1 |4. Tempat Kedudukan Akar
MODUL AJAR
4. TEMPAT
KEDUDUK
AN AKAR
MK. Sistem Pengendalian
Otomatis
4 sks – Teknik Fisika ITS
Kuliah Daring Terbuka dan Terpadu
2 |4. Tempat Kedudukan Akar
4.
TEMPAT KEDUDUKAN AKAR
Gambaran Umum
Pokok Bahasan
Perancangan sistem pengendalian modern pada awalnya dilakukan dengan menggunakan metode tempat kedudukan akar (root locus), dan analisa tanggapan frekwensi (diagram bode, diagram polar, diagram Nyquist). Metode ini bisa
digunakan pada ranah waktu dan frekwensi. Namun metode-metode ini sangat sulit digunakan untuk sistem-sistem non-linier. Sistem-sistem-sistem non-linier perlu dilinierisasi sebelum digunakan metode-metode tersebut. Bab ini akan membahas secara rinci, bagaimana cara kerja metode-metode tersebut untuk menganalisis kestabilan sistem
pengendalian. Contoh-contoh perancangan kestabilan sistem pengendalian juga biberikan dengan bantuan program MATLAB. Bantuan program MATLAB ini disajikan dengan tujuan untuk dapat digunakan sebagai pembelajaran interaktif.
1. Diagram Tempat Kedudukan Akar, 2. Kestabilan sistem berdasarkan tempat
kedudukan akar,
Tujuan Pembelajaran
1. Mahasiswa mampu melakukan ploting tempat kedudukan akar dari sebuah sistem dinamik
2. Mampu menjelaskan karakteristik sistem berdasarkan letak kedudukan akar,
3. Mampu menganalisis kestabilan sistem dengan menggunakan metode tempat kedudukan akar (root locus)
4. Mampu menggunakan program MATLAB untuk menganalisis kestabilan sistem dengan menggunakan metode letak kedudukan akar
3 |4. Tempat Kedudukan Akar
4.1 Pengantar
Masalah terpenting dalam sistem pengendalian linier adalah berhubungan dengan kestabilan. Kestabilan merupakan suatu kondisi yang diinginkan oleh proses, dan kondisi ini dapat diperoleh melalui suatu tindakan dalam perencanaan sistem pengendalian. Konsep kestabilan, dapat dijelaskan melalui pandangan kita terhadap sebuah kerucut lingkaran yang diletakkan tegak diatas bidang datar. Bila kerucut tersebut berdiri dengan dasarnya di bawah, kemudian puncaknya sedikit digerakkan, maka kerucut tersebut akan segera kembali ke keadaan setimbang. Tetapi sebaliknya bila kerucut tersebut diletakkan di atas sisi (selimutnya), maka sedikit gerakan akan mengakibatkan ia menggelinding, dan tidak ada kecenderungan untuk meninggalkan keadaan yang bersentuhan antara sisi dan bidang datarnya. Inilah kondisi yang dikatakan tidak stabil. Dalam kondisi seperti apa sistem tidak stabil? Apabila tidak stabil apa yang harus distabilkan dalam sistem itu?
Setelah membaca pokok bahasan ini, pembelajar akan:
Mampu menganalisa ketabilan sebuah sistem berdasarkan letak dan kedudukan akar dari sistem tersebut, yaitu dengan:
1.
Metode tempat kedudukan akar (root locus) dalam bentuk fungsi alih sebuah
sistem
2.
Menggunakan program MATLAB untuk menganalisis kestabilan sistem dengan
metode letak kedudukan akar.
Capaian Pembelajaran:
Capaian pembelajaran untuk pokok bahasan ini:
1. Mahasiswa mampu melakukan ploting tempat kedudukan akar dari sebuah sistem dinamik
2. Mampu menjelaskan karakteristik sistem berdasarkan letak kedudukan akar,
3. Mampu menganalisis kestabilan sistem dengan menggunakan metode tempat kedudukan akar (root locus)
4. Mampu menggunakan program MATLAB untuk menganalisis kestabilan sistem dengan menggunakan metode letak kedudukan akar
Kerangka pembahasan:
Kerangka pembahasan dari materi ini: 1. Pengantar
2. Diagram Tempat Kedudukan Akar
3. Analisa sistem berdasar Tempat Kedudukan Akar 4. Ringkasan
4 |4. Tempat Kedudukan Akar
4.1.1
Prasyarat
Prasyarat untuk membaca modul ini adalah: 1. Pemodelan Sistem Dinamik 2. Sistem open loop
3. Sistem close loop
4.1.2
Peta Konsep
Peta konsep pada Pokok Bahasan ini, dinyatakan dalam bentuk gambar berikut:
Gambar 4.1 Peta Konsep Pokok Bahasan “Perancangan sistem Pengendalian dengan metode Konvensional
Suatu sistem pengendalian dikatakan stabil jika dan hanya jika semua kutub loop tertutup berada pada setengah sebelah kiri bidang s.
