Aplikasi metode linear quadratic regulat

Abstrak—Ketepatan posisi dan orientasi satelit, atau pada umumnya dapat disebut dengan attitude satelit, sangat penting untuk mendukung tujuan utama satelit. Ketika satelit diluncurkan ke luar angkasa dengan trayektori orbit tertentu terhadap poros tetap, kalkulasi dan analisa orbital telah ditetapkan, akan tetapi gangguan-gangguan yang terjadi di mana-mana yang disebabkan oleh berbagai hal, seperti pergerakan angin, pengaruh gravitasi bumi, dan pengaruh pergerakan bumi pada porosnya akan mengganggu lintasan yang telah ditetapkan tersebut. Metode LQR digunakan karena dapat mengatasi gangguan-gangguan besar yang terjadi pada kestabilan orbit satelit dengan tanpa terjadi penurunan performansi kerja satelit. Selain itu LQR dapat langsung mengatasi gangguan yang telah terjadi sebelumnya dalam waktu yang lebih singkat, karena LQR memiliki bagian yang dapat memimimalisir jenis-jenis gangguan yang telah terjadi.

Pada tugas akhir ini dilakukan analisa kestabilan terhadap sistem dinamik dari kendali attitude pada rotor pesawat angkasa luar di sumbu tetap. Rotor sendiri berada di dalam pesawat angkasa luar atau satelit tersebut yang digunakan untuk mengendalikan gerakan pesawat agar selalu dalam posisi yang sesuai dengan tujuan yang diharapkan dan meminimalisir gangguan tersebut. Pada sistem dinamik kendali attitude rotor spacecraft dengan dilakukan pelinearan terhadap sistem tersebut. Kemudian dilakukan analisa pada metode LQR dan dibandingkan dengan sistem yang belum terkendali.

Kata Kunci—Matriks Simetri Definit Positif, Metode LQR, Pelinieran, Riccati Aljabar, Rotor Spacecraft.

I. PENDAHULUAN

etepatan posisi dan orientasi satelit, atau pada umumnya dapat disebut dengan attitude satelit, sangat penting untuk mendukung tujuan utama satelit, seperti dalam hal komunikasi antar daerah bahkan antar negara, dalam hal pengawasan suatu wilayah, pergerakan planet-planet dan matahari, serta masih banyak tujuan yang lainnya. Pemancaran dan penerimaan sinyal, pengawasan wilayah tertentu, hingga penelitianpenelitian angkasa luar, sangat tergantung kepada ketepatan attitude tersebut. Ketika satelit diluncurkan ke luar angkasa dengan trayektori orbit tertentu terhadap poros tetap, kalkulasi dan analisa orbital telah ditetapkan, akan tetapi gangguan-gangguan yang terjadi di mana-mana yang disebabkan oleh berbagai hal seperti pergerakan angin, pengaruh gravitasi bumi, dan pengaruh pergerakan bumi pada porosnya akan mengganggu lintasan yang telah ditetapkan tersebut. Dampaknya sangat luas, mulai dari hubungan antara satelit yang satu dengan satelit yang lain, sehingga satelit dapat melenceng dari lintasannya. Hal

tersebut dapat menyebabkan satelit hilang ke angkasa luar,

atau pun satelit menabrak bumi, apabila porosnya adalah bumi.

Permasalahan tersebut telah diteliti sejak peluncuran benda angkasa buatan pertama. Berbagai metode dan teknik telah diaplikasikan dalam berbagai kasus tersebut, dengan salah satsatunya adalah Linear Quadratik Regulator (LQR). [? ] Metode LQR digunakan karena dapat mengatasi gangguan-gangguan besar yang terjadi pada kestabilan orbit satelit dengan tanpa terjadi penurunan performansi kerja satelit. Selain itu LQR dapat langsung mengatasi gangguan yang telah terjadi sebelumnya dalam waktu yang lebih singkat, karena LQR memiliki bagian yang dapat meminimalisir jenis-jenis gangguan yang telah terjadi pada keadaan stabil.

