BAB VIII
KONSEP DASAR PROBABILITAS
1.1. Pendahuluan
Dalam pertemuan ini Anda akan mempelajari beberapa pandangan tentang permutasi dan kombinasi, fungsi dan metode perhitungan probabilitas, dan menghitung probabilitas. Pada akhir perkuliahan ini Anda diharapkan dapat; (1) Memahami permutasi dan kombinasi, (2) Memahami fungsi dan metode perhitungan probabilitas, (3) Menjelaskan arti dari kejadian/peristiwa dan notasi himpunan, (4) Menghitung probabilitas. Dari beberapa pandangan ini akan membantu anda dalam mengikuti perkuliahan berikutnya tentang distribus probabilitas.
1.2. Penyajian
Sebelum mempelajari konsep dasar probabilitas, kita pelajari dulu analisis kombinatorial yang akan sangat membantu dan banyak digunakan dalam konsep dasar probabilitas, yaitu analisis bilangan faktorial, permutasi, dan kombinasi.
1. Bilangan Faktorial
Bila n bilangan bulat positif, maka bilangan faktorial ditulis dengan n! dan didefinisikan sebagai: Rumus 9.1 1 ! 1 1 ! 0 321 )... 2 )( 1 ( ! dan n n n n Contoh 9.1 3! = 3.(3-1)(3-2) = 3.2.1 = 6 5! = 5.(5-1)(5-2)(5-3)(5-4) = 5.4.3.2.1 = 120 6! = 6.(6-1)! = 6.120 = 720 Contoh 9.2
Pembagian bilangan faktorial dengan bilangan faktorial dilakukan dengan cara menyederhanakan pembilang dan penyebut, yaitu:
1. 7.6 42 1 . 2 . 3 . 4 . 5 1 . 2 . 3 . 4 . 5 . 6 . 7 ! 5 ! 7 2. 17.16 272 ! 15 ! 15 . 16 . 17 ! 15 ! 17
Terlihat bahwa semakin besar bilangan n, maka bilangan faktorial n! membesar dengan cepat.
2. Permutasi
Pandanglah himpunan {a,b,c} yang mempunyai tiga anggota, yaitu a,b,dan c! Oleh karena banyaknya anggota himpunan tersebut n=3, maka kita dapat mengambil seluruhnya atau sebagian dari anggota himpunan tersebut. Katakanlah kita ambil seluruhnya r = 3, kita ambil dua r = 2, kita ambil satu r = 1, atau tidak diambil r = 0. Dari anggota-anggota yang diambil itu kemudian kita buat suatu susunan atau rangkaian dengan memberi arti pada urutan letak anggota pada susunan tersebut. Dengan demikian, kita peroleh jenis-jenis susunan yang ditentukan oleh urutan letak anggota himpunan tersebut pada setiap susunan.
Bila diambil 1 anggota, r = 1, tentu susunan itu ada tiga, yaitu:
a b c
Bila diambil 2 anggota, r = 2, kita peroleh susunan yang terdiri atas dua anggota, yaitu:
ab ac bc
ba ca cb
Kita peroleh sebanyak 6 susunan.
Jenis susunan ab berbeda dengan jenis susunan ba, abba, sebab letak a pada susunan pertama berbeda artinya dengan letak a pada susunan kedua, yaitu a terletak pada urutan pertama dari susun ab dan a terletak pada urutan kedua dari susunan ba. Begitu juga ac berbeda dengan susunan ca, dan susunan bc berbeda dengan susunan cb. Dengan demikian, keenam susunan itu berbeda satu sama lain.
Bila diambil 3 anggota, r = 3, kita peroleh susunan yang terdiri atas 3 anggota, yaitu:
abc bac cab
acb bca cba
Kita peroleh sebanyak 6 susunan.
