PROSIDING
Peranan Matematika dan Statistika dalam
Menyikapi Perubahan Iklim
VOLUME 2/NO.1/2014
ISN : 2337-392X
SEMINAR NASIONAL MATEMATIKA,
STATISTIKA, PENDIDIKAN MATEMATIKA,
DAN KOMPUTASI
Jurusan Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Sebelas Maret Surakarta
Jl. Ir. Sutami 36 A Solo - Jawa Tengah
ii
Tim Prosiding
Editor
Purnami Widyaningsih, Respatiwulan, Sri Kuntari, Nughthoh Arfawi Kurdhi, Putranto Hadi Utomo, dan Bowo Winarno Tim Teknis
Hamdani Citra Pradana, Ibnu Paxibrata, Ahmad Dimyathi, Eka Ferawati, Meta Ilafiani, Dwi Ardian Syah, dan Yosef Ronaldo Lete B.
Layout & Cover
iii
Tim Reviewer
Drs. H. Tri Atmojo Kusmayadi, M.Sc., Ph.D. Dr. Sri Subanti, M.Si.
Dr. Dewi Retno Sari Saputro, MKom. Drs. Muslich, M.Si.
Dra. Mania Roswitha, M.Si.
Dra. Purnami Widyaningsih, M.App.Sc. Drs. Pangadi, M.Si.
Drs. Sutrima, M.Si. Drs. Sugiyanto, M.Si. Dra Etik Zukhronah, M.Si. Dra Respatiwulan, M.Si. Dra. Sri Sulistijowati H., M.Si. Irwan Susanto, DEA
Winita Wulandari, M.Si. Sri Kuntari, M.Si.
Titin Sri Martini, M.Kom. Ira Kurniawati, M.Pd.
iv
Steering Committee
Prof. Drs.Tri Atmojo Kusmayadi, M.Sc., Ph.D. Prof. Dr. Budi Murtiyasa, M.Kom.
Prof. Dr. Dedi Rosadi, M.Sc.
Prof. Dr. Ir. I Wayan Mangku, M.Sc. Prof. Dr. Budi Nurani, M.S.
Dr. Titin Siswantining, DEA Dr. Mardiyana, M.Si.
v
KATA PENGANTAR
Puji syukur dipanjatkan kepada Tuhan Yang Maha Esa sehingga prosiding seminar nasional Statistika, Pendidikan Matematika dan Komputasi ini dapat diselesaikan.
Prosiding ini bertujuan mendokumentasikan dan mengkomunika-sikan hasil presentasi paper pada seminar nasional dan terdiri atas 95
paper dari para pemakalah yang berasal dari 30 perguruan
tinggi/politeknik dan institusi terkait. Paper tersebut telah dipresentasikan di seminar nasional pada tanggal 18 Oktober 2014. Paper didistribusikan dalam 7 kategori yang meliputi kategori Aljabar 14%, Analisis 9%, Kombinatorik 8%, Matematika Terapan 14%, Komputasi 7%, Statistika Terapan 27%, dan Pendidikan Matematika 19%.
Terima kasih disampaikan kepada pemakalah yang telah berpartisipasi pada desiminasi hasil kajian/penelitian yang dimuat pada prosiding ini. Terimakasih juga disampaikan kepada tim reviewer, tim prosiding, dan steering committee.
Semoga prosiding ini bermanfaat.
vi
DAFTAR ISI
Halaman
Halaman Judul ………..……….. i
Tim Prosiding ………..…………. ii
Tim Reviewer ………..…………. iii
Steering Committee ………..…… iv
Kata Pengantar ………... v
Daftar Isi ………..………. vi
BIDANG ALJABAR 1 Bentuk-Bentuk Ideal pada Semiring (DDian Winda Setyawati ………..nxn(Z+), +, ) 1 2 Penentuan Lintasan Kapasitas Interval Maksimum dengan Pendekatan Aljabar Max-Min Interval M. Andy Rudhito dan D. Arif Budi Prasetyo ...………. 8
3 Karakterisasi Aljabar Pada Graf Bipartit Soleha, Dian W. Setyawati ………..………. 18
4 Semigrup Bentuk Bilinear Terurut Parsial Reguler Lengkap dalam Batasan Quasi-Ideal Fuzzy Karyati, Dhoriva Urwatul Wutsqa ………... 26
5 Syarat Perlu dan Cukup Ring Lokal Komutatif Agar Ring Matriksnya Bersih Kuat (-Regular Kuat) Anas Yoga Nugroho, Budi Surodjo ……….. 34
6 Sifat-sifat Modul Komultiplikasi Bertingkat Putri Widi Susanti, Indah Emilia Wijayanti ……….. 42
7 Ideal dari Ring Polinomial F2n[x] mod(xn-1) untuk Kontrol Kesalahan dalam Aplikasi Komputer Komar Baihaqi dan Iis Herisman ……….……… 49
9 Submodul Hampir Prima Dyana Patty, Sri Wahyuni ….………….……….………. 55
Subgrup Normal suatu Grup Perkalian dari Ring Pembagian yang Radikal atas Subring Pembagian Sejati Juli Loisiana Butarbutar dan Budi Surodjo ……….. 64
Sifat dan Karakterisasi Submodul Prima Lemah S(N) Rosi Widia Asiani, Sri Wahyuni ……….. 73
Modul Distributif dan Multiplikasi Lina Dwi Khusnawati, Indah Emilia Wijayanti ……… 83
vii
Penjadwalan Keberangkatan Kereta Api di Jawa Timur dengan Menggunakan Model Petrinet dan Aljabar Max-plus
Ahmad Afif, Subiono ……… 92
\
Minimalisasi Norm Daerah Hasil dari Himpunan Bayangan Matriks Aljabar Maks-Plus dengan Sebagian Elemen Ditentukan
Antin Utami Dewi, Siswanto, dan Respatiwulan ……… 107 Himpunan Bayangan Bilangan Bulat Matriks Dua Kolom dalam Aljabar
