LAPORAN PRAKTIKUM METODE
KOMPUTASI MATEMATIKA
(Rangkuman Kuliah 1 s.d. 4)
Syarif Abdullah (G551150381)
∗†Matematika Terapan Departemen Matematika FMIPA IPB email: [email protected]
3 Desember 2015
Pada perkuliahan metode komputasi matematika pertemua pertama sampai keempat adalah sebagai berikut:
1. Pertemuan Pertama
Syarif abdullah’s blog merupakan blog saya yang pertama yang pernah saya buat. Blog ini merupakan hasil kerjasama antara pihak wordpress.com dan pihak Institut Pertanian Bogor . Sebelumnya saya belum pernah membuatnya sama sekali. Namun kata teman saya Siti Na’imah yang dari kata guru ngajinya berkata, “kalau mau bisa, ya dipaksa, kalau mau pinter ya dipaksa”. Terma-suk membuat blog ini pun merupakan paksaan bagi saya, dan akhirnya sedikit demi sedikit mulai bisa, walaupun harus perlu perbaikan. Motto dalam blog ini adalah “Semangat dan Tetap Tersenyum”, karena dimulai dari pengalaman hidup sehari-hari yang bangkit dari keterpurukan hingga menjadi lebih baik dan bisa sedikit merasakan nikmatnya bersabar dan bersyukur apapun yang terjadi. Dalam pembuatan blog ini penulis mencoba engotak-atik beberapa menu dalam pembuatan blog, yaitu pada bagian dasbor, tema, widget, menu dan lain-lain. Pada awal pertemuan penulis mencoba uploading beberapa ar-tikel. Pada pertemuan pertama penulis diminta untuk mengupload beberapa artikel awal misalnya tentang tema religi, teknologi, nasional dan internasional. Pertemuan pertama penulis juga diminta untuk menceritakan tentang per-jalanan penulis hingga masuk sebagai mahasiswa IPB (Institut Pertanian Bo-gor). Alasan saya mengikuti program magister matematika terapan IPB adalah karena atas masukan dan arahan dari beberapa dosen dan dosen pembimbing akademis sehingga saya semakin mantap untuk terus meneruskan pendidikan saya untuk melanjutkan ke jenjang Magister di IPB. Sebelum ijazah saya keluar,
∗http ://syarif abdullah.student.ipb.ac.id/ †File dibuat dengan LYX Program
saya mulai menyicil untuk mengikuti beberapa test yaitu test TPA dan Toefl. Setelah mendapatkan ijazah dan transkip, saya mendaftar di IPB pada gelom-bang 3. Setelah menunggu cukup lama dan akhirnya kabar gembira itupun datang. Melalui info dari website IPB saya telah diterima di IPB walau den-gan posisi sebagai mahasiswa percobaan. Walau begitu saya tidak putus asa dan berkecil hati. Dengan penuh keyakinan dimulailah perjalanan seorang diri menuju Bogor dengan menaiki Bus Malam Lorena dari Gresik hari minggu tang-gal 23 Agustus 2015 pukul 17.00 WIB hingga sampailah di Barangansiang Bogor senin tanggal 24 Agustus 2015 pukul 09.30 WIB. Untuk sampai di kampus IPB Darmaga, ternyata saya harus oper angkutan kota 03 turun Ladon lalu oper lagi dengan angkot jurusan kampus dalam dan turun di Jl. Berlin hingga akhirnya saya sampai pukul 11.00 WIB. Merupakan suatu perjalanan 18 jam yang sangat melelahkan, terlebih lagi belum mandi dan makan. Rasa lapar dan lelah harus saya tahan, karena saya harus cepat-cepat mencari gedung CCR, tempat untuk verifikasi. Saya tanya kesana kemari dan akhirnya saya temukan, namun saya harus menunggu hingga pukul 13.00 WIB untuk melsayakan verifikasi. Dari pukul 13.00 s.d. 16.00 WIB akhirnya selesailah saya verifikasi. Alhamdulillah sekarang saya sudah mulai untuk studi S2 jurusan Matematika Terapan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengatahuan Alam di Institut Pertanian Bogor. Hara-pan saya dari mengikuti Pendidikan S2 di Program Pascasarjana IPB adalah dapat terus belajar dan meningkatkan kemampuan saya dalam bidang matem-atika sehingga saya dapat mengamalkan ilmu saya pada generasi penerus sebagai dosen, peneliti, penganalisis dan aktor dalam terapan dan aplikasi matematika. Harapan lain yaitu saya dapat menyelesaikan program pendidikan pascasarjana matematika saya dengan tepat waktu. Rencana pekerjaan dan profesi saya setelah menyelesaikan Pendidikan S2 di Program Pascasarjana IPB adalah se-bagai dosen di Universitas PGRI Ronggolawe (UNIROW) Tuban, karena di sana masih tersedia