T
Tujuan Instruksional Umum ujuan Instruksional Umum (TIU)(TIU)
Setelah mengikuti mata kuliah ini mahasiswa dapat : Setelah mengikuti mata kuliah ini mahasiswa dapat :
1.
1. Menentukan tempat kedudukan akar dari sebuah sistem kendali.Menentukan tempat kedudukan akar dari sebuah sistem kendali.
2.
2. Melakukan analisis dengan menggunakan methoda TKAMelakukan analisis dengan menggunakan methoda TKA
T
Tujuan Instruksional Khusus ujuan Instruksional Khusus (TIK)(TIK)
Setelah mengikuti mata kuliah ini mahasiswa dapat Setelah mengikuti mata kuliah ini mahasiswa dapat
1.
1. Mengtahui Mengtahui cara cara menggambar menggambar TKA TKA baik baik secara secara manual manual maupunmaupun dengan program/sofware
dengan program/sofware
2. Menentukan batas akhir gain yang diperkenankan agar sistem tetap 2. Menentukan batas akhir gain yang diperkenankan agar sistem tetap dalam keadaan stabil.
dalam keadaan stabil.
3. Membaca gambar TKA untuk memperoleh informasi tentang 3. Membaca gambar TKA untuk memperoleh informasi tentang performasi sistem
Pendahuluan
Pendahuluan
Karakteristik dasar respon transien suatu sistem lup
Karakteristik dasar respon transien suatu sistem lup
tertutup ditentukan oleh lup-lup tertutup.
tertutup ditentukan oleh lup-lup tertutup.
T
Teknik klasik
eknik klasik dgn penguraian
dgn penguraian polinomial atas
polinomial atas
faktor2nya sulit dilakukan (terutama u/ n>3)
faktor2nya sulit dilakukan (terutama u/ n>3)
Solusi
Solusi
Methoda tempat kedudukan akar (MTKA).
Methoda tempat kedudukan akar (MTKA).
MTKA
MTKA adalah : suatu methoda grafis
adalah : suatu methoda grafis sederhana untuk
sederhana untuk
menentukan akar-akar dengan menggambar pada
menentukan akar-akar dengan menggambar pada
bidang kompleks
bidang kompleks semua harga
semua harga parameter sistem
parameter sistem
(penguatan, K untuk harga K dari 0 s/d tak hingga)
(penguatan, K untuk harga K dari 0 s/d tak hingga)
MTKA
MTKA
Ide dasar
Ide dasar
harga s yang membuat fungsi alih
harga s yang membuat fungsi alih
lup terbuka = -1 harus memenuhi persamaan
lup terbuka = -1 harus memenuhi persamaan
karakteriktik sistem
karakteriktik sistem
MTKA
MTKA berguna krn dap
berguna krn dapat menunjukkan
at menunjukkan cara
cara
memodifukasi pole dan zero lup terbuka
memodifukasi pole dan zero lup terbuka
sehingga respon memenuhi spesifikasi
sehingga respon memenuhi spesifikasi
performasi sistem
Variasi pole-pole sistem lup tertutup (1)
Fungsi alih lup tertutup :
Persamaan karakteristik
1 + K .G( s) H ( s) = 0
atau G( s) H ( s) = -1
) ( / ) ( . 1 ) ( ) ( ) ( s A s B K s G s R s C Variasi pole-pole sistem lup tertutup (2)
Fungsi alih lup terbuka G( s) H ( s) bisa dinyatakan dgn :