Maks-Plus
Nafi Nur Khasana, Siswanto, dan Purnami Widyaningsih .……… 112
BIDANG ANALISIS Ruang 2-Norma Selisih
Sadjidon, Mahmud Yunus, dan Sunarsini …….……….. 120 Teorema Titik Tetap Pemetaan Kontraktif pada Ruang C[a,b]-Metrik (ℓp ,
dC[a,b])
Sunarsini, Sadjidon, Mahmud Yunus ………..……….. 124 Generalisasi Ruang Barisan Yang Dibangkitkan Oleh Fungsi Orlicz
Nur Khusnussa’adahdan Supaman ………..……….. 132 Gerakan Kurva Parameterisasi Pada Ruang Euclidean
Iis Herisman dan Komar Baihaqi …….……….. 141 Penggunaan Metode Transformasi Diferensial Fraksional dalam
Penyelesaian Masalah Sturm-Liouville Fraksional untuk Persamaan Bessel Fraksional
Marifatun, Sutrima, dan Isnandar Slamet……….……….. 148 Konsep Topologi Pada Ruang C[a,b]
Muslich ……….……….. 155 Kekompakan Terkait Koleksi Terindeks Kontinu dan Ruang Topologis
Produk
Hadrian Andradi, Atok Zulijanto
……….……….. 162
A Problem On Measures In Infinite Dimensional Spaces
Herry Pribawanto Suryawan ..……….. 171 Masalah Syarat Batas Sturm-Liouville Singular Fraksional untuk
Persamaan Bessel
Nisa Karunia, Sutrima, Sri Sulistijowati H ……… 179 BIDANG KOMBINATORIK
Pelabelan Selimut (a,d)-H-Anti Ajaib Super pada Graf Buku
viii
Digraf Eksentrik Dari Graf Hasil Korona Graf Path Dengan Graf Path
Putranto Hadi Utomo, Sri Kuntari, Tri Atmojo Kusmayadi ……… 193 Super (a, d)-H-Antimagic Covering On Union Of Stars Graph
Dwi Suraningsih, Mania Roswitha, Sri Kuntari ……… 198 Dimensi Metrik pada Graf Umbrella
Hamdani Citra Pradana dan Tri Atmojo Kusmayadi ……… 202 Dimensi Metrik pada Graf Closed Helm
Deddy Rahmadi dan Tri Atmojo Kusmayadi . ……….. 210 Pelabelan Selimut (a,b)-Cs+2-Anti Ajaib Super pada Graf Generalized
Jahangir
Anna Amandha, Mania Roswitha, dan Bowo Winarno ……… 215 Super (a,d)-H-Antimagic Total Labeling On Sun Graph
Marwah Wulan Mulia, Mania Roswitha, and Putranto Hadi Utomo …… 223 Maksimum dan Minimum Pelabelan pada Graf Flower
Tri Endah Puspitosari, Mania Roswitha, Sri Kuntari …………...……….. 231 BIDANG MATEMATIKA TERAPAN
2 Penghitungan Volume Konstruksi dengan Potongan Melintang
Mutia Lina Dewi ………... 238
4 Pola Pengubinan Parabolis
Theresia Veni Dwi Lestari dan Yuliana Pebri Heriawati ……….. 247
5 Analisis Kestabilan Model Mangsa Pemangsa Hutchinson dengan Waktu Tunda dan Pemanenan Konstan
Ali Kusnanto, Lilis Saodah, Jaharuddin……….. 257 6 Susceptible Infected Zombie Removed (SIZR) Model with Quarantine and Antivirus
Lilik Prasetiyo Pratama, Purnami Widyaningsih, and Sutanto ………. 264
7 Model Endemik Susceptible Exposed Infected Recovered Susceptible (SEIRS) pada Penyakit Influenza
Edwin Kristianto dan Purnami Widyaningsih ………... 272
9 Churn Phenomenon Pengguna Kartu Seluler dengan Model Predator-Prey
Rizza Muamar As-Shidiq, Sutanto, dan Purnami Widyaningsih ………… 279 Pemodelan Permainan Flow Colors dengan Integer Programming
Irfan Chahyadi, Amril Aman, dan Farida Hanum ……….. 283 Optimasi Dividen Perusahaan Asuransi dengan Besarnya Klaim
Berdistribusi Eksponensial
ix
Permasalahan Kontrol Optimal Dalam Pemodelan Penyebaran Penyakit
Rubono Setiawan ……….. 300
Model Pengoptimuman Dispatching Bus pada Transportasi Perkotaan: Studi Kasus pada Beberapa Koridor Trans Jakarta
Farida Hanum, Amril Aman, Toni Bakhtiar, Irfan Chahyadi ……….. 306 Model Pengendalian Epidemi dengan Vaksinasi dan Pengobatan
Toni Bachtiar dan Farida Hanum ……….. 315 How Realistic The Well-Known Lotka-Volterra Predator-Prey Equations
Are
Sudi Mungkasi ……….. 323
Aplikasi Kekongruenan Modulo pada Algoritma Freund dalam Penjadwalan Turnamen Round Robin
Esthi Putri Hapsari, Ira Kurniawati ……….. 334 BIDANG KOMPUTASI
Aplikasi Algoritma Enkripsi Citra Digital Berbasis Chaos Menggunakan
Three Logistic Map
Suryadi MT, Dhian Widya ……… 344 Implementasi Jaringan Syaraf Tiruan Untuk Mengklasifikasi Kualitas Citra Ikan
Muhammad Jumnahdi ……….…. 352 Sistem Pengkonversi Dokumen eKTP/SIM Menjadi Suatu Tabel
Nurul Hidayat, Ikhwan Muhammad Iqbal, dan Muhammad Mushonnif
Junaidi ………... 360 Kriptografi Kurva Eliptik Elgamal Untuk Proses Enkripsi-Dekripsi Citra
