapvariabel

bebas, dengan catatan bahwa banyaknya variabel bebas dalam persamaan tersebut

adalah lebih dari satu.

Contoh 2.5

Persamaan (2.3) dan (2.4) merupakan contoh persamaan diferensial

(32)

Definisi 2.6

Orde persamaan diferensial adalah tingkat tertinggi dari turunan yang

muncul dalam persamaan diferensial tersebut.

Contoh 2.6

Persamaan (2.1) adalah persamaan diferensial biasa orde pertama karena

tingkat tertinggi yang muncul adalah tingkat satu. Persamaan (2.2) adalah contoh

persamaan diferensial biasa orde dua karena tingkat turunan yang muncul adalah

tingkat dua. Persamaan (2.3) dan (2.4) adalah persamaan diferensial parsial orde

dua karena tingkat tertinggi dari turunanparsial yang muncul adalah tingkat dua.

C. Nilai Eigen dan Vektor Eigen

Berikut akan dibahas mengenai nilai eigen dan vektor eigen beserta

dengan contohnya.

Definisi 2.8

Misalkan adalah suatu matriks × . Skalar disebut sebagai suatu nilai eigen atau nilai karakteristik dari jika terdapat suatu vektor taknol ̅, sehingga ̅ = ̅. Vektor ̅ disebut vektor eigen atau vektor karakteristik yang bersesuaian dengan nilai eigen λ dari .

Contoh 2.8

(33)

̅ = − = = = ̅

maka dari persamaan ini dapat dilihat bahwa = adalah nilai eigen dari dan

̅ = merupakan vektor eigen yang bersesuaian dengan = tersebut, seperti

yang dijelaskan oleh Leon (2001).

Secara geometris, perkalian matriks dengan vektor ̅ memiliki kelipatan 3 terhadap vektor ̅. Ilustrasi secara geometris ditunjukkan dalam Gambar 2.2.

Gambar 2.2. Ilustrasi geometri vektor eigen.

D. Klasifikasi Persamaan Diferensial Parsial Orde Dua

Pada bagian ini akan dibahas tentang menentukan jenis suatu persamaan

2 1

6 3

̅

(34)

Persamaan diferensial parsial orde dua, yang linear homogen, dan

memiliki koefisien konstan berbentuk

+ + + + + =

dengan = , dan , , , , , adalah konstanta. Tiga suku pertama bentuk persamaan diferensial parsial linear homogen orde dua di atas disebut bagian

utama persamaan diferensial parsial dan digunakan untuk menentukan jenis

persamaan diferensial parsial.

Dipandang bagian utama persamaan diferensial parsial:

+ + = �_{� +} _{� � +}� �_� = (_�� _{� )}�

Matriks koefisien merupakan matriks simetri yang mempunyai nilai eigen

(35)

↔ − + + =

dari (2.9) dan (2.10) didapat:

a. + = + = trace

b. = − = det

Persamaan diferensial parsial disebut parabolik jika − = ,yang artinya = ; dengan kata lain, salah satu nilai eigennya bernilai 0. Persamaan diferensial parsial disebut eliptik apabila − > ,yang artinya > ; dengan kata lain, kedua nilai eigennya positif atau kedua nilai eigennya negatif.

Persamaan diferensial parsial disebut hiperbolik jika − < ,yang artinya < ; dengan kata lain, salah satu nilai eigennya positif dan salah satu nilai eigennya negatif.

E. Penurunan Numeris

Pada bagian ini akan dibahas mengenai penurunan numeris dan contohnya,

serta penjelasan tentang tiga pendekatan dalam menghitung turunan numeris yaitu

pendekatan beda maju, beda pusat dan beda mundur.

Definisi 2.9

(36)

Bila fungsi diberikan secara eksplisit, maka kita dapat menentukan fungsi

turunannya, ′ , ′′ , …, + , lalu menggunakannya untuk menghitung nilai turunan fungsi di = .

Namun demikian, seringkali fungsi tidak diketahui secara eksplisit, tetapi

hanya memiliki beberapa titik data saja. Pada kasus seperti ini, nilai turunan

fungsi secara analitis susah untuk dicari. Seringkali diketahui secara

eksplisit, namun karena bentuk yang sulit maka untuk mencari hasil turunan

fungsinya juga sulit, misalnya pada fungsi-fungsi berikut:

(a). = √c + a

i + �_{− / c}

(b). = + ln

Perhitungan nilai turunan pada fungsi (a) dan (b) dapat dikerjakan secara numeris.

Nilai turunan yang diperoleh merupakan nilai hampiran dan diharapkan

menghasilkan nilai galat yang kecil.