Permasalahan yang akan dibahas pada tugas akhir ini adalah mengenai kapabilitas LQR dalam mengatasi gangguan yang terjadi pada satelit. Tugas akhir ini akan dikhususkan terhadap rotor spacecraft di sumbu tetap. Rotor sendiri berada di dalam pesawat angkasa luar atau satelit tersebut yang digunakan untuk mengendalikan gerakan pesawat agar selalu dalam posisi yang sesuai dengan tujuan yang diharapkan dan meminimalisir gangguan tersebut. Proses pengaturan attitude pada satelit, yang meliputi pengaturan kecepatan orbital guna menjaga kestabilan satelit pada orbit, dan pengaturan orientasi satelit guna menjaga kelancaran komunikasi antara satelit dengan bumi yang akan diteliti pada tugas akhir ini. Permasalahan dalam tugas akhir ini adalah bagaimana mendesain pengendali pada kendali attitude rotor spacecraft yang berada di sumbu tetap. Dalam penelitian tugas akhir yang diusulkan ini, permasalahan yang akan dibahas akan dibatasi ruang lingkup pembahasannyaantara lain:

a. Pembahasan akan dibatasi dengan gangguan torsi kecil..

b. Membahas perancangan sistem kendali optimal dengan menggunakan metode Linear Quadratic Regulator (LQR) pada rotor di sumbu tetap.

Tujuan dari penulisan tugas akhir ini adalah mendesain pengendali pada kendali attitude rotor spacecraft yang berada di sumbu tetap.

Manfaat dari penelitian ini adalah diperoleh suatu informasi bahwa pengendalian optimal dengan menggunakan metode LQR yang diperoleh dapat menjadi suatu solusi optimal dalam menentukan kebijakan untuk mengatasi permasalahan pada rotor dalam kendali attitude rotor spacecraft yang berada dalam sumbu tetap.

Aplikasi Metode LQR Pada Kendali Attitude Rotor

Spacecraft Yang Berada di Sumbu Tetap

Penulis Tony Yulianto, Erna Apriliani1)_{, Kamiran}2)

Jurusan Matematika, Fakultas MIPA, Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya Jl. Arief Rachman Hakim, Surabaya 60111

Email:april@matematika.its.ac.id, kamiran@matematika.its.ac.id

II. TINJAUANPUSTAKA A. Rotor yang Sumbunya tetap

Dalam tiga rotor, terdapat spinning di setiap sumbu utama spacecraft (1). Masing-masing momentum sudut relatif ke spacecraft dalam (

_h

_h

_h

Momentum sudut totalnya:

h

terdapat gangguan torsi: Nk Mj Li+ + =

τ

(3)

Sehingga dari (1) diperoleh persamaan kinetik rotasi:

,

dengan dot merepresentasikan waktu derivatif dan

×

mereprentasikan cross product.

Persamaan (3) dapat disubstitusikan ke dalam masing-masing sumbu, diperoleh:

Persamaan roll

N

dianggap kecil mendekati nol.

B. Matriks Definit Positif dan Semi Definit Positif

Operasi dalam LQR banyak dilakukan dengan matriks, khususnya yang berkaitan dengan pengertian matriks definit positif dan semi definit positif[2].

Suatu matriks

A

yang berukuran

n

×

n

dikatakan definit

positif jika untuk setiap vektor

x

≠

0

dengan

n

komponen

berlaku

_x

T

Ax

>

0

. Ciri-ciri dari matriks simetris definit

C. Teori Regulator Optimal

Linear Quadratic Control merupakan salah satu metode dalam perancangn sistem kontrol optimal. Plant diasumsikan bersifat sistem linier, dalam bentuk persamaan keadaan dan fungsi obyektif adalah fungsi kuadratik dari keadaan plant dan sinyal input kendali. Permasalahan dapat dirumuskan dan dipecahkan menggunakan fungsi alih.

Kelebihan penggunaan formula Linear Quadratic adalah pada kemudahan analisa dan implementasi dalam minimasi waktu dan lain sebagainya.

dt

F

= matriks simetris semi definit positif real (

F

≥

0

)

G

= matriks simetris definit positif real (

G

>

0

)

Permasalahannya adalah bagaimana meminimumkan suatu cost function J. Hal ini dikenal dengan permasalahan optimasi sistem dengan metode Linear Quadratic Regulator (LQR). Jika sistem tersebut skalar, maka cost function menjadi persamaan.