Susunan-susunan yang dibentuk dari anggota-anggota suatu himpunan dengan mengambil seluruh atau sebagian anggota himpunan dan memberi arti pada urutan anggota dari masing-masing susunan tersebut disebut permutasi yang ditulis
P. Bila himpunan itu terdiri atas n anggota dan diambil sebanyak r, tentu saja r < n,
maka banyaknya susunan yang dapat dibuat dengan permutasi tersebut adalah: Rumus 9.2 )! ( ! r n n Pr n Contoh 9.3 1. Bila n =4 dan r = 2 Maka 12 1 . 2 1 . 2 . 3 . 4 ! 2 ! 4 )! 2 4 ( ! 4 2 4P 2. Bila n =5 dan r = 3 Maka 60 1 . 2 1 . 2 . 3 . 4 . 5 ! 2 ! 5 )! 3 5 ( ! 5 3 5P 3. Bila n = 7 dan r = 7 Maka 5.040 1 ! 7 ! 0 ! 7 )! 7 7 ( ! 7 7 7P Contoh 9.4
Perhatikan himpunan {a,b,c}, di mana n = 3.
3 ! 2 ! 3 )! 1 3 ( ! 3 1 3P susunan
Tiga susunan itu adalah a b c (lihat uraian di atas).
2. Bila diambil r = 2, maka banyaknya susunan yang diperoleh adalah
6 1 2 . 3 ! 1 ! 3 )! 2 3 ( ! 3 2 3P susunan
(Keenam jenis susunan dapat dilihat pada uraian di atas).
3. Bila diambil r = 3, maka banyaknya susunan yang diperoleh adalah
6 1 1 . 2 . 3 ! 0 ! 3 )! 3 3 ( ! 3 3 3P susunan
Keenam jenis susunan dapat dilihat pada uraian di atas. Contoh 9.5
Bila suatu himpunan terdiri atas n anggota dan diambil sebanyak n, semuanya dipermutasikan, maka banyaknya susunan yang diperoleh adalah;
! ! 0 ! )! ( ! n n n n n Pn n
3. Beberapa Jenis Permutasi
a. Permutasi Melingkar (Keliling)
Permutasi melingkar adalah suatu permutasi yang dibuat dengan menyusun anggota-anggota suatu himpunan secara melingkar. Banyaknya permutasi dari n
anggota yang disusun secara melingkar sebagai berikut. Rumus 9.3 Banyaknya permutasi = (n – 1)!
b. Permutasi dari Sebagian Anggota yang Sama Jenisnya
Bila kita mempunyai himpunan yang terdiri atas n anggota, maka ada kemungkinan sebagian dari anggotanya mempunyai jenis yang sama. Katakanlah jenis 1 terdiri atas n, yang sama, jenis 2 terdiri atas n2 yang sama, jenis 3 terdiri
atas n3 yang sama, ..., jenis k terdiri atas nk yang sama, maka banyaknya permutasi yang dapat dibuat adalah:
Rumus 9.4 ! !... !. !. ! ,..., , , 2 3 1 2 3 1 n n n n nk n n n n n n di mana n1+ n2+ n3 + ... +nk = n Contoh 9.6
Berapa banyak susunan yang dapat dibuat dari kalimat "AKU SUKA KAMU"?
Jawab:
Semuanya ada n = 11 huruf, yang terdiri atas: jenis 1, huruf A, yang banyaknya adalah n1= 3 jenis 2, huruf K, yang banyaknya adalah n2= 3 jenis 3, huruf U, yang banyaknya adalah n3= 3 jenis 4, huruf S, yang banyaknya adalah n4= 1 jenis 5, huruf M, yang banyaknya adalah n5= 1 Jadi, banyaknya permutasi yang dapat dibuat adalah:
800 . 184 2 . 3 . 2 . 3 4 . 5 . 6 . 7 . 8 . 9 . 10 . 11 1 . 1 . 1 . 2 . 3 . 1 . 2 . 3 . 1 . 2 . 3 . 1 . 2 . 3 . 4 . 5 . 6 . 7 . 8 . 9 . 10 ! 1 ! 1 ! 3 ! 3 ! 3 ! 11 1 , 1 , 3 , 3 , 3 11 4. Kombinasi
Pandanglah kembali himpunan {a,b,c}!. Dengan permutasi kita peroleh susunan yang terdiri atas dua anggota, yaitu:
ab ba ac ca bc cb
Dalam permutasi urutan anggota pada susunan itu mempunyai arti, sehingga: ab ba, ac ca, dan be cb
Bila sekarang urutan anggota pada susunan itu tidak mempunyai arti atau
tidak diperhatikan, maka susunannya:
ab = ba, ac = ca, dan bc = cb
Dengan demikian, banyaknya susunan yang diperoleh menjadi 3. Dengan cara ini kita peroleh definisi kombinasi, yaitu sebagai berikut.