1. Tiga Pendekatan dalam Menghitung Turunan Numeris

Turunan adalah limit dari hasil bagi selisih: yaitu pengurangan dua buah

nilai yang besar + ℎ − dan membaginya dengan bilangan yang kecil

(37)

a. Hampiran Beda Maju

Diketahui fungsi = . Akan ditunjukkan ′ dengan hampiran beda maju

′ _{= lim} ℎ→

+ ℎ − ℎ

≈ + ℎ −_ℎ

= −_ℎ

b. Hampiran Beda Mundur

Diketahui fungsi = . Akan ditunjukkan ′ dengan hampiran beda mundur

′ _{= lim} ℎ→

− − ℎ ℎ

≈ −_ℎ − ℎ

= −_ℎ −

c. Hampiran Beda Pusat

(38)

′ _{= lim}

Tafsiran geometris dari ketiga pendekatan di atas diperlihatkan pada Gambar 2.3.

(a) (b)

(c)

Gambar 2.3. (a) Hampiran beda maju. (b) Hampiran beda mundur. (c) Hampiran

(39)

2. Penurunan Rumus Turunan dengan Deret Taylor

Misal diberikan titik-titik , dengan = , , , … , , yang dalam hal ini

= + ℎ

dan

= .

Selanjutnya akan dihitung ′ , yang dalam hal ini = + ℎ, ∈ ℝ dengan ketiga pendekatan sebelumnya (beda maju, beda mundur, beda pusat).

a. Hampiran Beda Maju

Uraikan ₊ di sekitar :

+ = + + −

! ′ + + −

! ′′ + ⋯

+ = + ℎ ′+ ℎ ⁄ ′′ + ⋯ (2.11)

ℎ ′ = + − − ℎ ⁄ ′′ − ⋯

′ = + _ℎ− − ℎ_⁄ ′′ _{− ⋯}

′ = + −

(40)

′ = + _ℎ− + � ℎ

yang dalam hal ini, � ℎ = − ℎ⁄ ′′ , untuk suatu dengan < < ₊ .

Untuk nilai-nilai di dan rumusnya menjadi:

′₌ −

ℎ + � ℎ (2.12)

yang dalam hal ini � ℎ = − ℎ⁄ ′′ , untuk suatu dengan < < .

b. Hampiran Beda Mundur

Uraikan ₋ di sekitar :

− = + − −

! ′ + − −

! ′′ + ⋯

− = − ℎ ′+ ℎ ⁄ ′′ + ⋯ (2.13)

ℎ ′ = − − + ℎ ⁄ ′′ + ⋯

= −_ℎ − + ℎ_⁄ ′′ _{+ ⋯}

′ = −_ℎ − + ℎ⁄ ′′

′ = −_ℎ − + � ℎ

(41)

Untuk nilai-nilai di dan persamaan rumusnya menjadi:

′₌ −

ℎ + � ℎ (2.14)

yang dalam hal ini � ℎ = ℎ⁄ ′′ , untuk suatu dengan < < .

c. Hampiran Beda Pusat

Kurangkan persamaan (2.13) dari persamaan (2.11):

+ − − = ℎ ′+ ℎ ⁄ ′′′+ ⋯

ℎ ′ ₌

+ − − − ℎ ⁄ ′′′− ⋯

′ = + −_ℎ − − ℎ ⁄ ′′′− ⋯

′ = + −_ℎ − + � ℎ

yang dalam hal ini, � ℎ = −ℎ ⁄ ′′′ , untuk suatu dengan ₋ < <

+ .

Untuk nilai-nilai di ₋ dan persamaan rumusnya menjadi:

′ ₌ −

ℎ + � ℎ (2.12)

(42)

F. Matriks Tridiagonal

Pada bagian ini akan dibahas mengenai definisi matriks tridiagonal dan

contohnya.

Definisi 2.10

Misalkan . Matriks � = ∈ ℝ × disebut matriks tridiagonal jika elemen-elemen yang berada pada selain diagonal utama dan dua diagonal

berdekatan bernilai nol, yaitu

= jika | − | > , , ∈ { , , … , }

matriks tersebut juga sering disebut tiga diagonal. Untuk penjelasan lebih jelasnya

dapat dilihat pada buku karangan Süli dan Mayers (2007).

Contoh 2.9

Berikut ditunjukan beberapa matriks

= ( ), = ( ), = ( ).

Dari ketiga matriks di atas, matriks tridiagonal ditunjukan oleh matriks dan .

Matriks bukan matriks tridiagonal karena ≠ dan ≠ . Matriks adalah matriks identitas. Matriks memenuhi definisi matriks tridiagonal karena =

(43)

BAB III

MODEL PERGERAKAN LAPISAN FLUIDA

Pada bab ini akan dibahas tentang pemodelan pergerakan lapisan fluida,

penurunan gerak fluida satu dimensi, serta metode volume hingga dan metode

beda hingga untuk model pergerakan lapisan fluida.