banyak tempat kosong untuk menjadi dosen. Setelah S2, saya ingin melanjutkan ke jenjang S3 melalui beasiswa di luar negeri yang mana memiliki jurusan matematika yang bagus seperti di University of Cambridge di Inggris, Massachusetts Institute of Technology (MIT) di Amerika Serikat, Har-vard University di AS, University of California Berkeley di AS, atau di University of Oxford di Inggris. Selanjutnya saya ingin menjadi Dekan dan menjadi Pem-bantu Rektor Satu (PR-1) yang membawahi bidang Akademik. Semoga dalam perjalanan studiku ini diberikan kelancaran, barokah, nikmat dan tetap men-jaga amanah selalu. Dan juga semoga saya mendapatkan ilmu yang bermanfaat, dapat menyelesaikan S2 selama kurang dari atau tepat 2 tahun, dapat melan-jutkan lagi ke jenjang S3, selamat dunia dan akhirat, ingat mati, serta selalu dalam lindungan-Nya. Amin. . . Amin. . . Amin.
Syarif abdullah’s blog pula terdapat beberapa menu diantaranya : Home, Profil, Pendidikan, Karya, Catatan Kuliah, Info Beasiswa, Download dan lain-lain. Semoga apa yang ada dalam blog ini dapat bermanfaat bagi orang lain dan khususnya bagi saya sendiri. Amin. Tidak lupa apabila terdapat kesalahan dalam blog ini saya minta maaf yang sebesarnya dan mohon memberikan keritik, saran dan lain-lain kepada saya.
2. Pertemuan Kedua
Pengenalan Scilab, Definisi Variable dan Operasi Scilab misalnya membuka file (open file), menyimpan file (save environtment) dalam bentuk sav atau sod. Pengenalan menu Tool Bar pada Scilab, Pengenalan File Browser, Scilab Console, Variable Browser, Command History, Lembar Scinote dan Menu Bantuan (Help).
Pertemuan kedua juga membahas tentang operasi-operasi sederhana pada Scilab, misalkan operasi penjumlahan(+), pengurangan(-), perkalian(*), pem-bagian(/), pangkat(ˆ), akar(sqrt) pada bilangan dan beberapa fungsi transenden (sinus, cosinus, tangen, ln, log, exp). dikenalkan pula perintah clear, clc, exec.
Pertemuan kedua juga membahas tentang Predifine Variabel seperti arti dari %e (Euler Number), %eps (epsilon), %f (Boolean variable for false), %i (imaginery unit), %inf (infinity), %nan (not-a-number), %pi (ratio of circle’s circumference to its diameter), %s (A variable used to define polynomials, %t or %T (Boolean variable for true), %z (A variable used to define polynomials).
3. Pertemuan Ketiga
Pertemuan ketiga membahas tentang Matriks dan pencarian SPL (solusi per-samaan linear) dengan program Scilab. Penjelasan tambahan matriks ini meru-pakan tambahan materi dari pertemuan sebelumnya yaitu beberapa latihan soal tentang operasi matriks. Pencarian SPL (solusi persamaan linear) dengan pro-gram Scilab pada pertemuan tersebut diberikan tiga cara dan mencari error dari setiap cara. Msakan diberikan matriks A dan vektor b yang diketahui. Akan dicari solusi x dari suatu persamaan Ax=b sebagai berikut:
–>A=[1 1/2 1/3;1/2 1/3 1/4;1/3 1/4 1/5]// diberikan matriks A A = 1. 0.5 0.3333333 0.5 0.3333333 0.25 0.3333333 0.25 0.2 –>b=[1/4;1/5;1/6]//diberikan vektor b b = 0.25 0.2 0.1666667 –>X1=inv(A)*b//solusi cara 1 X1 = 0.05 −0.6 1.5 –>X2=Aˆ(-1)*b//solusi cara 2 X2 = 0.05 −0.6 1.5 –>X3=A\b//solusi cara 3 X3 = 0.05 −0.6 1.5
–>Y1=b-A*X1//error cara 1 Y1 = 10(−14)∗ 0.1221245 0.0721645 0.0499600 –>Y2=b-A*X2//error cara 2 Y2 = 10(−14)∗ 0.1221245 0.0721645 0.0499600 –>Y3=b-A*X3//error cara 3 Y3 = 0. 0. −2.776D − 17
Komentar: Penentuan solusi cara ke 1, 2 dan 3 X1=inv(A)*b X2=Aˆ(-1)*b X3=A\b menghasilkan x1=x2=x3 (sama). Namun, Pada pencarian error terdapat error yang berbeda. Dimana dalam pencarian untuk solusi X1 dan X2 mempunyai error yang sama yaitu Y1=b-A*X1 Y2=b-A*X2. Tetapi apabila di-gunakan cara ke 3 yaitu X3=A\b, solusi cara 3 menghasilkan error yang berbeda yaitu Y3=b-A*X3 menghasilkan 0. 0. - 2.776D-17. Jadi untuk menentukan so-lusi pada suatu persamaan linear lebih baik menggunakan cara ke 3. Meskipun dalam menentukan solusi/hasil X1, X2, X3 menghasilkan hasil yang sama, na-mun menghasilkan error yang berbeda, dimana cara ketiga mendapatkan error yang lebih kecil.
