C a t a t a n S i T h a m r i n 1

A . P e n ge r t i a n S t a t i s t i k a

Ilmu yang mempelajari pengambilan, penyajian, pengolahan, dan penafsiran data

B . S t a t i s t i k D a t a T u n g g a l

1. Median

Median adalah nilai tengah dari suatu kumpulan data yang telah terurutkan Diketahui n data yang telah diurutkan,

Jika n ganjil, median = 𝑥𝑛+1

2

Jika n genap, median = 1₂(𝑥𝑛 2+ 𝑥

𝑛 2+1)

2. Kuartil

Diketahui n data yang telah diurutkan Kuartil pertama (𝑄1) adalah datum

ke-𝑛+1₄

Kuartil pertama (𝑄2) adalah datum

ke-𝑛+1

2

Kuartil pertama (𝑄3) adalah datum

ke-3(𝑛+1)₄

3. Statistik Lima Serangkai

4. Rataan Kuartil dan Rataan tiga

Rataan kuartil =1₂(𝑄1+ 𝑄3) Rataan tiga =1₄(𝑄1+ 𝑄2+ 𝑄3) 5. Jangkauan/rentang data (𝑱) 𝐽 = 𝑥𝑚𝑎𝑘𝑠− 𝑥𝑚𝑖𝑛 6. Jangkauan antarkuartil/hamparan (𝑯) 𝐻 = 𝑄3−𝑄1 7. Satu Langkah (L) 𝐿 = 1,5 × 𝐻

8. Pagar dalam (PD) dan pagar luar (PL)

𝑃𝐷 = 𝑄1− 𝐿

𝑃𝐿 = 𝑄3+ 𝐿

C . P e n y a j i a n D a t a

1. Diagram Kotak Garis

Diagram kotak garis merupakan diagram yang menyajikan nilai minimum, kuartil bawah, median, kuartil atas, nilai maksimum, dan jangkauan (range) dari suatu data

2. Diagram Batang daun

menyajikan penyebaran dari suatu data sehingga secara keseluruhan data individu-individu dapat terlihat apakah ada

kecenderungan data tersebut menyebar atau memusat pada suatu nilai tertentu, atau nilai manakah yang paling sering muncul dan yang jarang muncul

Contoh:

Nilai ulangan umum fisika dari 36 siswa adalah sebagai berikut.

Gambar berikut ini menyajikan diagram batang daun untuk data yang tersedia.

Untuk membuat suatu diagram batang daun untuk data nilai-nilai ulangan fisika yang masing-masing terdiri dari dua angka seperti pada situasi di atas, kita tetapkan angka puluhan sebagai bagian batang dan angka satuan sebagai bagian daun.

3. Tabel Distribusi Frekuensi Data Berkelompok

Cara mengorganisasikan data dengan membagi data menjadi beberapa kelompok atau kelas. Setelah itu, setiap kelompok atau kelas dari data dicatat mengenai banyaknya data atau frekuensi yang masuk dalam kelompok tersebut. Langkah menyajikan data:

Tentukan rentang data Bagi data dalam beberapa kelompok/interval/kelas dengan rentang antarkelas (Panjang interval) sama besar. Kelompok tersebut disebut kelas interval

Catat banyak datum yang termuat dalam setiap kelompok atau kelas

Untuk menentukan banyak kelas interval dapat digunakan dua aturan berikut:

a. Aturan Sturgess 𝑘 = 1 + 3,3(log 𝑛) Keterangan: 𝑘 = Banyak kelas 𝑛 = Banyak data

b. Aturan semua panjang interval atau kelas harus sama

𝑅 = 𝑥𝑚𝑎𝑘𝑠− 𝑥𝑚𝑖𝑛

𝑐 =𝑅 𝑘 Keterangan: 𝑅 = Rentangan data

𝑐 = Panjang setiap kelas interval Istilah-istilah dalam distribusi frekuensi:

a. Batas bawah dan batas atas kelas Batas bawah kelas (𝐵𝑏): nilai terkecil

pada kelas interval

Batas atas kelas (𝐵𝑎): nilai terbesar

pada kelas interval

b. Limit bawah dan limit atas kelas Limit bawah kelas (𝐿𝑏) = batas

bawah kelas - 0,5𝑙

Limit bawah kelas (𝐿𝑎) = batas atas

kelas + 0,5𝑙

Dengan 𝑙 = selisih antara batas atas interval dengan batas bawah interval berikutnya

c. Panjang kelas

Panjang kelas (c) = limit atas kelas – limit bawah kelas

d. Titik tengah kelas

Merupakan nilai rataan batas bawah dan bawah atas kelas. Dapat dianggap sebagai nilai yang mewakili kelas itu.

Titik tengah kelas (𝑥𝑖) = 1 2 (batas

bawah kelas + batas atas kelas)

4. Tabel distribusi frekuensi kumulatif dan relatif

Tabel frekuensi kumulatif pada suatu kelas interval diperoleh dengan menjumlahkan frekuensi dari kelas interval pertama sampai dengan kelas interval tersebut.

Distribusi frekuensi relatif menyatakan proporsi data yang berada pada suatu kelas interval.

𝐅𝐫𝐞𝐤𝐮𝐞𝐧𝐬𝐢 𝐫𝐞𝐥𝐚𝐭𝐢𝐟 = 𝐟𝐫𝐞𝐤𝐮𝐞𝐧𝐬𝐢

𝐛𝐚𝐧𝐲𝐚𝐤 𝐬𝐚𝐦𝐩𝐞𝐥 𝐩𝐞𝐧𝐞𝐥𝐢𝐭𝐢𝐚𝐧

5. Histogram

Data yang diperlukan histogram adalah tepi atas dan tepi bawah tiap kelas.

6. Poligon Frekuensi

Data yang diperlukan poligon frekuensi adalah nilai tengah dari tiap kelas, dan nilai tengah satu kelas sebelum dan sesudah data kelas yang ada

7. Ogive

Ogive adalah kurva distribusi frekuensi kumulatif. Ogive dibagi menjadi 2, Ogive positif dan Ogive negative.

a. Ogive positif

Data yang digunakan untuk ogif positif berasal dari tabel distribusi kumulatif kurang dari dengan tambahan tepi bawah dari kelas terendah. Ciri dari ogif positif adalah grafiknya menaik

b. Ogive negatif

Data yang digunakan untuk ogif negatif berasal dari tabel distribusi kumulatif lebih dari dengan tambahan tepi atas dari kelas tertinggi. Ciri dari ogif negatif adalah grafiknya menurun

D.

U ku r a n P e m u s a t a n D a t a

1. Rataan Hitung (Mean)

𝑥̅ =𝑥1+ 𝑥2+ 𝑥3 + . . . + 𝑥𝑛 𝑛 𝑥̅ =1 𝑛∑ 𝑥𝑖 𝑛 𝑖=1

Dengan 𝑥̅ menyatakan rataan hitung, n menyatakan ukuran data, dan 𝑥𝑖 menyatakan datum ke-i.

Pada data berkelompok, data dianggap sebagai titik tengah kelas dengan frekuensi sesuai dengan banyak data pada kelas tersebut,

Rataan hitung data berkelompok 𝑥̅ =𝑥1𝑓1+ 𝑥2𝑓2+ 𝑥3𝑓3 + . . . + 𝑥𝑛𝑓𝑛 𝑓1+ 𝑓2+ 𝑓3 𝑥̅ =∑ 𝑥𝑖𝑓𝑖 𝑛 𝑖=1 ∑𝑛𝑖=1𝑓𝑖

Dengan 𝑥̅ menyatakan rataan hitung,

n menyatakan

banyak kelas, 𝑥𝑖 menyatakan datum ke-i atau nilai

tengah kelas ke-i, dan 𝑓𝑖 menyatakan frekuensi kelas

ke-i.