J merupakan representasi dari jumlah energi dan sinyal kendali.

D. Hubungan Metode LQR dan Persamaan Riccati

Untuk sistem linear, time-invariant, dapat diturunkan persamaan Riccati untuk mencari solusi optimal dari persamaan(10) diperoleh:

Dari persamaan (12) diperoleh: a. Kondisi Optimal:

b. Persamaan State:

c. Persamaan Costate:

Dengan menggunakan aturan diferensiasi matriks dan vektor, persamaan (14) dan (15) menjadi:

dengan u merupakan vektor kendali optimal.

Sepasang persamaan di_erensial (16) dan (17) di atas membentuk dua nilai syarat batas, karena kondisi pencampuran syarat batas tersebut, maka persamaan tersebut untuk diselesaikan secara numerik. Dengan mensubstitusikan persamaan kendali optimal ke dalam persamaan state didapat:

H disebut matriks Hamiltonian dan sangat berperan penting

dalam teori LQR. Dengan menggunakan substitusi � = Sx,

kemudian dilakukan diferensiasi pada kedua ruas persamaan (17) diperoleh:

Persamaan (19) harus dapat memenuhi untuk semua nilai x.

Syarat cukup untuk kendali optimal matriks S harus

memenuhi:

Persamaan diatas dikenal sebagai Persamaan Riccati (Riccati Equation). Persamaam Riccati merupakan persamaan di_erensial orde pertama yang bersifat non linear. Formulasi dan solusi masalah LQR pada waktu berhingga (finite), dengan nilai umpan balik keadaan.

Dengan

dengan syarat matriks A dan B, controllable dan observable. Sehingga blok diagram sistem kendali optimal dengan umpan balik keadaannya:

Dari gambar blok diagram (2) akan terjadi umpan balik dari input x(t) menuju ke matriks A dan feedback gain -K dan akan

berhenti ketika sistem telah mencapai titik kesetimbangan (konvergen ke suatu titik setimbang), seperti dalam hasil simulasi pada ketika waktu ≥100 s sampai dengan waktu ≥ 500 s.

III. METODOLOGIPENELITIAN

Metodologi penelitian yang digunakan untuk menyelesaikan permasalahan dalam tugas akhir ini adalah :

1.Studi literatur dan menelaah model

Studi Literatur mengenai model sistem dinamik kendali attitude rotor pada Spacecraft dan mengkaji model system dinamik dari karakteristik rotor yang berada pada sumbu tetap.

2.Pelinearan

Pelinearan sistem dinamik gerak pitch, yaw, dan roll padakendali attitude rotor spacecraft yang berada pada sumbu tetap, karena sistem dinamiknya nonlinear.

3. Menerapkan metode LQR ke dalam hasil pelinearan

System Penerapan metode LQR terhadap sistem dinamik yang telah dilinearkan, sehingga diperoleh penyelesaian yang optimum dan sesuai dengan tujuan yang diinginkan.

4. Menyelesaikan persamaan Riccati

Penyelesaian metode LQR sesuai dengan yang diharapkandengan menyelesaikan persamaan Riccati terlebih dahulu untuk mendapatkan parameter F dan G yang sesuai.

5. Simulasi sistem dinamik menggunakan GUI (Graphical User Interface) Matlab R2009a

Simulasi menggunakan GUI (Graphical User Interface) Matlab R2009a yang menggambarkan grafik kestabilandari sistem.

6. Membuat laporan tugas akhir

Penarikan kesimpulan diperoleh berdasarkan hasil pengendalian sistem secara analitik dan dari hasil simulasi menggunakan GUI (Graphical User Interface) Matlab

R2009a mengenai metode LQR terhadap sistem dinamik yang diberikan.