A. Penurunan Persamaan Gerak Lapisan Fluida

Persamaan gerak fluida pada kasus ini dideskripsikan dengan persamaan

panas seperti yang dijelaskan oleh Caldwell dan Ng Douglas (2004). Hal ini

dikarenakan gerakan fluida seperti menjalar dari sumber gerakan. Plat atas yang

ditarik secara konstan adalah sumber gerakan awal, kecepatan fluida yang

bersentuhan langsung dengan plat sama dengan kecepatan plat yang ditarik secara

konstan tersebut, sedangkan kecepatan fluida yang berada jauh dari plat atas

tersebut memiliki kecepatan yang lebih kecil dari pada kecepatan fluida yang

bersentuhan langsung dengan plat yang ditarik.

Persamaan panas dapat juga disebut sebagai persamaan difusi. Persamaan

panas dapat diformulasikan dengan merumuskan persamaan aliran panas

(Haberman, 2004). Misalkan kawat penampang berorientasi terhadap arah

seperti yang diilustrasikan pada Gambar 3.1. Jumlah energi panas per satuan

(44)

Gambar 3.1 Kawat satu dimensi dengan energi panas yang mengalir masuk

dan keluar.

Di sini, adalah luas penampang kawat, dan ∅ , adalah energi panas yang lewat di penampang kawat pada posisi dan waktu .

Asumsikan pada setiap waktu , suhu di dalam kawat pada posisi seragam

yaitu , , tetapi berbeda bila dibandingkan suhu penampang kawat posisi yang lain. Akan dicari distribusi suhu penampang kawat pada setiap posisi dan pada

setiap waktu , yaitu , , ∀ , . kawat. Sehingga untuk menaikan suhu segmen kawat sebesar 1 derajat dibutuhkan

energi sebanyak � ∗ ∗ ∗ ∆ . Apabila suhunya naik dari 0 ke , maka energi yang dibutuhkan sebesar � ∗ ∗ ∗ ∆ ∗ , . Jadi, total energi panas pada segmen tersebut untuk > adalah

(45)

= ∫ � ∗ ∗ ∗ ,

+∆

.

Fluks Panas

Fluks panas adalah laju perubahan energi panas yang melewati suatu

penampang. Fluks dapat dihitung dengan cara:

Fluks =�_{� =}_{� ∫ � ∗ ∗ ∗}� ,

+∆

= ∫ � ∗ ∗ ∗� _� ,

+∆ _(3.1)

atau dengan cara:

Fluks = ∅ , − ∅ + ∆ , = − [∅ + ∆ , − ∅ , ]. (3.2) Karena panas menjalar dari benda bersuhu tinggi ke rendah dan banyak

energi berbanding dengan perbedaan suhu di antara 2 titik (Hukum Newton

Pendinginan) maka:

∅ , = − � _� , . (3.3)

Substitusi persamaan (3.3) ke persamaan (3.2) didapat

Fluks = − − � _�+ ∆ , + � _� ,

= � _�+ ∆ , −� _� ,

�

(46)

Dari persamaan (3.1) dan (3.4) didapat

berarti kekentalan fluida. Pada kasus pergerakan lapisan fluida, persamaan (3.5)

diberikan subskrip minyak dan air guna membedakan antara persamaan gerak

untuk minyak dan persamaan gerak untuk air, seperti pada persamaan (1) dan

persamaan (2).

Persamaan (3.5) merupakan persamaan diferensial parsial parabolik. Hal

ini dikarenakan bagian utama persamaan diferensialnya berbentuk:

�

� = ,

(47)

= =

seperti yang dijelaskan pada subbab “D. Klasifikasi Persamaan Diferensial Parsial

Orde Dua”.

B.Masalah Pergerakan Fluida

Diketahui persamaan gerak dari lapisan fluida untuk air, yaitu:

� ai

� = ai � ai

� (3.6)

dan untuk minyak yaitu:

� i yak

� = i yak

� i yak

� (3.7)

dengan x adalah variabel ruang, t adalah variabel waktu, _ai adalah kecepatan air,

i yak adalah kecepatan minyak, ai adalah kekentalan air dan i yak adalah

kekentalan minyak. Hubungan di titik perbatasan antara minyak dan air

ditunjukkan dengan:

i yak= ai (3.8)

dan

(48)

Persamaan (3.9) merupakan definisi dari tegangan gesek yaitu:

� = �

dengan merupakan viskositas, � merupakan kecepatan fluida, merepresentasikan jarak dua plat rata yang disusun secara horisontal, dan �

merepresentasikan gradien dari kecepatan fluida. Pada kasus dalam skripsi ini,

jarak dua plat rata horisontal direpresentasikan dengan , dan viskositas diberikan

subscrip minyak dan air sebagai pembeda koefisien viskositas untuk minyak dan

air. Dalam skripsi ini tidak akan dibahas lebih lanjut tentang bagaimana

mendapatkan definisi tegangan gesek. Materi tentang vikositas dan tegangan

gesek dapat dilihat pada buku-buku atau jurnal tentang mekanika fluida seperti

yang ditulis oleh Crowe. C. T., Elger D. F., Williams B. C., dan Roberson. J. A.

pada buku berjudul Engineering Fluid Mechanics (2010).

