03 Sifat Sifat Akar Persamaan Kuadrat

(1)

SISTEM PERSAMAAN LINIER DAN

KUADRAT

B. Sifat-Sifat Akar Persamaan Kuadrat

Pada pembahasan sebelumnya, telah diuraikan tentuang cara menentukan akar-akar persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 yakni dengan rumus kudrat, yaitu :

a 2

ac 4 b b x

2 12  

Dari rumus diatas terlihat bahwa akar-akar suatu persamaan kuadrat sangat dipengaruhi dari nilai b2– 4ac. Jika nilai ini negatif tentu saja akar-akarnya tidak dapat ditentukan (imajiner) dan jika nilai ini berbenentuk bilangan kuadrat maka akar-akarnya akan rasional, dan seterusnya

Nilai b2– 4ac dinamakan diskriminan_{dari persamaan kuadrat ax}2_{+ bx + c = 0.}

Ditinjau dari diskriminan tersebut, maka persamaan kuadrat dapat dibagi menjadi tiga macam, yaitu :

D > 0 : Mempunyai dua akar real yang berlainan

Dimana untuk D bilangan kuadrat, maka akar-akarnya rasional dan untuk D bukan bilangan kuadrat, maka akar-akarnya irrasional

D = 0 : Mempunyai dua akar real yang sama D < 0 : Mempunyai akar-akar imajiner (tidak nyata)

Untuk lebih jelasnya ikutilah contoh soal berikut ini :

01. Tentukanlah jenis-jenis akar persamaan kuadrat berikut ini : (a). 2x2 – 7x + 6 = 0 (b) x2 – 6x + 12 = 0 (c) x2 – 4x + 1 = 0

Jawab

(a). 2x2 – 7x + 6 = 0 Uji : D = b2– 4ac

D = (–7)2– 4(2)(6) D = 49 – 48

D = 1

Jadi akar-akar persamaan kuadrat di atas rasional berlainan (b). x2 – 6x + 12 = 0

Uji : D = b2– 4ac

D = (–6)2– 4(1)(12) D = 36 – 48

D = –12

(2)

(c). x2 – 4x – 1 = 0 Uji : D = b2– 4ac

D = (–4)2– 4(1)( –1) D = 16 + 4

D = 20

Jadi akar-akar persamaan kuadrat di atas irrasional berlainan

02. Tentukanlah nilai p agar persamaan kuadrat berikut ini memiliki akar yang sama (a) x2 – px + 16 = 0

(b) (p + 3)x2 – 4x + p = 0 Jawab

(a) x2 – px + 16 = 0 Syarat : D = 0

b2– 4ac = 0

(–p)2– 4(1)(16) = 0 p2– 64 = 0

(p – 8)(p + 8) = 0

Jadi nilai p = 8 atau p = –8 (b) (p + 3)x2 – 4x + p = 0

Syarat : D = 0

b2– 4ac = 0

(–4)2– 4(p + 3)(p) = 0 16 – 4p2– 12p = 0

–4p2– 12p + 16 = 0 p2 + 3p – 4 = 0 (p + 4)(p – 1) = 0

Jadi nilai p = –4 atau p = 1

03. Tentukanlah batas-batas nilai m agar persamaan kuadrat berikut ini tidak memiliki akar yang nyata

(a) x2 – 3x – 3m = 0

(b) (m + 1)x2 + 2mx + (m – 2) = 0 Jawab

(a) x2 – 3x – 3m = 0 Syarat : D < 0

b2– 4ac < 0

(–3)2– 4(1)(–3m) < 0 9 + 12m < 0

(3)

(b) (m + 1)x2 + 2mx + (m – 2) = 0

maka akar akar tersebut dapat ditentukan dengan rumus persamaan kuadrat yaitu :

(4)

Untuk lebih jelasnya ikutilah contoh soal berikut ini : yang lain, maka tentukanlah nilai k

Jawab

x2– 10x + (k + 3) = 0 maka x1 + x2 = 10

x1. x2 = (k + 3)

(5)

sehingga : x1 + x2 = 10

4x2 + x2 = 10

5x2 = 10

x2 = 2 dan x1 = 4(2) = 8

x1. x2 = k + 3

(8)(2) = k + 3 Jadi k = 13

03 Jika jumlah kebalikan dari akar-akar persamaan x2– px + (p – 1) = 0 adalah 3/2 maka hitunglah nilai p dan akar-akar persamaan kuadrat itu

Jawab

x2– px + (p – 1) = 0 maka x1 + x2 = p

x1. x2 = (p – 1)

2 1

1 1

x

x  = 2

3

sehingga :

2 1

1 1

x

x  = 2 3

2 1

x x

x x 

= 2 3

1 p

p

 = 2 3

2p = 3(p – 1)

2p = 3p – 3 Jadi p = 3

Persamaan kuadrat itu adalah : x2– 3x + (3 – 1) = 0 x2– 3x + 2 = 0 (x – 2)(x – 1) = 0 x1 = 2 x2 = 1

04 Jika



dan  adalah akar-akar persamaan kuadrat x2 + 3x – m = 0 serta diketahui



+ 3 = 5 maka hitunglah nilai m

Jawab

x2 + 3x – m = 0 maka



+  = –3



. ₌–m sehingga :



+ 3 = 5



+  + 2 = 5

–3 + 2 = 5

2 = 8 maka  = 4



+  = –3



+ 4 = –3 maka



= –7 Jadi



.