Dalam pernyataan tersebut di atas, apakah semua sistem / plant berproses menghasilkan produk juga dalam kondisi yang dikatakan stabil? Pernyataan ini perlu dianalisa dari model matematika proses / plant tersebut. Apabila tidak stabil, maka apa perlakuan kita terhadap sistem / plant? Pada sub pokok bahasan ini akan membahas strategi dalam merancang sistem pengendali yang diterapkan pada sistem / plant agar stabil dan mampu menghasilkan produk seperti yang diharapkan.
Misalkan “kiln” di pabrik semen, yang membakar bahan mentah semen menjadi terak semen. Kiln akan menghasil terak semen pada suhu, tekanan tertentu. Apabila suhu terlalu tinggi, maka produk terak semen akan “gosong”, bila suhu terlalu rendah, maka terak emen belum matang. Pada kondisi
5 |4. Tempat Kedudukan Akar
ini maka perlu dirancang suatu kendali terhadap suhu di dalam ruang kiln. Gambar 1-2 di bawah merupakan ruang di dalam kiln. Pembaran yang terjadi akibat api yang disemburkan pada material semen.
Sistem kendali yang sesuai dengan plant seperti ini, dapat diperoleh dengan melihat letak kedudukan akar dari plant. Dan kemudian menentukan di titik mana dalam bidang polar, yang menyebabkan nilai gain kendali K akan berakibat pada kondisi stabil kritis atau tidak stabil.
Gambar 4.2 Penampakan dalam sebuah kiln (Currey, 2013)
Gambar 4.3 Diagram skematik kiln pada pabrik semen (Currey, 2013)
Diagram skematik Gambar 4-3 di atas menunjukkan skema proses yang terjadi pada kiln. Material mentah dialirkan dari atas melalui pemanas awal (preheater). Selanjutnya keluar dari preheater akan mengalami proses di kiln. Dan terakhir semen yang telah sesuai kamatangannya akan didinginkan pada “Clinker Cooler”.
Semua proses yang terjadi pada masing – masing sub sistem di atas, yitu di preheater, di jlin dan cooler, perlu dilakukan pengendalian terhadap variable yang berdampak pada kualitas produk semen. Dalam hal ini adalah pengendalian terhadap suhu. Suhu pada masing – masing sub sistem harus pada kondisi “Stabil” – sesuai untuk proses pemasakan bahan semen dan sesuai untuk pendinginan bahan semen yang sudah jadi.
6 |4. Tempat Kedudukan Akar
Konsep kestabilan yang dituliskan di atas, merupakan salah satu cara dari analisa model matematika fungsi respon sistem. Karena sebagian besar sistem loop tertutup linier mempunyai fungsi alih loop tertutup dalam bentuk yang ditunjukkan pada persamaan (4.1),
)
(
)
(
)
(
)
(
1 1 1 1 1 1s
A
s
B
a
s
a
s
a
s
a
b
s
b
s
b
s
b
s
R
s
C
n n n n o m m m m o
…(4-1)dengan a dan b adalah tetapan yang diperoleh dari parameter sistem. Dan m, n, orde dari polinomial. Pertama-tama kita harus menfaktorkan polinomial A(s) untuk memperoleh kutup loop tertutup. Proses ini sangat memakan waktu untuk polinomial derajad dua atau lebih. Suatu kriteria sederhana yang disebut kriteria Routh memungkinkan kita untuk menentukan jumlah kutup loop tertutup yang berada pada sebelah kanan bidang s tanpa harus menfaktorkan polinomial.
4.2
Konsep Letak Kedudukan Akar.