Akan disimulasikan pergerakan lapisan fluida dalam kasus ini adalah

antara minyak dan air yang berada diantara dua plat rata dengan jarak 10 cm

menggunakan metode volume hingga Lax-Friedrichs, dan metode beda hingga

dengan menggunakan MATLAB. Pada kasus ini plat atas ditarik sehingga

mempunyai kecepatan konstan sebesar 7cm/s seperti pada Gambar 1.1. Pada

kasus ini, terdapat dua masalah nilai awal yang melibatkan kecepatan dua fluida,

(49)

{

ai sebagai kekentalan air, and i yak kekentalan minyak.

Untuk model pergerakan lapisan fluida, dibuat beberapa asumsi sebagai

berikut:

1. Pada plat atas tidak terdapat kekentalan.

2. Plat atas bergerak secara konstan yaitu 7 cm/s.

3. Kekentalan fluida minyak dan air diberikan oleh Caldwel dan Ng Douglas,

K. S. (2004).

4. Kekentalan fluida minyak dan air diasumsikan tetap, tidak berubah

terhadap suhu.

5. Aliran fluida hanya dalamsatu arah, yaitu arah yang tegak lurus sumbu x.

(50)

C. Solusi Analitis Masalah Pergerakan Lapisan Fluida

Masalah pergerakan lapisan fluida sangat sulit diselesaikan secara analitis

untuk kasus aliran tak tunak. Akan tetapi, penyelesaian numeris dapat

dibandingkan dengan solusi analitis untuk kasus aliran tunak. Aliran tak tunak

adalah kondisi dimana komponen aliran berubah terhadap waktu, dan aliran tunak

adalah kondisi dimana komponen aliran tidak berubah terhadap waktu. Untuk

kasus aliran tunak, solusi analitis tidak bergantung terhadap waktu. Dengan

demikian, untuk kasus aliran tunak, solusi analitis _ai , = _ai dan

i yak , = i yak .

Dalam kasus aliran tunak persamaan (3.10) menjadi

� ai

� = , < < , (3.12)

ai = . (3.13)

Persamaan (3.12) memiliki penyelesaian _ai = + .Karena _ai = maka = , sehingga penyelesaian untuk persamaan (3.12) adalah

ai = , . (3.14)

� ai

� =

Persamaan (3.11) untuk kasus aliran tunak dapat ditulis menjadi

� i yak

� = , , (3.15)

i yak = , (3.16)

(51)

i yak� _�i yak|

dan pada titik batas yakni persamaan (3.16) dan (3.17) ditulis menjadi

+ = (3.20)

Eliminasi persamaan (3.20) dan (3.21) sehingga mendapat

= − . (3.23)

Substitusi persamaan (3.23) ke persamaan (3.22) akan menghasilkan

= ai

i yak+ ai , (3.24)

substitusikan pula persamaan (3.24) ke persamaan (3.22) sehingga didapat

= i yak

i yak+ ai , (3.25)

substitusikan persamaan (3.24) dan (3.25) ke persamaan (3.21) didapat

(52)

Berikut adalah solusi aliran tunak yang dihasilkan dengan mensubstitusikan

persamaan (3.24), (3.25), dan (3.26) ke persamaan (3.14) dan (3.19):

ai = i yak

menyatakan kekentalan air dan _{i yak} menyatakan kekentalan minyak.

Solusi di atas akan digunakan dalam perhitungan simulasi numeris dengan

MATLAB.

D.Metode Volume Hingga Lax-Friedrichs

Pada bagian ini dibahas mengenai skema metode volume hingga, perhitungan

flux secara numeris dalam metode volume hingga dan solusi numeris metode

volume hingga Lax-Friedrichs.

1. Skema Metode Volume Hingga

Persamaan diferensial parsial hukum kekekalan berbentuk

(53)

Skema metode volume hingga berdasar pada pendiskretan domain pada ruang ke

dalam interval, seperti ditunjukkan dalam Gambar 3.2.

Gambar 3.2.Ilustrasi diskretisasi domain ruang.

Di sini ∆ = − ₋ atau ∆ = ₊ − ₋ . Domain waktu didiskretkan

− adalah pendekatan dari rata-rata fluks(debit material)

( , ) di titik ₋ , yaitu

− ≈ ∆ ∫ ( − , ) ��+

�� .

Bentuk integral dari hukum kekekalan diberikan oleh:

�

��∫ ,

�+

�− = − [ ( + , ) − ( − , ) ]

,

dengan nilai-nilai pendekatan diperoleh untuk _�+ = , yaitu

−1 +1

−3₂ ₋1 +1₂ +3₂

(54)

� + _{− �}

∆ = −

+ − −

∆

atau dapat ditulis menjadi

� + _{= � −}∆�

∆ ( + − − ).