= –m

(6)

Persamaan kuadrat dapat disusun dengan menggunakan perkalian faktor dan

rumus jumlah dan hasil kali akar-akarnya. Misalkan x1 dan x2 adalah akar-akar

suatu persamaan kuadrat, maka menyusun persamaan kuadrat dengan perkalian faktor menggunakan formula sebagai berikut :

(x − x1)(x – x2) = 0

Jika bentuk diatas dikalikan satu sama lain, maka akan diperoleh :

(x − x1)(x – x2) = 0

x2 − x1x – x2 x + x1. x2 = 0

x2 − ( x1 + x2 )x + (x1 . x2 ) = 0

Jadi, misalkan jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat adalah ( x1 + x2 )

dan (x1 . x2) maka persamaan kuadrat dapat dibentuk dengan formula sebagai berikut

x2 − ( x1 + x2 )x + (x1 . x2 ) = 0

Untuk lebih jelasnya ikutilah contoh soal berikut ini :

01. Tentukanlah persamaan kuadrat yang akar-akarnya –3 dan 4 Jawab

x2 − ( x1 + x2 )x + (x1 . x2 ) = 0

x2 − (–3 + 4)x + (–3)(4) = 0 x2 − x – 12 = 0

02. Tentukanlah persamaan kuadrat yang akar-akarnya 3 – 5 dan 3 + 5

Jawab

x1 + x2 = (3 – 5) + (3 + 5) = 6

x1 . x2 = (3 – 5)(3 + 5) = 9 – 5 = 4

maka : x2 − ( x1 + x2 )x + (x1 . x2 ) = 0

x2 − (6)x + (4) = 0 x2 − 6x + 4 = 0

03. Tentukanlah persamaan kuadarat yang akar-akarnya empat lebihnya dari akar-akar x2 + 5x – 2 = 0

Jawab

Misalkan x2 + 5x – 2 = 0 akar akarnya x1 dan x2 , maka

x1 + x2 = –5

x1 . x2 = –2

Misalkan persamaan kuadrat baru akar-akarnya  dan  maka

 = x1 + 4  = x2 + 4

Sehingga  +  = x1 + 4 + x2 + 4

 +  = x1 + x2 + 8

 +  = –5 + 8

(7)

 ._{= (x}₁_{+ 4)(x}₂_{+ 4)}

 ._{= x}₁_x₂_{+ 4x}₁_{+ 4x}₂_{+ 16}

 ._{= x}₁_x₂_{+ 4(x}₁_{+ x}₂_{) + 16}

 .₌–_{2 + 4(}–_{5) + 16}

 .₌–_{6 ... (2)}

Jadi : x2 − ( + )x + ( ._{) = 0}

x2 − (3)x + (–6) = 0 x2 − 3x – 6 = 0 Atau dengan cara lain :

Karena  = x1 + 4 maka x1 =  – 4

Sehingga x2 + 5x – 2 = 0

( – 4)2 + 5( – 4) – 2 = 0

2

 – 8 + 16 + 5 – 20 – 2 = 0

2

 – 3 – 6 = 0

Jadi persamaan kuadrat baru adalah x2 − 3x – 6 = 0

04. Jika akar-akar persamaan kuadarat x2– 6x + 4 = 0 adalah α dan β maka tentukanlah persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya _3 dan _3

Jawab

Misalkan x2– 6x + 4 = 0 akar akarnya  dan , maka

 +  = 6

 . _{= 4}

Misalkan persamaan kuadrat baru akar-akarnya x1 dan x2 maka

x1 = 3

x2 = 3

Sehingga x1 + x2 = 3 + 3

x1 + x2 = 3  3

x1 + x2 = 3(  )

x1 + x2 = 3(₄6)

x1 + x2 = ₂9 ... (1)

x1. x2 = 3 . 3

x1. x2 = 9

x1. x2 = ₄9 ... (2)

Jadi : x2 − ( x1 + x2 )x + (x1 . x2 ) = 0

x2 − (

2

9_{)x + (} 4

9 _{) = 0}

(8)

Atau dengan cara lain : Karena x1 = 3 maka  =

1

3

x

Sehingga x2– 6x + 4 = 0 2

1 3

   

x – 6    

1 3

x + 4 = 0

       

2

1 9

x

–

   

1 18

x + 4 = 0

9 – 18x1 + 4x₁2 = 0