4. Pertemuan Keempat
Bahan Praktikum pada pertemuan keempat yakni membahas operasi pada triks dengan ketentuan masing-masing orang berbeda dengan petunjuk help ma-triks pada scilab. Pada bagian ini penulis mencoba membuat ringkasan menge-nai RANK MATRIKS, MARTIKS FULLRANK, PSOUDOINVERS (MOORE PENROSE INVERS) DEKOMOSISI MATRIKS (LU, QR, SVD). Adapun be-berapa perintahnya adalah sebagai berikut:
• RANK MATRIKS, MARTIKS FULLRANK –>A=[2 1 0 -1;0 -1 2 0]//memanggil matriks A m<n A =
2. 1. 0. −1. 0. −1. 2. 0.
–>rank(A)//mengecek rank matriks A m<n ans = 2
Keterangan : Matriks A dikatakan full rank karena matriks A memiliki rank (A)= 2 = min {2,4}= min {m,n}.
–>B=[1 2 0;0 1 -2;1 1 2]//memanggil matriks B m=n B = 1. 2. 0. 0. 1. −2. 1. 1. 2.
–>rank(B)//mengecek rank matriks B m=n ans = 2.
Keterangan : Matriks B dikatakan tidak full rank karena matriks B memiliki rank (B)= 2 6= 3=min {3,3}= min {m,n}.
• PSOUDOINVERS (MOORE PENROSE INVERS) –>A=[1 1;0 -1;-1 0]//memanggil matriks real A
A = 1. 1. 0. −1. −1. 0.
–>rank(A)//mengecek rank matriks A dengan m>n ans = 2.
Keterangan : Matriks A dikatakan full rank karena matriks A memiliki rank (A)= 2 = min {3,2}= min {m,n}.
–>pinv(A)//pseudoinvers moore penrose dengan menggunakan perintah (pinv(A)) ans = 0.3333333 0.3333333 −0.6666667 0.3333333 −0.6666667 0.3333333
–>B=[1 0;-3*%i 1;0 2*%i]//memanggil matriks complex B m>n
B = 1. 0. −3.i 1. 0. 2.i
–>rank(B)//mengecek rank matriks B dengan m>n ans = 2.
Keterangan : Matriks B dikatakan full rank karena matriks B memiliki rank (B)= 2 = min {3,2}= min {m,n}.
–>pinv(B)//pseudoinvers moore penrose dengan menggunakan perintah (pinv(B)) ans = 0.1219512 0.2926829i −0.1463415 0.0731707i 0.0243902 −0.4878049i • DEKOMOSISI MATRIKS LU
Berikut contoh dengan Hilbert matrix ukuran 4x4 dan difactorkan dengan A=LU.
–>A = testmatrix(”hilb”,4)//misal digunakan matriks dari transformasi ruang hilb A = 16. −120. 240. −140. −120. 1200. −2700. 1680. 240. −2700. 6480. −4200. −140. 1680. −4200. 2800.
–>[L,U]=lu(A)//mancari dekomposisi LU matriks A
Pada perintah diatas matriks L belum merupakan matriks segitiga bawah dengan program scilab.
Berikut contoh dengan Hilbert matrix ukuran 4x4 yang sama dan difac-torkan dengan EA=LU.