Pengantar
Suatu metode sederhana untuk mencari akar-akar persamaan karakteristik telah ditemukan oleh W.R. Even dan digunakan secara luas dalam teknik pengendalian. Metode ini disebut dengan
tempat kedudukan akar (Root-Locus), merupakan suatu metode yang menggambarkan akar-akar persamaan karakteristik untuk semua nilai dari suatu parameter sistem. Akar-akar untuk suatu nilai tertentu dari parameter ini selanjutnya terletak pada grafik yang diperoleh. Perhatikan bahwa parameter ini biasanya adalah penguatan, tetapi variabel lain dari fungsi alih loop terbuka juga dapat digunakan. Jika tidak disebutkan, maka dianggap bahwa penguatan fungsi alih loop terbuka merupakan parameter yang akan diubah di seluruh daerah harganya, yaitu dari nol sampai takterhingga. Perhatikan blok diagram Gambar 4.4 berikut,
Gambar 4.4 Blok diagram sistem pengendalian secara umum
Fungsi alih loop tertutup sistem,
)
(
)
(
1
)
(
)
(
)
(
)
(
s
H
s
KG
s
KG
s
R
s
C
s
T
…(4-2)fungsi alih loop terbuka sistem,
)
(
)
)(
(
)
(
)
)(
(
)
(
)
(
2 1 2 1 n mp
s
p
s
p
s
z
s
z
s
z
s
K
s
H
s
KG
…(4-3)Dimana zi adalah zero dan pi adalah pole, m adalah jumlah zero yang berhingga dan n jumlah pole
berhingga dari fungsi alih loop. Jika n>m, dimana ada (n-m) zero pada takberhingga.
G
(
H
(
R
(
C
(
7 |4. Tempat Kedudukan Akar
Contoh Soal 4-1,)
4
)(
3
(
)
2
)(
2
(
2
1
24
14
2
4
)
(
2 2
s
s
j
s
j
s
s
s
s
s
T
Penentuan nilai zero dan pole, adalah:
2
1
,
4
,
3
,
2
,
2
2 1 2 1
k
p
p
j
z
j
z
Dimana k = adalah gain
Gambar 4.5 Plot letak akar (letak pole dan zero) pada contoh soal 4.1
Contoh Soal 4-2 Berikut ini adalah sebuah sistem loop tertutup
Gambar 4.6 Blok diagram sistem untuk Contoh Soal 4-2
Pada gambar di atas, terlihat bahwa plant mempunyai fungs alih: Dan letak akar – akar nya dinyatakan dalam gambar berikut ini:
8 |4. Tempat Kedudukan Akar
Gambar 4.7 Plot letak akar – akar dari Contoh Soal 4-2
Letak akar – akar / pole untuk sistem loop tertutup berada pada s = 0 dan s = -2. Apabila nilai gain K naik maka letak akar – akar sistem loop tertutup akan naik menuju ke sumbu imajiner +~ dan -~.
4.3
Prosedur dalam Ploting Letak Kedudukan Akar
Persamaan karakteristik fungsi alih loop tertutup adalah,
0 ) ( ) ( 1KG s h s atau
K
z
s
z
s
z
s
p
s
p
s
p
s
m n
)
(
)
)(
(
)
(
)
)(
(
2 1 2 1
…(4-4)dari persamaan 4.5, untuk suatu titik dalam bidang-s, tempat kedudukan akar untuk nilai 0<K< bila memenuhi dua kondisi berikut,
berhingga
zero
dari
vektor
panjang
Perkalian
berhingga
pole
dari
vektor
panjang
Perkalian
K
…(4-5) dan
,
5
,
3
,
1
)
180
(
)
(
)
(
pole
sudut
)
(
)
(
zero
sudut
0
r
r
s
H
s
G
s
H
s
G
…(4-6)Langkah-langkah membuat tempat kedudukan
akar :
9 |4. Tempat Kedudukan Akar
(1). Jumlah kedudukan (loci). Untuk n>m, jumlah cabang kedudukan tempat kedudukan akar, adalah sama dengan jumlah pole fungsi alih loop terbuka G(s)H(s). Kedudukan akar adalah simetris terhadap sumbu real pada bidang-s.
(2). Titik awal dan titik akhir. Jika K dinaikkan dari nol menuju ke takberhingga, kedudukan awal pole loop tertutup bergerak dari pole loop terbuka (K=0), dan berhenti pada zero loop terbuka (K). Zero terbentang kearah tempat kedudukan akar- nya, dan pole terbentang kearah sebaliknya.
(3). Segmen tempat kedudukan akar dalam sumbu real. Untuk K>0, tempat kedudukan akar terjadi pada suatu segmen tertentu pada sumbu real, jika dan hanya jika ada selisih jumlah pole dan zero dari fungsi alih loop terbuka yang terebah disisi kanan segmen.
(4). Interseksi sumbu imajiner. Dengan menggunakan kriteria Routh-Hurwitz, tentukan titik kedudukan akar yang terletak di sumbu-j. Harga K dan dapat diperoleh dari array Routh.
(5). Asymptot (Untuk nm). Untuk sebagian besar sistem perhatikan, n >m. Untuk n>m ada (n
-m) zero pada takberhingga, untuk 0<K<, akhir tempat kedudukan akar (n-m) pada zero takberhingga.