Persamaan di atas merupakan skema volume hingga bagi _�+ = . Skema metode volume hingga tersebut konsisten dengan skema metode beda hingga

karena

2. Perhitungan FluksSecara Numeris dalam Metode Volume Hingga

Diberikan persamaan diferensial parsial dengan bentuk hukum kekekalan

�+ = .

Misal � ≈ , dan

− ≈ ( − , ) , seperti telah dijelaskan pada

bagian Skema Metode Volume Hingga di muka.Skema metode volume hingga

untuk persamaan di atas adalah

� + _{= � −}∆

∆ ( + − − ).

Diketahui � merupakan nilai kuantitas numeris di titik dan pada waktu

(55)

≈ ( , ) ≈ � .

Metode Stabil dan Tidak Stabil

Metode numeris dikatakan stabil apabila galat atau error yang muncul

disetiap iterasi tidak membesar terlalu cepat pada iterasi-iterasi berikutnya. Jika

galat yang muncul pada suatu iterasi membesar menuju tak hingga maka metode

tersebut dikatakan tidak stabil. Teori tentang kestabilan tidak akan dibahas pada

skripsi ini. Teori kestabilan dapat dilihat dalam buku-buku referensi misalnya

LeVeque (1992,2002).

1. Flukstak stabil

Akan didefinisikan rata-rata fluks pada titik ₋ berdasarkan pada �₋

dan � , sebagai berikut:

− = �− , � = [ �− + � ].

Dengan demikian, skema metode volume hingga menjadi

� + = � −_{∆ (}∆ ₊ − ₋ )

menjadi

(56)

Akan tetapi, skema metode volume hingga ini tidak stabil.

2. Fluks Lax-Friedrichs

Skema Lax-Friedrichs adalah skema yang memodifikasi skema metode

volume hingga di atas, dengan

� = �+ + �−

sehingga skema Lax-Friedrichsmenjadi

� + _{= �}

+ + �− − ∆�_∆ [ �+ − �− ] .

Skema Lax-Friedrichs ini stabil untuk ∆ yang cukup kecil.

3. Solusi Numeris Metode Volume Hingga Lax-Friedrichs

Masalah pergerakan lapisan fluida dapat diselesaikan dengan menggunakan

metode volume hingga Lax-Friedrichs. Diberikan persamaan lapisan fluida (3.10)

dan (3.11) yaitu

(57)

� + = � −_∆∆�( ₊ − ₋ ).

Persamaan (3.30) juga mempunyai skema metode volume hingga

(58)

= [ − i yak i yak� + + − i yak i yak� ]

− ∆_{∆ (} i yak)₊ − ( i yak)

= (− i yak) [( i yak�)₊ + ( i yak�) ]

− ∆_{∆ (} i yak)₊ − ( i yak) ,

− = [ � + �₋ ] − ∆

∆ �+ − �

= [ − i yak i yak� + − i yak i yak� − ]

− ∆

∆ ( i yak) − ( i yak)−

= (− i yak) [( i yak�) + ( i yak�)₋ ]

− ∆_{∆ (} i yak) − ( i yak)₋ .

Hasil simulasi penyelesaian masalah pergerakan lapisan fluida dengan

metode volume hingga Lax-Friedrichs dengan menggunakan perangkat lunak

MATLAB ditunjukkan oleh Gambar 3.3. Pada hasil simulasi pergerakan lapisan

fluida diberikan nilai _ai = dan _{i yak} = , program dijalankan dengan ∆ =

(59)

Gambar 3.3. Hasil simulasi penyelesaian masalah pergerakan lapisan fluida

dengan metode volume hingga saat = .

Terlihat pada gambar bahwa terjadi patahan pada saat = . Hal ini terjadi karena diketahui hubungan di titik perbatasan antara minyak dan air yang sudah

dijelaskan sebelumnya.

E. Metode Beda Hingga untuk Model Pergerakan Lapisan Fluida

Pada bagian ini dibahas mengenai skema metode beda hingga untuk model

pergerakan lapisan fluida, dan solusi numeris metode beda hingga untuk model

(60)

1. Skema Metode Beda Hingga untuk Model Pergerakan Lapisan Fluida

Persamaan (3.10) dan (3.11) tidak dapat diselesaikan secara terpisah, karena

terdapat beberapa kondisi yang saling berkaitan satu dengan yang lainnya.