Rumus 9.5 )! ( ! ! r n r n r n Cr n Contoh 9.7 1. 15 ! 4 . 1 . 2 ! 4 . 5 . 6 ! 4 !. 2 ! 6 )! 2 6 ( ! 2 ! 6 2 6 2 6 C 2. 15 1 . 2 !. 4 ! 4 . 5 . 6 ! 2 !. 4 ! 6 )! 4 6 ( ! 4 ! 6 4 6 4 6 C 3. 120 ! 7 . 1 . 2 . 3 ! 7 . 8 . 9 . 10 ! 7 !. 3 ! 10 )! 3 10 ( ! 3 ! 10 3 10 3 10 C Contoh 9.8
Bila dari (a, b, c, d) diambil 3 obyek, maka banyaknya permutasi dan kombinasi yang diperoleh ialah: Kombinas i Permutasi abc abd acd bcd abc abd acd bcd acb adb adc bdc bac bad cad cbd bca bda cda cdb cab dab dac dbc cba dba dca dcb 4 4x6 = 24 Banyaknya: Permutasi 4.3.2.1 24 ! 1 ! 4 )! 3 4 ( ! 4 3 4P
Kombinasi 4 ! 1 !. 3 ! 3 . 4 )! 3 4 ( ! 3 ! 4 3 4 3 4 C Contoh 9.9
Ada 4 orang bernama A, B, C, dan D. Bila dipilih 2 orang, ada berapa banyak pilihan yang diperoleh? jawab: Banyaknya pilihan = 6 ! 2 !. 2 ! 4 )! 2 4 ( ! 2 ! 4 2 4 2 4
C , yaitu AB, AC, AD, BC, BD,
CD.
Contoh 9.10
Bila dalam suatu kelompok terdapat 4 kimiawan dan 3 fisikawan, buatlah panitia 3 orang yang terdiri atas 2 kimiawan dan 1 orang fisikawan!
jawab:
Misalkan, kimiawan = {K1, K2, K3, K4}, fisikawan = {F1, F2, F3}
2 kimiawan dipilih dari 4 kimiawan = 6
! 2 !. 2 ! 4 )! 2 4 ( ! 2 ! 4 2 4 2 4 C
1 fisikawan dipilih dari 3 fisikawan = 3 ! 2 !. 1 ! 3 )! 1 3 ( ! 1 ! 3 1 3 1 3 C
Banyaknya seluruh cara untuk membuat panitia tersebut adalah 6 x 3 = 18 cara atau 18 jenis panitia.
Konsep Dasar Probabilitas
1. Pengantar Menuju Pemahaman Konsep Probabilitas
Banyak kejadian dalam kehidupan sehari-hari yang sulit diketahui dengan pasti, apalagi kejadian di masa yang akan datang, misalnya sebagai berikut.
1. Apakah nanti malam akan datang hujan?
3. Apakah tahun depan harga minyak mentah di pasaran dunia akan naik?
Begitu juga dalam percobaan statistika, kita tidak bisa mengetahui dengan pasti hasil-hasil yang akan muncul, misalnya:
1. pada pelemparan sebuah uang logam, kita tidak tahu dengan pasti hasilnya, apakah yang akan muncul sisi muka atau sisi belakang dari uang logam itu;
2. pada pelemparan sebuah dadu, kita tidak tahu dengan pasti hasilnya, apakah yang akan muncul muka dadu 1, 2, 3, 4, 5 atau 6; dan
3. pada penarikan sebuah kartu bridge dalam kotak yang berisi 52 kartu, kita juga tidak tahu dengan pasti, apakah yang akan muncul kartu as, king, atau yang lain?