Titik-titik tempat kedudukan akar terhadap garis lurus dengan sudut sebagi berikut,
,
5
,
3
,
1
180
r
m
n
r
o
…(4-7)karena s mendekati takberhingga. Berikut adalah tabel sudut asimtotik,
n-m (selisih jumlah pole – jumlah zero) Sudut Asimtotik 0 1 2 3 4 Tidak-asimtot 180o 90o 180o, 60o 45o, 135o
Garis lurus menyebar dari suatu titik s pada sumbu real dinyatakan dengan,
m
n
s
H
s
G
zero
s
H
s
G
pole
a
(
)
(
)
(
)
(
)
…(4-8)(6). Sudut berangkat dan sudut datang. Anggap titik s sebarang didekat pole (untuk
10 |4. Tempat Kedudukan Akar
)
180
(
)
180
(
0 0r
r
i zi i pi a i pi i zi d
…(4-9)(7). Titik breakaway dan titik re-entry. Titik-titik pada sumbu real dimana dua atau lebih cabang tempat kedudukan akar berangkat dari atau datang pada sumbu real. Titik breakaway dapat ditentukan dengan pernyataan persamaan karakteristik untuk gain K sebagai fungsi s, K =-1/(G(s)H(s)), dan kemudian menyelesaikan titik breakaway s dari,
0
)
(
sB sds
s
dK
…(4-10)akar-akar real persamaan ini, yang sesuai dengan langkah (3), adalah titik breakaway atau re-entry.
4.4
Analisa Kestabilan Berdasarkan Letak Kedudukan Akar
Kedudukan akar-akar karakteristik dari persamaan karakteristik suatu sistem dalam
bidang-s komplek (s = + j.), bisa digunakan untuk mengetahui apakah suatu sistem stabil atau tidak stabil. Gambar dibawah menunjukan daerah kestabilan sistem berdasarkan tempat kedudukan akar-akar.
Gambar 4.8 Pembagian daerah dalam bidang komplek Contoh Soal 4-3:
Sistem motor servo yang dinyatakan dengan fungsi alih loop terbuka berikut,
s
s
K
s
s
K
s
H
s
G
4
)
4
(
)
(
)
(
2
Cari tempat kedudukan akar untuk K>0. Jawab :
Kedudukan akar pada sumbu real disebelah kiri dari selisih pole berhingga dan zero.
(n-m) = 2 zero pada tak berhingga.
Dua asimtotik dengan sudut 90o.
Irisan asimtotik pada sumbu real,
D a e r D a e rD
a
e
D
a
e
11 |4. Tempat Kedudukan Akar
2
2
0
4
a
Titik breakaway pada sumbu real diberikan oleh,
2
0
)
4
(
2
s
s
s
ds
d
ds
dK
Program MATLAB :Dengan menggunakan fungsi rlocus(num,den,K), dapat diperoleh harga K.
clg axis([-6,0,-3,3]) axis('square') K=0:.01:12; num=1; den=[1 4 0]; r=rlocus(num, den,K); plot(r,'.') text(-.05,-.10,'x'),text(-4.05,-.10,'x') grid
Hasil ploting tempat kedudukan akar-akar,
Gambar 4.9 Ploting root locus soal contoh 6 Contoh Soal 4-4 :
Sistem motor servo yang dinyatakan dengan fungsi alih loop terbuka berikut,
12
19
8
)
4
)(
3
)(
1
(
)
(
)
(
3 2
s
s
s
K
s
s
s
K
s
H
s
G
Cari tempat kedudukan akar untuk K>0. Jawab :
12 |4. Tempat Kedudukan Akar
(n-m) = 3 zero pada takberhingga.
Dua asimtotik dengan sudut 180o, 60o.
Irisan asimtotik pada sumbu real,
66
,
2
3
1
3
4
a
Titik breakaway pada sumbu real diberikan oleh,
0
)
12
19
8
(
3
2
s
s
s
ds
d
ds
dK
akar persamaan ini adalah s1=-3,55 , s2=-1,78, tetapi s1=-3,55 adalah bukan bagian dari
kedudukan akar untuk K>0, maka titik breakaway adalah pada s = -1,78.