Dengan menggunakan skema implisit, persamaan gerak fluida untuk air pada

persamaan (3.10) dan persamaan gerak fluida untuk minyak pada persamaan

(3.11) dapat ditulis menjadi:

ai + − ai

Persamaan (3.31) dan (3.32) dapat ditulis ulang menjadi:

(61)

Untuk posisi di = dan syarat awal _ai , = _ai + = , persamaan (3.33) dapat ditulis menjadi:

− ( _∆ai _{+ ∆ )} ai + + ( _∆ai ) ai + = − ∆ ai (3.35)

Pada posisi batas antara minyak dan air ( = dan = ), persamaan (3.33) dan (3.34) menjadi

( _∆ai ) ai +₋ − ( _∆ai + ∆ ) ai + + ( _∆ai ) ai +₊

Kondisi pada posisi batas dapat dijabarkan menjadi:

i yak� _�i yak|

Persamaan (3.38) dapat ditulis sebagai:

ai +₊ = i yak

ai i yak +

+ ₋

i yak −+ + ai +₋ . (3.40)

Substitusi persamaan (3.40) ke persamaan (3.36), didapat:

( ai

∆ ) ai +− − ( _∆ai + ∆ ) ai +

(62)

(63)

Persamaan (3.33), (3.34), (3.35), (3.43), (3.44) dan (3.46) adalah

persamaan yang mewakili semua titik diantara 0 sampai 10. Keenam persamaan

merupakan sistem tridiagonal yang dapat diselesaikan dengan menggunakan

perintah \ pada MATLAB. Misalkan:

b = ( _∆ai ) , c = ( _∆ai _{+ ∆ ), d = (} _∆i yak) ,

e = ( _∆i yak_{+ ∆ ),}dan f = ( ai +_∆ i yak_{+ ∆ )}

contoh membentuk sistem tridiagonal dengan ∆ = adalah sebagai berikut:

=

Sistem tridiagonal di atas merupakan penyelesaian pada metode beda hingga.

(64)

Sistem tridiagonal akan diselesaikan dengan menggunakan perintah \ pada MATLAB.

2. Solusi Numeris Metode Beda Hingga untuk Masalah Pergerakan Lapisan Fluida.

Hasil simulasi pergerakan lapisan fluida dengan metode beda hingga dengan

menggunakan program MATLAB ditunjukkan dalam Gambar 3.4 sampai dengan

Gambar 3.9. Simulasi ini dilakukan untuk beberapa nilai∆ =

, , . , . , . , . dan ∆ = . ∗ ∆ . Untuk jarak kedua plat adalah 10 cm

dan waktu 50 detik.

Gambar 3.4. Hasil simulasi masalah pergerakan lapisan fluida untuk ∆ =

(65)

dengan metode beda hingga.

(66)

. dengan metode beda hingga.

(67)

. dengan metode beda hingga.

Terlihat pada gambar-gambar hasil simulasi untuk metode beda hingga

(68)

BAB IV

ANALISIS HASIL SIMULASI

Pada bab ini akan dibahas mengenai hasil simulasi numeris untuk metode

beda hingga dan metode volume hingga Lax-Friedrichs. Simulasi numeris

dilakukan dengan menggunakan MATLAB dengan jarak antara plat bawah dan

plat atas adalah 10 cm, dan plat atas ditarik dengan kecepatan konstan 7 cm/s.

Galat atau error dihitung dengan menggunakan rumus

Galat = ∑| ek ak − e i | =

dengan _{ek ak} adalah nilai eksak di titik , _{e i} adalah nilai numeris di titik , dan adalah banyaknya data yang ada di domain ruang.

Menghitung galat saja masih belum cukup, seberapa cepat suatu metode

konvergen juga harus diperhatikan. Untuk mengetahui seberapa cepat konvergen

dari simulasi ini, dihitung dengan menggunakan rumus:

Perbandingan Galat = +

Dengan ₊ merupakan galat pada titik ₊ dan merupakan galat pada titik

(69)

A. Metode Volume Hingga Lax-Friedrichs

Pada Bab sebelumnya telah dibahas tentang solusi numeris untuk masalah

pergerakan lapisan fluida dengan metode volume hingga Lax-Friedrichs. Solusi

yang didapat adalah hasil siulasi dengan program MATLAB.

Simulasi ini menggunakan ∆ = . , ∆ = . ∗ ∆ dan = dengan nilai _ai = dan _{i yak} = . Grafik simulasi ditunjukkan pada Gambar 3.3. Terlihat pada gambar bahwa solusi numeris mendekati solusi eksak. Namun

masih terdapat ruang antara solusi numeris dan solusi eksak yang didapat, dengan

kata lain masih terdapat galat. Berikut merupakan galat solusi numeris untuk

masalah pergerakan lapisan fluida menggunakan metode volume hingga

Lax-Friedrichs, seperti dirangkum pada Tabel 4.1, untuk beberapa variansi nilai ∆ .