Digital Berwarna
Daryono Budi Utomo, Dian Winda Setyawati dan Gestihayu Romadhoni F.R 373 Penerapan Assosiation Rule dengan Algoritma Apriori untuk Mengetahui
Pola Hubungan Tingkat Pendidikan Orang Tua terhadap Indeks Prestasi Kumulatif Mahasiswa
Kuswari Hernawati ………... 384 Perancangan Sistem Pakar Fuzzy Untuk Pengenalan Dini Potensi
Terserang Stroke
Alvida Mustika R., M Isa Irawan dan Harmuda Pandiangan……….. 394 Miniatur Sistem Portal Semiotomatis Berbasis Sidik Jari pada Area
Perpakiran
x
BIDANG STATISTIKA
1 Uji Van Der Waerden Sebagai Alternatif Analisis Ragam Satu Arah Tanti Nawangsari……….. 417
2
Analisis Faktor-Faktor Yang Mempengaruhi Keberhasilan Mahasiswa Politeknik (Studi Kasus Mahasiswa Polban)
Euis Sartika………...….. 425 3
Distribusi Prior Dirichlet yang Diperumum sebagai Prior Sekawan dalam Analisis Bayesian
Feri Handayani, Dewi Retno Sari Saputro …………...……… 439 5
Pemodelan Curah Hujan Dengan Metode Robust Kriging Di Kabupaten Sukoharjo
Citra Panindah Sari, Dewi Retno Sari S, dan Muslich ……… 444 6
Premi Tunggal Bersih Asuransi Jiwa Endowment Unit Link Dengan Metode Annual Ratchet
Ari Cahyani, Sri Subanti, Yuliana Susanti……….………. 453 7
Uji Siegel-Tukey untuk Pengujian Efektifitas Obat Depresan pada Dua Sampel Independen
David Pratama dan Getut Pramesti ………..……… 462 8
Aplikasi Almost Stochastic Dominance dalam Evaluasi Hasil Produksi Padi di Indonesia
Kurnia Hari Kusuma, Isnandar Slamet, dan Sri Kuntari ……….. 470
9
Pendeteksian Krisis Keuangan Di Indonesia Berdasarkan Indikator Nilai Tukar Riil
Dewi Retnosari, Sugiyanto, Tri Atmojo ……….... 475
Pendekatan Cross-Validation untuk Pendugaan Data Tidak Lengkap pada Pemodelan AMMI Hasil Penelitian Kuantitatif
Gusti Ngurah Adhi Wibawa dan Agusrawati……… 483
11
Aplikasi Regresi Nonparametrik Menggunakan Estimator Triangle pada Data Meteo Vertical dan Ozon Vertikal, Tanggal 30 Januari 2013
Nanang Widodo, Tony Subiakto, Dian Yudha R, Lalu Husnan W ………. 493
12 Pemodelan Indeks Harga Saham Gabungan dan Penentuan Rank Correlation dengan Menggunakan Copula
Ika Syattwa Bramantya, Retno Budiarti, dan I Gusti Putu Purnaba …….. 502
13
Identifikasi Perubahan Iklim di Sentra Produksi Padi Jawa Timur dengan Pendekatan Extreme Value Theory
Sutikno dan Yustika Desi Wulan Sari……….. 513
15
Analisis Data Radiasi Surya dengan Pendekatan Regresi Nonparametrik Menggunakan Estimator Kernel Cosinus
xi
16
Pengujian Hipotesis pada Regresi Poisson Multivariate dengan Kovariansi Merupakan Fungsi dari Variabel Bebas
Triyanto, Purhadi, Bambang Widjanarko Otok, dan Santi Wulan Purnami 533
17
Perbandingan Metode Ordinary Least Squares (OLS), Seemingly
Unrelated Regression (SUR) dan Bayesian SUR pada Pemodelan PDRB Sektor Utama di Jawa Timur
Santosa, AB, Iriawan, N, Setiawan, Dohki, M ……… 544
19 Studi Model Antrian M/G/1: Pendekatan Baru
Isnandar Slamet ……… 557
20
Pengaruh Pertumbuhan Ekonomi dan Konsumsi Energi Terhadap Emisi CO2 di Indonesia: Pendekatan Model Vector Autoregressive (VAR)
Fitri Kartiasih ………...………. 567
21
Estimasi Parameter Model Epidemi Susceptible Infected Susceptible (SIS) dengan Proses Kelahiran dan Kematian
Pratiwi Rahayu Ningtyas, Respatiwulan, dan Siswanto .………….……… 578
22
Pendeteksian Krisis Keuangan di Indonesia Berdasarkan Indikator Harga Saham
Tri Marlina, Sugiyanto, dan Santosa Budi Wiyono ………. 584
23
Pemilihan Model Terbaik untuk Meramalkan Kejadian Banjir di Kecamatan Rancaekek, Kabupaten Bandung
Gumgum Darmawan, Restu Arisanti, Triyani Hendrawati, Ade Supriatna 592
24
Model Markov Switching Autoregressive (MSAR) dan Aplikasinya pada Nilai Tukar Rupiah terhadap Yen
Desy Kurniasari, Sugiyanto, dan Sutanto ………. 602
25
Pendeteksian Krisis Keuangan di Indonesia Berdasarkan Indikator Pertumbuhan Kredit Domestik
Pitaningsih, Sugiyanto, dan Purnami Widyaningsih ……… 608
26 Pemilihan Model Terbaik untuk Meramalkan Kejadian Banjir di Bandung dan Sekitarnya
Gumgum Darmawan, Triyani Hendrawati, Restu Arisanti ……… 615
27 Model Probit Spasial
Yuanita Kusuma Wardani, Dewi Retno Sari Saputro ……… 623
28