E = 0. 0. 1. 0. 0. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 1. 1. 0. 0. 0. U = 240. −2700. 6480. −4200. 0. −150. 540. −420. 0. 0. −42. 56. 0. 0. 0. 4. L = 1. 0. 0. 0. −0.5 1. 0. 0. −0.5833333 −0.7 1. 0. −0.4 −0.5714286 −0.5714286 1.
Pada perintah diatas matriks L merupakan matriks segitiga bawah dan U merupakan matriks segitiga atas dengan program scilab dimana E meru-pakan matriks kanoniknya.
• DEKOMOSISI MATRIKS QR
[Q,R] = qr(X) Perkalian suatu matriks segitiga atas R dari dimensi yang sama dengan X dan suatu ortogonal (unitary in the complex case) matriks Q sehingga X = Q*R. [Q,R] = qr(X,”e”): Jika X adalah mxn dengan m > n, maka hanya kolom n pertama dari Q dihitung sama seperti perhitungan n pertama dari R. –>A=rand(5,2)//random matriks A A = 0.5015342 0.9184708 0.4368588 0.0437334 0.2693125 0.4818509 0.6325745 0.2639556 0.4051954 0.4148104 –>[Q,R]=qr(X)//dekomposisi RQ matriks A R = −1.0807907 −1.0279369 0. 1.1430027 0. 0. 0. 0. 0. 0. Q = −0.1955280 0.3739285 −0.5830568 −0.6923439 0.0514872 −0.6995285 0.1143253 0.2585315 −0.0072240 −0.6562766 −0.0002046 0.5997542 0.6742880 −0.2161549 0.3727032 −0.3056347 0.4934751 −0.3650938 0.6796682 0.2604369 −0.6156429 −0.4938466 0.0724465 −0.1092515 0.5999292 • DEKOMOSISI MATRIKS SVD s=svd(X) [U,S,V]=svd(X) [U,S,V]=svd(X,0) (obsolete) [U,S,V]=svd(X,”e”) [U,S,V,rk]=svd(X [,tol])
Arguments:
X :matrix bernilai real atau kompleks s : real vector (singular values)
S : real diagonal matrix (singular values)
U,V : orthogonal atau unitary square matrices (singular vectors). tol : bilangan real
Description:
[U,S,V] = svd(X) membentuk sebuah diagonal matrix S , dengan dimensi yang sama antara X dan dengan element diagonal yang tidak negatif pada pengurangannya, and unitary matrices U dan V jadi diperoleh X = U*S*V’. [U,S,V] = svd(X,0) menghasilkan komposisi ”economy size”. Jika X merupakan matriks mxn dengan m > n, maka hanya kolom n pertama dari U dihitung dan S adalah berukuran nxn. s= svd(X) artinya, suatu vector s memenuhi nilai singular. [U,S,V,rk]=svd(X,tol) memberikan pe-nambahan rk, rank numerik dari X yaitu bilangan dari nilai singular lebih besar dari tol. Nilai awal dari tol adalah sama seperti pada rank.
–>A=rand(4,2)*rand(2,4)//random matriks 4x4 A = 0.5420896 0.3727207 0.3843590 0.4149682 1.0119321 0.6935105 0.7195285 0.5894870 0.8861152 0.6056842 0.6315105 0.3849321 0.3835502 0.262928 0.2726594 0.2290463 –>svd(A)//dekomposisi nilai singular matriks A
ans = 2.2678079 0.1483853 8.893D − 17 1.092D − 17
–>sqrt(spec(A*A’))//akar dari niai eigen
ans = 9.001D − 09i 2.223D − 08 0.1483853 2.2678079 –>[U,S,V]=svd(A) V = −0.6612341 −0.2629956 0.6018958 −0.3623869 −0.4529715 −0.1670478 −0.7935818 −0.3703240 −0.4703417 −0.1989037 −0.0887342 0.8551855 −0.3692763 0.9291747 0.0086962 0.0139173 S = 2.2678079 0. 0. 0. 0. 0.1483853 0. 0. 0. 0. 8.893D − 17 0. 0. 0. 0. 1.092D − 17 U = −0.3797932 0.7028875 −0.5521219 −0.2384695 −0.6787931 0.1525523 0.7095202 −0.1120211 −0.5730023 −0.6884990 −0.4221571 −0.1393584 −0.2581964 0.0929845 −0.1163002 0.9545485