dimana B( s) dan A( s) polinom variabel kompleks m <= n dan K = faktor gain / penguatan
maka fungsi alih lup tertutupnya menjadi :
atau persamaan cirinya : A(s)+KB(s) = 0 ) ( ) ( .... .... ( ) ( ) ( 1 1 1 0 1 1 1 0 s A s B a s a s a s a b s b s b s b K s H s G n n n n m m m m
) ( . ) ( ) ( ). ( ) ( / ) ( . 1 ) ( ) ( ) ( s B K s A s A s G s A s B K s G s R s C Variasi pole-pole sistem lup tertutup (3)
TKA pada bidang s, berubah sesuai dgn perubahan K
(faktor penguatan lup terbuka)
Akar-akar digambarkan sebagai fungsi K disebut
TEMPAT KEDUDUKAN AKAR (TKA)
Untuk K = 0, akar-akar merupakan akar-akar A(s) yang
sama dengan pole-pole fungsi alih lup terbuka G( s) H ( s)
Untuk K yang sangat besar, akar merupakan
Langkah-langkah
menggambar
1. Menentukan Banyaknya TKA
Banyaknya TKA sama dengan banyaknya kutub(pole) lup terbuka G(s) H (s)
Contoh :
Fungsi alih lup terbuka adalah
Sistem mempunyai tiga kutub
Jadi ada 3 TKA yang terpisah dalam gambar
)
4
(
)
2
(
)
(
)
(
2
s
s
s
K
s
H
s
G
2. Menentukan tempat pada sumbu nyata
Bagian-bagian TKA yang ada di sumbu nyata bidang s ditentukan dengan menghitung jumlah total pole dan zero berhingga dari G( s) H ( s) disebelah kanan titik yang
dipertanyakan
Untuk K > 0 :
Titik-titik TKA terletak disebelah kiri jumlah GANJIL dari banyaknya kutub dan nol
Untuk K < 0
Titik-titik TKA terletak disebelah kiri jumlah GENAP dari banyaknya kutub dan nol
3. Menentukan ASIMTOT
Pusat asimtot ( σc) diberikan oleh :
dimana : pi = kutub2, z i = zero2, n= jmlh pole, m = jmlh zero
Sudut asimtot :
Untuk k = 0, 1, 2, …… n – m - 1, menghasilkan banyaknya asimtot = n - m
m
n
z
p
i m i i n i c
1(
)
1(
)
0 K untuk , 180 ) 2 ( 0 K untuk , 180 ) 1 2 ( m n k m n k Contoh :
Sebuah sistem mempunyai fungsi alih lup terbuka :
maka ,
σc= - (4-2)/2= -1
n - m = 3-1 = 2
ϐ= 90
°dan 270
°untuk K > 0
)
4
(
)
2
(
)
(
)
(
2
s
s
s
K
s
H
s
G
4. Menentukan titik pisah
Titik pisah adalah sebuah titik pada sumbu nyata dimana
dua cabang atau lebih TKA keluar dari sumbu nyata
atau tiba disumbu nyata
Titik pisah
σ bditentukan sbb :
)
(
1
)
(
1
1 1 i b m i i b n ip
z
Contoh
Tentukan titik pisah dari
Jawab :
)
2
)(
1
(
)
(
)
(
s
s
s
K
s
H
s
G
577
.
1
,
423
.
0
0
2
6
3
0
)
1
(
)
2
(
)
2
)(
1
(
0
)
2
(
1
)
1
(
1
)
0
(
1
0
)
(
1
2 1
b b b b b b b b b b b b i b n ip
Untuk K > 0 ada cabang-cabang TKA antara 0 dan -1
dan antara - dan -2. Karena itu akar di -0.423 merupakan titik pisah = 1,577 adalah titimpisah untuk K < 0
5. Menentukan sudut keluar dan sudut masuk
# SUDUT KELUAR
Sudut keluar suatu TKA dari sebuah pole kompleks
adalah :
dimana :
sudut phase dari G(s)H(s) yang dihitung
dari pole kompleks tersebut.