Peramalan Jumlah Pengunjung Pariwisata di Kabupaten Boyolali dengan Perbandingan Metode Terbaik
Indiawati Ayik Imaya, Sri Subanti ………..……... 628
29
Pemodelan Banyaknya Penderita Demam Berdarah Dengue (DBD) dengan Regresi Kriging di Kabupaten Sukoharjo
xii
Ekspektasi Durasi Model Epidemi Susceptible Infected (SI)
Sri Kuntari, Respatiwulan, Intan Permatasari………. 646
BIDANG PENDIDIKAN
3
Konsep Pembelajaran Integratif dengan Matematika Sebagai Bahasa Komunikasi dalam Menyongsong Kurikulum 2013
Surya Rosa Putra, Darmaji, Soleha, Suhud Wahyudi, ………. 653
4
Penerapan Pendidikan Lingkungan Hidup Berbasis Pendidikan Karakter dalam Pembelajaran Matematika
Urip Tisngati ………. 664
5
Studi Respon Siswa dalam Menyelesaikan Masalah Matematika
Berdasarkan Taksonomi SOLO (Structure of Observed Learned Outcome)
Herlin Widia, Urip Tisngati, Hari Purnomo Susanto ……….. 677
7 Desain Model Discovery Learning pada Mata Kuliah Persamaan Diferensial
Rita Pramujiyanti Khotimah, Masduki ……….. 684
8 Efektivitas Pembelajaran Berbasis Media Tutorial Interaktif Materi Geometri
Joko Purnomo, Agung Handayanto, Rina Dwi Setyawati ……… 693
10
Pengembangan Modul Pembelajaran Matematika Menggunakan
Pendekatan Problem Based Learning (PBL) Pada Materi Peluang Kelas VII SMP
Putri Nurika Anggraini, Imam Sujadi, Yemi Kuswardi ……… 703
11 Pengembangan Bahan Ajar Dalam Pembelajaran Geometri Analitik Untuk Meningkatkan Kemandirian Mahasiswa
Sugiyono\, Himmawati Puji Lestari ………..……… 711
13
Pengembangan Strategi Pembelajaran Info Search Berbasis PMR untuk Meningkatkan Pemahaman Mata Kuliah Statistika Dasar 2
Joko Sungkono, Yuliana, M. Wahid Syaifuddin ……… 724
14
Analisis Miskonsepsi Mahasiswa Program Studi Pendidikan Matematika Pada Mata Kuliah Kalkulus I
Sintha Sih Dewanti ………..………..……. 731
Kemampuan Berpikir Logis Mahasiswa yang Bergaya Kognitif Reflektif vs Impulsif
Warli ………. 742
Model Pembelajaran Berbasis Mobile
xiii
Profil Gaya Belajar Myers-Briggs Tipe Sensing-Intuition dan Strateginya Dalam Pemecahan Masalah Matematika
Rini Dwi Astuti, Urip Tisngati, Hari Purnomo Susanto ……….. 760
Penggunaan Permainan Matematika Berbasis Lingkungan Hidup untuk Menningkatkan Minat dan Keterampilan Matematis Peserta Didik
Rita Yuliastuti ……….. 772 Tingkat Pemahaman Peserta PLPG Matematika Rayon 138 Yogyakarta
Tahun 2014 Terhadap Pendekatan Saintifik Pada Kurikulum 2013 Berdasarkan Kuesioner Awal dan Akhir Pelatihan
Beni Utomo, V. Fitri Rianasari dan M. Andy Rudhito ……….. 784 Pengembangan Perangkat Pembelajaran Matematika Melalui Pendekatan
RME dengan CD Interaktif Berbasis Pendidikan Karakter Materi Soal Cerita Kelas III
Sri Surtini, Ismartoyo, dan Sri Kadarwati ………. 791 E-Learning Readiness Score Sebagai Pedoman Implementasi E-Learning
Nur Hadi Waryanto ……….. 805
Pengembangan Lembar Kerja Siswa (LKS) Matematika Realistik di SMP Berbasis Online Interaktif
Riawan Yudi Purwoko, Endro Purnomo ……….. 817
IbM APE Matematika Bagi TK Pinggiran Di Kota Malang
Frety Kurnita Sari, Mania Roswitha, dan Putranto Hadi Utomo Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Sebelas Maret
Abstrak. Dimisalkan G = (V, E) adalah graf sederhana. Selimut dari graf G adalah H1, H2, . . . ,
Hk yang merupakan keluarga subgraf dari graf G dengan setiap sisi di G termuat
sekurang-kurangnya pada satu graf Hi untuk 1 ≤ i ≤ k. Graf G memiliki selimut-H apabila setiap
subgraf Hi isomorfik dengan suatu graf H. Jika terdapat fungsi bijektif ξ : V (G)∪ E(G) −→
{1, 2, . . . , |V(G)| + |E(G)|}, sedemikian sehingga semua bobot subgraf H’ yang isomorfik dengan
H, ω(H′) =∑vϵV (H′)ξ(v)+
∑
eϵE(H′)ξ(e), membentuk barisan aritmatika a, a+d, a+2d, . . . , a+
(t− 1)d dimana a dan d merupakan bilangan bulat positif dan t adalah banyak subgraf G yang isomorfik dengan H, maka G memuat pelabelan selimut (a, d)-H-anti ajaib. Selanjutnya, ξ disebut pelabelan selimut (a, d)-H-anti ajaib super jika ξ(V (G)) ={1, 2, 3, . . . , |V (G)|}. Hasil penelitian ini menunjukkan bahwa graf buku Bm dengan m ≥ 4 memuat pelabelan selimut
(a, d)-Bm−1-anti ajaib super.