IV. ANALISISDANPEMBAHASAN

Pada bab ini dijelaskan mengenai analisis permasalahan beserta pembahasannya dalam menyelesaikan tugas akhir ini. Dalam bab ini dibahas mengenai langkah-langkah untuk menentukan kestabilan dan keterkontrolan dari sistem. Untuk sistem tak linear dengan L; M; dan N dianggap kecil mendekati nol, sehingga dalam persamaan (6), (7), dan (8) diperoleh:

a. persamaan roll:

b. persamaan pitch:

c. persamaan yaw:

dengan

Sistem dinamik dari persamaan (24), (25) da n (26) nonlinear, maka perlu dilakukan pelinearan di sekitar titik setimbang. Sistem titik tetap/setimbang ketika:

Diperoleh titik setimbang ketika Jx; Jy; Jz , 0 dan

Dengan menggunakan deret Taylor untuk persamaan (24), (25), dan (26) diperoleh:

dengan adalah vektor kendali torsi dari masing-masing rotor. Dari persamaan (29) untuk turunan kedua, ketiga, dan seterusnya kecil mendekati nol, maka diperoleh matriks Jacobian

Dengan dianalisa kestabilan menggunakan nilai eigen, maka diperoleh persamaan karakterisrtik dari nilai eigen yang kemudian dianalisa menggunakan metode Routh Hurwitz, sehingga diperoleh sistem yang tidak stabil. Kemudian dianalisa keterkontrolan dari sistem dinamik tersebut dan diperoleh system terkontrol sehingga sistem dapat distabilkan.

A. Penerapan Metode LQR

Dari penentuan kestabilan sistem, ternyata diperoleh sistem dinamik terkontrol, sehingga dapat distabilkan, maka langkah selanjutnya akan diterapkan metode LQR sebagai pengendali dari sistem agar meminimalisasi gangguan dan membuat sistem menjadi stabil asimtotik dan konvergen menuju suatu titik setimbangnya.

Hasil pelinieran dalam persamaan 4.8 yang system dinamiknya:

Dengan metode LQR maka terlebih dahulu dicari matriks F

dan G yang semi definit positif dan definit positif dengan

syarat perlu dan cukup. Karena A matriks berukuran 3x3

diperoleh nilai S dan K sehingga diperoleh pengendali u yang

sesuai. Kemudian masuk dalam state space. B. Interpretasi Hasil Simulasi

Ketika dianalisa menggunakan GUI (Graphical User Interface) Matlab R2009a dengan menggunakan 10 k ali simulasi di tiap-tiap kondisi, diperoleh hasil bahwa sistem dinamik yang belum dikontrol selalu menunjuk ke arah sumbu yang negatif, meski stabil pergerakannya, tetapi ada range yang menyebabkan kecepatan sudutnya berubah ke sumbu negatif, sehingga range tersebut yang menyebabkan tidak stabilnya pergerakan sistem. Sedangkan di sumbu yang lain, bisa dilihat pergerakan awal yang tidak stabil, kemudian dikontrol yang akhirnya stabil menuju ke suatu titik. Salah satu hasil simulasi LQR pada rotor dengan momen inersia di masing-masing sudut diberikan nilai awal yaitu 50 kg:m2, dan momentum sudut di masing-masing sudut diberikan nilai awal 100 kg: m2:rad=s dengan nilai matriks sehingga untuk simulasi yang belum dikontrol adalah sebagai berikut:

Untuk simulasi tanpa pengontrol dalam Gambar 4.1 terlihat sistem yang stabil dan terjadi osilasi ketika berada dalam rentang > 40s menuju tak hingga.

Untuk simulasi dengan pengontrol di sumbu masing- masing, terutama dalam sumbu x pada Gambar 4.2, semula terdapat gangguan yang besar dan kemudian distabilkan menggunakan LQR. Terlihat dalam gambar tersebut system

yang stabil asimtotik dan konvergen menuju suatu titik setim-bangnya.

Untuk simulasi dengan pengontrol dalam 2 sumbu, terutama dalam sumbu x da n y pada Gambar 4.3, semula terdapat

gangguan dari "From: In(1)" dan "From: In(2)" yang kemudian distabilkan menggunakan LQR. Terlihat dalam gambar tersebut sistem yang stabil asimtotik dan konvergen menuju suatu titik setimbangnya.