Tabel 4.1. Galat hasil simulasi metode volume hingga Lax-Friedrichs

∆� Galat atau error Perbandingan Galat

1 0.7463

0.5 0.7197 0.96435

0.25 0.6604 0.91760

(70)

Dari Tabel 4.1 terlihat bahwa semakin kecil ∆ semakin kecil juga galat yang dihasilkan. Ketika diambil∆ yang sangat kecil maka galat yang dihasilkan akan semakin kecil. Hal ini dikarenakan banyaknya langkah pada ruang di sumbu

. Simulasi pada metode volume hingga Lax-Friedrichs dalam skripsi ini berhenti

pada saat ∆ = . karena perhitungan yang sangat lama. Walaupun berhenti pada saat ∆ = . , galat pada metode ini sudah mendekati 0 dan perbandingan galatnya adalah 0.56814 yang berarti kecepatan konvergensi metode ini adalah 0.5

dan sudah cukup baik. Ilustrasi galat secara grafik ditunjukkan pada Gambar 4.1.

(71)

Terlihat pada Gambar 4.1 bahwa semakin besar ∆ maka semakin besar juga galat yang akan muncul. Kelebihan dari metode ini adalah komputasi yang

cukup mudah. Kekurangan dari metode ini adalah untuk ∆ yang semakin kecil,diperlukan ∆ yang juga semakin kecil agar perhitungan stabil (metodenya stabil), sehingga waktu perhitungan menjadi sangat lama.

B. Metode Beda Hingga

Pada Bab III telah dibahas tentang solusi numeris untuk masalah

pergerakan lapisan fluida dengan metode beda hingga. Solusi yang diperoleh

merupakan hasil simulasi dengan menggunakan MATLAB.

Grafik simulasi ditunjukkan pada Gambar 3.4 sampai dengan Gambar

3.9.Semakin kecil ∆ gambar yang ditunjukkan semakin mulus dan mendekati solusi eksak. Simulasi ini menggunakan nilai _ai = dan _{i yak} = , program dijalankan menggunakan∆ bervariasi dengan∆ = . ∗ ∆ , dan = .

Terlihat pada gambar, semakin kecil∆ dan semakin besar , selisih antara solusi numeris dan solusi eksaknya semakin kecil. Dengan kata lain, solusi

numerisnya mendekati solusi eksak. Berikut merupakan hasil galat simulasi

numeris untuk masalah pergerakan lapisan fluida menggunakan metode beda

(72)

Tabel 4.2. Galat hasil simulasi metode beda hingga

∆� Galat atau error Perbandingan Galat

2 0.0898

1 0.0964 1.07350

0.5 0.07888 0.81743

0.25 0.0547 0.69416

0.125 0.0334 0.61060

0.0625 0.0187 0.55988

Tabel 4.2 menunjukkan semakin kecil ∆ semakin kecil juga galat yang dihasilkan.Hal ini dikarenakan banyaknya langkah pada ruang di sumbu .

Simulasi pada metode beda hingga dalam skripsi ini berhenti pada saat ∆ =

. karena galat yang didapat dari metode ini sudah sangat kecil dan perbandingan galatnya adalah 0.55988 yang berarti kecepatan konvergensi

metode ini adalah 0.5 dan sudah cukup baik. Ilustrasi galat secara grafik

(73)

Gambar 4.2. Ilustrasi geometris galat metode beda hingga.

Gambar 4.2 menunjukkan bahwa semakin besar ∆ maka semakin besar juga galat yang akan muncul.Komputasi yang mudah dan tidak memerlukan

waktu lama merupakan kelebihan metode ini.Kekurangan metode ini adalah

(74)

BAB V

KESIMPULAN DAN SARAN

A. Kesimpulan

Persamaan diferensial mampu memodelkan pergerakan lapisan fluida yang

melibatkan minyak dan air. Dalam kasus ini, model pergerakan lapisan fluida

antara minyak dan air diselesaikan dengan menggunakan metode volume hingga

Lax-Friedrichs dan metode beda hingga. Hasil numeris yang diperoleh

menunjukkan kecepatan dua fluida yang berada dalam dua plat rata horisontal

dengan plat atas ditarik secara konstan 7 cm/s mendekati hasil analitisnya.

Lebih lanjut lagi, dari hasil simulasi dengan menggunakan program

MATLAB, solusi metode beda hingga lebih baik daripadametode volume hingga

Lax-Friedrichs, hal ini dilihat dari hasil galat yang diperoleh. Metode beda hingga

memiliki galat yang mendekati 0 lebih cepat daripada metode volume hingga

Lax-Friedrichs seiring dengan ∆ yang semakin kecil, dan pehitungan menggunakan metode beda hingga lebih cepat bila dibandingkan dengan metode volume hingga

Lax-Friedrichs.

B. Saran

Penulis sadar bahwa dalam penulisan skripsi ini masih banyak

kekurangan. Oleh sebab itu, penulis mengharapkan kelak ada yang melanjutkan

(75)

lapisan fluida dengan metode volume hingga Lax-Friedrichs dan metode beda

hingga. Penulis berharap di waktu yang akan datang, ada yang melanjutkan

(76)

DAFTAR PUSTAKA

Blanchard. P., Devaney, R.L. & Hall, G.R. (2012). Differential Equations,Fourth edition. Boston: Brooks/Cole.