Kata Kunci: selimut anti ajaib super, graf buku
1. Pendahuluan
Pelabelan graf merupakan kajian dalam teori graf yang banyak diteliti akhir-akhir ini. Wallis [9] menyatakan bahwa pelabelan graf adalah fungsi yang memetakan elemen graf G (titik, sisi, maupun titik dan sisi) pada bilangan bulat positif atau non negatif. Salah satu pelabelan yang mulai banyak diteliti yaitu pelabelan anti ajaib. Hartsfield dan Ringel [3] memperkenalkan pelabelan anti ajaib yang merupakan pengembangan dari pelabelan sisi. Hartsfield dan Ringel [3] mengatakan bahwa sebuah graf dengan q sisi disebut anti ajaib jika semua sisi dilabeli dengan bilangan positif 1, 2, . . . , q sehingga bobot setiap titiknya berbeda.
Tahun 1993, Bodendiek dan Walther (Gallian [1]) telah memperkenalkan pelabelan (a,d)-anti ajaib. Graf terhubung G(V, E) dikatakan (a, d)-anti ajaib apabila terdapat dua bilangan bulat positif a, d, dan fungsi bijektif f : E(G) → 1, 2, . . . , |E(G)| sehingga
himpunan bobot titik gf(v) =
∑
{f(uv)|uv ∈ E(G)} sama dengan himpunan {a, a + d, . . . , a + (|V (G)| − 1)d}. Simanjuntak et al. (Gallian [1]) mempelajari tentang pelabelan
total (a,d)-sisi-anti ajaib yang merupakan graf dengan fungsi satu-satu f : V (G)∪E(G) → 1, 2, . . . ,|V (G)| + |E(G)| sehingga himpunan bobot sisinya {f(v) + f(uv) + f(v)|uv ∈
E(G)} sama dengan himpunan {a, a + d, . . . , a + (|V (G)| − 1)d}.
Dimisalkan G = (V (G), E(G)) adalah suatu graf sederhana. Selimut dari graf G adalah
H1, H2, . . . , Hk yang merupakan keluarga subgraf dari G dengan setiap sisi di G termuat
sekurang-kurangnya pada satu graf Hi untuk 1 ≤ i ≤ k. Jika untuk setiap subgraf
Hi isomorfik dengan suatu graf H, maka G memuat selimut-H. Guti´errez dan Llad´o [2]
mengembangkan pelabelan total sisi ajaib menjadi pelabelan selimut H-ajaib. Inayah et al. [4] memperkenalkan pelabelan selimut (a, d)-H-anti ajaib sebagai kombinasi antara konsep pelabelan total (a,d)-sisi-anti ajaib dan selimut H-ajaib. Inayah et al. [4] mendefinisikan pelabelan selimut (a, d)-H-anti ajaib yaitu suatu fungsi bijektif ξ : V (G) ∪ E(G) −→
{1, 2, . . . , |V(G)| + |E(G)|} untuk semua subgraf H′ yang isomorfik terhadap H, dengan
bobot-H′, w(H′) = ∑vϵV (H′)ξ(v) +
∑
eϵE(H′)ξ(e) membentuk suatu barisan aritmatika
a, a + d, a + 2d, . . . , a + (t− 1)d dimana a dan d merupakan bilangan bulat positif dan t
adalah banyak subgraf G yang isomorfik dengan H. Pelabelan selimut (a, d)-H-anti ajaib dikatakan pelabelan selimut (a, d)-H-anti ajaib super jika ξ(V (G)) ={1, 2, 3, . . . , |V (G)|}. Dalam [4] telah diteliti tentang pelabelan selimut (a, d)-Ch-anti ajaib pada graf kipas
Fn, sementara Karyanti [6] melanjutkan penelitian Inayah et al. [4] dengan pelabelan
selimut (a, d)-C3-anti ajaib super pada graf kipas Fn untuk d ∈ {2, 4}. Karyanti [6] juga
telah membahas pelabelan selimut (a, d)-K1,3-anti ajaib super pada graf matahari dan
generalized petersen. Dalam artikel ini akan dibahas mengenai pelabelan selimut (a, d)-Bm−1-anti ajaib super pada graf buku Bm dengan m≥ 4. Peneliti menggunakan selimut
yang telah digunakan Wijaya [10] dalam pelabelan selimut-H ajaib super. Dalam artikel ini, notasi [a, b] menyatakan {x ∈ N|a ≤ x ≤ b} dan {a, b} ⊎ {a, b, c} = {a, a, b, b, c}.
2. Tinjauan Pustaka
Maryati et al. [8] menggunakan teknik multihimpunan k-seimbang dalam pembuktian pelabelan H-ajaib super pada graf shackles dan amalgamasi. Multihimpunan merupakan himpunan yang memperbolehkan adanya elemen-elemen yang sama dalam satu himpunan. Teknik multihimpunan k-seimbang merupakan suatu teknik mempartisi multihimpunan bilangan menjadi k subhimpunan dengan kardinalitas dan jumlah elemen yang sama. Da-lam [5] diperkenalkan teknik multihimpunan (k, δ)-anti seimbang untuk mengkonstruksi pelabelan (a, d)-H-anti ajaib pada graf prisma. Perbedaan teknik multihimpunan (k, δ)-anti seimbang dengan teknik multihimpunan k-seimbang terletak pada jumlah elemen tiap subhimpunan yang terbentuk. Jumlah elemen subhimpunan pada teknik multihimpunan (k, δ)-anti seimbang memiliki selisih δ dengan suatu subhimpunan yang lain. Dalam arti-kel ini digunakan teknik mempartisi multihimpunan k-seimbang dan (k, δ)-anti seimbang untuk membuktikan pelabelan selimut (a, d)-Bm−1-anti ajaib super pada graf buku Bm.
Pelabelan selimut (a, d)-H-anti ajaib super dapat menjadi pelabelan selimut H-ajaib super apabila nilai d = 0. Wijaya [10] mempelajari pelabelan selimut (a, d)-Bk-anti ajaib
super pada graf buku Bm dengan d = 0 dan 3≤ k < m.