Derajat/tingkat kepastian atau keyakinan dari munculnya hasil percobaan statistik disebut probabilitas atau peluang. Suatu probabilitas dilambangkan dengan P.
2. Perumusan Probabilitas
Perumusan konsep dasar probabilitas dilakukan dengan dua cara, yaitu dengan
cara klasik dan cara frekuensi relatif. Bila kejadian-kejadian pada contoh di atas kita
lambangkan dengan huruf besar E, maka kita dapat merumuskan probabilitas kejadian E, yaitu P(E).
a. Perumusan Klasik
Bila kejadian E terjadi dalam m cara dari seluruh n cara yang mungkin terjadi dan masing-masing n cara itu mempunyai kesempatan atau kemungkinan yang sama untuk muncul, maka probabilitas kejadian E yang ditulis P(E) dirumuskan sebagai berikut. Rumus 9.6 n m E P( ) Contoh 9.11
Sebuah uang logam dilemparkan. Misalkan sisi pertama kita sebut muka = m, dan sisi kedua kita sebut belakang = b. Maka ada dua kejadian yang mungkin, yaitu kejadian
munculnya muka m kita sebut E = {m) atau kejadian munculnya belakang b kita sebut E = {b}. Oleh karena sisi uang logam terdiri atas dua sisi (n = 2) dan kedua sisi itu mempunyai kesempatan yang sama untuk muncul, maka probabilitas munculnya kejadian E = {m} atau E= {b} adalah:
2 1 }] [{ ) ( n m m P E P atau 2 1 }] [{ ) ( n b b P E P
Lebih singkat ditulis P(E) = P(m) = 2 1 dan P(E) = P(b) = 2 1 Contoh 9.12
Sebuah dadu dilemparkan. Muka dadu ada 6, yaitu: 1,2,3,4,5,6. Semua muka dadu mempunyai kesempatan yang sama untuk muncul. Yang akan muncul salah satu dari muka-muka dadu itu (m = 1) yaitu muka 1, muka 2, muka 3, muka 4, muka 5, atau muka 6. Kita misalkan:
E = {1} bila muncul muka 1 E = {2} bila muncul muka 2
E = {3} bila muncul muka 3, dan seterusnya. Maka probabilitas kejadian E adalah:
P(E) = P(1) = P(2) = P(3) = P(4) = P(5) = P(6) = 6 1 n m Contoh 9.13
Hitunglah probabilitas memperoleh kartu hati bila sebuah kartu diambil secara acak dari seperangkat kartu bridge yang lengkap.
Jawab:
Jumlah seluruh kartu; n = 52 Jumlah kartu hati; m = 13
Misalkan E = kejadian munculnya kartu hati. Semua kartu h mempunyai kemungkinan yang sama untuk muncul, maka:
52 13 ) ( n m E P
b. Perumusan dengan Frekuensi Relatif
Jika kejadian E terjadi banyak f kali dari keseluruhan pengamatan sebanyak n, di mana n meendekati tak berhingga (n maka probabilitas kejadian E -rumuskan sebagai: Rumus 9.7 n f Lim E P n ) ( Contoh 9.14
Pada suatu percobaan statistik, yaitu pelemparan sebuah dadu y diulang sebanyak n = 1.000 kali, frekuensi munculnya muka dadu adalah seperti pada Tabel 9.1 berikut ini.