)'
(
)
(
180
G
s
H
s
)' ( ) ( s H s G Contoh :
Selidiki sebuah sistem yang mempunyai fugsi alih lup
terbuka :
Sudut G(s)H(s) untuk s = -1+j1 dengan mengabaikan
sumbangan pole di s = -1 + j tersebut adalah -45. maka sudut keluarnya adalah : 0 , ) 1 )( 1 ( ) 2 ( ) ( ) (
K J s j s s K s H s G
180
(
45
)
135
# SUDUT MASUK
Sudut masuk u/ TKA ke sebuah zero kompleks adalah :
dimana
adalah sudut phase dari G(s)H(s) yang dihitung di zero
kompleks tsb dengan mengabaikan efek dari nol itu
'
)'
(
)
(
180
G
s
H
s
A
'
)'
(
)
(
s
H
s
G
Contoh :
Selidiki fungsi alih lup terbuka :
Sudut masuk untuk TKA ke zero kompleks di s = j
adalah :
0
,
)
1
)(
1
(
)
2
(
)
(
)
(
K
J
s
j
s
s
K
s
H
s
G
225
)
45
(
180
A
Prosedur umum tempat kedudukan akar (TKA)
Tentukan persamaan karakteristik
Tentukan titik awal dan titik akhir dari TKA dan tentukan juga
banyaknya cabang TKA.
Tentukan bagian-bagian TKA pada sumbu nyata.
Hitung pusat dan sudut-sudut asimtot dan gambar asimtot
pada gambar TKA
Tentukan titik ‘luncur’ dan ‘mulai’
Tentukan sudut keluar dan sudut masuk di pole-pole
kompleks dan zero kompleks (jika ada) dan berikan tandanya)
Tentukan titk potong TKA dengan sumbu imajiner
Buat sketsa dari cabang-cabang TKA sedemikian hingga TKA
tsb berakhir di sebuah zero atau mendekati tak hingga disepanjang salah satu asimtot tsb.
#Contoh :
Tentukan TKA untuk semua harga K dari sistem lup
tertutup yang mempunyai fungsi alih lup terbuka sbb :
)
4
)(
2
(
)
(
)
(
s
s
s
K
s
H
s
G
Penyelesaian
# Dari penyebut fungsi alih dapat diketahui kutub-kutub
pada titik 0, -2 dan -4
# Untuk K > 0, TKA terletak diantara 0 dan -2 dan
diantara -4 dan – tak hingga pada sumbu nyata
# Pusat asimtot = -(2+4)/3 = -2, banyaknya asimtot n-m
= 3, Sudut asimtot = 60, 180, 300.
# Karena dua cabang TKA datang bersama-sama di sumbu
nyata antara 0 dan -2, ada sebuah titik pisah diantara 0 dan -2.
Jadi TKA dapat dilukiskan dengan memperkirakan titik
pisah dan melanjutkan cabang-cabang ke asimtotnya.
# Titik pisah,
155
.
3
,
845
.
0
0
8
12
3
0
)
2
(
1
)
1
(
1
)
0
(
1
0
)
(
1
2 1 dan
p
b b b b b b i b n i
# TKA K < 0 disusun dengan cara yang hampir
sama, dimana bagian-bagian sumbu nyata
antara 0 dan tak hingga dan antara -2 dan -4.
# Titik pisah di - 3,155
PENEMPATAN AKAR
r e K u H ( s) y
Kutub dari sistem kalang tertutup adalah nilai dari s yaitu 1 + KH(s) = 0. H(s) = b(s)/a(s), maka persamaan ini mempunyai bentuk:
a(s) + Kb(s) = 0 (a(s)/K) + b(s) = 0
Aturan menggambar penempatan akar Evans (setelah Walter R. Evans
memperkenalkannya untuk pertama kali pada tahun 1948),
MENGGAMBAR DIAGRAM PENEMPATAN AKAR DENGAN MATLAB ) 20 )( 15 )( 5 ( 7 ) ( ) ( ) ( s s s s s s U s Y s H num=[1 7]; den=conv(conv([1 0],[1 5]),conv([1 15],[1 20])); rlocus(num,den) axis([-22 3 -15 15]) grid on zeta=0.7;Wn=1.8;sgrid(zeta, Wn) -20 -15 -10 -5 0 -15 -10 -5 0 5 10 15 Real Axis I m a g A x i s -20 -15 -10 -5 0 -15 -10 -5 0 5 10 15 Real Axis I m a g A x i s
letak kutub agar sist em sesuai dengan kriter ia yang diinginkan