Array Routh yang menghasilkan kedudukan pada sumbu j adalah,
0
8
140
8
12
19
1
1 2 3K
s
K
s
s
140
36
,
4
K
j
s
Program MATLAB :Dengan menggunakan fungsi rlocus(num,den,K), dapat diperoleh harga K.
clg axis([-10,0,-5,5]) axis('square') K1=10:2:140; num=1; den=[1 8 19 12]; r1=rlocus(num, den,K1); K2=0:.05:10; r2=rlocus(num, den,K2); r=[r1;r2]; K=[K1,K2]; plot(r,'.') text(-1.07,-.15,'x'),text(-3.07,-.15,'x'),text(-4.07,-.15,'x') hold m = tan(pi/3); c=m*8/3; x=-8/3:.1:0; y1=m*x + c; y2=-m*x - c; plot(x,y1,x,y2) grid hold off
13 |4. Tempat Kedudukan Akar
Gambar 4.10 Plot root locus contoh soal 7
Perhatikan gambar di atas, letak kedudukan akar saat nilai K > 0, berada pada daerah yang ditandai plot akar warna biru, hijau dan merah. Tititk pada s = -2,66 dinamakan titik breakaway. Dan titik pada s = -1,78 dinamakan titik asimptotik. Titik breakaway merupakan titik dimana garis asimpot akan memotong di sumbu real. Sedangkan titik asimptotik merupakan titik dimana letak kedudukan akar tepat memotong di sumbu real.
Contoh Soal 4-5 :
Sistem motor servo yang dinyatakan dengan fungsi alih loop terbuka berikut,
13
19
7
)
2
3
)(
2
3
)(
1
(
)
(
)
(
3 2
s
s
s
K
j
s
j
s
s
K
s
H
s
G
Cari tempat kedudukan akar untuk K>0. Jawab :
Kedudukan akar pada sumbu real disebelah kiri dari selisih pole berhingga dan zero.
(n-m) = 3 zero pada takberhingga.
Dua asimtotik dengan sudut 180o, 60o. Irisan asimtotik pada sumbu real,
33
,
2
3
1
3
3
a
Titik breakaway pada sumbu real diberikan oleh,
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 x x x
-2
-1,78
14 |4. Tempat Kedudukan Akar
0
)
13
19
7
(
3
2
s
s
s
ds
d
ds
dK
akar persamaan ini adalah s1, s2 = -2,33 j0,94, yang menunjukan bukan interseksi dengan
sumbu real.
Sudut pergi dari pole komplek adalah d1= 0-(135+90)+180=-45o, dan
d2=0-(45+90)+180=45o.
Array Routh yang menghasilkan kedudukan pada sumbu j adalah,
0
7
120
13
7
19
1
1 2 3K
s
K
s
s
120
36
,
4
K
j
s
Program MATLAB :Dengan menggunakan fungsi rlocus(num,den,K), dapat diperoleh harga K.
axis([-10,0,-5,5]) axis('square') K1=10:1:120; num=1; den=[1 7 19 13]; r1=rlocus(num, den,K1); K2=0:.05:10; r2=rlocus(num, den,K2); r=[r1;r2]; k=[K1,K2]; x=-7/3:.1:0; m=tan(pi/3); c=m*7/3 y1=m*x + c; y2=-m*x -c; plot(r,'.') text(-1.1,-.15,'x'),text(-3.1,1.83,'x'),text(-3.1,-2.18,'x') hold plot(x,y1,x,y2) grid hold off
15 |4. Tempat Kedudukan Akar
Gambar 4.11 Plot root locus contoh soal 8 Latihan Soal 4-1:
Sistem motor servo yang dinyatakan dengan fungsi alih loop terbuka berikut,
10
16
7
)
1
3
)(
1
3
)(
1
(
)
(
)
(
3 2
s
s
s
K
j
s
j
s
s
K
s
H
s
G
a. Cari tempat kedudukan akar untuk K>0.
b. Gunakan Program Matlab untuk menganalisa letak kedukdukan akar Latihan Soal 4-2 :
Sistem motor servo yang dinyatakan dengan fungsi alih loop terbuka berikut,
3
4
)
5
(
)
3
)(
1
(
)
5
(
)
(
)
(
2
s
s
s
K
s
s
s
K
s
H
s
G
a. Cari tempat kedudukan akar untuk K>0.
b. Gunakan Program Matlab untuk menganalisa letak kedukdukan akar
Latihan Soal 4-3:
Sistem motor servo yang dinyatakan dengan fungsi alih loop terbuka berikut,
18
27
10
)
5
(
)
6
)(
3
)(
1
(
)
5
(
)
(
)
(
3 2
s
s
s
s
K
s
s
s
s
K
s
H
s
G
a. Cari tempat kedudukan akar untuk K>0.
Gunakan Program Matlab untuk menganalisa letak kedukdukan akar
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 x x x