Tabel 9.1
Muka dadu (X) 1 2 3 4 5 6
Frekuensi (f) 164 165 169 169 166 167
Bila E menyatakan kejadian munculnya muka-muka dadu tersebut, maka E = (1), (2), (3), (4), (5), atau (6), sehingga probabilitas kejadian E untuk masing-masing kemungkinan munculnya muka dadu tersebut adalah:
, 1000 169 ) 3 ( ) ( , 1000 165 ) 2 ( ) ( , 1000 164 ) 1 ( ) (E P P E P P E P P 1000 167 ) 6 ( ) ( , 1000 166 ) 5 ( ) ( , 1000 169 ) 4 ( ) (E P P E P P E P P
Sifat-Sifat Probabilitas Kejadian A
Dengan pengetahuan kejadian A, ruang sampel S, dan peluang kejadian A pada S, yaitu n m S n A n A P ) ( ) ( )
( , maka dapat diselidiki sifat- Sifat dari P(A). Sifat 1 0 < P(A) < 1
anggota A selalu lebih sedikit dari banyaknya anggota S, yaitu n(A) n(S), sehingga 0 < ) ( ) ( S n A n < 1 atau 0 < P(A) < 1, ……… (1)
Sifat 2 Dalam hal A = , himpunan kosong, artinya A tidak terjadi pada S, maka n(A) = 0, sehingga 0 0 ) ( ) ( ) ( n S n A n A P
Sifat 3 Dalam hal A = S, maksimum banyaknya anggota A sama dengan banyaknya anggota S, maka n(A) = n(S) = n, sehingga
1 ) ( ) ( ) ( n n S n A n A P
Bila hasil (1), (2), dan (3) digabung maka diperoleh sifat: 0 < P(A) < 1
1.3 Penutup
Berdasarkan uraian di atas dapat diambil suatu kesimpulan bahwa untuk mengetahui probabilitas suatu peristiwa maka perlu dipahami dengan baik tentang analisis bilangan faktorial, permutasi, dan kombinasi . Dengan mempelajari konsep probabilitas maka kita dengan mudah mengetahui ataupun menghitung peluang dari suatu kejadian Soal Latihan 1. Hitunglah a. 10P3 b. 20P15 C. 30P1 2. Hitunglah a. 3 10 b. 15 20 C. 5 25
3. Untuk nilai n berapa berlaku persamaan-persamaan berkikut; a. n1P3nP4 b. 2 7 3 1 3 n n
4. Ada beberapa banyak cara 6 orang dapat didudukan pada sebuah sofa jika yang tersedia hanya 4 tempat duduk?
Ada berapa banyak cara 7 buku dapat disusun pada rak jika:
a. sembarang susunan dimungkinkan;
b. 3 buku tertentu harus selalu berdiri berdampingan;
c. 2 buku tertentu harus menempati Ujung-Ujung?
5. Empat jenis buku matematika, 6 buku fisika, dan 2 buku kimia harus disusun di rak buku. Ada berapa banyak penyusunan yang berbeda-beda yang mungkin terjadi jika:
a. buku-buku pada tiap jenis harus semuanya berdiri berkumpul;
b. hanya buku matematika yang berdiri berkumpul?
6. Ada berapa banyak cara untuk 3 pria, 5 wanita, 4 pemuda, dan 4 gadis dapat dipilih dari 7 pria, 9 wanita, 5 pemuda, dan 5 gadis jika:
a. semua orang bebas dipilih pada masing-masing kelompok;
b. seorang pria dan wanita tertentu harus terpilih;
c. seorang pria, 1 orang wanita, 1 orang pemuda, dan 1 orang gadis tidak boleh dipilih?
7. Ada suatu kelompok yang terdiri atas 12 orang. Ada berapa banyak cara untuk membagi kelompok orang itu:
a. bila kelompok itu dibagi menjadi dua kelompok yang terdiri atas 8 orang dan 4 orang;
b. bila kelompok itu dibagi menjadi tiga kelompok yang terdiri atas 5, 4, dan 2 orang?
8. Perusahaan Garuda mempunyai suatu jenis kendaraan yang berisi 6 tempat duduk (3 menghadap ke muka dan 3 menghadap ke belakang).
a. Dengan berapa cara 6 karyawan yang dijemput dapat menempati tempat duduk yang tersedia?
b. Bila ada 2 karyawan yang tidak mau duduk menghadap ke belakang, ada berapa cara 6 karyawan itu menempati