3. Hasil dan Pembahasan
3.1. Multihimpunan k-seimbang. Multihimpunan merupakan himpunan yang mem-perbolehkan adanya elemen-elemen yang sama dalam satu himpunan. Teknik multihim-punan k-seimbang pertama kali dikenalkan oleh Maryati et al. [8]. Misalkan k ∈ N dan Y adalah multihimpunan bilangan bulat positif, Y disebut k-seimbang jika terdapat k sub-himpunan dari Y , yaitu Y1, Y2, . . . , Yk, sehingga untuk setiap i∈ [1, k], berlaku |Yi| = |Y |k ,
∑ Yi= ∑ Y k ∈ N dan ⊎ k
i=1Yi = Y . Lema 3.1 merupakan salah satu teknik multihimpunan
k-seimbang yang diperkenalkan oleh Maryati [7].
Lema 3.1. Misalkan x, y dan k bilangan bulat sedemikian sehingga 1≤ x < y dan k > 1.
Jika X = [x, y] dan |X| adalah kelipatan 2k, maka X adalah k-seimbang.
Contoh 3.1 merupakan ilustrasi penggunaan Lema 3.1.
Contoh 3.1. Diberikan X = [1, 10] dan k = 5. Dari Lema 3.1 diketahui bahwa x = 1,
y = 10, dan |X| = 10. Untuk i ∈ [1, 5], didefinisikan Xi ={aij|j = 1, 2}, dengan
aij = {
i, untuk j = 1;
11− i, untuk j = 2. (3.1)
Dari persamaan (3.1), multihimpunan X dapat dipartisi menjadi X1 = {1, 10}, X2 =
{2, 9}, X3 ={3, 8}, X4 ={4, 7}, dan X5 ={5, 6}. Dapat dilihat bahwa untuk i ∈ [1, 5],
∑
Xi= 11 sehingga X adalah 5-seimbang.
3.2. Multihimpunan (k, δ)-anti seimbang. Inayah et al. [5] mempelajari tentang tek-nik multihimpunan (k, δ)-anti seimbang. Misalkan k, δ ∈ N dan X adalah multihimpunan bilangan bulat positif, X disebut (k, δ)-anti seimbang jika terdapat k subhimpunan da-ri X, yaitu X1, X2, . . . , Xk, sehingga untuk setiap i ∈ [1, k], berlaku |Xi| = |X|k , dan
⊎k
i=1Xi = X, dan untuk setiap i∈ [1, k − 1],
∑
Xi+1−
∑
Xi= δ. Lema 3.2 dan Lema 3.3
merupakan teknik dalam multihimpunan (k, δ)-anti seimbang.
Lema 3.2. Misalkan x, y adalah bilangan bulat positif dengan y ≥ 2. Jika K = [x, 2y +
x− 1], maka K adalah (y, 4)-anti seimbang.
Bukti. Dimisalkan x dan y adalah bilangan bulat positif dengan y ≥ 2. Untuk i ∈ [1, y],
didefinisikan Ki ={ai, bi} dengan
ai= x + 2i− 2, untuk i∈ [1, y],
bi= x + 2i− 1, untuk i∈ [1, y].
Dapat dilihat bahwa untuk i ∈ [1, y], diperoleh |Ki| = 2 dan ⊎yi=1Ki = K. Karena
∑ Ki = 2x + 4i− 3 untuk i ∈ [1, y] dan ∑ Ki+1− ∑ Ki = 4 untuk i∈ [1, y − 1] maka K
adalah (y, 4)-anti seimbang.
Lema 3.3. Misalkan x adalah bilangan bulat positif dengan x≥ 3. Jika K = [2x+3, 3x+
2]⊎ [3x + 3, 4x + 2] ⊎ [4x + 3, 5x + 2] maka (1) K adalah (x, 1)-anti seimbang atau (2) K adalah (x, 3)-anti seimbang.
Bukti. Misalkan x adalah bilangan bulat positif dengan x≥ 3. Didefinisikan
A ={ai|1 ≤ j ≤ x} = [2x + 3, 3x + 2],
B ={bi|1 ≤ j ≤ x} = [3x + 3, 4x + 2],
C ={ci|1 ≤ j ≤ x} = [4x + 3, 5x + 2].
Selanjutnya pembuktian dibagi menjadi dua kasus.
Kasus 1. Didefinisikan multihimpunan Ki ={ai, bi, ci|1 ≤ i ≤ x} dengan
ai= 2x + 2 + i, untuk 1≤ i ≤ x,
bi = 4x + 3− i, untuk 1≤ i ≤ x,
ci = 4x + 2 + i, untuk 1≤ i ≤ x.
Dapat dilihat bahwa A⊎ B ⊎ C = K, ⊎xi=1Ki = K dan diperoleh |Ki| = 3 untuk setiap
i ∈ [1, x]. Karena ∑Ki = 10x + 7 + i dan
∑
Ki+1−
∑
Ki = 1 untuk i∈ [1, x − 1], K
adalah (x, 1)-anti seimbang.
Kasus 2. Didefinisikan multihimpunan Ki ={ai, bi, ci|1 ≤ i ≤ x} dengan
ai= 2x + 2 + i, untuk 1≤ i ≤ x,
bi = 3x + 2 + i, untuk 1≤ i ≤ x,
ci = 4x + 2 + i, untuk 1≤ i ≤ x.
Dapat dilihat bahwa A⊎ B ⊎ C = K, ⊎xi=1Ki = K dan diperoleh |Ki| = 3 untuk setiap
i ∈ [1, x]. Karena ∑Ki = 9x + 6 + 3i dan
∑
Ki+1−
∑
Ki = 3 untuk i∈ [1, x − 1], K
adalah (x, 3)-anti seimbang.