Bleecker, D. & Csordas, G. (1992). Basic Partial Differential Equations. New York: Van Nostrand Reinhold.

Caldwell, J. & Ng Douglas, K. S. (2004). Mathematical Modelling. New York: Kluwer Academic Publisher.

Crowe, C. T., Elger, D. F., Williams, B. C. & Roberson, J. A. (2010). Engineering Fluid Mechanics, Ninth Edition. New Jersey: John Wiley & Sons (Asia) Pte Ltd.

Haberman, R.(2004). Applied Partial Differential Equations, Fourth edition. New Jersey: Pearson Prentice Hall.

LeVeque R.J. (2002). Finite Volume Methods for Hyperbolic Problems.

Cambridge: Cambridge University Press.

LeVeque R J 1992 Numerical Methods for Conservation Laws (Basel: Springer)

Leon, S. J. (2001). Aljabar Linear dan Aplikasinya. Jakarta: Erlangga.

Munir, R. (2008). Metode Numerik. Bandung: Informatika Bandung.

Purcell, E J. (1981). Kalkulus dan Geometri Analitis edisi ketiga. Jakarta: Erlangga.

Süli, E. & Mayers, D F. (2007). An Introduction to Numerical Analysis.

Cambridge: Cambridge University Press.

(77)

LAMPIRAN

Berikut ini merupakan code pada program MATLAB untuk solusi analitik,

solusi numeris metode volume hingga Lax-Friedrichs dan metode beda hingga

beserta code untuk menggambar galatnya.

A. Metode Volume Hngga Lax-Friedrichs

tic

va=zeros(1,nx); %matriks untuk v air

vm=zeros(1,nx); %matriks untuk v minyak

(78)

Fip1m=(-mum*vm(i+2)+mua*va(i))/(2*dx); %Untuk mencari nilai Va dan Vm

vaNew(i)=va(i) - dt/dx*(FUa-FLa); %Untuk mencari nilai Va dan Vm

(79)

Fim1m=-mum*(vm(i) - vm(i-2))/(2*dx); %Untuk mencari nilai Va dan Vm

vaNew(i)=va(i) - dt/dx*(FUa-FLa);

legend('Numerical solution','Exact solution')

pause(0.00000000001)

end

Error = sum(abs(V-v'))/nx toc

B. Gambar Galat Metode Volume Hingga Lax-Friedrichs

clc

clear all

x=[0.125,0.25,0.5,1];

Galat=[0.3754,0.6604,0.7197,0.7463];

plot(x,Galat,'r*-')

legend('Galat Kecepatan Fluida','Location','southeast')

xlabel('Steps in space domain')

ylabel('Error')

title('Galat Perhitungan Kecepatan Lapisan Fluida')

C. Metode Beda Hingga ∆ =

close all

clear clc

(80)

k=6;

n=length(x);%input('masukkan besar matriks: ');

%perhitungan Analitik

dimin=ones(nxA-1,1); %diagonal utama u/ 0:6

diminb=ones(nxA-2,1); %diagonal atas u/ 0:6

di=ones(1,1); %untuk 6

diplus=ones(nxM-1,1); %diagonal utama dan atas u/7:10

diplusb=ones(nxM-2,1); %diagonal bwh u/7:10

(81)

k4=-g*V0(n,1)-7*d;

legend('Numerical velocity at t=1', 'Numerical velocity at

t=5', 'Numerical velocity at t=50', 'Exact steady velocity',

'Location', 'southeast')

title('Kecepatan Fluida saat delta x = 2')

xlabel('v (velocity)')

dt=0.5*dx; %input('delta t: ')

k=6;

(82)

(83)

elseif t(i)==50

V50=V;

end end

plot(V05,x,'r+-', V5,x,'g.-',V50,x,'b--', v,x,'k-')

title('Kecepatan Fluida saat delta x = 1')

k=6;

(84)

d=mum/(dx^2);

e=(2*mum/(dx^2))+g;

f=((2*mua+2*mum)/(dx^2))+(2*g);

for j=0:dx:6

title('Kecepatan Fluida saat delta x = 0.5')

ylabel('x (position)')

(85)

F. Metode Beda Hingga ∆ = .

k=6;

for j=0:dx:6

(86)

q2=2*b*di;

(87)

nxM=length(xM);

(88)

A=diag(q,-1)+diag(w)+diag(r,1);

k=6;

(89)

g=1/dt;

(90)

ylabel('x (position)')

error=sum(abs(V-v))/n

I. Gambar Galat Metode Beda Hingga

clc

clear all

x=[0.0625,0.125,0.25,0.5,1,2];

Galat=[0.0187,0.0334,0.0547,0.0788,0.0964,0.0898];

plot(x,Galat,'r*-')

legend('Galat Kecepatan Fluida','Location','southeast')

xlabel('Steps in space domain')

ylabel('Error')