2. Modus

Modus adalah nilai dari data dengan kemunculan atau frekuensi tertinggi.

Modus data berkelompok adalah kelas interval dengan frekuensi paling besar dan nilainya ditentukan sebagai berikut.

𝑀𝑜 = 𝐿𝑏+ (

∆1

∆1+ ∆2) 𝑐

Dengan 𝑀𝑜 menyatakan nilai modus, 𝐿𝑏 menyatakan

nilai limit bawah kelas modus, ∆1 menyatakan selisih

frekuensi kelas modus dengan kelas sebelumnya, ∆2 menyatakan selisih frekuensi kelas modus dengan

kelas sesudahnya, dan 𝑐 menyatakan panjang interval kelas.

3. Median

Median adalah nilai tengah dari data yang terurut. Pada data berkelompok, median terletak pada kelas dengan distribusi kumulatif 1₂ banyak data dan nilainya ditentukan sebagai berikut.

𝑀𝑒 = 𝐿𝑏+ (

1 2𝑛 − 𝑓𝑘

𝑓 ) 𝑐

Dengan 𝑀𝑒 menyatakan nilai median, 𝐿𝑏 menyatakan

nilai limit bawah kelas median, 𝑛 menyatakan ukuran data, 𝑓𝑘 menyatakan frekuensi kumulatif dari kelas

sebelum kelas median, f menyatakan frekuensi kelas median, dan 𝑐 menyatakan panjang interval kelas.

4. Kuartil, Desil, dan Persentil

Pada statistika juga dikenal ukuran-ukuran khusus yang membagi data menjadi seperempat (kuartil),

sepersepuluh (desil), dan seperseratus (persentil) Rumus untuk menentukan kuartil, desil, dan persentil adalah sebagai berikut.

𝐿𝑏+ (

𝑥 − 𝑓𝑘

𝑓 ) 𝑐

Dengan 𝐿𝑏 menyatakan nilai limit bawah kelas

kuartil/desil/persentil, 𝑥 menyatakan letak kuartil/desil/persentil, 𝑓𝑘 menyatakan frekuensi

kumulatif dari kelas sebelum kelas

kuartil/desil/persentil, f menyatakan frekuensi kelas kuartil/desil/persentil, dan 𝑐 menyatakan panjang interval kelas.

E . U ku r a n P e n y e b a r a n D a t a

1. Simpangan Rata-Rata

Simpangan rata-rata menyatakan ukuran seberapa jauh penyebaran nilai-nilai data terhadap nilai rataan.

Simpangan rata-rata data tunggal 𝑆𝑅 =1

𝑛∑|𝑥𝑖− 𝑥̅|

𝑛

𝑖=1

Dengan 𝑥̅ menyatakan rataan hitung, n menyatakan ukuran data, dan 𝑥𝑖 menyatakan datum ke-i.

Simpangan rata-rata data berkelompok 𝑆𝑅 =1

𝑛∑ 𝑓𝑖|𝑥𝑖− 𝑥̅|

𝑛

𝑖=1

Dengan 𝑥̅ menyatakan rataan hitung, n menyatakan ukuran data, k menyatakan banyak kelas, 𝑥𝑖 menyatakan

datum ke-i atau nilai tengah kelas ke-i, dan 𝑓𝑖

menyatakan frekuensi kelas ke-i.

2. Ragam dan Simpangan Baku

Ragam dan simpangan baku data tunggal 𝜎2₌1

𝑛∑(𝑥𝑖− 𝑥̅)

2 𝑛

𝜎 = √1

𝑛∑(𝑥𝑖− 𝑥̅)2

𝑛

𝑖=1

Dengan 𝜎2 _{menyatakan ragam, 𝜎 menyatakan}

simpangan baku, 𝑥̅ menyatakan rataan hitung, n menyatakan ukuran data, dan 𝑥𝑖 menyatakan datum ke-i

F . C o n t o h S o a l

1. Perhatikan data berikut.

Nilai Frekuensi

4 2

12 8

24 20

34 10

Tentukan rataan hitung dan simpangan rata-rata dari data tersebut!