Contoh 3.2 dan Contoh 3.3 merupakan contoh teknik multihimpunan (k, δ)-anti seim-bang.
Contoh 3.2. Diberikan K = [21, 30]. Dari Lema 3.2, diperoleh x = 21 dan y = 5.
Untuk 1 ≤ j ≤ 5 diperoleh subhimpunan K yaitu K1 = {21, 26}, K2 = {22, 27}, K3 =
{23, 28}, K4 ={24, 29}, dan K5 ={25, 30}. Karena ∑ Ki = 45 + 2i untuk i∈ [1, 5] dan ∑ Ki+1− ∑
Ki = 2 untuk i∈ [1, 4], maka K adalah (5, 2)-anti seimbang.
Contoh 3.3. Diberikan K = [15, 20] ⊎ [21, 26] ⊎ [27, 32]. Dari Lema 3.3(1) diperoleh
x = 6 dan subhimpunan Ki untuk i ∈ [1, 6] yaitu K1 = {15, 26, 27}, K2 = {16, 25, 28},
K3 = {17, 24, 29}, K4 = {18, 23, 30}, K5 = {19, 22, 31}, dan K6 = {20, 21, 32}. Karena
∑
Ki = 67 + i untuk i∈ [1, 6] dan untuk i ∈ [1, 5] berlaku
∑
Ki+1−
∑
Ki = 1, maka K
adalah (6, 1)-anti seimbang.
3.3. Pelabelan selimut (a, d)-Bm−1-anti ajaib super pada graf buku Bm. Gallian
[1] mendefinisikan graf buku Bm merupakan graf K1,m× P2 dimana K1,m merupakan graf
bintang dengan m ≥ 3 dan P2 merupakan graf lintasan dengan order dua. Graf buku
memiliki |V (Bm)| = 2m + 2 dan |E(Bm)| = 3m + 1. Selanjutnya, diberikan batas atas d
untuk pelabelan selimut (a, d)-Bm−1-anti ajaib super pada graf buku Bm.
Lema 3.4. Jika graf buku Bm memuat pelabelan selimut (a, d)-Bm−1-anti ajaib super,
maka
d≤ ⌊13m− 6
m− 1 ⌋.
Bukti. Misalkan G adalah graf buku Bm dengan|V (G)| = vG = 2m + 2, |E(G)| = eG =
3m + 1. Kemudian, dimisalkan H adalah graf buku Bm−1 dengan |V (H)| = vH = 2m,
dan |E(H)| = eH = 3m− 2. Banyak subgraf G yang isomorfik dengan H adalah m,
dengan m ≥ 2. Karena G memuat pelabelan selimut (a, d)-H-anti ajaib super,
bobot-H terbesar adalah tidak lebih besar dari vG+ (vG− 1) + (vG− 2) + . . . + (vG− (vH −
1)) + (vG + eG) + (vG + eG − 1) + (vG+ eG − 2) + . . . + (vG+ eG − (eH − 1)) atau
a + (m− 1)d ≤ 25m2+23m2 −18 dan bobot-H terkecil adalah tidak lebih kecil daripada (1 + 2 + . . . + vH) + (vG+ 1) + (vG+ 2) + . . . + (vG + eH) atau a ≥ 25m
2−3m−6
2 . Dari
bobot-H terbesar dan terkecil, diperoleh
(m− 1)d ≤ (25m 2+ 23m− 18 2 )− ( 25m2− 3m − 6 2 ) d≤ ⌊13m− 6 m− 1 ⌋. 1 4 15 17 18 16 9 2 19 20 44 23 22 25 43 46 38 3 4 4 21 5 9 6 4 40 13 9 14 4 31 7 9 8 4 39 11 9 12 4 30 9 9 10 24 26 27 28 29 32 33 34 35 36 37 41 42 45 47 48
Gambar 1. Pelabelan selimut (1003, 13)-B8-anti ajaib super pada graf buku B9
Lema 3.4 dapat dicapai untuk nilai d = ⌊13mm−1−6⌋ pada graf buku Bm dengan m ≥ 2.
Ilustrasi pelabelan selimut (a, d)-B8-anti ajaib super pada graf buku B9 dengan d =⌊1118 ⌋
dapat dilihat pada Gambar 1.
Selanjutnya, dibahas mengenai pelabelan selimut (a, d)-Bm−1-anti ajaib super pada graf
buku Bm dengan d∈ {1, 3, 5, 7}.
Teorema 3.1. Misalkan m adalah bilangan bulat positif, dengan m ≥ 4, graf buku Bm
memuat pelabelan selimut (25m22−9m − 6, 1)-Bm−1-anti ajaib super.
Bukti. Diberikan suatu graf buku Bm dengan m adalah bilangan bulat positif dan m≥ 4.
Misalkan ξ adalah fungsi bijektif dari E(Bm) ∪ V (Bm) pada {1, 2, 3, . . . , 5m + 3} dan
ξ(V (Bm)) = {1, 2, 3, . . . , 2m + 2}. Diberikan himpunan label titik dan sisi pada graf buku
Bm adalah R = [1, 5m + 3]. Kemudian partisi R menjadi empat subhimpunan yaitu
X = [1, 2], P = [3, 2m + 2], K = [2m + 3, 4n + 2], dan O = [5n + 3].
Sekarang didefinisikan pelabelan ξ pada Bm. Namakan pusat graf bintang pada graf
buku Bm dengan x1 dan x2, labeli x1 dan x2 dengan elemen dari X, ξ(x1) = 1, ξ(x2) =
2 dan diperoleh ∑X = 3. Elemen P digunakan untuk melabeli sisa titik pada graf buku Bm yang belum berlabel. Didefinisikan P = Y ⊎ Z dengan Y = [3, m + 2] dan
Z = [m + 3, 2m + 2]. Gunakan elemen Y untuk melabeli titik yang adjacent dengan x1, lakukan dari kiri ke kanan. Selanjutnya, gunakan elemen dari Z untuk melabeli titik
yang adjacent dengan x2, lakukan dari kanan ke kiri. Dari Lema 3.1 dengan x = 3 dan
y = 2m + 2, P adalah m-seimbang dan∑Pi = 2m + 5 untuk setiap i∈ [1, m].