Untuk simulasi dengan pengontrol di ketiga sumbu, yaitu dalam sumbu x; y dan z yang terlihat dalam Gambar 4.4,

semula terdapat gangguan dari "From: In(1)", "From: In(2)" dan "From: In(3)" yang kemudian distabilkan menggunakan LQR. Terlihat dari gambar tersebut sistem yang stabil asimtotik dan konvergen menuju suatu titik setimbangnya.

V. KESIMPULAN/RINGKASAN

Kesimpulan dari hasil analisa simulasi LQR pada rotor spacecraft di sumbu tetap:

1) Sistem dinamik yang belum dikendalikan menyebabkan sistem yang tidak stabil, karena ada nilai eigen bagian realnya yang bernilai positif, sedangkan dari hasil simulasi diperoleh sistem yang stabil dan berosilasi menuju tak hingga ketika waktunya > 40s.

2) Sistem dinamik yang telah dikendalikan menggunakan

Gambar. 1. Simulasi Tanpa Pengontrol

Gambar. 2. Dengan Pengontrol di sumbu x

LQR menunjukkan sistem yang stabil asimtotik dan konvergen menuju suatu titik setimbangnya.

3) Metode LQR dapat mempercepat kestabilan suatu sistem dinamik dan meminimalisir gangguan yang terjadi. Untuk pengembangan penelitian lebih lanjut disarankan: 1) Dikembangkan lagi metode LQR pada kendali attitude

rotor spacecraft pada sudut-sudut tertentu.

2) Dibandingkan antar metode LQR yang digunakan dengan menggunakan metode yang lain.

3) Dianalisa pengaruh kestabilan sistem terhadap pemberian nilai pada matriks F dan G yang berbeda-beda secara lebih mendetail.

UCAPANTERIMAKASIH

Penulis “Tony Yulianto” mengucapkan terima kasih kepada Bapak Kamiran dan Ibu Erna Apriliani selaku dosen pembimbing serta Ibu Laksmi Prita selaku dosen wali. Tak lupa Penulis mengucapkan terima kasih banyak kepada dosen-dosen dan seluruh keluarga besar jurusan Matematika Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya sehingga dapat menyelesaikan Tugas Akhir ini dengan baik.

DAFTARPUSTAKA

[1] Q. Alfayuritresna, Perancangan dan Simulasi Sliding Mode Control Pada Satelit Orbit Rendah. Jurusan Teknik Elektro FTI ITS Surabaya

(2009) .

[2] I. Anggraeni, Pengendalian Optimal Pada Sistem Steam Drum Boiler Menggunakan Metode Linear Quadratic Regulator (LQR). Matematika

dan Komputer (2010).

[3] N. Anggraini, Desain Kontroller Menguunakan Metode Linear Quadratic Regulator (LQR) Untuk Pengontrolan Suhu Uap Pada Solar Boiler Once Trough Mode. Jurusan Teknik Elektro FT Universitas

Brawijaya, Malang (2005) .

[4] U. Badri, A. Indra Gunawan, Kemalasari, dan Alrijadjis, Kontrol Optimal Pada Motor DC Menggunakan Metode Linear Quadratic Regulator (LQR). Jurusan Teknik Elektro PENS ITS Surabaya (2008).

[5] N. Finizio dan G. Landas, Ordinary Differential Equation With Modern Application. Applied Mathematical Sciences. Wadsworth Publishing

Company, California (1998).

[6] J. D. Ojong, LQR (Linear Quadratic Regulator). Available: http:// akirajunto.wordpress.com/2010//07/28/lqr-linear-quadratic-regulator / (2012).

[7] A. Tewari, Automatic Control of Atmospheric and Space flight Vehicle.

New York: The Math Work, Inc. (2010).

[8] P.H. Utomo, Pengendalian Sistem Pendulum Terbalik Dengan Umpan Balik State dan Output. Matematika FMIPA IPB Bogor (2009).

[9] Widowati, Eksistensi Pengendali Suboptimal

H

ℵ. Matematika dan