Penyelesaian: 𝑥̅ =∑ 𝑥𝑖𝑓𝑖 𝑛 𝑖=1 ∑𝑛𝑖=1𝑓𝑖 =8 + 96 + 480 + 340 2 + 8 + 20 + 10 = 924 40 = 23,1 𝑆𝑅 =1 𝑛∑ 𝑓𝑖|𝑥𝑖− 𝑥̅| = 1 40(38,2 + 88,8 + 18 + 109) 𝑛 𝑖=1 = 1 40(254) = 6.35 2. Perhatikan data berikut.

Tinggi Badan (dalam cm) Frekuensi

110 – 119 1 120 – 129 5 130 – 139 8 140 – 149 11 150 – 159 16 160 – 169 6 170 - 179 3

Tentukan modus dan median data tersebut! Penyelesaian: 𝑀𝑜 = 𝐿𝑏+ ( ∆1 ∆1+ ∆2) 𝑐 = 149,5 + ( 5 5 + 10) 10 = 149,5 + 3,33 = 152,83 cm 𝑀𝑒 = 𝐿𝑏+ ( 1 2𝑛 − 𝑓𝑘 𝑓 ) 𝑐 = 139,5 + (25 − 14 11 ) 10 = 139,5 + 10 = 149,5 cm

3. Perhatikan data berikut.

Nilai Frekuensi 2 3 4 4 6 6 8 4 10 3

Tentukan ragam dan simpangan baku dari data tersebut! 𝜎2₌1 𝑛∑(𝑥𝑖− 𝑥̅) 2₌ 1 20(48 + 16 + 0 + 16 + 48) 𝑛 𝑖=1 =128 20 = 6,4 𝜎 = √𝜎2_{= √6,4 = 2,53}

4. Urutkanlah data berat badan berikut dari terkecil sampai terbesar!

Penyelesaian:

- Tentukan berat terkecil, berat terbesar, kuartil bawah, median, dan kuartil atas dari data tersebut.

- Setelah data diurutkan, diperoleh berat terkecil dan terbesarnya secara berturut-turut adalah 40 dan 75.

- Banyak data keseluruhannya adalah 36 - Letak kuartil bawahnya ada pada data ke

36 + 1

4 = 9,25, yaitu terletak di antara

data ke-9 dan 10. Sehingga 𝑄1 merupakan rata-rata dari data ke-9 dan 10, yaitu 𝑄1 =𝑥9 + 𝑥10

2 = 47 + 50

- Mediannya terletak pada data ke 36 + 1₂ = 18,5, sehingga 𝑄2 =𝑥18+ 𝑥19 2 = 58 + 60 2 = 59.

- Kuartil atasnya terletak pada data ke 3₄∙ (36 + 1) = 27,75 yaitu 𝑄3 =

𝑥27 + 𝑥28

2 = 64 + 64

2 = 64.

5. Tentukan frekuensi kumulatif dan frekuensi relatif dari data berikut!

Usia (dalam tahun) Frekuensi 15-19 2 20-24 10 25-29 19 30-34 27 35-39 16 40-44 10 45-49 6 50-54 5 55-59 3 60-64 2 Penyelesaian: Usia (dalam tahun) Frekuensi Frekuensi Kumulatif Frekuensi Relatif Frekuensi Relatif Kumulatif 15-19 2 2 0,02 0,02 20-24 10 12 0,10 0,12 25-29 19 31 0,19 0,31 30-34 27 58 0,27 0,58 35-39 16 74 0,16 0,74 40-44 10 84 0,10 0,84 45-49 6 90 0,06 0,90 50-54 5 95 0,05 0,95 55-59 3 98 0,03 0,98 60-64 2 100 0,02 1

6. Gambarlah histogram dan poligon frekuensi dari data berikut.

Penyelesaian:

1) Histogram

2) Poligon Frekuensi