Didefinisikan K = M ⊎ N ⊎ W dengan M = [2m + 3, 3m + 2], N = [3m + 3, 4m + 2], dan W = [4m + 3, 5m + 2]. Labeli sisi yang incident dengan x1 menggunakan elemen
M . Sisi yang incident dengan x2 dilabeli dengan elemen dari N . Gunakan elemen W
untuk melabeli sisi yang menghubungkan titik berlabel elemen Y dan Z. Dari Lema 3.3(1) dengan x = m diperoleh ∑Ki = 10m + 7 + i untuk setiap i ∈ [1, m]. Elemen O
digunakan untuk melabeli sisi yang menghubungkan titik x1 dan x2, sehingga diperoleh
∑
O = 5m + 3.
Dimisalkan ω(Hh) untuk 1 ≤ h ≤ m adalah bobot setiap subgraf buku Bm yang
iso-morfik dengan Bm−1. Untuk setiap 1≤ h ≤ m diperoleh
ω(Hh) = ( m ∑ h=1 Ph− ∑ Pm+1−h) + ( m ∑ h=1 Kh− ∑ Km+1−h) + ∑ X +∑O. = ( m ∑ h=1 (2m + 5)− (2m + 5)) + ( m ∑ h=1 (10m + 7 + i)− (11m + 8 − h))+ 3 + 5m + 3 = (2m2+ 3m− 5) + (21m 2− 7m 2 − 8 + h) + 3 + 5m + 3 = 25m 2+ 9m 2 − 7 + h.
Karena nilai d = ω(Hh+1)− ω(Hh) = 1 dan a = ω(H1) = 25m
2+9m
2 − 6, dapat dikatakan
bahwa graf buku Bm memuat pelabelan selimut (25m
2−9m
2 − 6, 1)-Bm−1-anti ajaib super.
Akibat 3.2(1) dapat dibuktikan dengan menggunakan Lema 3.3(2) untuk mempartisi
K pada Teorema 3.1. Kemudian, Lema 3.2 dan Lema 3.3(1) berturut-turut digunakan
untuk mempartisi P dan K pada Teorema 3.1 dalam pembuktian Akibat 3.2(2). Akibat
3.2(3) diperoleh dengan menggunakan Lema 3.2 untuk mempartisi P dan Lema 3.3(2) untuk mempartisi K pada Teorema 3.1.
Akibat 3.2. Graf buku Bm dengan m≥ 4 memuat
(1) pelabelan selimut (25m22+7m − 5, 3)-Bm−1-anti ajaib super,
(2) pelabelan selimut (25m22+5m − 4, 5)-Bm−1-anti ajaib super,
(3) pelabelan selimut (25m22+3m − 3, 7)-Bm−1-anti ajaib super.
Ilustrasi Teorema 3.1 dapat dilihat pada Gambar 2. Gambar 2 menunjukkan pelabelan selimut (a, d)-B3-anti ajaib super pada graf buku B4 dengan d = 1.
3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23
Gambar 2. Pelabelan selimut (212, 1)-B3-anti ajaib super pada graf buku B4.
4. Kesimpulan
Berdasarkan pembahasan ditentukan bahwa pada graf buku Bm memuat pelabelan
selimut (a, d)-H-anti ajaib super. Pada graf buku Bm untuk m ≥ 4, memuat pelabelan
selimut (a, d)-Bm−1-anti ajaib super dengan d∈ {1, 3, 5, 7}.
Daftar Pustaka
[1] Gallian, J. A., A Dynamic Survey of Graph Labeling, The Electronic Journal of Combinatorics 16 (2013).
[2] Guti´errez, A. and A. Llad´o, Magic Coverings, J. Combin. Math. Combin. Comput 55 (2005), 43-46.
[3] Hartsfield, N. and G. Ringel, Pearls in Graph Theory, Academic Press, Inc, San Diego, 1990.
[4] Inayah, N., A. N. M., Salman, and R. Simanjuntak, On (a,d)-H-Antimagic Coverings of Graphs, J. Combin. Math. Combin. Comput. 77 (2009), 1662-1680.
[5] Inayah, N., R. Simanjuntak, A. N. M. Salman, and K.I.A Syuhada, Super (a,d)-H-Antimagic Total
Labelings for Shackles of a Connected Graph H, Australasian Journal of Combinatorics 57 (2013),
127-138.
[6] Karyanti, Pelabelan Selimut (a, d)-H-Anti Ajaib Super pada Graf Fan, Sun dan Generalized Petersen, Skripsi, Universitas Sebelas Maret, Surakarta, 2012.
[7] Maryati, T. K., Karakteristik Graf H-Ajaib dan Graf H-Ajaib Super, Disertasi, Institut Teknologi Bandung, Bandung, 2011.
[8] Maryati, T. K., A. N. M. Salman, E. T. Baskoro, J. Ryan, and M. Miller, On H-Supermagic Labelings
for Certain Shackles and Amalgamations of a Connected Graph, Utilitas Mathematica 83 (2010),
333-342.
[9] Wallis, W. D., Magic Graph, Birkh¨auser, Basel, Berlin, 2001.
[10] Wijaya, R. W. N., Pelabelan Selimut H-Ajaib Super pada Graf Bipartit Lengkap, Graf Buku, Graf
Roda T-Lipat, dan Graf Bunga, Skripsi, Universitas Sebelas Maret, Surakarta, 2014. E-mail : frety.kurnita@gmail.com, mania ros@yahoo.co.id, putranto7@gmail.com
